福建省泉州市2026届高三上学期质量检测（一）数学试题

泉州市2026届高中毕业班质量监测（一） 数学参考答案及评分细则 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 D A B B D BCD AC BC 12.713.1 14.11 15.(13分) 【试题解析】 解法一：(1)P≈75-3 （或075)。… 3分 1004 故由频率估计概率，P的估计值为 …4分 (若作答未体现“估计”，或由样本估计总体，或由频率估计概率，扣1分.) (2)零假设为H。：这两种A虹教学系统在显著提升教师备课效率方面没有差异.…2分 根据表中数据可得，x2=200×(75×45-55×25)8.791>7.879=x00 …5分 130×70×100×100 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H,不成立， …7分 即认为这两种A虹教学系统在显著提升教师备课效率方面存在差异，此推断犯错误的概率 不超过0.005.… …9分 (卡方运算中，列式、运算和“>7.879”各1分.没有进行假设，满分最多为5分.) 解法二：(1)设事件“该地区教师使用系统A”为M,事件“备课效率显著提升”为W,1分 由频率估计概率，得：PM=100=05,PM= 75 =0.375, …2分 200 200 P(NM)= P(W)0.375 =0.75. …3分 P(M00.5 3 故由频率估计概率，P的估计值为 4分 (写出条件概率公式即给1分) (2)同解法一. 16.(15分) 【试题解析】 解法一：(1)由已知∫'(x)=2x.… 1分 曲线y=f(x在点(xn,f(x》处的切线方程为y-f(xn)=f'(n)x-xn), 高三数学试题参考答案及评分细则第1页（共13页) 即y-x2=2x(x-xn).… …2分 令y=0,得-x2=2x（化-X).…3分 1.-1 因为x=1,所以X=2=4 …5分 因为马=1z0,所以20，得号 所似受号 故数列{xn}为等比数列，首项为1，公比为 .…6分 所以 …7分 (说明：直接写出=2=寻写对一个各得1分，直接写出，=再给1分：若 1 前面给出求x2,x,的过程，没有证明{x}通项公式的过程扣2分) 2)m- 22++-1+n S-1+2+3 222, 1+23 )S=2+22+23++2-1+ 2- 2” 2分 两式相减可得： 8=1片宁+ 1 n 2-2 1-令n 4分 2 2 -2、n+2 2” 6分 所以Sn=4- n+2 20-1. …7分 因为 2片>0，所以3<4 n+2 …8分 高三数学试题参考答案及评分细则第2页（共13页) 解法二：（1)由已知∫(x)=2x.…1分 曲线y=f(x在点(xn,f(xn)》处的切线方程为y-f(x)=f"()x-x), 即y-x=2xn(x-x). …2分 令y=0,得-X2=2x,化-X).…3分 因为3=1，所以。=234 1 1 …5分 4 因为=10，所以无20，得无之 所以号 当≥2时，=兰点= 2. …6分 所以= …7分 …】分 令C2=，则心。=C1Ca …3分 所以S。=1+ + 2-2十2 =(c2-C)+(C3-C2)+…+(cm+H-Ca) …4分 -c-C............................... …6分 -n-2 2-1+4 =4、n+2 …7分 因为子0，所以34 8分 17.(15分) 【试题解析】 解法一：(1)由已知可得2a=4,2b=2,所以a=2,b=1,c=√5.…2分 高三数学试题参考答案及评分细则第3页（共13页) 所以e=c=V3 …3分 4+y2=1. 4分 (说明：求对α，b的值各得1分，写对离心率和方程各得1分) (2)由已知，圆O的方程为：x2+y2=5.…1分 当点P是矩形的项点时，PO,PR均与坐标轴垂直，则此时∠RPO= 2 …2分 当点P不是矩形的顶点时，设点P的坐标为(x。,y),直线P2的方程为 y-y。=k(x-x),即y=kx+(y。-kx。).… …3分 联立手+少-1与=+0) 消去y得：1+42)x2+8ky。-kx)x+4y。-k)2-4=0.…5分 (说明：有联立方程给1分，化简正确再给1分) 由△=64k2(。-kx)2-40+4k2)[4y。-kx)2-4]=0,化简得 (4-x)k2+2xyk+1-y6=0. …7分 (说明：写出△=0给1分，化简正确再给1分) 设直线PR的方程为y-。=k(x-xo),同理可得：(4-x)k+2xyk2+1-=0. 则k,k2是关于k的一元二次方程(4-x)k2+2xyk+1-y=0的两根， 做站餐 9分 又6+g=5,所以k=15-).-山 …10分 4-x 所以PQ⊥PR 综上，∠RPQ-5△POR是直角三角形 11分 解法二：(1)同解法一； (2)设M,N分别为P2,PR与E的公共点，且P(。,y),M(x,y),N(2,y) 由己知，圆O的方程为：x2十y2=5.…1分 高三数学试题参考答案及评分细则第4页（共13页） 当点P是矩形的顶点时，P巴，PR均与坐标轴垂直，则此时∠RPO=正 …2分 2 当PM,PN的斜率都存在时，设PM:y-y=k(x-x),PW:y-y2=k(x-x2) 联立=《-0及+=1，消去得： Q+4k)x2+8k0y-kx)x+4y-kx)2-4=0. 由△=64ky-kx)2-40+4k[4-kx)2-4]=0, 化简得(4-x)k+2xyk+1-y2=0. 又手+=1，所以4次+2xyk+手-0，即(2yk+之产=0解得店=在 4 4 同理可得：k2= X2 …3分 4y2 所以PM:y-4-),可化为x+4yy=4 同理PN方程可化为：x2x+4y2y=4.… 4分 又PM,PN过点P,则xx。+4yy=4,x2x。+4y2y。=4.所以M,N都在直线 xx+4yy=4上，所以MN的方程为：xx+4yy=4. 5分 x+4yy=4及4+y=1,消去V得：G+4yx2-8,x+16-16听 则X+x2= 8x0 5+4g5 _16-166 …7分 x6+4y 因为华高 2 164y X。x1+)(-ox2+） yo 高三数学试题参考答案及评分细则第5页（共13页） 2 xx1x2-4(1+x2)+16 16y1-y) x号+4好 彡1 提 。+16 x号+4 1-好 …9分 4-x 又后+g=5,所以k=16-2-1. …10分 4-x 所以PM1PN,RPQ-号 综上，△P⑨R是直角三角形.……11分 (说明：直接用二级结论给出M,N点处的切线和切点弦MN的方程，一处扣1分，共扣2分) 18.(17分) 【试题解析】 解法一：（1)在正方体ABCD-AB,C1D中，连结BD,则BD⊥AC1,…1分 因为DD⊥平面ABCD,AC1C平面ABCD,所以DD⊥AC,…2分 (直接写出DD⊥AC这步不给分) 因为DD∩BD=D,DD,BDC平面BBDD,所以AC1⊥平面BBDD,…3分 (DD,BDC平面BBDD没写不扣分，没写AC1⊥平面BBDD,直接得到BD⊥4C 这步不给分) 又因为B,DC平面BBDD,所以BD⊥AC1, …4分 同理可得B,DLAB,…5分 又因为AB∩A1C1=A,AB,AC1C平面ABC1,所以BD⊥平面ABC1.…6分 高三数学试题参考答案及评分细则第6页（共13页) Dy C B (2)(i)取AC中点O,取AC中点O2,依题意得：球心O在直线OO2上.…1分 因为AP=AB+AC,(2∈[0,1)，所以AP-AB=AC(∈[0,1])，即 BP=AC1(2∈[0,1]) 延长DC至E,使得DC=CE,连结BE. 因为AA1CC,A4=CC1,所以四边形A4CC是平行四边形，所以ACAC,AC=AC. 同理得：BEI∥AC,BE=AC,所以BEI∥AC,BE=AC1,故BP=BE(∈[O,1]), 所以点P在线段BE上.…2分 (直接给出点P在线段BE上不扣分) 设OO=x,则020=2-x, 则2=oo2+l9D2=loo22+l口2P。 易得DB⊥AC,则有ACIIBE,所以DB上BE,故有O,P=口，+BP.…3分 所以2=x2+2=2-x+2+BP,整理得：BP=2V-1,…4分 (没写O2P=O2B+BP，直接给出r2=x2+2=2-2+2+BP不扣分) 由0≤BP≤2W2,得：1≤x≤3. 5分 所以2=OO2+OD2=x2+2∈[3,1]，所以r的取值范围是[V3,1].…6分 (没有任何过程直接写出结果只给1分；只画图没给严谨的推理过程或只给简单的说 明，至多给3分) 高三数学试题参考答案及评分细则第7页（共13页) D 01 A 02 小 (i)当r最大时，x=3,BP=2W2,此时点P与点E重合. …1分 因为BP⊥BD,BP⊥BB,BB∩BD=B,BB,BDC平面BBDD, 所以BP⊥平面BBDD.…3分 因为OB,OBC平面BBDD,所以OB⊥BP,OB⊥BP, 所以∠OBO即为二面角A-BP-O的平面角.……4分 在△OB0中，O,B=6,oB=V5,o0=3,|9B+|oB=loo, 所以∠OBO=90°，所以二面角A-BP-O的余弦值为0.…5分 解法二：(1)以D为原点，DA的正方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系D-z: (建系1分，左手系则这1分不给) C D B 则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),A(2,0,2),C1(0,2,2),…2分 高三数学试题参考答案及评分细则第8页（共13页） DB=(2,2,2),AB=(0,2,-2),4C1=(（2,2,0) DB·A1B=0+4-4=0 DB⊥AB 因为 DB·AC=-4+4+0=0'所以 DB,⊥AC 4分 又因为AB∩AC1=A,ABC平面A1BC1,AC1C平面ABC, 所以BD⊥平面ABC.…6分 （2)(i)取AC1中点O,AC中点O2,依题意得：球心O在直线OO2上.…1分 设O11,a, 因为AP=AB+AC1=(21,21+2,-2), …2分 OP=OA+AP=1-2元，2+1，-则， 则2=A=oP,即1+1+(2-2=1-2)2+(2+1)2+2， 化简得：2=号0-0.= …3分 (式子1+12-四=0-2闭2+(22+)+或20-@只要写对-个就给分) 因为0≤≤1，所以-1≤.…4分 所以2=O42=2+(2-a)2∈[3,1]， 故该球半径的取值范围是[3,1]. … …6分 (ii)当r最大时，点P坐标为(0,4,0).O11,-).…1分 由(1)得平面ABC1的一个法向量是DB=(2,2,2).…2分 设平面OBP的一个法向量是n=(x,y,z),OB=1,1,1),BP=(-2,2,0),…3分 ii.OB=x+y+=0=0 i.BP=-x+y=0 ，取=y=1得：i=0,l-2…4分 因为cos<DB1,1 DB1·12+2-4 DBM2V3×V =0, 所以二面角A-BP-O的余弦值为0.…5分 高三数学试题参考答案及评分细则第9页（共13页) D.Di 0 (E)P y 0 19.(17分) 【试题解析】 解法一：(1)当m=0时，由f(x)=sinx-xCOSx, f'(x)=cosx-[cosx+x(-sinx)]=xsinx, …1分 又xe[0,],x≥0，sinx≥0，所以f'(x)≥0， 故f(y在[0，π]单调递增… …2分 又f(0)=sin0-0=0,f()=sinπ-π×cosπ=π， 故f()在[0，上的值域为[0，π.…3分 (2)由(1)可知m≠0； 依题意得：f'(x)=I+m)cosx-[cosx+x(-six)]=xsinx+ncOSx; (i)若0， ①xe兮网时.am0,cO≥0，此时f代W>0, 故f似)在（行无极值…1分 ②当x∈[0，时，令)=f(y=xsinx+1cosx,得')=Q-m)sin x+-xc0sx 由1-m>0,sinx≥0，xCOsx≥0，则'(w)≥0，从而(x)在[0，]单调递增 又0=0+m<0,9登0. 由零点存在性定理可知，存在x。∈(0，，使得(x,)=0 2分 从而当xe0,),fw<0,当xex孕，f)>0. 高三数学试题参考答案及评分细则第10页（共13页）15.解法一：(1)只写 53仅得2分：只写P75=3 =二得3分： 1004 1004 (2)情况一：保留分数，只要跟7.879大小比较正确，后续解答无误不扣分： 情况二：化小数四舍五入等出错比如8.7，但不影响后续解答则扣1分. 情况三：因计算出错导致小于7879，导致推断成无差异，如果逻辑正确，按照将错就错给 分，最多得5分 情况四：假设错误，比如假设成有差异，则满分最多5分. 情况五：没有进行假设，满分最多为5分，保密★使用前 泉州市2026届高中毕业班质量监测（一） 2025.09 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共6页。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意项： 1.答题前，学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。学生要 认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如船 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本练习卷上无效。 3.答题结束后，学生必须将练习卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符含题目要求的。 1.若(1+)z=2,则在复平面内z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.己知集合A={x2≤x<4},B={x|3≥27}，则A∩B= A.[2,3] B.(3,4) C.[3,4) D.[2,t0) 3.已知双曲线C:X_少=1的一条新近线的方程为2x-y=0,则m= m 1 A.4 B.2 0 D. 4 4.已知函数f)=c0s(2x+)的图象关于点（号，）中心对称， 则其图象的一条对称轴方程可 以是 A.x=-I B.x C.x=亚 12 D.x=I 高三数学试题第1页（共8页) 5.定义在R上的奇函数f()满足∫(x+2)=f),且当0<x≤1时，∫，=-x2+x,则f宁) A B. D 6.一条河两岸平行，河的究度为1.2m,一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行.已知船 在静水的速度大小为13mh,且船在航行过程中受水流的形响.当船以路程最短的方式航行 到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为 A.1.3km/h B,5km/h C.10km/h D.12km/h 7.若实数x,y,z满足2”-2=3'-3=5-5，则x,少，z的大小关系不可能是 A.x=y=z B.x>y>z C.z>y>x D.z>x>y 8.已知直线x+y-2N2a+1=0与圆0：x2+y2=r(r>0)交于不同的两点A,B,若∠A0B存在 最小值且最小值不大于60°，则，的取值范围为 A.(5,2] B.(3,25] C.(3,2W3] D.(3,6] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠ABC=90°，BB'=√2AB=√2BC,M为BB'的中点，则 A.A'C//C'M B.A'C∥平面AMC C.AM⊥B'C D.平面AMC⊥平面A'MC 10.在平面直角坐标系xOy中，设F为抛物线C:y2=4x的焦点，M是C上一点，点N(-1,0), 若NM的延长线与C交于点A.记∠ANF=a,∠AFN=B,∠MFN=Y,则 A.tana=sin B B.tana cos B C.tana=siny D.tana=cosy 1.在△ABC中，若sinA+sinB=4cosC,则 sin B sinA A.sin2A+sin2B=sin2 C B.C的最大值为60° 1 2 C.sin Asin(C-B)=sin Bsin(A-C) D. 1 tan d tan B tan C 高三数学试题第2页（共8页） 五、填空题：本题共3小题，年小题6分，共15刀。 12.若一个等差数列的前3项和为9，前7项和为35，则该数列的第6项为 13.若函数f(x)=x(x-a)在x=I处取得极小值，则a=一 I4.已知：()在一系列独立重复的伯努利试验中，用X表示事件A第一次发生时已经进行的试验 次数，记每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<),则X的分布列为PX=k)=pI-p), =12,3.如果随机变量X具有上式的形式，则称随机变量X服从几何分布，且E(X)=1； p ()若随机变量X,5满足X=之5，则E(X)=∑E(5).连续不断地抛掷一枚敬子，记录下 (ol 它每次落地时朝上的面的点数，直到2,4,6点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为 服 四、解答题：本题共5小题，共刀分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为比较A、B两种AI教学系统在提升救师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招 势了200名敢师，并随机分配其中100名使用系统A,其众100名使用系统B.经过一个月的试 用后，以“各课时间减少15%以上”作为各课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表： 备课效率 显著提升 没有显著提升 ,合计 使用的教学系统 系统A 75 25 100 系统B 55 45 100 合计 130 70 200 (1)记事件“该地区教师使用系统A后，：备课效率显著提升”的概率为P,求P的估计值： (2)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析这两种AI.教学系统在显著提升教师备课 效率方面是否存在差异， a 0.05 0.005 0.001 附：X2= n(ad -bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 3.841 7.879 10.828 高三数学试题第4页（共8页） 16.(15分) 已知函数f(x)=x2，设曲线y=f(x)在点(x,∫(x)》(n∈N)处的切线与x轴的交点，1 (x1,0),其中x=1. (1)写出x2,为，并求数列{x}的通项公式： (2)设数列{x}的前n项和为Sn,证明：Sn<4, 17.(15分) 一矩形BC”的长为4，宽为2，其四边的中点胎为狮圆：子+亿>6>0，的顶点 (1)求E的方程及离心率： (2)若P,2,R三点在以AC为直径的圆上，且直线P2,PR均与E有且只有一个公共点， 证明：△PQR是直角三角形. 高三数学试题第6页（共8页） 18.(17分) 已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2. (1)证明：B,D⊥平面ABC: (2)动点P满足AP=AB+1AC(几∈[0,1)，且点P,A,C,D,在同一球面上.设该球面的 球心为O,半径为r. ()求r的取值范围： (i)当r最大时，求二面角A-BP-O的余弦值 D C D上 B (17分) 己知函数f(x)=(m+I)sinx-xcOSx,x∈[0，π]. (1)当m=0时，求f(x)的值域； (2)若∫(x)存在唯一的极值且为极小值，求m的取值范围： (3)设neR,若存在me(-oo,0)使得m≤V2(U(x)-m)对x∈[0，π]恒成立，求n的最大值. 新三数学试趣第8页（共总页）一、19补充评分说明： 情况一：值域没写集合或区间扣1分： 情况二：(1)中如果求导错误，后面值域正确也一律不给分： 情况三：(2)采用半分离的酌情给分，答案正确满分最多4分； 情况四：(2)的解法一中，当m>0时，若采用类似如下反证法说明，需扣一分. 当m>0时，假设f(x)在[0，]取唯一极值点，且为极小值点 当x∈0孕时，f)>0,f)无极值点，故极小值点x∈（受）， 因为f(x)=m cosx+xsinx在[5，d上是一条连续不断的曲线，且只有唯一极值且为极小 值，所以x∈[吃)时，f0:xe6网时，f)20:与f孕=>0，fm=-m<0 矛盾，所以m>0不成立. 二、补充解法与评分说明一一持续完善中·（欢迎补充) 19.（2)的解法一中： (i)若mP0,Xe(受可，f)=CO+xsin=cosm+rtan)下面第五行 修i订为：“≥孕>0，即p'w)>0.” 19.（2)全分离法： f(x)=mcosx+xsinx, 显然，m=0不符合题意： 因为∫)≠0，所以死不可能是fx)的极值点.…1分 当xe0,孕U(号网时，令f()=0,得-m=sinx 2分 COSX 令pw-eu原司 sin 2+x p'(x)=2 3分 cos2x 令0)-5n2x+￥，h)=c092x+E0, 所以h(x)≥h(0)=0，所以p'(x)≥0. 所以p6)在0孕.用单调递增4分 又9(0)=(x)=0, 所以，当→受且x0孕时，)40： 当x→牙且x∈牙川时，p0→0.… …5分 2 因为-m=Xs血严有唯一极值点。， COSX 所以y=-m与p(x)图象有且仅有一个交点(x,(x)》 所以-m<0或-1>0， 若-m>0,即m<0时，x,∈(0，. 当x∈(0，x)时， 由-m>sn得f'田<0，当xe(o,时，cosx>0,由-m<n得fy>0, COSx cOSx 故此时X为极小值点；…6分 若-m<0,即m>0时，（网.当xe兮）时，cas<0,由-m>得f闲>0， COSx 当x∈化，)时，由-m<sin得f(<0,飞为极大值点：不符合题意.…7分 COSx 综上可得，<0. 19(3)(惠安一中林进伟老师提供) 因为存在m∈(-o,0),使得≤√2(f(x)-川对x∈[O,可恒成立， 取可得5(1-马. …2分 21 4 当m=-亚时，f)=Q-马sinx-XC05x, f()=-亚cosx+xsinx,… …3分 4 所以f孕=0 4分 由(2)可知，当m<0,函数有唯一的极值且为极小值，即∫'(x)=0有唯一解， 所以当m手计、商数四可取最小出/宁-90-争 …5分 这时取作5(1-)，等式m2f)-0成立… …6分 2 综回如，”的最大值为号(：景》 …7分