精品解析：广东番禺中学2026-2027学年高三上学期综合训练试题（二）数学试题

广东番禺中学高三年级综合训练试题（二） 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 是纯虚数 3. 已知角的始边在的非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 6. 已知直线l、m、n与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（ ） A. 这10天的日均值的第75百分位数为60 B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C. 这10天的日均值的中位数为41 D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 10. 已知某曲线方程为，其中a，，a与b可以相等，则下列说法正确的是（ ） A. 该曲线为圆的概率为 B. 该曲线为椭圆的概率为 C. 该曲线为双曲线的概率为 D. 该曲线为抛物线的概率为 11. 已知函数，则（     ） A. 若函数在上不单调，则 B. 当时，若函数至少有个零点，则的取值范围是 C. 当时，若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则 D. 当时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 13. 某设备的使用年数与所支出的维修总费用的统计数据如下表： 使用年数（单位：年） 2 3 4 5 6 维修总费用（单位：万元） 根据上表可得回归直线方程为.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用__________年． 14. 定义：若数轴轴和轴相交于点O，记两条数轴的正方向所成的角，我们就建立了“坐标系”．对于坐标系内任意一点P，过点P作y轴的平行线，与x轴的交点对应的数称为“横坐标”，过点P作x轴的平行线，与y轴的交点对应的数称为“纵坐标”，记作．在“坐标系”中有，、、．则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前项和． 16. 为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 （1）将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关； （2）在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 设椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且，为上的点． （1）求的方程； （2）若在第一象限，，求点的坐标； （3）若，求的面积． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在原点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，证明：当时，． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. （1）证明：. （2）已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东番禺中学高三年级综合训练试题（二） 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，又，则. 2. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 是纯虚数 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，故A错误； 的虚部为，故B错误； ，故C错误； ，故是纯虚数，故D正确. 3. 已知角的始边在的非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为角的始边在的非负半轴，终边经过点，则， 可得，， 所以. 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， ，可以看出AB选项错误； ，故C正确，D错误. 5. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，两式相除得，所以，所以，对应地形为复杂山地. 6. 已知直线l、m、n与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】画出正方体，在正方体中进行判断. 【详解】如图所示的正方体， A选项，平面平面，，平面，但和不平行，所以A选项错误； B选项，平面，，但和平面不平行，所以B选项错误； C选项，，，但和不平行，所以C选项错误； D选项，平面，平面，平面平面，所以D选项正确. 7. 已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据求出点的轨迹方程，再根据圆上总存在点满足该条件，得出两圆的位置关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】设点，已知，且， 所以， 化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点， 所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即， 化简得， 解得. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一根据的单调性得出，然后利用作差法与放缩得到，于是得到. 解法二先利用作差法与放缩得到，再利用作商法比较的大小，最终得到. 【详解】解法一：设， 令，则，即在区间上单调递减，，即在区间上单调递减， ，即，故. 又. 解法二：. 又. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（ ） A. 这10天的日均值的第75百分位数为60 B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C. 这10天的日均值的中位数为41 D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，根据百分位数定义求结论即可判断.选项B判断极差相关选项，分别找出前5天数据的最大值、最小值，后5天数据的最大值、最小值，用最大值减最小值得到对应极差后比较. 选项C判断中位数相关选项，将10个数据从小到大排序后，取第5和第6项的平均值即为中位数，选项D判断方差相关选项，可通过数据波动程度定性比较. 【详解】首先从折线图提取10天的PM2.5日均值，按日期顺序为：30,41,32,34,40,80,78,60,45,48， 将全部数据从小到大排序得：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，逐一判断选项： 选项A：因为，故，不是整数，向上取整得到位置为， 排序后第项为，因此第百分位数为，选项A正确. 选项B：前5天数据为，极差为； 后5天数据为，极差为，显然，B正确. 选项C：10个数据的中位数是第5项和第6项的平均值， 即，C错误. 选项D：前5天数据全部集中在区间，波动程度很小； 后5天数据分布在区间，数值差异大，波动程度远高于前5天， 因此前5天的方差小于后5天的方差，D正确. 10. 已知某曲线方程为，其中a，，a与b可以相等，则下列说法正确的是（ ） A. 该曲线为圆的概率为 B. 该曲线为椭圆的概率为 C. 该曲线为双曲线的概率为 D. 该曲线为抛物线的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】列表确定所有可能曲线的形状，结合古典概型概率公式判断各选项. 【详解】所有可能得曲线方程对应的曲线形状列表如下： b a －1 1 2 －1 双曲线 双曲线 1 双曲线 圆 椭圆 2 双曲线 椭圆 圆 所以该曲线为圆的概率为，A错误， 该曲线为椭圆的概率为，B正确， 该曲线为双曲线的概率为，C正确， 该曲线为抛物线的概率为，D错误， 故选：BC. 11. 已知函数，则（     ） A. 若函数在上不单调，则 B. 当时，若函数至少有个零点，则的取值范围是 C. 当时，若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导后，利用特殊值可判断A选项，通过极大值不小于零、极小值不大于零建立不等式组求参数范围可判断B选项，利用三次函数图象关于对称中心对称的性质，将线段相等转化为对称关系求出根之和即可判断C选项，由判别式非正得函数单调递增，再比较指数与对数的结构，通过构造辅助函数证明指数式不大于幂式，从而得到函数值的大小关系，从而判断D选项. 【详解】对于A项，， 当，时，由或；由. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在上不单调.故A项错误； 对于B项，当时，， 令，解得或，所以函数在和上单调递增， 令，解得，所以函数在上单调递减， 所以时取得极大值，时取得极小值， 若至少有个零点，则极大值，且极小值，所以的取值范围是，故B项正确； 对于C项，由得A点一定是对称中心， 又， 当时，恒成立，即导函数存在变号零点， 所以在R上有一个极大值点和一个极小值点，分别记为，则， 又，， 所以，故C项正确； 对于D项，当时，，， 所以恒成立，即函数在R上单调递增， 令，则， 令，解得，则在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以，即，所以，故D项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据铁球与正四棱台铁锭的体积相等列方程，即可求得铁锭的高. 【详解】依题意，正四棱台形状的铁锭的体积等于铁球的体积， 设正四棱台形状的铁锭的高为，则得， 解得. 13. 某设备的使用年数与所支出的维修总费用的统计数据如下表： 使用年数（单位：年） 2 3 4 5 6 维修总费用（单位：万元） 根据上表可得回归直线方程为.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用__________年． 【答案】9 【解析】 【详解】因， 故代入回归方程可得， 所以线性回归方程为， 当时，解得. 故答案为：． 14. 定义：若数轴轴和轴相交于点O，记两条数轴的正方向所成的角，我们就建立了“坐标系”．对于坐标系内任意一点P，过点P作y轴的平行线，与x轴的交点对应的数称为“横坐标”，过点P作x轴的平行线，与y轴的交点对应的数称为“纵坐标”，记作．在“坐标系”中有，、、．则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设与轴和轴方向相同的单位向量分别为，根据平面向量的基本定理、线性运算及题设定义可得，，进而结合向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】由题意，设与轴和轴方向相同的单位向量分别为，且， 则，，， 所以，， 则， ， ， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公比为 ，由 ，，可得 ，即 ；由数列各项均为正数知 ，解出 ，再由 求首项，代入 即得通项公式. （2）由 及对数运算性质得 ，由 为常数判定 是等差数列；由 ，用分组求和法把 拆成等比数列 与等差数列 的前 项和，分别用求和公式计算. 【小问1详解】 设等比数列 的公比为 ，由 ， 得 ，即 . 所以 . 因为数列各项均为正数，所以 ，故 . 又 ，所以 . 【小问2详解】 由 得 . 因为 ，所以 是首项 、公差 的等差数列. 又 ，故 . 其中 . . 所以 . 16. 为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 （1）将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关； （2）在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关. （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望（或1.2）. 【解析】 【分析】（1）注意和作比较； （2）利用超几何分布进行计算. 【小问1详解】 由题意得：男生体质测试不达标为人，女生合计为人， 女生体质达标为人，体质测试达标合计人，体质测试不达标合计人，列联表如下： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关。 【小问2详解】 体测不达标的男女比例为，所以抽取男生2人，女生3人， 所以抽取2人，女生的人数为，则可能取值为， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 17. 设椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且，为上的点． （1）求的方程； （2）若在第一象限，，求点的坐标； （3）若，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由焦距、离心率求出，写椭圆方程； （2）垂直转向量点积得圆方程，联立椭圆取第一象限解； （3）用椭圆定义得两边长，余弦定理求夹角正弦，代入面积公式计算. 【小问1详解】 由焦距. 离心率 ，所以, 椭圆方程： 【小问2详解】 由已知，，设， 则, 因为，所以， 故. 联立椭圆方程： ,由①得 代入②可得 ， . 在第一象限，，，，. 故. 【小问3详解】 根据椭圆定义可得， 又，设，则. 故， 所以，，又 . 设，由余弦定理在中有， 代入数值可得， ，故. 由同角三角关系得. ，所以. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在原点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，证明：当时，． 【答案】（1）． （2） （3）证明：令，则． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，所以是增函数． 因为，所以在上恒成立， 即当时，在上恒成立． 令，则，所以是增函数． 因为，所以当时，，即． 因为，所以当时，，所以 ， 所以当时，． 【解析】 【分析】（1）求导，代入计算得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）法一：对分和讨论即可；法二：分离参数得．再设新函数，求导得到右边最小值即可； （3）利用导数证明不等式，再合理放缩即可. 【小问1详解】 当时，，， ，，所以曲线在原点处的切线方程为． 【小问2详解】 法一：，若在上单调递增，则在上恒成立． ①当时，在上恒成立．令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取得最小值，最小值为1，所以， ，符合题意； ②当时，令， 则． 因为在上单调递增，，所以当时，， 当时，，在上单调递减，在上单调递增． 要使得在上恒成立， 则，解得，结合，得． 综上，的取值范围为． 法二：．若在上单调递增， 则在上恒成立． 由，得．令，， 则，．令，则． 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，即． 当时，，，， 所以，即； 当时，，，， 所以，即． 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. （1）证明：. （2）已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】（1）因为，是的中点，所以， 因为是正方形，为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求证平面即可； （2）①以为原点建系，计算平面的法向量，再利用距离公式计算； ②设，得出，结合得出，再利用公式求出线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为二面角为，，，所以， 因为，，所以， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，所以， 因为，所以，则， 则点到平面的距离为； ②设， 则， 因为在平面上的射影为，所以， 则，得，则， 设，其中，则， 则， 则， 若，则； 若，则， 因为，所以，则当时，有最大值， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $