上海市某校2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

2025高一上交大附中9月月考经典试题解析 1. 已知二次函数y=x2-2x+3,x∈[a,3]的最小值是2，最大值是6，则a的取值范围 【解析】函数解析式y=x2-2x+3可化为y=(x-1)2+2, 所以当x∈R时，函数y=x2-2x+3在(-o,1)上单调递减，在(1，+o0)上单增， 当x=1时，取最小值，最小值为2， 因为当x∈「a,3引时，函数v=x2-2x+3的最小值是2，最大值是6 且x=3时，y=6, 所以a≤1，且x=a时，y≤6， 即a≤1，且(a-12+2≤6， 所以-1≤a≤1，所以a的取值范围为仁1，小 2. 如图，在R△ABC中，∠C=90,AC=20,BC=24,分别以点4，B为圆心，大于)AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长 是 P 【解析】连结AD, 由题意可知PQ垂直平分AB,则AD=DB, 殳AD=DB=x,则CD=24-x, D 所以Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2, 即20+(24-x=2,得x=6 新以CD=24-61-1山 3=3 3. 菱形ABCD的面积为24，点E是AB中点，F是BC上动点，若△BEF的面积为4， 则图中阴影部分的面积为 【解析】延长DE,CB交于点G,连接BD, 由已知AD∥BG, 1 所以∠EBG=∠EAD,∠EGB=∠EDA, 因为点E是AB中点，所以EB=EA 所以△ADE≌△BGE, 所以ED=EG, 所以SED=SEG: 因为点E是AB中点， 1 所以SE)SSm 又菱形ABCD的面积为24， 所以SADE=6, 所以SE=6,又△BEF的面积为4， 所以△FEG的面积S,m=S,FEG=SEr+SGE=4+6=10 4. 若关于x的分式方程-=2的解为负数，则k的取值范围为 x+1 【解析】对于方程一 =2,有x+1≠0，可得x≠-1， x+1 k-1 k-3 由 =2可得x= x+1 2 因为关于x的分式方程 =2的解为负数， x+1 k-3 <0 则 2 ,解得k<3且k≠1. k-3 ≠-1 2 5.如图，点A是反比例函数y=-(x<0)图像上一点，连结A0,过0作0A的 垂线与反比例函数y=8(x>0)的图像交于点B,则AO 【解析】设A(,-月，B(2)x1<0,2>0, A 由A,B两点分别做x轴的垂线，垂足分别为E,F, 且E(x,0),F(x2,0). 因为AO⊥BO,所以∠AOE=∠OBF,∠OAE=∠BOF, 所以△AOE∽△OBF, 4 所以 OF BF 可得五=5，即=32，所以x:=4巨 8 X2 4 所以AO AE 1-五-4=1=2 BO OF 6.已知x1,x2为方程x2+4x+2=0的两实根，则x13+14x2+5=, x+x2=-4 【解析】由题得 x2+4x+2=01 所以x=-4x1-2,所以x=-4x-2x三-4(-4x-2)-2x=14x+8, 所以x+14x2+5=14x+8+14x2+5=14(x+x2)+13=14×(-4)+13=-43 7. 如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为B,将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O,的 位置，使点B的对应点B,落在直线y=一 x上，再将△AB,O,绕点B1逆时针旋转到 3 △A1B,0,的位置，使点O,的对应点O,也落在直线y=一3：上，以此进行下去…若点B 的坐标为(0,3)，则点B21的纵坐标为 解： 将y=3代入y=-子x可得x=-4,故4(-4,3)， 由勾股定理可得OA=5,进而可得 A3 OO,=OA+AB1+BO2=5+4+3=12 A 根据题意可知，三角形△ABO经过三次旋转后， B2nO2nn∈N)与y轴平行， 0 B 由于004=2002=12×2， 006=3002=12×3,…,00100=12×50=600, 由于直线方程为y=一x,故 tanL02n0B=8=青，simL02n0B=%-号，cosL0n0B=- 故600×号=360,600×号=480，因此 0100(-480,360),故B100(-480,363) 3 8。 非空数集ASR,同时满足如下两个性质：（1) 若a,b∈A,则ab∈A; (2)若aEA,则分eA.则称A为一个“封闭集. 以下说法 ①若A为一个“封闭集”，则1EA; ②若A为一个“封闭集”且a,bEA,则号EA; ③若A,B都是“封闭集”，则4∩B是“封闭集”的充 要条件是ASB或BSA; ④若A,B都是“封闭集”，则AUB是“封闭集”的充 要条件是ASB或BSA· 正确的是（)· A.①③④ B.①②③④ C.①②③ D.①②④ 【解析】对于①，因为A为一个“封闭集，由定义可知a∈A则上∈A,那么ax上=1∈A a a 正确： 对于②，因为A为一个封闭集，a,b∈A,所以∈A,所以日∈A,正确： 6 b 对于③， A=兮1,2，B=写l,3,AnB=都是封闭集，显然A∈B或BcA不成 立，错误 对于④，充分性：A,B都是“封闭集”，若A三B或B三A,易知AUB是“封闭集”， 必要性：若AUB是“封闭集”，令AUB=C, 假设A文B且B位A. 则存在a∈A,a廷B,b∈B,b生A,同时a∈C,b∈C, 因为AUB=C是“封闭集”， 1 所以ab∈C,,∈C,分两类情况讨论 ab 专ab∈A,又a∈A,则L∈A所以abx1=b∈A, a a 这与假设矛盾！ .1 皆abEA,又beB,则∈B,所以ab×=aeB 这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论AUB是封闭集”则A二B或B二A.必要性成立，故正确： 故选D. 9。 (1)记集合A={xx=a2,a∈N,集合B={xx=4k或x=4k+1,k∈N},证明：AcB: 4 (2)证明：形如：(neN且n≥2)，不能 表示成两个自然数的平方和， 【解柝】)因为deN,则有： 若a+2L,t∈N,则x=a=412∈B; a=21+1,1∈N,则x=a2=(2t+l)2=4t2+1+1∈B: 宗上所述：对任意a∈N,均与x=a∈B, 斤以ACB: (2)对于111…11(n∈N且n≥2)，显然111…11是奇数， n个1 n个1 假设111能表示成两个自然数的平方和，即11…1=p2+q2,p,q∈N, n个1 n个1 可知P,q的奇偶性相反，不妨设p为偶数，q为奇数， 由(1)可知：p2=4k,92=4k2+1,k,k2∈N, 即11111=4k+4k2+1=4(k+k2)+1,可得111…11-1=4(k+k2), n个1 m个 因为111…11=10"-+10-2+…+10+1， n个1 则111…11-1=10-+10”-2+…+10，即10”-+10”-2+…+10 n个1 =4(k1+k2), 可知10”-+10”-2+…+10为4的倍数， 对于10m,m∈N可知： 若m=1,则10不为4的倍数： 若m≥2，则10m为4的倍数 所以10-+10”-2+…+10不为4的倍数， 10.已知m:x∈A,A=[-3,2];n:x∈B,非空集合B={xlx2+2x+a≤0} 5 (1)求实数a的取值范围； (2)若m是m的充分条件，求实数a的取值范围； (3)若m是m的必要条件，a的取值范围， 【解析】(1)因为集合B≠☑，所以△=22-4a≥0三a≤1 (2)因为m是n的充分条件，所以A二B, a≤1 a≤1 所以{(-3)2+2x(-3)+a≤0，所以{a≤-3→a≤-8. 22+2×2+a≤0 a≤-8 (3)因为m是n的必要条件，所以BcA, a≤1 a≤1 -3≤-1≤2 所以 （)+2x(-3)+a≥0所以0≥-3→-3sa≤1. a≥-8 22+2×2+a20 11. 函数y=x2-2x-3的图像与x轴交于A(a,0),B(-l,0),与y轴交于点C(0,c). (1)求a,c的值： (2)已知M是函数y=x2-2x-3图像对称轴l上的一点，若△MAC为等腰三角形，求出 所有满足条件的M的坐标： (3)已知F是函数y=x2-2x-3上一点，若△BCF是直角三角形，求出所有满足条件的 点F的坐标. 【解析】(1)在=x2-2x-3中，令y=0得x=-1或x=3,故A(3,0): 令x±0得y=-3,故((0-31，所以a=3,c=-3. (2)设对称轴x=1与x轴交于点Q,设M(1,t), 作MN⊥y轴于N,连接MC,MA, 则AC=VOA2+0C2=3√5， MC=VMN2+NC2=2+(U+3)2, AM=MO+0=+2, 6 若△MAC为等腰三角形，分以下三种情况： ①若4C=MC,则V2+1+3=32,解得1=-3±17，故M,-3±7)： ②若AC=AM,则VP+22=3√2，解得1=士V4,故M,±4)： ③若AM=MC,则VP+2=VP++3,解得1=-1，故M(L,-): 故若△MAC为等腰三角形，则M,-3±7)或M,±W14)或M(1,-). (3)设F(x,x2-2x-3),有三种情况： ①当∠FCB=90°时，如下图： B 过F作FD⊥x轴，垂足为D,则∠FDC=∠BOC=90°， .∠OBC+∠BCO=90, .∠ACF+∠BCO=90, VA .∠DCF=∠OBC,∴△BOCACDF, 0=GD,-2x-3_ OC OB' 1 3 10 解得：= 35-1 E (不合题意，舍去)： r9》 ②当∠FBC=90°时，如下图， 过F作EF⊥y轴，垂足为E,则∠BOC=∠BEF=90°， ∠EFB+∠EBF=90°，∠CBO+∠EBF=90°， ∠CBO=∠EFB,△BOCAFEB, EF BE OB OC .x_（x2-2x-3)-(-3) 720 解得：=写西=0不合题意，舍去，六F3) ③当∠BFC=90°时：则F在以BC为直径的圆上，如下图，过B作BG⊥BC交抛物线于 G, 所以点F在BG上方，由②得G 720 3-9 BC=(-32+(-2=√10， 7 BG= g9}-o 由此可得：对称轴右侧，BG上方抛物线上的点一定在圆外， ,点F在圆上，∴F不在抛物线上 (720(1013 综上所述：点F的坐标分别是 39或39. 【附加题】 对集合1,2，…，}及其每一个非空子集A,定义一个唯一确定的“交替和”如下：将A中 的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如 子集1,2,4,6,9}的“交替和”是9-6+4-2+1=6，子集{5,6}的“交替和”是6-5=1，子 集{2}的交替和是2：定义一个唯一确定的“交替积”如下：将A中的元素按照递减的次序排 列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合1,2,4,6,9的“交 替积”是9÷6×4÷2×1=3，{5,6}的“交替积”是6÷5=12，{2}的“交替积”是2. (1)对于1,2,3,4,5,67,8,9}，求其所有子集的“交替和”的总和： (2)对于{1,2，…，}，求其所有子集的“交替和的总和： 495 (3)对于{n ∈N,n∈Z〉求其所有子集的“交替积”的总和. n+2 【解析】(1)集合1,2,3,4,5,6,7,8,9的子集中，除去{9}外还有29-2个非空子集， 把这2°-2个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设A={9,a,a,…},A={a,a,},集合4的元素为集合A中去掉9的所 有元素，把A和4结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为9共有”之组，所以 所有“交替和之和应该为92°-2 +9=2304. 2 (2)集合1,2，…，n}的子集中，除去{}外还有2”-2个非空子集， 把这2”-2个非空子集两两组合后分别计算每一组中交替和”之和， 组合原则是设A,={n,4,42,…},A={4,4,}，集合A的元素为集合A中去掉n的所 有元素，把A和A结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为n, 传有2”-2组，所以 所有“交替和”之和为2”-2+n=n·2n-1 2 (3)集合meN,neZ}={493,163,97,53,43,31,139,7,31,-1, 8 其中除去{-1}外还有212-2个非空子集， 把这212一2个非空子集两辆组合后分别计算每一组中“交替和”之积， 组合原则是设A={-1,a,4,…},A={a,a2,},集合的元素为集合A,中去掉-1的 所有元素，把A和4结合为一组，显然，每组的交替积的和为0，共有2-2组，所以， 2 所有交替积之和应该为2-2×0-1=-1. 2 92025高一上交大附中9月月考试题 1.三知二次函数y=x2-2x+3,x∈[a,3]的最小值是2，最大值是6，则a的取值范围 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=20,BC=24,分别以点A,B为圆心，大于三AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长 是一 3。菱形ABCD的面积为24，点E是AB中点，F是BC上动点，若△BEF的面积为4， 则图中阴影部分的面积为 4.若关于x的分式方程-一！=2的解为负数，则k的取值范围为 x+1 5.如图，点A是反比例函数y=一(x<0)图像上一点，连结A0,过0作0A的 垂线与反比例函数y=(x>0)的图像交于点B,则a0= BOI 6.已知x1,x2为方程x2+4x+2=0的两实根，则x13+14x2十5=一 1 7。如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为B,将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB,O1的 位置，使点B的对应点B,落在直线y=-}:上，再将△AB,O,绕点B,逆时针旋转到 △A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y=-3:上，以此进行下去…若点B 的坐标为(0,3)，则点B21的纵坐标为 y A3 03 0BA2 B A、 B 8。非空数集ASR,同时满足如下两个性质：（1) A 若a,bEA,则abEA; (2)若aEA,则片eA.则称A为一个“封闭集. 以下说法 ①若A为一个“封闭集”，则1EA; ②若A为一个“封闭集”且a,bEA,则号EA; ③若A,B都是“封闭集”，则A∩B是“封闭集”的充 要条件是ACB或BSA; ④若A,B都是“封闭集”，则AUB是“封闭集”的充 要条件是ACB或BSA, 正确的是（)， A.①③④ B.①②③④ C.①②③ D.①②④ 9。(1)记集合A={xx=a,a∈N,集合B={xx=4k或x=4k+l,k∈N},证明：AcB: (2)证明：形如山，(meN且n≥2)，不能 个1 表示成两个自然数的平方和！ 2 10。已知m:x∈A,A=[-3,2]:n:xEB,非空集合B={x|x2+2x+a≤0} (1)求实数a的取值范围； (2)若m是m的充分条件，求实数α的取值范围； (3)若m是n的必要条件，a的取值范围。 3 11。函数y=x2-2x-3的图像与x轴交于A(a,0),B(-1,0),与y轴交于点C(0,c) (1)求a,C的值： (2)已知M是函数y=x2-2x-3图像对称轴l上的点，若△MAC为等腰三角形，求出 所有满足条件的M的坐标： (3)已知F是函数v=x2-2x-3上一点，若△BCF是直角三角形，求出所有满足条件的 点F的坐标. B 4 【附加题】 对集合1,2，·，}及其每一个非空子集A,定义一个唯一确定的“交替和”如下：将A中 的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如 子集1,2,4,6,9}的交替和”是9-6+4-2+1=6，子集{5,6}的“交替和”是6-5=1，子 集{2}的校替和是2：定义一个唯一确定的“交替积如下：将A中的元素按照递减的次序排 列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合{1,2,4,6,9}的“交 替积”是9÷6×4÷2×1=3，{5,6的“交替积”是6÷5=12，{2}的“交替积”是2. (1)对于{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，求其所有子集的“交替和的总和： (2)对于1,2，…，n},求其所有子集的交替和”的总和： 495 (3)对于n ∈N,n∈Z 求其所有子集的“交替积”的总和 n+2 5