江苏省如皋市外国语学校2025-2026学年九年级上学期9月检测数学试题

答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B C A C D D C 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列是关于的二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的定义，注意判断即可． 【解答】解：．本选项是关于的三次函数，故本选项不符合题意； ．本选项是关于的反比例函数，故本选项不符合题意； ．当时，本选项是关于的二次函数，故本选项不符合题意； ．本选项是关于的二次函数，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键． 2．（3分）二次函数的顶点是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，根据二次函数的顶点式即可判断得解． 【解答】解：由题意，二次函数为， 其顶点为． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 3．（3分）已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】先求得函数的对称轴为，再判断，在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向上，对称轴右侧随的增大而增大， ，，在对称轴右侧， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的特征，熟练掌握该知识点是关键． 4．（3分）用一条长的绳子围成一个矩形的最大面积是　　 A． B． C． D． 【分析】设矩形的长为 ，面积为 ，再根据矩形的面积公式得出、的关系式，求出的最大值即可． 【解答】解：设矩形的长为 ，则宽为， 矩形的面积． ， ． 故矩形的最大面积是． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键是正确列出关于矩形面积与边长的关系式． 5．（3分）若二次函数的图象经过点，，，则该图象必经过点　　 A． B． C． D． 【分析】先根据对称点求出对称轴，再根据对称轴求出点关于对称轴对称的点为，即可判断． 【解答】解：二次函数的图象经过点，， 对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．（3分）二次函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得函数解析式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将二次函数向右平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为， 再向下平移2个单位长度后，所得函数的解析式为． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移则是解题的关键． 7．（3分）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的图象的性质确定，的符号，再根二次函数图象与系数的关系以及对称轴的位置判断正确选项． 【解答】解：由一次函数的图象可知，， ，， 抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧，且经过原点， 当时，， 满足条件的函数图象只有， 故选：． 【点评】考查了二次函数的图象与一次函数的图象的知识，解题的关键是了解各个函数的图象与系数的关系，难度不大． 8．（3分）二次函数的图象如图所示，给出四个结论：②；②；③；④．其中正确结论的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】依据题意，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①，，， ，错误； ②由图象可知：对称轴为直线，且， ，正确； ③由图象可知：当时， ， 又当时，， ； 与相加得， ，正确； ④， ， 又， ，正确． 综上，正确结论的序号是②③④． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 9．（3分）某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数的图象，那么她所选择的轴和轴分别为直线　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】由已知求得顶点坐标为，再结合，即可确定坐标轴的位置． 【解答】解：， 顶点坐标为， ， 抛物线与的交点为顶点， 为轴， 图象过， 为轴， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与点的位置关系是解题的关键． 10．（3分）已知二次函数为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是　　 A．或 B． C． D． 【分析】由二次函数解析式，利用二次函数的性质，可得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，分，，及三种情况考虑，根据，即可求出的取值范围．（其实利用点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离来解决很简单）． 【解答】解：二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当，即时，显然成立； 当，即时，， 解得：， ； 当，即时，显然不成立． 综上所述，的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，牢记“在二次函数中，当时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分30分） 11．（3分）把二次函数化成的形式是　　． 【分析】利用配方法解答即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键． 12．（4分）抛物线与轴的交点坐标分别为，．当时，的取值范围是 　　 ． 【分析】写出抛物线在轴下方所对应的交点横坐标的范围即可． 【解答】解：， 抛物线开口向上， 抛物线与轴的交点坐标分别为，， 当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 13．（4分）下列函数图象中：①②③④其中抛物线开口大小最小的是________________. 答案为:④ 14．（4分）已知二次函数自变量与函数值之间满足下列数量关系： 0 1 2 3 则代数式的值等于 　　． 【分析】由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时的值，进而求解． 【解答】解：由题可得抛物线经过点，， 抛物线对称轴为直线， 抛物线经过点， 时， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解． 15．（4分）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围　且　． 【分析】由于二次函数与轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程中，△，解不等式即可求出的取值范围，由二次函数定义可知，． 【解答】解：二次函数的图象和轴有交点， ， 且． 故答案为且． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，不仅要熟悉二次函数与轴的交点个数与判别式的关系，还要会解不等式． 16．（4分）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米，则水流下落点离墙的距离是 　3米　． 【分析】根据题意可以求得抛物线的解析式，从而可以求得点的坐标，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， ， 解得， ， 当时，， 解得，，， 点的坐标为， ， 水流下落点离墙距离的长度是3米． 故答案为：3米． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 17．（4分）已知抛物线，，，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为　　 ． 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，由，，，在该抛物线上求得，根据求得，求得和时的函数值，即可求得的取值． 【解答】解：，在抛物线上， ， 解得， 抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ，，，在该抛物线上， ， ， ， 把，代入，得，代入，得， 的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得的取值范围是解题的关键． 18．（4分）已知，是抛物线与轴的两个交点的横坐标，则的值为　0　 ． 【分析】抛物线与轴的交点横坐标是对应的一元二次方程的根，所以、是方程的两个根，然后利用韦达定理求出的值，再对所求式子变形，结合韦达定理的结果进行计算． 【解答】解：，是抛物线， 与轴的两个交点的横坐标， ，是方程的两个解， ， ， 故答案为：0． 【点评】本题考查二次函数与轴交点的横坐标，以及韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），解题的关键是利用韦达定理求出和的值，再对所求式子进行变形，结合韦达定理的结果进行计算． 三．解答题（共8小题，满分90分） 19．（10分）已知二次函数的图象经过点， （1）求二次函数的解析式； （2）在图中，画出二次函数的图象； （3）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【分析】（1）根据二次函数的图象经过点，，可以求得该函数的解析式； （2）根据（1）中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象； （3）根据（2）中画出的函数图象，可以写出当时，的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，， ，得， 即该函数的解析式为； （2）， 该函数的顶点坐标是，开口向下，过点，，，， 该函数图象如图所示； （3）由图象可得， 当时，的取值范围或． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 20已知一个二次函数的图象经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是这个函数图象上的一点，当时，求的取值范围． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为， 根据题意得， 解得：， 抛物线解析式为：． （2）将抛物线解析式配方得：，则二次函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，取最小值， 当时，；当时，， 当时，的取值范围是：． 【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2122．（12分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【分析】（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【解答】（1）证明：一元二次方程， △ ， 方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ，， ， 抛物线与轴交于点，，且， ， ， 化简为：， 解得：或5． 【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． 22．（10分）已知二次函数的图象经过点，顶点坐标 （1）当时，随的增大而增大，求的取值范围； （2）求关于的函数解析式； （3）求该二次函数的图象顶点最低时的解析式． 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求得； （2）根据顶点方程公式以及图象上点的坐标特征即可求得； （3）由（2）求得的解析式配方成顶点式即可求得最低时的顶点坐标，利用顶点式求得即可． 【解答】解：（1）由二次函数可知开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ； （2）二次函数的图象经过点， ， ， ，， ； （3）， 顶点有最低点， ， 二次函数的解析式为． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，明确二次函数的顶点方程是解题的关键． 23如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃ABCD，花圃的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长15m，在与墙平行的一边开一个宽1m的门．设垂直于墙的一边AB为x m． （1）用含有x的代数式表示BC为 　 　 m； （2）当矩形花圃ABCD的面积最大时，求AB边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【解答】解：设AB＝x m， 则AB＝CD＝x m， ∴BC＝15+1﹣2x＝（16﹣2x）m． 故答案为：（16﹣2x）； （2）S＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32， 即AB边的长为4m，矩形花圃面积取得最大值为32m2． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是利用22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． \ 【分析】（1）①利用待定系数法即可求解； ②正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【解答】解：（1）①为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； ②因为正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则，， ， 当时，线段的长度取得最大值； 25．（12分）已知抛物线为常数）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）若，两点在此抛物线上，比较与的大小； （3）已知点，都在该抛物线上，求证：． 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点，到对称轴的距离大小关系求解． （3）由点，坐标可得抛物线对称轴，从而可得的值，将点坐标代入解析式并通过配方求解． 【解答】解：（1）， 抛物线顶点坐标为． （2）， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ． （3）抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， ， ，， 将代入得， ． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 26．（12分）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），直线与轴和轴分别交于，两点． （1）若抛物线经过点，且点的坐标是，求抛物线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，点是在直线下方二次函数图象上的一个动点，试探究点的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积； （3）当时，抛物线对应的函数有最小值3，求的值． 【分析】（1）先求出直线与轴和轴的交点坐标，将点、的坐标分别代入求出的值，即可求得答案； （2）设，过点作轴，交于，则，得出，再利用，运用二次函数的最值即可求得答案； （3）分类讨论：①当时，，②当时，该函数的最小值为，不符合题意；③当时，，分别求出的值即可． 【解答】解：（1）直线与轴和轴分别交于，两点， ，， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线经过点， ， 解得：或4， ， ， 故该抛物线的解析式为； （2）设，过点作轴，交于， 则， ， ， ， 当时，取得最大值，此时，，； （3）当时，抛物线对应的函数有最小值3， 可分三种情况： ①当时，， 解得：或（舍去）； ②当时，该函数的最小值为，不符合题意； ③当时，， 解得：或（舍去）； 综上所述，的值为或5． 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，运用分类讨论思想是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 如皋市外国语学校九年级数学（上） 练习 班级_________姓名________学号_______ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列是关于的二次函数的是 　　 A． B． C． D． 2．（3分）二次函数的顶点是 　　 A． B． C． D． 3．（3分）已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为 　　 A． B． C． D．无法确定 4．（3分）用一条长的绳子围成一个矩形的最大面积是 　　 A． B． C． D． 5．（3分）若二次函数的图象经过点，，，则该图象必经过点 　　 A． B． C． D． 6．（3分）二次函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得函数解析式是 　　 A． B． C． D． 7．（3分）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是 　　 A． B． C． D． 8．（3分）二次函数的图象过点（-1,2），（1,0），如图所示，给出四个结论：②；②；③；④．其中正确结论的个数是 　　 A．0 B．1 C．2 D．3 （第7题） （第8题） （第9题） 9． （3分）某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的轴和轴分别为直线 　　 A．， B．， C．， D．， 10．（3分）已知二次函数为常数），其图象上有两点，， 如果，那么的取值范围是 　　 A．或 B． C． D． 二．填空题（共8小题，满分30分） 11．（3分）把二次函数化成的形式是　 　 ． 12．（3分）抛物线与轴的交点坐标分别为，．当时，的取值范围是 　　 ． 13．（4分）下列函数图象中：①②③④其中抛物线开口大小最小的是________________. 14．（4分）已知二次函数自变量与函数值之间满足下列数量关系： 0 1 2 3 则代数式的值等于 　 　 ． 15．（4分）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围　 　 ． 16．（4分）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线 型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米， 则水流下落点离墙的距离是 　 　 ． （第16题） 17．（4分）已知抛物线，，，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为　 　 ． 18．（4分）已知，是抛物线与轴的两个交点的横坐标，则的值为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分90分） 19．（10分）已知二次函数的图象经过点， （1）求二次函数的解析式；（4分） （2）在图中，画出二次函数的图象；（3分） （3）根据图象，直接写出当时，的取值范围．（3分） 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过，，． （1）求这个二次函数的解析式；（5分） （2）若点是这个函数图象上的一点，当时，求的取值范围．（5分） 21．（10分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根；（5分） （2）若抛物线与轴交于点，，且，求的值．（5分） 22．（12分）已知二次函数的图象经过点，顶点坐标 （1）当时，随的增大而增大，求的取值范围；（4分） （2）求关于的函数解析式；（4分） （3）求该二次函数的图象顶点最低时的解析式．（4分） 23．（10分）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃ABCD，花圃的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长15m，在与墙平行的一边开一个宽1m的门．设垂直于墙的一边AB为x m． （1）用含有x的代数式表示BC为 　 　 m；（6分） （2）当矩形花圃ABCD的面积最大时，求AB边的长，并求出矩形花圃面积的最大值．（6分） 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， （1）求二次函数的表达式；（6分） （2）求线段长度的最大值．（6分） 25．（12分）已知抛物线为常数）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；（4分） （2）若，两点在此抛物线上，比较与的大小；（4分） （3）已知点，都在该抛物线上，求证：．（4分） 26．（14分）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），直线 与轴和轴分别交于，两点． （1）若抛物线经过点，且点的坐标是，求抛物线的函数解析式；（4分） （2）在（1）的条件下，点是在直线下方二次函数图象上的一个动点，试探究点的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积；（4分） （3）当时，抛物线对应的函数有最小值3，求的值．（6分） 学科网（北京）股份有限公司 $