专题06 相似三角形中母子型模型（3大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册

专题06 相似三角形中母子型模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 1 题型二、双垂直模型（射影模型） 4 题型三、“母子”模型（变形） 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（斜射影模型）条件：如图，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 1．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，点在的边上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．由是公共角，利用有两角分别相等的两个三角形相似，即可得A与B正确；又由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角分别相等的两个三角形相似）； 故A与B正确； 当时，（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）； 故D正确； 当时，因为由所给比例涉及的两个三角形根本不是与，而是与，故不能证明， 故C错误． 故选：C． 2．如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】证明：，，， ，， ， ， 3.如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二、双垂直模型（射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 1．如图，是斜边上的高线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理的实际应用、完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 根据两个对应角相等可证，，，再由相似三角形的性质可推得，，，可判断选项、选项、选项的正误；结合勾股定理、完全平方公式即可判断选项． 【详解】解：依题得：， ，， ，， ，，， ，，，则选项、选项错误； ， 即，则选项正确； 中，， 又， ， 即，则选项错误． 故选：． 2．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 3.（1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2），； （3）满足条件的的所有可能的值为或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可证，从而可得即； （2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出； （3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可． 【详解】解：（1）证明：如图①， ，， ， 又， ， ， ． （2）解：方法一： 如图②，过点C作交的延长线于点G， ， ，． ， ，， 又， ， ． 同理（1）可得：，， ， ， ． ， ． 方法二： 如图③，过点D作，交于点G， ， ，． ， ，． 同理（1）可得：，， ， ， ， ． （3）解：点D为直线上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段上时，如图④所示： 过点D作，交边于点G． ， ，，． ， ， ，，． 同理（1）可得：，， ； ， ， 即， 化简得：； （II）当点D在线段的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：； （III）当点D在线段的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：． 即满足条件的的所有可能的值为或或． 题型三、“母子”模型（变形） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 1．如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． 13．在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据对应角相等证明，所以对应边成比例，再根据点为的中点，代入比例式即可求证；②由①知可得，再由可得，进而得出，可得，即证得结论； （2）过点作，连接，，根据全等三角形的判定与性质，构造，再根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：①，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：在，中， ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项A错误； ，即：，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项B错误； ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项C错误； ，即，两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似，故能判定，故选项D正确； 故选D． 2．（25-26九年级上·山西运城·开学考试）如图，在中，为上一点，且，则（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如下图，在中，，于D，若，，则为（   ） A．4 B．6 C．16 D．64 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由在中，，，易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，由等边三角形性质可得，，由，得，根据三角形外角性质可得，，所以，，故有，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 5．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，为上一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，，证明，再代入数值到，进行化简，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，点为垂足， ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明即求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在中，点D为边上的一点，，点E为中点，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质； 延长交于点F，过点D作，证明，结合勾股定理可得，然后证明，利用相似三角形的性质求出，进而问题得解． 【详解】解：延长交于点F，过点D作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】作于点M，根据角平分线的性质得到，进而得到，根据等角对等边得到，证明，得到，证明，得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，作于点M， 由题意得，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴ ， ， ，， ∴ ，即， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题 9．（24-25九年级上·全国·期中）如图，中，为边上的一点，若，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明是解此题的关键．求出，得出比例式，代入求出即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， 解得： 或 (负值舍去) 10．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，等边的边长为4，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)直接写出的长为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵等边的边长为4， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）． 12．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，，于点，是中点，延长线交延长线于点．求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，，可得，再由是中点，可得，进而推出，即证； （2）由（1）得到，因为，，可得，即证，可得，即证得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ，是中点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ，， ， 又， ， ， ． 14．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，是一个边长为2的等边三角形，、都在直线上，并且． (1)设，，求与之间的函数关系式； (2)在上题中一共有几对相似三角形，分别指出来（不必证明） (3)改变原题的条件为，，，、之间要满足什么样的关系，能使（1）中与的关系式仍然成立？说明理由． 【答案】(1)； (2)3对；，，； (3)成立，见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）可以证明，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解； （2）由题意得，再由外角性质可得，从而得到几组相等的角，由两个角分别对应相等的三角形相似即可得出答案； （3）当时，与的关系式仍然成立，可以首先证明，且，即可证明，根据相似三角形对应边的比相等即可证明． 【详解】（1）是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）3对；，， 是等边三角形， ，， 由外角性质得：， ， ，，； （3）当时，与的关系式仍然成立． ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， ． 15．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，，若，，求 ． 【答案】（1）详见解析 （2）32 （3） 【分析】（1）证，得出，即可得出结论； （2）由平行四边形性质得，则，再证，得出，设，则，求出，即可得出答案； （3）延长，交于点G，设，则，证，得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证，得，则，，进而由勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴ ； （3）解：如图3，延长，交于点G， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，E为的中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 16．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，，点为边上一动点不与，重合，连接，以为始边顺时针作，平分．    【初步探究】如图，与的延长线交于点，若，，，求的值． 【类比迁移】如图，与的延长线交于点，若，，求的值． 【拓展应用】如图，与直线交于点，． （）当且点在线段上时，的值． （）当且点在的延长线上时，求的值． 【答案】初步探究：；类比迁移：；拓展应用：（）；（） 【分析】初步探究：证明，从而得出，即可求解； 类比迁移：作于，同理初步探究可得，从而，不妨设，，则，，从而得出和，进而得出，从而得出，的值，可证得，从而，进而得出的值，进一步得出结果． 拓展应用：（）可推出，，从而得出，作的垂直平分线，交于，作于，作，可推出，从而得出故设，，，设，，在中，根据勾股定理得，从而求得，根据得出，从而得出，进一步得出结果； （）根据题意可设，则，，从而得出，，作的垂直平分线，交于，作于，从而得出，，进而得出，可表示出，，根据得出的值，进而即可求解． 【详解】初步探究：，， ，是等边三角形， ，， ， ， ，平分， ， ， ， ， ； 类比迁移：如图，    作于， ，， ， 同理初步探究可得，， ， 不妨设，，则，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展应用：（）如图，    由题意不妨设，， ， ， ， ， ， ， ， ， 作的垂直平分线，交于，作于，作， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，， 设，， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （）如图，   ， ， 设，则，， ， ， 作的垂直平分线，交于，作于， ， ， ， ， ， 由（）可得，， ， 由得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06相似三角形中母子型模型 目录 A题型建模·专项突破 题型一、“母子”模型（斜射影模型) 题型二、双垂直模型（射影模型)4 题型三、“母子”模型（变形)… B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、“母子”模型（斜射影模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形 寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成 比例就可以判定这两个三角形相似. D B “母子”模型（斜射影模型）条件：如图，∠C=∠ABD; 结论：△ABD~△ACB,AB2=ADAC 1.(24-25九年级上·北京延庆·期中)如图，点D在ABC的边AC上，要判定△ADB与ABC相似，添加 一个条件，不正确的是() B A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C.ABCB BD CD D.ADAB AB AC 2.如图，在ABC中，点D在AB上，连接CD.已知AC=6,AD=4,BD=5,求证，△ACD∽△ABC. D 1/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ACCRAD-LECA. 3.如图，在ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且4B-4D E B D C (1)求证：AC2=BC.CD; (2)若E是ABC的重心，求AC2:AD的值. 题型二、双垂直模型（射影模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形 寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成 比例就可以判定这两个三角形相似. 双垂直模型（射影模型）条件：如图2，∠ACB=90,CDLAB; 结论：△ACD~△ABC△CBD;CA2=ADAB,BC=BD·BA,CD2=DADB 1.如图，AD是RIAABC斜边BC上的高线，下列结论正确的是() D A.AB2=BD.CD B.AC2=CD·BD C.AD2=BD·CD D.BC2=AB·AC 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D D (I)求证：△ACD∽△CBD; 2/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若CD=√2，BD=1,求AD. 3.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB2=AD·AC; D 图① 图② (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点 不，若48D=1,求二和 的值： BC DC ED EC (3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B,C重合），直线BE⊥AD于点 B,交直线AC于点R,若B=BD 、D”,暗直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示 EC 题型三、“母子”模型（变形） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形 寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成 比例就可以判定这两个三角形相似. D B C E “母子”模型（变形）条件：如图3，∠D=∠CAE,AB=AC;结论：△ABD~△ECA; 1.如图，在ABC中，D,E是BC上的点，己知ADE是等边三角形，BD=1,DE=2,CE=4. B D E (I)证明：△ABD∽△CAE; (2)求∠BAC的度数. 13.在四边形ABCD中，点E为AB的中点，分别连接CE. 3/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D E B B 图1 图2 (I)如图1，若∠A=∠B,LADE=∠BEC. ①求证：AE2=AD·BC; ②求证：DE平分∠ADC; (②)如图2，若∠DAB+∠B=90°，∠DEC=90°，AD=3,BC=1,求CD的长. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25九年级上·四川资阳·期末)如图，点P在ABC的边AC上，若只添加一个条件，就可以判定 △ABP∽△ACB,则添加的条件可能是() D A.AB Bp ACBC B.BP2=AP.PC c品名 D.AB2=AP.AC 2.(25-26九年级上山西运城开学考试)如图，在ABC中，D为BC上一点，且 ∠BAD=∠C,BD=4,BC=9,则AB=() B A.6 B.5 C.25 D.3√5 3.(24-25九年级上广东佛山阶段练习)如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,若 AD=2,BD=8,则CD为() B D A.4 B.6 C.16 D.64 4/8 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，ABC是等边三角形，D、B、C、E在一条直线上， ∠DAE=120°，若BD=1,CE=4,则AB的长是(). A D B E A.√5 B.2 C.3 D.4 二、填空题 5.(24-25九年级上河南安阳期末)如图，在ABC中，D为BC上一点，若BC=√5AB=3BD,则 AC:AD的值为 B 6.(25-26九年级上·河北石家庄·开学考试)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,点D为垂足， BD=8,CD=2,AD= B 7.(2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测)如图，在ABC中，点D为边AB上的一点，BD=2AD,∠ACD=30° ,点E为CD中点，∠BED=60°，CD=4,则AC= E 8.(24-25八年级下·甘肃定西期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10,AD⊥BC于 点D,BF平分∠ABC交AC于点F,交AD于点E,则线段AE的长为· E B D 三、解答题 9.(2425九年级上全国期中)如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2.求 5/8 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD的长. 10.(24-25九年级上海南省直辖县级单位·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是 边AB上的高且为2， C A (I)求证：△ACD∽△CBD; (2)求AB的长 11.(25-26九年级上·吉林长春·开学考试)如图，等边ABC的边长为4，点D,B,C,E在同一直线上， CE=8,∠BAD=∠E. D B (1)求证：△ABD∽△ECA; (②)直接写出AD的长为 12.(23-24九年级上·吉林长春.阶段练习)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高. B D (I)证明：△ABD∽△CBA; (2)若AB=3,BC=5,求BD的长. 13.(24-25九年级上·四川巴中·阶段练习)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,E是AC中 点，ED延长线交AB延长线于点F,求证： 6/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)DF2=AF·BF; 既是 14.(2025九年级上·上海·专题练习)如图，ABC是一个边长为2的等边三角形，D、E都在直线BC上， 并且∠DAE=120°. D B (1)设BD=x,CE=y,求y与x之间的函数关系式； (2)在上题中一共有几对相似三角形，分别指出来（不必证明） (3)改变原题的条件为AB=AC=2,∠BAC=B,∠DAE=a,α、B之间要满足什么样的关系，能使(1) 中y与x的关系式仍然成立？说明理由. 15.(24-25九年级下·广东深圳·开学考试)【基础巩固】 (1)如图1，在ABC中，D为BC上一点，连结AD,E为AD上一点，连结CE,若 LBAD=LACE,CD=CE,求证：CE·BD=AD·AE. 【尝试应用】 (2)如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E为OC上一点，连结BE, ∠CBE=∠DCO,BE=DO,若BD=24,0E=7,求AC的长. 【拓展提升】 (3)如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF, 1E0=∠C4F,若CR{, CD3'4C=6,求0C D- D B D E 图1 图2 图3 16.(24-25八年级下·四川成都期末)在ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D为BC边上一动点（不与B ,C重合)，连接AD,以AD为始边顺时针作LADE=B(a+B=I80),DF平分∠ADE. 7/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 【初步探究】如图1，DE与AC的延长线交于点E,若a=60°，B=120°，CD=2BD,求 BD 的值. CF 类北加图2，DB与AC的延长线交点E,若2B9,0D=2BD,求合的凰 【拓展应用】如图3，DE与直线4C交于点E,BC=8 AB 5 (1)当EC=ED且点E在线段AC上时，BD的值。 CD （2)当CD=CE且点E在4C的延长线上时，求D的值. CD 8/8