精品解析：辽宁省本溪市2021年九年级模拟试卷三（第三次月考）数学试题

数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 下图所示几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下面图标标识，可以看作轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 端午节期间，抚顺市食品安全检查部门调查市场上粽子的质量情况 C. 调查某班40名同学的视力情况 D. 调查某池塘中现有鱼的数量 6. 如图，与位似，点为位似中心，已知，且的周长为4，则的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 36 7. 甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ） 甲 乙 丙 丁 （米） 1.72 1.75 1.75 1.72 （米） 1 1.3 1 1.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. “绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条4800米长的河道整治任务，开工后，实际每天比原计划多整治200米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天整治米，那么所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点M，N，再以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图1，在平行四边形中，点O为对角线的中点，连接，动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连接．设点P的运动时间为x（单位：s），的长度为y，图2为y随x的变化而变化的函数图象，则四边形的面积为（ ） A. 15 B. 24 C. 28 D. 30 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为________． 12. 分解因式: _________. 13. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为________． 14. 如图，将绕A点逆时针旋转60°得到，若° ，则______． 15. 如图，反比例函数在第一象限经过，两点过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点，连接，若，的面积为，则的值为______ ． 16. 图，正方形边长为2，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为______． 17. 如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 18. 如图，A1，A2，A3…，An，An+1是直线上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…AnAn+1=2，分别过点A1，A2，A3…，An，An+1作l1的垂线与直线相交于点B1，B2，B3…，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3…，AnBn+1，BnAn+1，交点依次为P1，P2，P3…，Pn，设△P1A1A2，△P2A2A3，△P3A3A4，…，△PnAnAn+1的面积分别为S1，S2，S3…，Sn，则Sn=______．（用含有正整数n的式子表示） 三、解答题：本题共8小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 先化简，再求值：，其中是整数且满足. 20. 在学校“红歌唱响校园”主题活动中，校广播站循环播放了4首红歌：A：《谁不说俺家乡好》，B：《歌唱祖国》，C：《没有共产党就没有新中国》，D：《我的祖国》．为了解学生最喜爱哪首歌，随机抽取部分学生进行调查，绘制了如下不完整的统计图，请结合图中信息回答下列问题： （1）本次抽样调查的学生有__________人； （2）图中： __________， _________，并把条形统计图补充完整； （3）某同学最喜欢歌曲《我的祖国》，若音乐老师准备在四首歌中任选2首进行教唱，利用列表法或画树状图法，求能选中他喜欢的歌曲的概率． 21. 如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，过点A作AEBC，且AE＝BD，连接BE，交AD于点F，连接CE． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）若CE＝4，求AF的长． 22. 奇奇，妙妙等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量某景区景观塔的高EF．因景观塔前有一个山坡，故底部DE间的距离不易测得．经过研究，他们使用如下测量方法：如图，首先测得坡角∠MDE＝22°，DM＝10米．奇奇在塔顶F处用测角仪测得山坡上点M的俯角为45度，然后，妙妙站在段B处．同伴在妙妙和观景塔之间的直线BE上放一平面镜．在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BE上的对应位置为点C，移动平面镜，此时妙妙在平面镜内可以看到塔顶点F在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得妙妙眼睛与地面的高度AB＝1.6米．BC＝4.8米，CD＝16.4米．已知AB⊥BE．EF⊥BE．点B、C、D、E共线．其中，测量时使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出景观塔的高EF的长度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．） 23. 如图，在中，，以为直径的分别交、于、两点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，求半径的长． 24. 某商场销售一种小商品，进货价为8元/件．当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销售量就减少1件．设销售单价为x（元/件）（x≥10），每天销售利润为y（元）． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价； （3）若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围． 25. 在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE． （1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝　 　度（直接填空）； （2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝EC； （3）当AB＝2，且点E到AC的距离等于﹣1时，直接写出tan∠CAE的值． 26. 如图1，直线y=x+n交轴于点A，交轴于点C（0,4）.抛物线y= +bx+c经过点A，交轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一个动点，经过点P作轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为. （1）求抛物线的解析式； （2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长； （3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：因为-+＝0， 所以-的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 2. 下图所示几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形是解题的关键．根据主视图是从正面看到的图形逐项判断即可． 【详解】解：几何体的主视图是， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 4. 北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下面图标标识，可以看作轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：厨余垃圾、有害垃圾的图标标识可以看作轴对称图形，即有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 端午节期间，抚顺市食品安全检查部门调查市场上粽子的质量情况 C. 调查某班40名同学的视力情况 D. 调查某池塘中现有鱼的数量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，掌握全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，破坏力强，适宜抽查； B、端午节期间，抚顺市食品安全检查部门调查市场上粽子的质量情况，范围比较广，适宜抽查； C、调查某班40名同学的视力情况，调查范围比较小，适宜全面调查； D、调查某池塘中现有鱼的数量，调查难度大，适宜抽查． 故选：C． 6. 如图，与位似，点为位似中心，已知，且的周长为4，则的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形和相似三角形的性质是解题的关键；由与位似可知：，然后根据相似三角形的周长比等于相似比可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴与的周长比为， ∵的周长为4， ∴的周长为12； 故选B． 7. 甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ） 甲 乙 丙 丁 （米） 1.72 1.75 1.75 1.72 （米） 1 1.3 1 1.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义即可得． 【详解】解：方差越小，成绩越稳定， 由表中的方差可知，应该选择甲或丙， 又甲的平均成绩为，丙的平均成绩为， 要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员丙， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用平均数和方差进行决策，掌握理解平均数和方差的意义的是解题关键． 8. “绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条4800米长的河道整治任务，开工后，实际每天比原计划多整治200米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天整治米，那么所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等量关系“原计划用时−实际用时＝4天”，列出方程，即可得到答案． 【详解】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：天，实际用时为：天． 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 9. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点M，N，再以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过做于点，利用角平分线的性质即可得到的高的长度，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过做于点，如图所示： 由题意可得：平分 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案选：C 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及尺规作图，熟悉掌握角平分线的尺规作法是解题的关键． 10. 如图1，在平行四边形中，点O为对角线的中点，连接，动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连接．设点P的运动时间为x（单位：s），的长度为y，图2为y随x的变化而变化的函数图象，则四边形的面积为（ ） A. 15 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，据此可得，同理可得，进而得出，由平行四边形的性质可得，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意，可知当点P运动到点A时，点P运动了， ∴， 当点P运动到点O时，点P运动了， 即， ∴， 同理，可得， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：将数据1280000用科学记数表示为1.28×106． 故答案为：1.28×106． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 分解因式: _________. 【答案】 【解析】 【详解】先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解． 解答：解：a2b-2ab+b， =b（a2-2a+1），…（提取公因式） =b（a-1）2．…（完全平方公式） 13. 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为________． 【答案】a≤且a≠1 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可． 【详解】由题意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0， 解得a≤， 又a-1≠0， ∴a≤且a≠1. 故答案为a≤且a≠1. 【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意列出关于a的不等式组是解答此题的关键． 14. 如图，将绕A点逆时针旋转60°得到，若° ，则______． 【答案】58° 【解析】 【分析】根据∠BCD=∠CBA+∠BAD+∠CDA，∠BAD=60°，∠CBA=∠EDA，计算即可 【详解】如图，延长AC到F，∵∠BCF=∠CBA+∠BAF，∠DCF=∠CDA+∠DAF， ∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=∠CBA+∠BAF+∠CDA+∠DAF=∠CBA+∠BAD+∠CDA， ∵将绕点逆时针旋转60°得到， ∴∠BAD=60°，∠CBA=∠EDA， ∵=118°， ∴∠CBA+∠CDA=58°， ∴∠EDA +∠CDA=58°， ∴58°， 故答案为：58°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角和定理，熟练掌握旋转的性质，灵活确定旋转角，活用三角形外角和定理是解题的关键． 15. 如图，反比例函数在第一象限经过，两点过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点，连接，若，的面积为，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义得到，再通过表示的面积从而求出． 【详解】解：，， ，． ． ． 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数的的几何意义及应用，解题关键是熟练掌握三角形及矩形的面积与的关系． 16. 图，正方形边长为2，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】用圆的面积的一半除以正方形面积，即可求解． 【详解】∵正方形边长为2， ∴正方形的内切圆半径为1， ∴针尖落在黑色区域内的概率=， 故答案是： 【点睛】本题主要考查概率的计算公式，看出图形中的黑色面积就是圆的面积的一半，是解题的关键． 17. 如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称等知识，分两种情形画出图形分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，设直线l交于E，交于F． 由题意：， ∵， ∴， 设， 在中，则有：， ∴， ∴， 当点P在的延长线上时，设， 在中，则有：， 解得， ∴， 故答案为：或15． 18. 如图，A1，A2，A3…，An，An+1是直线上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…AnAn+1=2，分别过点A1，A2，A3…，An，An+1作l1的垂线与直线相交于点B1，B2，B3…，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3…，AnBn+1，BnAn+1，交点依次为P1，P2，P3…，Pn，设△P1A1A2，△P2A2A3，△P3A3A4，…，△PnAnAn+1的面积分别为S1，S2，S3…，Sn，则Sn=______．（用含有正整数n的式子表示） 【答案】• 【解析】 【分析】设△OA1B1的面积为S．由OA1=A1A2=A2A3=…AnAn+1，A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，推出A1B1：A2B2：A3B3：…：AnBn=1：2：3：…：n，推出=S，=2S，…，=nS，探究规律，利用规律即可解决问题； 【详解】设△OA1B1的面积为S． 由题意可知OA1=A1A2=A2A3=…AnAn+1，A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn， ∴A1B1：A2B2：A3B3：…：AnBn=1：2：3：…：n， ∴=S，=2S，…，=nS， ∴S1=S，S2=•2S，S3=•3S，…，Sn=•nS， ∵直线上的点，直线， ∴两条直线与x轴的夹角分别为60°和30°， ∴∠A1OB1=30°， ∵OA1=2， ∴A1B1= ∴S= ∴Sn=•， 故答案为•． 【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题，规律问题等知识，解题的关键是学会探究规律，寻找规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题：本题共8小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 先化简，再求值：，其中是整数且满足. 【答案】2a+6，16． 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值求出并代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， 原式． 【点睛】本题考查分式与整式的运算，求不等式组的解集，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及整式的运算法则，本题属于基础题型． 20. 在学校“红歌唱响校园”主题活动中，校广播站循环播放了4首红歌：A：《谁不说俺家乡好》，B：《歌唱祖国》，C：《没有共产党就没有新中国》，D：《我的祖国》．为了解学生最喜爱哪首歌，随机抽取部分学生进行调查，绘制了如下不完整的统计图，请结合图中信息回答下列问题： （1）本次抽样调查的学生有__________人； （2）图中： __________， _________，并把条形统计图补充完整； （3）某同学最喜欢歌曲《我的祖国》，若音乐老师准备在四首歌中任选2首进行教唱，利用列表法或画树状图法，求能选中他喜欢的歌曲的概率． 【答案】（1）60 （2） 解：喜欢D的人数为：（人），喜欢C的人数为：（人）； 由于，， ∴； 补充完整统计图如下； 故答案为：； （3） 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，某同学最喜欢歌曲《我的祖国》，能选中他喜欢的歌曲的结果有6个， ∴某同学最喜欢歌曲《我的祖国》，能选中他喜欢的歌曲的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据喜欢B的人数及所占的百分比，即可求出本次抽样调查的学生人数； （2）由喜欢D所占的百分比及求得的抽样调查的总人数，即可求得喜欢D的人数；再由总人数减去喜欢A、B、D的人数，即可求得喜欢C的人数，进而可分别求出a、b，也可以补充统计图； （3）画出树状图，可求得所有可能的结果数及某同学最喜欢的歌曲的结果数，由概率公式即可求得概率． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的学生人数为：（人）； 故答案为：60； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，列表法或树状图求概率，从图中获取信息是解题的关键． 21. 如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，过点A作AEBC，且AE＝BD，连接BE，交AD于点F，连接CE． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）若CE＝4，求AF的长． 【答案】（1） 证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ADC＝90° ∵AE＝BD ∴AE＝CD ∵AEBC， ∴四边形ADCE是平行四边形． 又∵∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCE为矩形． （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意根据三线合一可得BD＝CD，由AE＝BD，等量代换可得AE＝CD，进而即可得证； （2）根据矩形的性质可得AD＝CE＝4，证明△AEF≌△DBF，可得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形ADCE为矩形． ∴AD＝CE＝4 ∵AEBC， ∴∠AEF＝∠DBF 在△AEF和△DBF中， ， ∴△AEF≌△DBF（AAS）， ∴AF＝DF＝AD＝2． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一，掌握矩形的性质与判定是解题的关键． 22. 奇奇，妙妙等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量某景区景观塔的高EF．因景观塔前有一个山坡，故底部DE间的距离不易测得．经过研究，他们使用如下测量方法：如图，首先测得坡角∠MDE＝22°，DM＝10米．奇奇在塔顶F处用测角仪测得山坡上点M的俯角为45度，然后，妙妙站在段B处．同伴在妙妙和观景塔之间的直线BE上放一平面镜．在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BE上的对应位置为点C，移动平面镜，此时妙妙在平面镜内可以看到塔顶点F在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得妙妙眼睛与地面的高度AB＝1.6米．BC＝4.8米，CD＝16.4米．已知AB⊥BE．EF⊥BE．点B、C、D、E共线．其中，测量时使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出景观塔的高EF的长度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．） 【答案】景观塔的高EF的长度为11米． 【解析】 【分析】过M作MH⊥BE，MG⊥EF与BE、EF交于H、G，设HE=FG=MG=x米，表示线段CE和EF，再利用△ABC∽△FEC，可求得x，继而求得EF． 【详解】解：过M作MH⊥BE，MG⊥EF与BE、EF交于H、G， 由题意可知∠E=90°， ∴四边形MHEG为矩形， ∴GE=MH，MG=HE， 在Rt△MDH中，∠MDE＝22°，DM＝10米， ∴米， 米， ∵奇奇在塔顶F处用测角仪测得山坡上点M的俯角为45度， ∴∠MFG=90°-45°=45°， ∴△MGF为等腰直角三角形，设HE=FG=MG=x米， ∴米，米， 由平面镜反射可知，∠ACB=∠FCE， ∵∠B=∠E=90°， ∴△ABC∽△FEC， ∴,即，解得， ∴米． 答：景观塔的高EF的长度为11米． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解直角三角形．正确作出辅助线，利用三角函数和线段的和差表示相应线段的长度是解题关键． 23. 如图，在中，，以为直径的分别交、于、两点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，求半径的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）半径为 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握切线的判定、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 证明：连接． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，即． ∵是半径， 是圆O的切线． 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ∴． 在中，， ∴， ， ∴， 即． 24. 某商场销售一种小商品，进货价为8元/件．当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销售量就减少1件．设销售单价为x（元/件）（x≥10），每天销售利润为y（元）． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价； （3）若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣10x2+280x﹣1600 （2）11元/件或17元/件 （3）200≤y≤360 【解析】 【分析】（1）根据利润y等于每件的利润乘以销售量，列出y与x的函数关系式并化简； （2）令y＝270得关于x的一元二次方程，求得方程的解； （3）由每件该小商品的利润率不超过100%和每天的进货总成本不超过800元，求得x的范围，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得： y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10x2+280x﹣1600， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+280x﹣1600（x≥10）； 故答案为：y＝﹣10x2+280x﹣1600； 【小问2详解】 解：令y＝270得：﹣10x2+280x﹣1600＝270， 解得：x1＝11，x2＝17， ∴销售单价为11元/件或17元/件； 【小问3详解】 解：∵每件该小商品的利润率不超过100%， ∴x﹣8≤100%×8，解得x≤16， ∵每天的进货总成本不超过800元， ∴销售单价x≥10， 故销售单价的范围是10≤x≤16， 由（1）得y＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360， 当x＝14时，利润最大是360元， 当x＝10时，利润200元， 所以利润的取值范围是200≤y≤360． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得二次函数的解析式和不等式是解决本题的关键． 25. 在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE． （1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝　 　度（直接填空）； （2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝EC； （3）当AB＝2，且点E到AC的距离等于﹣1时，直接写出tan∠CAE的值． 【答案】（1）90 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题； （2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．只要证明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可； （3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP＝x，EH＝2PH＝2x， 由此FH＝2x+﹣1，CF＝2x+3﹣，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP＝x，AE＝AD，在Rt△ABG中， AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝1+，由此tan∠EAF＝2﹣，根据对称性可得tan∠EAC＝． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°， ∴∠EDC＝90°， 故答案为90； 【小问2详解】 解：如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE． ∵∠DAE＝∠BAP＝90°， ∴∠BAD＝∠PAE， ∵∠B＝45°， ∴∠B＝∠APB＝45°， ∴AB＝AP， ∵AD＝AE， ∴△BAD≌△PAE（SAS）， ∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°， ∴∠EPD＝∠EPC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴EC＝2PE＝2BD； 【小问3详解】 解：如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE． 设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°， ∴EP＝x，EH＝2PH＝2x， ∴FH＝2x+﹣1，CF＝FH＝2x+3﹣， ∵△BAD≌△PAE， ∴BD＝EP＝x，AE＝AD， 在Rt△ABG中，∵AB＝2， ∴AG＝GB＝2， 在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4， ∵AE2＝AD2＝AF2+EF2， ∴22+（2﹣x）2＝（﹣1）2+（4﹣2x﹣3+）2， 整理得：9x2﹣12x＝0， 解得x＝（舍弃）或0 ∴PH＝0，此时E，P，H共点， ∴AF＝1+， ∴tan∠EAF＝＝＝2﹣． 根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan∠EAC＝． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 26. 如图1，直线y=x+n交轴于点A，交轴于点C（0,4）.抛物线y= +bx+c经过点A，交轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一个动点，经过点P作轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为. （1）求抛物线的解析式； （2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长； （3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标. 【答案】（1）y=-2；（2）当△BPD为等腰直角三角形时，PD的长为或；（3），，. 【解析】 【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设点P的横坐标为m,可得P（m，-2），D（m，-2），若△BPD为等腰直角三角形，则PD=BD.分两种情况：①当点P在直线BD的上方时，PD=,再分点P在y轴的左侧和右侧两种情况，列方程求解即可；②当点P在直线BD的下方时，m＞0，BD=m，PD=,列方程求解即可； （3）由∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；可得AC=5，继而可得sin∠PBP/=，cos∠PBP/=，然后分 点P/落在x轴上和点P/落在y轴上两种情况分别讨论求解即可. 【详解】（1）由直线y=x+n过点C（0,4），得n=4，∴y=x+4. 当y=0时，0=x+4，解得x=3，∴A（3,0）. ∵抛物线y=+c经过点A（3,0），B（0，-2）， ∴ ，解得， ∴y=-2. （2）设点P的横坐标为,∴P（m，-2），D（m，-2）. 若△BPD为等腰直角三角形，则PD=BD. ①当点P在直线BD的上方时，PD=, （Ⅰ）若点P在y轴的左侧，则m＜0，BD=-m， ∴=-m， 解得m1=0（舍去），m2=（舍去）， （Ⅱ）若点P在y轴的右侧，则m＞0，BD=m， ∴=m， 解得m1=0（舍去），m2=， ②当点P在直线BD的下方时，m＞0，BD=m，PD=, ∴=m， 解得m1=0（舍去），m2=， 综上m=或； 即当△BPD为等腰直角三角形时，PD的长为或； （3）∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4， ∴AC=5， ∴sin∠PBP/=，cos∠PBP/=， ①当点P/落在x轴上时，过点D/作D/N⊥x轴于N，交BD于点M，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/, 如图1，ND/-MD/=2,即×（m2-m）-（-m）=2； 如图2，ND/-MD/=2，即×（m2-m）-（-m）=2， 解得：P（－，）或P（，）； ②当点P/落在y轴上时， 如图3，过点D/作D/M⊥x轴交BD于点M，过点P/作P/N⊥y轴，交MD/的延长线于点N，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/, ∵PN=BM, 即×（m2-m）=m， ∴P（，）， 综上，，，. 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及了二次的性质，待定系数法，解直角三角形的应用等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想以及分类讨论思想的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $