江西省南昌市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

2025年高三年级九月测试 数学 一、单项选择距：本题共8小臣，每小愿5分、共40分、在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的， 1.设议致z满足r=(1+ii,划z归 A.√2 B.2 c.5 D.I 2.已知a-(亿，-2)，万=(1,2)，a16,则元= A.-4 B.4 C.I D.-1 3.已知函数∫(x)=sinx-cosx,则下列迭项中是f(x)的个单调递增区间的是 A受 【 要孕 4.已知全集U=x|x<10,xeN'},集合A,B是U的子集，若(G)∩B={5,7,9, AnB=(2),(G0∩(GvB)=6,8,则荣合A= A.2,3,4} B.0,2,4 C.{1,2,3} D、L,2,3,4} 5.已知平恤a,B,亢战a,b、划下列结论正确的是 A.若aca,bla,则bla B.若allB,aca,bcB,则ab C.若alla,b⊥c,帅a⊥b D.若allB,al∥a,则allB 6.已知首项为1的数列{a},其前1项积是公差为3的等柒数列、则a= A.4 B.3 c 9 7,已知甲、乙、丙、丁四位老师参加肖年敦牧学火费，问其比赛药果，他们回答如下： 甲，丙第…，乙第；乙：丙第二，丁第三：丙：丁最后，甲第二 如果每个人的两个回答巾，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获 得第一、二、·三、四名伥次是 A.内、甲、T、乙 B.丙、甲、乙、丁 C.甲、乙、丙、丁 D.甲、乙、、丙 8.f()=2x-3x2-2x,已知b<0.若“f(x)>a”削允要条件是“x>b”,则实数 b的最大值为 A.-2 C.-l 二、多项选择臣：共3小愿，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合題自要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 一三数学第1页〔共4页)一 9.已知P是圆C:(x-1)2+(y-2)2=9上的个动点，过原点O的动直线与圆C交丁 M,N两点，则下列说法正确的是 A.IOP的最大值为3+√5 B.|OP|的最小值为3-√5 C.IW|成大值为6 D.IMN|最小值为2 10.某电商平台为了解用户刈配送服务的满意度，从某地区随机抽取了500名用户进行问 卷坪分调查，将评分数据按[40,50)，[50,60)，，[90,100]分组整理得到如右下方频 革分布直方图，记该样本的平均数为4，三个四分位数分刑为a,b,c(a<b<c),则下列 判断正确的是 效水 组矩 A.a-40<b-a 0.035=-… B.c-b<100-c 0.025 C.a,b,c成等差数列 0.015 D.u<b 0.005 4850607080 90100分 11.已知芮数f(x)=xe“+(2-)c2-,则以下说法正确的是 A.(x)有对称中心 B.f(x)有对称轴 C.f(x)伯最小值为2c D.Vx>Lf(x)>f() 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分. 12.已如(2+x)°=a+a2x+4x2++asx3+a%x.则a5= B,如图，双线C:器茶-=1的右货点为下，拉点F 作浙近线：y=bx的垂线7、垂足为A,且1与另条 0 浙近线、y轴分别交于B,C,若B=AC,则双曲线的 腐心路为 14.如图，在△ABC屮，∠BAC=120°，D,E是线段BC上：的两个点，△MDE为正三0 形，BD=4EC,则an∠ABC=一一- D 一高三数学第2页（共4页)一 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤， 15.(本题13分) 已知抛物线C:x2=2y(D>0)的：点为F,过点F作迫线l与抛物线C交于A,B两 点.O为坐标炽点当直线1⊥y轴时，|AB=4. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积. 16.(本题15分) 己知正项数列{4n}满足4n·an1=4°。 (1)若{a}是第比数列，求{a}的通项公式 (2)若41=1，求数列{an}的前2n项的和. 17.(本题15分) 中央政治周会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用 研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题，某科研院所成立攻关研究小组， 准备攻克…个“卡牌子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研 究三个应用问题.若该攻关研究小组第一阶段内能解决这世个问题中的至少两个，就可以进 入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解辙.假设每个基础问恶，该小组在第 一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第、阶段，每个应州问题，该攻关 研究小纸能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相.三独立). (1)求该攻关研究小组能进入第：阶段研究的概率： (2)在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该政关研究小组解决应用问 题的个数为X，求随机变是X的分布列和期望； (3)第-阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元)启动经费，第二阶段，每解决 一个应用问题，该攻关研究小组能软得5（单位：亿元）费用记该攻关研究小组在这两阶段 获得的总费用和为Y(单位：亿元)，求随机变是Y的期超值， 一高三数学第3页（共4页)一 18.(本题17分) 已知f)=x- --alnx(a>0) (1)讨论f(x)的单调区间： (2)若a>2,求证：f(x)有且仅有三个不同的壁点 19.(本题17分) 如图，球O的半径为4，P2是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且 与P2垂直的平面与球O的球面交于⊙C,A,A,A是⊙C的个内接正六边形 (1)若C是00的中点. 封 AIN ()米大枝锥P一AA2…A的体积： 111 ()求而角A-P4一4的余弦值： Ic (2)设AA的中点为M,求证：tan∠Pg·tan∠MQP 为定值， 线 一高三数学第4页（共4页）一 2026届高三摸底考试参考答案 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 A B B D B 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABC BD BCD 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分 2W5 12.12 13. v 3 14. 5 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤， 15.【解析】(1)当直线1⊥y轴时，AB为抛物线的通径，所以2p=4,解得p=2, 故抛物线C的标准方程为x2=4y, …5分 (2)设点A(x,乃)，B(x2,2),而F(0,1),所以直线1：y=x+1, 联立直线！与抛物线C方程 y=x+1 x2=4y 得到x2-4x-4=0. 故x+x2=4,xx2=-4, …9分 所以x-x2=V+x2)2-4xx2=4W2, 所以△4B0的面积S=Suo+Saw=2XOFX刈X-x =x1x42=2W2. …13分 16.【解析】(1)因为数列(a}是等比数列， 所以a=a9,则a1=a9$,所以ana1=a2g2=4”=22, 2- 所以a,=V2,g=2,则a,=V2x2"-l=22: …6分 (2)因为a1=1,anan1=4”，所以a2=4, 因为a。0l=4,所以a1a2=4,所以02=4， …10分 则S2n=41+a2+a3+a4十…+a2m-1+a2m =(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2m-1+a2m） _50-=4)=34-. …15分 1-43 17.【解析】(1)p=0.53+C×0.52×1-0.5)=0.5: …5分 (2)因为X-B(3,0.4),所以P(X=k)=C$×0.4×(1-0.4)3-*(k=0,1,2,3), 所以随机变量X的分布列为 1 2 P0.2160.432 0.2880.064 其数学期望EX=3×0.4=1.2.…10分 (3)记进入第二阶段前提下，获得费用数为随机变量Z(单位：亿元)，则Z=5X, 所以EZ=5EX=6(单位：亿元). 所以EY=1+(C×0.53+0.5)×EZ+1-C×0.53-0.5)×0=4.…15分 度10四-*空--g. 令f'(x)=0,则x2-ax+1=0,△=a2-4, 当a2-4≤0即0<a≤2时，x2-ax+120,f'(x)20,此时f(x)在(0，+o)单调递增， 无单调递减区间： …4分 当a2-4>0即a>2时，方程2-am+1=0有两根5=0-y公2-4 .a+Va2-4 2 53 2 则0<x<x或x>x时，∫'(x)>0,f(x)单调递增： x<x<x时，(x)<0,f(x)单调递减. 综上所述，当0<a≤2时，f(x)在(0，+o)单调递增，无单调递减区间： 当a>2时，f(x)在(0，x),(x2,+∞)单调递增，在(：，x2)单调递减. …8分 (2)因为x2-ax+1=0(i=1,2),所以a=x+=1,2), 所☒f)=x上-an=五-西+n3 同理fs)=五-。-（出2+）nx …10分 X2 因为x2=1,所以0<x<1<, 设通数g的=士e+中h,周g0)-宁-nx。 当x≥1时，宁-1s0hx20,此时g网s0: 当0<r<1时，子1>0hx<0,此时g的<0. 所以x>0,g'(x)≤0，即g(x)在(0，+o)单调递减，…13分 所以f(x)=g(x)>g)=0,f(x2)=g(x2)<g()=0, 且x→0时，f(x)→-o0:x-→o时，f(x)→0， 所以f(x)在(0，x),(:,x),(:2,+∞)各有一个零点，即f()有且仅有三个不同的零点。 …7分 (2)解法二：因为x2-心+1=0i=1,2),所以a=x+二=1,2)， 所aa6恤4 同理)=士-伤+以n6, …10分 因为xx2=1,所以0<x<1<x2, 所以f0,)=f）=1-x-an上=-f0x）,…1]3分 XX X 由(1)可知，x=x为极大值点，x=x,为极小值点， 所以f(x)>0,f(x2)<0,且x→0时，f(x)→-oo:x→+oo时，f(x)→+o, 所以f(x)在(0，x),(x,x2),(x2,+o)各有一个零点，即f(x)有且仅有三个不同的零点. …17分 19,【解析】(1)因为0到⊙C的距离为2，所以⊙C的半径为√42-22=25， 所以正六边形A,A2A。的边长为2V3, 所以正六边形444的面积为6×5 ×(2V5)2=185, …3分 4 且P到⊙C的距离为6， 所以六棱锥P-A44,的体积为×185x6=36√5】 …5分 (2)以C为原点，AA:为x轴，A,A的中垂线为y轴，P2为z轴建系， 则P(0,0,6),A4(-2W3,0,0) 42(-5,-3,0,4,(5,-3,0), n 所以AP=(2W3,0,6), 4P=(-V5,3,6), A24=(2V3,0,0), …7分 设平面PA2A的一个法向量n,=(x,,z), 元·4P=0→2W3x+62=0 则 元·4P=0→-V5x+3y+621=0 令z=1,得m=(-3,-3,1), 设平面PAA的一个法向量n=(x2,y2,22) 则244=0→25x,=0 z2·4P=0→-V5x2+3y2+622=0 令z2=1,得n2=(0,-2,1), 所以0s<元，>=0+6+1=7N65 …Q…11分 |%|n2|V13V565 (3)由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为， 在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系， M&,),则Ix日MCEC4 Hoc,因为CAP+1OC= 所以x2+y2=16,即+少 =1,又P,2的坐标分别为(0,4)，(0，-4)， 1216 所以an∠MPQ.tan.∠MQP=,x.x= x2_3 .…17分 4+y4-y16-yx24