10.1平方根和立方根 同步课堂2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

本讲义聚焦平方根与立方根的核心概念，构建从定义理解到性质掌握、再到实际应用的完整学习路径，前后知识点环环相扣，如平方根的双重性与算术平方根的非负性形成对比，立方根的唯一性与平方根的多解性形成区分，为后续实数运算和函数学习奠定坚实基础。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养。例如题型12通过甲乙丙三人对根式符号的讨论，引导学生用数学思维辨析符号含义，强化推理意识；题型4利用射击速度公式将物理情境转化为算术平方根问题，展现数学语言表达现实世界的能力；课后举一反三训练紧扣易错点，如佳佳解题过程错误分析，培养质疑精神与严谨逻辑，既助力课堂高效推进，又便于学生课后查漏补缺，巩固知识结构。

10.1平方根和立方根 讲解目录 【知识点1】计算器—数的开方 1 【知识点2】平方根 2 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 2 【知识点4】立方根 3 【知识点5】算术平方根 3 【题型1】平方根的性质 4 【题型2】算术平方根的非负性 5 【题型3】平方根的定义 5 【题型4】算术平方根的应用 5 【题型5】立方根的实际应用 6 【题型6】立方根的定义与性质 6 【题型7】利用平方根求未知数的值 7 【题型8】利用计算器开立方 7 【题型9】利用立方根求未知数的值 8 【题型10】算术平方根有意义的条件 8 【题型11】利用计算器开平方 9 【题型12】立方根与平方根的综合 10 【题型13】算术平方根的定义 11 知识讲解 【知识点1】计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 1.（2024秋•龙口市期末）用如图所示的计算器求的值，以下按键顺序不能求出正确结果的是（　　） A． B． C． D． 【知识点2】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春•临湘市期末）“的平方根是”，用式子表示就是（　　） A． B． C． D． 2.（2025•陇南模拟）64的平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 1.（2024春•武城县校级期中）若m,n满足+|n-1|=0，则（m+n）2的平方根为（　　） A．4 B．±4 C．8 D．±8 2.（2025春•河北区期中）已知非零实数a,b满足，则a+b等于（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 【知识点4】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春•前郭县期末）64的立方根是（　　） A．4 B．2 C．8 D．-4 2.（2025春•兴和县校级月考）下列说法正确的是（　　） A．立方根等于本身的数只有1 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3 【知识点5】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1.（2025春•三河市校级月考）下列说法错误的有（　　） ①的平方根是±4；②是2的算术平方根；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2.（2025春•婺源县期中）一个数的算术平方根是m,则比这个数大2025的数的算术平方根是（　　） A．m2+2025 B． C． D． 题型专练 【题型1】平方根的性质 【典型例题】若2m-4与3m-1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（　 　） A.-3 B.1 C.-3或1 D.-1 【举一反三1】已知3x-8与-x+4是一个正数的平方根，则x等于（　 　） A.3 B.2 C.1或9 D.2或3 【举一反三2】已知一个正数的平方根是3x+2和5x+14，则这个数是____________． 【举一反三3】设一个正数的两个平方根是a-1和a+3，则这个正数为____________． 【举一反三4】已知a-1和5-2a都是非负数m的平方根，求m的值． 佳佳的解题过程如下： 解：∵a-1和5-2a都是非负数m的平方根， ∴a-1+5-2a=0， 解得a=4， ∴a-1=3， ∴m的值为9． 请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由． 【举一反三5】一个数的平方根a,b满足3a-2b=5，求这个数． 【题型2】算术平方根的非负性 【典型例题】若=3.5-x,则x的值不能是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【举一反三1】已知，那么的值为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如果，那么        ． 【举一反三3】已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长． 【举一反三4】已知实数a、b满足，c为最大的负整数． (1)求a、b、c的值： (2)求的平方根． 【题型3】平方根的定义 【典型例题】9的平方根是（　 　） A.3 B.-3 C.±3 D.± 【举一反三1】已知a的平方根是±3，则a的值是（　 　） A.±3 B.3 C.±9 D.9 【举一反三2】已知2x-1的平方根是±6，2x+y-1的平方根是±5，2x-3y+4的平方根是____________． 【举一反三3】如果一个数的平方根是±a（a≥0），则下一个自然数的平方根为____________． 【举一反三4】已知2x-y的平方根为±3，-4是3x+y的平方根，求x-y的平方根． 【题型4】算术平方根的应用 【典型例题】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，l＝0.81 m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（　　） A.9×102 m/s B.0.9×103 m/s C.8×102 m/s D.0.8×103 m/s 【举一反三1】甲、乙两个圆，甲圆的面积是12.56 cm2，乙圆的周长是62.8 cm，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A.1：5 B.1：4 C.2：5 【举一反三2】据研究，高空地物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=（不考虑风速的影响）．从40 m高空地物到落地的时间为_________s．（结果保留根号） 【举一反三3】已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为108 cm2，求这个长方形的周长． 【举一反三4】已知自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是h＝4.9t2，现有一物体从78.4 m的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间． 【题型5】立方根的实际应用 【典型例题】一个正方体的体积是5 m3，则这个正方体的棱长是（　　） A.m B. m C.25 m D.125 m 【举一反三1】一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（　　） A.±4 B.4 C.±2 D.2 【举一反三2】一个立方体的体积是4，则它的棱长是 _________． 【举一反三3】一个边长为a的正方形的面积为，一个棱长为b的立方体的体积为，则_____________． 【举一反三4】将一块体积为0.125 cm3的立方体铝块改铸成8个同样大小的立方体小铝块，求每个小立方体铝块的表面积． 【题型6】立方根的定义与性质 【典型例题】﹣a2的立方根的值一定为（　　） A.非正数 B.负数 C.正数 D.非负数 【举一反三1】若a，则a的值不可能是（　　） A.﹣1 B.0 C.1 D.3 【举一反三2】27的立方根是 　　　　　． 【举一反三3】求下列各式的值： （1）； （2）． 【题型7】利用平方根求未知数的值 【典型例题】若x2-9=0，则x的值为（　　） A.3 B.-3 C.±3 D.81 【举一反三1】若x2=4，则x的值为（　　） A.16 B.2 C.-2 D.2或-2 【举一反三2】若（x-3）2=121，则x的值为____________． 【举一反三3】若x2=121，则x=____________． 【举一反三4】求下列各式中的x： （1）4x2=1； （2）（x-1）2-27=0． 【题型8】利用计算器开立方 【典型例题】用计算器计算约为（　　） A.3.049 B.3.050 C.3.051 D.3.052 【举一反三1】用我们数学课本上采用的科学计算器计算下列式子，其按键顺序正确的是（　　） A.求按键： B.求按键： C.求1按键： D.求π按键： 【举一反三2】用计算器求的按键顺序为 _________． 【举一反三3】用计算器求得0.6993，1.5066，3.2460，则_________，_________，_________． 【举一反三4】利用计算器计算： _________， _________， _________， _________， _________， （1）根据上述结果，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，直接填空： 若a，则_________，_________，_________，_________． 【题型9】利用立方根求未知数的值 【典型例题】已知a是最大的负整数，b是8的立方根，则代数式b-a的值为（　　） A.-3 B.-1 C.1 D.3 【举一反三1】若a3＝1，则a的值为（　　） A.﹣1 B.1 C.±1 D.0 【举一反三2】若（5x﹣3）3，则x的值为（　　） A.4 B.1 C.±1 D.﹣4 【举一反三3】若，则x＝____________． 【举一反三4】解方程：（2x﹣1）3＝﹣8． 【举一反三5】解方程：． 【题型10】算术平方根有意义的条件 【典型例题】已知y=+x-2，则的值为（　　） A.5 B.3 C.﹣3 D.﹣5 【举一反三1】已知=3，则的值为（　　） A. B. C.12 D.18 【举一反三2】要使-有意义，a的值为 　    　． 【举一反三3】若x，y满足， (1)求x，y的值； (2)求的值． 【举一反三4】若，满足，求的平方根． 【题型11】利用计算器开平方 【典型例题】利用教材中的计算器依次按键如下： 则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　） A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9 【举一反三1】在计算器上按键显示的结果是（　　） A.﹣3 B.3 C.17 D.33 【举一反三2】用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（　　） A.6 B.8 C.16 D.48 【举一反三3】若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为 _________． 【举一反三4】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： （1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向 _________移动 _________位； （2）运用你发现的规律，探究下列问题： ①若1.910，6.042，则_________； ②已知x2≈0.000365，则x≈_________． 【举一反三5】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： （1）分析发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大 _________倍； （2）若一块长方形纸片的面积是400 cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到0.1，1.414，1.732）． 【举一反三6】用计算器计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________. 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： __________. 【题型12】立方根与平方根的综合 【典型例题】甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当a＞0时，；乙：a＜0时，；丙：当a＞0时，，则下列说法正确的是（　　） A.只有甲、乙正确 B.只有甲、丙正确 C.甲、乙、丙都正确 D.甲、乙、丙都不正确 【举一反三1】下列说法中正确的是（　　） A.4的平方根是2 B.平方根是它本身的数只有0 C.﹣8没有立方根 D.立方根是它本身的数只有0和1 【举一反三2】若一个正数x的平方根是和，则的值为 　  　． 【举一反三3】已知一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14，则这个数的立方根　   　． 【举一反三4】如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n是﹣1的立方根． （1）求m和n的值． （2）求m﹣11n的算术平方根． 【举一反三5】已知2m﹣1的算术平方根是3，3m+n+4的立方根是2． （1）求m，n的值； （2）求m﹣n的平方根． 【题型13】算术平方根的定义 【典型例题】若一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15，则的算术平方根是（　　） A.4 B.±4 C.2 D.±2 【举一反三1】下列选项中是4的算术平方根是（　　） A.±4 B.±2 C.4 D.2 【举一反三2】81的算术平方根为（　　） A.±3 B.3 C.±9 D.9 【举一反三3】的算术平方根是____________． 【举一反三4】已知是二元一次方程组的解，则2m-n的算术平方根为____________． 【举一反三5】已知2a+b的平方根是±3，5a+2b的算术平方根是4，求3a+b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1平方根和立方根 讲解目录 【知识点1】计算器—数的开方 1 【知识点2】平方根 2 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 3 【知识点4】立方根 4 【知识点5】算术平方根 5 【题型1】平方根的性质 6 【题型2】算术平方根的非负性 8 【题型3】平方根的定义 10 【题型4】算术平方根的应用 11 【题型5】立方根的实际应用 13 【题型6】立方根的定义与性质 14 【题型7】利用平方根求未知数的值 15 【题型8】利用计算器开立方 16 【题型9】利用立方根求未知数的值 18 【题型10】算术平方根有意义的条件 20 【题型11】利用计算器开平方 21 【题型12】立方根与平方根的综合 24 【题型13】算术平方根的定义 26 知识讲解 【知识点1】计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 1.（2024秋•龙口市期末）用如图所示的计算器求的值，以下按键顺序不能求出正确结果的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算器的运算方法和开方注意判定各项即可． 【解答】A选项先按，再输入2，再输入，最后按=，可以求出结果． B选项先按，再输入2，再按÷，最后按7和=，计算的是，不能求出结果． C选项先按，再按（，再输入2，再输入，最后按）和=，可以求出结果． D选项先按√，再按（，再输入2，再按÷，最后按7和）和=，可以求出结果． 故选：B． 【知识点2】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春•临湘市期末）“的平方根是”，用式子表示就是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据平方根的定义和性质解答即可． 【解答】解：±=±． 故选：B． 2.（2025•陇南模拟）64的平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±8 D．8 【答案】C 【分析】±8的平方都等于64，可得64的平方根是±8． 【解答】解：∵±8的平方都等于64； ∴64的平方根是±8． 故选：C． 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 1.（2024春•武城县校级期中）若m,n满足+|n-1|=0，则（m+n）2的平方根为（　　） A．4 B．±4 C．8 D．±8 【答案】B 【分析】根据非负数的性质求出m、n的值，然后根据平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵+|n-1|=0， 又∵，|n-1|≥0， ∴m-3=0，n-1=0， ∴m=3，n=1， ∴（m+n）2=（3+1）2=16， ∵16的平方根是±4， ∴（m+n）2的平方根为±4， 故选：B． 2.（2025春•河北区期中）已知非零实数a,b满足，则a+b等于（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得到a≥3，根据非负数的性质分别求出a、b,根据有理数的加法法则计算，得到答案． 【解答】解：由题意得，a-3≥0， 解得，a≥3， 则a-2+|b+1|+=a-2， 整理得，|b+1|+=0， 则b+1=0，a-3=0， 解得，b=-1，a=3， 则a+b=2， 故选：D． 【知识点4】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春•前郭县期末）64的立方根是（　　） A．4 B．2 C．8 D．-4 【答案】A 【分析】如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根．依据立方根的定义进行判断即可． 【解答】解：∵43=64， ∴64的立方根是4，即=4， 故选：A． 2.（2025春•兴和县校级月考）下列说法正确的是（　　） A．立方根等于本身的数只有1 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3 【答案】B 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义分别计算判断即可． 【解答】解：A、立方根等于本身的数有±1和0，原说法错误，故此选项不符合题意； B、负数没有平方根，但有立方根，正确，故此选项符合题意； C、25的平方根为±5，原说法错误，故此选项不符合题意； D、27的立方根为3，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【知识点5】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1.（2025春•三河市校级月考）下列说法错误的有（　　） ①的平方根是±4；②是2的算术平方根；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根的定义分别计算判断即可． 【解答】解：①=4，4的平方根是±2，原计算错误； ②是2的算术平方根，正确； ③，原计算错误； ④=|a|，原计算错误． 故选：C． 2.（2025春•婺源县期中）一个数的算术平方根是m,则比这个数大2025的数的算术平方根是（　　） A．m2+2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据算术平方根的定义得出这个数为m2，继而可得答案． 【解答】解：∵一个数的算术平方根是m, ∴这个数为m2， ∴比这个数大2025的数的算术平方根是， 故选：D． 题型专练 【题型1】平方根的性质 【典型例题】若2m-4与3m-1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（　 　） A.-3 B.1 C.-3或1 D.-1 【答案】B 【解析】∵2m-4与3m-1是同一个数两个不同的平方根， ∴（2m-4）+（3m-1）=0， 解得：m=1． 故选：B． 【举一反三1】已知3x-8与-x+4是一个正数的平方根，则x等于（　 　） A.3 B.2 C.1或9 D.2或3 【答案】D 【解析】由题意得：当两数互为相反数时，3x-8-x+4=0， 解得：x=2， 当两数相等时，3x-8=-x+4， 解得：x=3， 故选D． 【举一反三2】已知一个正数的平方根是3x+2和5x+14，则这个数是____________． 【答案】16． 【解析】根据题意得：3x+2+5x+14=0， 解得：x=-2， 所以3x+2=-4，5x+14=4， 则这个数是16． 故答案为：16． 【举一反三3】设一个正数的两个平方根是a-1和a+3，则这个正数为____________． 【答案】4． 【解析】∵一个正数的两个平方根是a-1和a+3， ∴a-1+a+3=0， 解得：a=-1， ∴a-1=-2，a+3=2， ∵（-2）2=4，22=4， ∴这个正数为4． 故答案为：4． 【举一反三4】已知a-1和5-2a都是非负数m的平方根，求m的值． 佳佳的解题过程如下： 解：∵a-1和5-2a都是非负数m的平方根， ∴a-1+5-2a=0， 解得a=4， ∴a-1=3， ∴m的值为9． 请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由． 【答案】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下： ∵a-1和5-2a是非负数m的平方根， ∴当a-1+5-2a=0时， 解得：a=4， ∴a-1=3， ∴m的值为：9， 当a-1=5-2a, 解得：a=2， 故m的值为：1， 综上所述：m的值为：1或9． 【举一反三5】一个数的平方根a,b满足3a-2b=5，求这个数． 【答案】解：根据题意得：， 解得：a=1，b=-1， 则这个数为1． 【题型2】算术平方根的非负性 【典型例题】若=3.5-x,则x的值不能是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】若=3.5-x, 则3.5-x≥0， 解得x≤3.5， ∴x的值不能是4， 故选：A． 【举一反三1】已知，那么的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 【举一反三2】如果，那么        ． 【答案】3 【解析】由题意得：，，， 得，，， 则， 故答案为：3． 【举一反三3】已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长． 【答案】解：，满足， ，， 解得，， ，， ， 又是奇数， ， 的周长为． 【举一反三4】已知实数a、b满足，c为最大的负整数． (1)求a、b、c的值： (2)求的平方根． 【答案】解：（1）由题意得，， 又∵， ∴， 解得：，， ∵c为最大的负整数， ∴． （2）将，，代入得， ， 所以的平方根为． 【题型3】平方根的定义 【典型例题】9的平方根是（　 　） A.3 B.-3 C.±3 D.± 【答案】C 【解析】∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3，即±=±3． 故选C． 【举一反三1】已知a的平方根是±3，则a的值是（　 　） A.±3 B.3 C.±9 D.9 【答案】D 【解析】∵±=±3， ∴a=9． 故选D． 【举一反三2】已知2x-1的平方根是±6，2x+y-1的平方根是±5，2x-3y+4的平方根是____________． 【答案】± 【解析】∵2x-1的平方根是±6，2x+y-1的平方根是±5， ∴2x-1=36，2x+y-1=25， ∴x=，y=-11， ∴2x-3y+4=74， ∴2x-3y+4的平方根是±， 故答案为±． 【举一反三3】如果一个数的平方根是±a（a≥0），则下一个自然数的平方根为____________． 【答案】±． 【解析】一个数的平方根是±a, ∴这个数是a2． ∴下一个自然数是a2+1． ∴下一个自然数的平方根是±． 故答案为±． 【举一反三4】已知2x-y的平方根为±3，-4是3x+y的平方根，求x-y的平方根． 【答案】解：由题意得：2x-y=9，3x+y=16， 解得：x=5，y=1， ∴x-y=4， ∴x-y的平方根为±=±2． 【题型4】算术平方根的应用 【典型例题】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，l＝0.81 m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（　　） A.9×102 m/s B.0.9×103 m/s C.8×102 m/s D.0.8×103 m/s 【答案】A 【解析】根据题意可得： v＝＝＝＝900＝9×102（m/s）． 故选：A． 【举一反三1】甲、乙两个圆，甲圆的面积是12.56 cm2，乙圆的周长是62.8 cm，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A.1：5 B.1：4 C.2：5 【答案】A 【解析】由题意得， 解得：r甲＝2， 2×3.14×r乙＝62.8， 解得：r乙＝10， 所以2：10＝1：5， 故选：A． 【举一反三2】据研究，高空地物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=（不考虑风速的影响）．从40 m高空地物到落地的时间为_________s．（结果保留根号） 【答案】 【解析】当h＝40时， t， 故答案为：． 【举一反三3】已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为108 cm2，求这个长方形的周长． 【答案】解：设长方形的宽为x cm，则长为3x cm， 由题得：3x•x＝108， ∴x2＝36， ∴x＝6， 2×（18+6）＝48（cm）， ∴这个长方形的周长为48 cm． 【举一反三4】已知自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是h＝4.9t2，现有一物体从78.4 m的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间． 【答案】解：由题意可得4.9t2＝78.4， 即t2＝16， ∵t＞0， ∴t＝4， 即它到达地面需要的时间为4 s． 【题型5】立方根的实际应用 【典型例题】一个正方体的体积是5 m3，则这个正方体的棱长是（　　） A.m B. m C.25 m D.125 m 【答案】B 【解析】设这个正方体的棱长为a m，由题意得，a3＝5， ∴a（m）， 故选：B． 【举一反三1】一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（　　） A.±4 B.4 C.±2 D.2 【答案】D 【解析】棱长4，4的算术平方根为2． 故选：D． 【举一反三2】一个立方体的体积是4，则它的棱长是 _________． 【答案】 【解析】设立方体的棱长为a， 则a3＝4， ∴a， 故答案为：． 【举一反三3】一个边长为a的正方形的面积为，一个棱长为b的立方体的体积为，则_____________． 【答案】 【解析】一个边长为a的正方形的面积为，一个棱长为b的立方体的体积为， ∴a，b， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】将一块体积为0.125 cm3的立方体铝块改铸成8个同样大小的立方体小铝块，求每个小立方体铝块的表面积． 【答案】解：设小立方体的棱长是x cm， 则8x3＝0.125， 解得：x， 则每个小立方体铝块的表面积是6×（）2（cm2）， 答：每个小立方体铝块的表面积是cm2． 【题型6】立方根的定义与性质 【典型例题】﹣a2的立方根的值一定为（　　） A.非正数 B.负数 C.正数 D.非负数 【答案】A 【解析】﹣a2的立方根的值一定为非正数， 故选：A． 【举一反三1】若a，则a的值不可能是（　　） A.﹣1 B.0 C.1 D.3 【答案】D 【解析】因为a， 所以a＝0，﹣1，1， 即a的值不可能是3． 故选：D． 【举一反三2】27的立方根是 　　　　　． 【答案】3 【解析】27的立方根是3， 故答案为：3． 【举一反三3】求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】解：（1）∵（-1）3=-1， ∴-1的立方根是-1， 即； （2）∵（0.3）3=0.027， ∴0.027的立方根是0.3， 即． 【题型7】利用平方根求未知数的值 【典型例题】若x2-9=0，则x的值为（　　） A.3 B.-3 C.±3 D.81 【答案】C 【解析】x2-9=0， x2=9， x=±3， 故选：C． 【举一反三1】若x2=4，则x的值为（　　） A.16 B.2 C.-2 D.2或-2 【答案】D 【解析】∵（±2）2=4， ∴x=2或-2， 故选：D． 【举一反三2】若（x-3）2=121，则x的值为____________． 【答案】14或-8． 【解析】∵（x-3）2=121， ∴x-3=±11． ∴x=14或x=-8． 故答案为：14或-8． 【举一反三3】若x2=121，则x=____________． 【答案】±11． 【解析】∵（±11）2=121， ∴x=±11， 故答案为：±11． 【举一反三4】求下列各式中的x： （1）4x2=1； （2）（x-1）2-27=0． 【答案】解：（1）4x2=1， x2=， x=±=±， 故x=或x=-； （2）（x-1）2-27=0， （x-1）2=27， x-1=±=±3， x=1±3， 故x=1+3或x=1-3． 【题型8】利用计算器开立方 【典型例题】用计算器计算约为（　　） A.3.049 B.3.050 C.3.051 D.3.052 【答案】B 【解析】3.050， 所以用计算器计算约为3.050． 故选：B． 【举一反三1】用我们数学课本上采用的科学计算器计算下列式子，其按键顺序正确的是（　　） A.求按键： B.求按键： C.求1按键： D.求π按键： 【答案】C 【解析】求的按键顺序是：2ndF，，1，．，2，＝， 故选项A不正确，不符合题意； 求的按键顺序是：，（，2，÷，3，），＝， 故选项B不正确，不符合题意； 求1的按键顺序是：，3，+，1，＝， 故选项C正确，符合题意； 求π的按键顺序是：2ndF，，（﹣），2，2ndF，﹣，π，＝． 故选项D不正确，不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】用计算器求的按键顺序为 _________． 【答案】﹣，2，，＝ 【解析】按键顺序依次为﹣，2，，＝． 故答案为：﹣1；2；；＝． 【举一反三3】用计算器求得0.6993，1.5066，3.2460，则_________，_________，_________． 【答案】0.06993；﹣324.60；0.15066 【解析】∵0.6993，1.5066，3.2460， ∴0.06993，324.60，0.15066， 故答案为：0.06993；﹣324.60；0.15066． 【举一反三4】利用计算器计算： _________， _________， _________， _________， _________， （1）根据上述结果，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，直接填空： 若a，则_________，_________，_________，_________． 【答案】解：（1）11； 1.1； 0.11； 110； 1100． 故填：11，1.1，0.11，110，1100． 观察可得：开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左每移动3位，它的立方根的小数点向右或向左移动1位． （2）a， 则0.1a， 10a， 100a， 0.01a． 故填：0.1a，10a，100a，0.01a． 【题型9】利用立方根求未知数的值 【典型例题】已知a是最大的负整数，b是8的立方根，则代数式b-a的值为（　　） A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】D 【解析】∵a是最大的负整数，b是8的立方根， ∴a=-1，b=2， ∴b-a=2-（-1）=2+1=3， 故选：D． 【举一反三1】若a3＝1，则a的值为（　　） A.﹣1 B.1 C.±1 D.0 【答案】B 【解析】∵a3＝1， ∴a＝1． 故选：B． 【举一反三2】若（5x﹣3）3，则x的值为（　　） A.4 B.1 C.±1 D.﹣4 【答案】B 【解析】∵（5x﹣3）3， ∴5x﹣3＝2， 解得：x＝1． 故选：B． 【举一反三3】若，则x＝____________． 【答案】． 【解析】∵x3， ∴． 故答案为：． 【举一反三4】解方程：（2x﹣1）3＝﹣8． 【答案】解：（2x﹣1）3＝﹣8， 2x﹣1＝﹣2， x． 【举一反三5】解方程：． 【答案】解：， （2x+3）3＝64， 2x+3＝4， 2x＝1， ． 【题型10】算术平方根有意义的条件 【典型例题】已知y=+x-2，则的值为（　　） A.5 B.3 C.﹣3 D.﹣5 【答案】B 【解析】根据题意得：， 解得：x＝1． 则y＝﹣1． 则＝＝3． 故选：B． 【举一反三1】已知=3，则的值为（　　） A. B. C.12 D.18 【答案】B 【解析】由题意得：， 解得x＝3， 把x＝3代入=3，可得y＝3， 所以=＝． 故选：B． 【举一反三2】要使-有意义，a的值为 　    　． 【答案】3． 【解析】由题意得：a﹣3≥0，3﹣a≥0， 解得：a＝3， 故答案为：3． 【举一反三3】若x，y满足， (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】解：（1）∵， ∴， ∴， 解得：，则. （2）∵，， ∴. 【举一反三4】若，满足，求的平方根． 【答案】解：由算术平方根的被开方数的非负性得：， 解得， 将代入得：， 则， ∵49的平方根是， ∴的平方根是． 【题型11】利用计算器开平方 【典型例题】利用教材中的计算器依次按键如下： 则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　） A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9 【答案】B 【解析】∵2.646， ∴与最接近的是2.6， 故选：B． 【举一反三1】在计算器上按键显示的结果是（　　） A.﹣3 B.3 C.17 D.33 【答案】A 【解析】在计算器上按键， 是在计算8，结果为﹣3． 故选：A． 【举一反三2】用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（　　） A.6 B.8 C.16 D.48 【答案】B 【解析】计算器按键转为算式23＝8， 故选：B． 【举一反三3】若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为 _________． 【答案】-5 【解析】计算器按键转为算式＝4﹣9＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【举一反三4】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： （1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向 _________移动 _________位； （2）运用你发现的规律，探究下列问题： ①若1.910，6.042，则_________； ②已知x2≈0.000365，则x≈_________． 【答案】（1）向左或向右；1 （2）①604.2 ②±0.0190 【解析】（1）由表格可以看出被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左或向右移动1位， 故答案为：向左或向右；1. （2）①由（1）可知，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点就向右移动2位， ∵6.042， ∴604.2； ②由（1）可知，被开方数的小数点向左移动4位，算术平方根的小数点就向左移动2位， ∵1.910，x2≈0.000365， 又∵一个正数的平方根有两个， ∴x＝±±0.0190． 故答案为：①604.2；②±0.0190． 【举一反三5】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： （1）分析发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大 _________倍； （2）若一块长方形纸片的面积是400 cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到0.1，1.414，1.732）． 【答案】解：（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍； 故答案为：10． （2）设这块长方形的纸片的宽为x cm，则长为2x cm， ∴2x•x＝400， 即x2＝200， ∴， ∵1.414， ∴，14.1×2＝28.2 cm， 答：这块长方形纸片的长为28.2 cm，宽为14.1 cm． 【举一反三6】用计算器计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________. 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： __________. 【答案】解：（1）10； （2）100； （3）1000； （4）10000. 所以10n． 【题型12】立方根与平方根的综合 【典型例题】甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当a＞0时，；乙：a＜0时，；丙：当a＞0时，，则下列说法正确的是（　　） A.只有甲、乙正确 B.只有甲、丙正确 C.甲、乙、丙都正确 D.甲、乙、丙都不正确 【答案】B 【解析】∵当a＞0时，， ∴甲的说法正确； ∵a＜0时，（﹣a）＝a， ∴乙的说法不正确； ∵当a＞0时，， ∴丙的说法正确． 故选：B． 【举一反三1】下列说法中正确的是（　　） A.4的平方根是2 B.平方根是它本身的数只有0 C.﹣8没有立方根 D.立方根是它本身的数只有0和1 【答案】B 【解析】A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意； B．平方根是它本身的数只有0，因此选项B符合题意； C．﹣8的立方根是﹣2，因此选项C不符合题意； D．立方根是它本身的数只有0、1或﹣1，因此选项D不符合题意． 故选：B． 【举一反三2】若一个正数x的平方根是和，则的值为 　  　． 【答案】﹣2． 【解析】∵一个正数x的平方根是和， ∴， ∴17﹣a+3a﹣1＝0， ∴a＝﹣8， ∴， 故答案为：﹣2． 【举一反三3】已知一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14，则这个数的立方根　   　． 【答案】4 【解析】∵一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14， ∴2a+4+a+14＝0． 解得：a＝﹣6． ∴a+14＝﹣6+14＝8． ∴这个正数为64． 64的立方根是4． 故答案为：4． 【举一反三4】如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n是﹣1的立方根． （1）求m和n的值． （2）求m﹣11n的算术平方根． 【答案】解：（1）∵一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9， ∴2a﹣3+a﹣9＝0， ∴a＝4， ∴a﹣9＝4﹣9＝﹣5， ∴m＝（﹣5）2＝25， ∵n3＝﹣1， ∴n＝﹣1； （2）m﹣11n＝25﹣11×（﹣1）＝36， ∴m﹣11n的算术平方根是6． 【举一反三5】已知2m﹣1的算术平方根是3，3m+n+4的立方根是2． （1）求m，n的值； （2）求m﹣n的平方根． 【答案】解：（1）∵2m﹣1的算术平方根是3， ∴2m﹣1＝9， 解得：m＝5； 又∵3m+n+4的立方根是2， ∴3m+n+4＝8， 即15+n+4＝8， 解得：n＝﹣11， ∴m＝5，n＝﹣11； （2）由（1）m＝5，n＝﹣11， ∴m﹣n＝5﹣（﹣11）＝16， ∴m﹣n的平方根是±4． 【题型13】算术平方根的定义 【典型例题】若一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15，则的算术平方根是（　　） A.4 B.±4 C.2 D.±2 【答案】C 【解析】∵一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15， ∴m+6+2m-15=0，则m=3， ∴＝＝4， ∴的算术平方根是2， 故选：C． 【举一反三1】下列选项中是4的算术平方根是（　　） A.±4 B.±2 C.4 D.2 【答案】D 【解析】4的算术平方根是2， 故选：D． 【举一反三2】81的算术平方根为（　　） A.±3 B.3 C.±9 D.9 【答案】D 【解析】∵92=81， ∴81的算术平方根为=9． 故选：D． 【举一反三3】的算术平方根是____________． 【答案】3 【解析】∵=9， ∴的算术平方根是3． 故答案为：3． 【举一反三4】已知是二元一次方程组的解，则2m-n的算术平方根为____________． 【答案】2 【解析】将代入二元一次方程组， 得， 解得：， ∴2m-n=4，而4的算术平方根为2． 故2m-n的算术平方根为2． 故答案为：2． 【举一反三5】已知2a+b的平方根是±3，5a+2b的算术平方根是4，求3a+b的值． 【答案】解：∵2a+b的平方根是±3，5a+2b的算术平方根是4， ∴2a+b=9①，5a+2b=16②， ②-①得：3a+b=16-9=7． 学科网（北京）股份有限公司 $