专题08 相似三角形中K字型与十字架模型（3大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册

专题08 相似三角形中K字型与十字架模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三垂直模型 1 题型二、一线三等角模型 4 题型三、十字架模型 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三垂直模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． “三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 例题1.（2025·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析（2）10 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，可推导出，继而证明，即可解答； （2）先证明，再推导出，可得到，则，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， 在△ABC和△EDB中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 例题2.（24-25九年级上·全国·期中）已知正方形的边长为4，点E在边上，且交边于点F． (1)求证：； (2)若点E为的中点，求的长； (3)在（2）的条件下，若的延长线与的延长线交于点G，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据正方形的性质结合，推出，即可证明结论； （2）先求出，根据，推出，即可求解； （3）根据，易证，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二、一线三等角模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． “一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 例题1.（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 例题2.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在上，，的两边分别与交于点，且． (1)如图，求证：； (2)如图，作平分，交于点，若，且，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明，得到，进而即可求证； （）过点作，交 的延长线于点，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，再由，得到，进而由（）可得，即得到，即可求解； 本题考查了三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，交 的延长线于点， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又由（）可知， ∴， ∴， ∴． 题型三、十字架模型 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则. 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 例题1.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． (1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，． ①求证：； ②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据题意证明出，得到，代数求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，设，则，勾股定理求出，进而得到，，然后代入求解即可； （3）①证明出，得到，然后结合，得到，进而求解即可； ②如图，连接，证明出B，E，F，在一条直线上，过P作于H，证明出，得到，，求出，，证明出，得到，代数求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，， ， ∴，即， 解得． ， ， ， ； （2）解：． 理由：四边形是平行四边形，， ，， ， ， 设，则． ， ． ， ， ， ， ． ， ， ； （3）①证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴， ， ， ， ； ②解：如图，连接， 由折叠得， ∵于点E， ∴B，E，F，在一条直线上，过P作于H． 由折叠得，， 四边形是平行四边形， ， ， ． ，， ，， ， ． ，， ， ，即， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 例题2.（23-24九年级上·广东揭阳·期中）【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）过点D作交于点M，过点A作交于点N，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点M，过点A作交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得， 由（1）同理可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H． ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， 由（2）同理可得：， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质及相似三角形判定与性质，先证明，得出，代入计算求出答案． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 2．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用，，得出，再由，得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，点E为中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 3．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由翻折得，推导出，则； （2）由为的中点，，得，由，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ． （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即 4．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 5．（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是得到． （1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答 ． （2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ，即 ， ∴． 6．（2025·吉林延边·模拟预测）【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或2 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定等等，掌握相似三角形的性质与判定定理是解题关键． 【尝试探究】（1）根据矩形的性质和垂线的定义可得，，则可证明，，据此根据全等三角形的判定定理可证明结论； （2）同（1）可证明，，则可证明，据此利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； 【拓展应用】由勾股定理可得，证明，得到，由为等腰三角形且，可分两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【尝试探究】（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴； 【拓展应用】∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， ∴， ∴， 当，则， ∴； 当，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或2． 7．（2025·宁夏银川·三模）【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； （3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图，过点作于点， 四边形为正方形，，， ， ，， 四边形为矩形，， ， 于点， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如图所示，过点作于点， 是直角三角形，， ， 点是的中点， ， 在中，， ， 设， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造相似三角形，数形结合分析是解题的关键． 8．（2025·山东济南·模拟预测）如图 (1)如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)【问题解决】如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． (3)【类比迁移】如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 9．（24-25九年级上·全国·期末）（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 【答案】（1）2，；（2）的面积；（3） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意类比思想的运用． （1）过点C作的垂线，交的延长线于点G，证明，得到，证明，求出与的数量关系，得到的面积． （2）过点C作的垂线，交的延长线于点H，类比（1）即可解决． （3）如图3中，作交的延长线于H，于K．证明，求出的面积即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点C作的垂线，交的延长线于点G． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）如图2，过点C作的垂线，交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积； （3）如图3中，作交的延长线于H，于K． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）【模型识别】如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：． 【尝试应用】如图2，在平行四边形中，E是上的一点，连接，作交于点F，， 若，，，求的值； 【拓展探究】如图3，已知菱形的边长为10， ，点E为边上的一点，连接，过点A作交于点F，交于点G，且，求的长． 【答案】模型识别：见解析；尝试应用：；拓展探究： 【分析】本题考查矩形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目． （1）证明即可得出结论； （2）过点A作的延长线于点M，过点F作于点N，先证明四边形是矩形，，求出 继而证明，则 ，设，则，，，即，得到 ，求出x的值，即可解答． （3）连接交于，交于，根据菱形性质和解直角，求得，，再证明，得，从而得，继而求得，然后证明，得到，则，即可求得，，从而求得，则可求得，，，证明得，即，则，最后由求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ； （2）过点A作的延长线于点M，过点F作于点N，如图 有， 四边形是平行四边形， ，，， ∴，， ，四边形是矩形，， ∴，， 即， ，， ，， ，或（不合题意，舍去） ， ， 设，则，，， 即， ∴， ， 即 解得：，（不符合题意，舍去）， ； （3）连接交于，交于， 四边形是菱形， ， ， ， 设，，由勾股定理，得， 解得：， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ，即， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $null