精品解析：广东省中山市卓雅外国语学校2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

2024－2025学年广东省中山市卓雅外国语学校高二下学期 数学月考（4月） 一、单选题 1. 设，则＝（ ） A. 0 B. e C. 1 D. －e 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式，即可求得答案. 【详解】由，得，故， 故选：B 2. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 3. 现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（ ） A. 24 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】由题意可知每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理可知， 不同选法的种数为. 故选：D. 4. 在展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 90 C. 270 D. 405 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的项即可. 【详解】在展开式中，的项为， 所以所求的系数为90. 故选：B 5. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质得到方程求解. 【详解】因为已知，由组合数的性质得到或， 解得或. 故选：D. 6. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 7. 设随机变量的分布列为，，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用离散型随机变量的分布列的性质求出，再根据公式求得均值，进而求得方差． 【详解】因为随机变量的分布列为，， 所以， 由分布列的性质可得，，解得， 所以， 所以， 所以， 故选：D． 8. 某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为. 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接可得解. 【详解】设事件为当天下雨，事件为当天刮风， 则，， 则已知刮风的条件下，也下雨的概率， 故选：D. 二、多选题 9. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象中导数的正负情况结合导数与单调性的关系、极值点得定义即可得解. 【详解】由图可知：当时，， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上也单调递增，故A正确，BD错误； 又由图可知，且在左边导数， 所以函数在左边附近单调递减，故是的极小值点.故C正确. 故选：AC 10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 各项的系数之和为0 B. 二项式系数的和为 C. 展开式共有2026项 D. 展开式中常数项为-1 【答案】AC 【解析】 【分析】令代入二项式，可得各项系数之和，判断A正确；由展开式的二项式系数之和为，可求B错；根据展开式中共有项，可判断C正确；利用二项展开式的通项公式，可判断D错. 【详解】令，则各项系数的和为，故A正确； 展开式的二项式系数的和为，故B错； 展开式中共有2026项，故C正确； 展开式中的第项为， 因为，且，所以，因此展开式中无常数项，故D错； 故选：AC 11. 以下结论正确的是（ ） A. 3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是 B. 从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法 C. 60有12个不同的正因数 D. 从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差 【答案】AC 【解析】 【分析】根据计数原理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，3个班分别从4个景点中选择一处游览，根据分步乘法计数原理， 不同选法的种数是，A选项正确. B选项，从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本， 根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是，B选项错误. C选项，，所以正因数有个，C选项正确. D选项，从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减， 得到的差有，共个不相等的差，D选项错误. 故选：AC 三、填空题 12. 若直线是曲线在处的切线，则的斜率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出斜率. 【详解】函数，求导得，则， 所以的斜率为. 故答案为： 13. 的二项式展开式中的常数项为________（用数值作答）. 【答案】495 【解析】 【分析】 由二项式定理可得展开式的通项为，再令得，再代入通项计算即可. 【详解】由已知，展开式的通项为，令， 得，所以常数项为. 故答案为：495 【点睛】本题考查求二项展开式中的特定项，考查学生的运算能力，是一道容易题. 14. 从数字0，1，2，3，4，5中任取四个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为______ 【答案】156 【解析】 【分析】考虑个位数字是否为0，利用分类加法计数原理即可求得答案. 【详解】若个位数字为0，则其余数位上的数字可从其余5个数字里任选3个排列， 此时符合题意的偶数有（个）； 若个位数字为2或4，首位不能为0，则符合题意的偶数有（个）； 故符合题意的四位偶数共有（个）， 故答案为：156. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间是：和，单调减区间是：； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）求导由，，可求单调区间； （2）由（1）结合单调性即可求解； 【小问1详解】 由， 可得：，， 由，可得：或； 由，可得：； 所以函数的单调递增区间是：和， 单调减区间是：； 【小问2详解】 由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增， 所以最小值为， 又， 所以最大值为. 所以函数在区间上的最小值为，最大值为. 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式(且)求解； （2）分别令，令求解； （3）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令求解. 【小问1详解】 二项式展开式的通项为：(且)， 所以，所以． 【小问2详解】 令，得， 令，得， 所以． 【小问3详解】 因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． 17. 一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数． （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的期望和方差． 【答案】（1）随机变量的分布列为： 0 1 2 （2）期望为，方差为.【解析】 【分析】(1)先写出随机变量的所有可能取值，分别求概率，即可得到随机变量的分布列； (2) 由(1)所求出的分布列代入期望和方差的公式即可求出随机变量的期望和方差． 【小问1详解】 由题可知，随机变量可能的取值有， 所以 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】由(1)的分布列得， ． 18. 一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求： （1）第一、第二次都取得白球的概率； （2）已知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率； （3）求第二次取得白球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率及概率的乘法公式即可求出； （2）利用条件概率公式即可求出； （3）利用全概率公式即可得出. 【小问1详解】 记事件为“第一次取到白球”，事件为“第二次取到白球”，事件为“第一次未取到白球”， 则第一、第二次都取得白球为事件. 根据题意可得, 所以, 所以第一、第二次都取得白球的概率为. 【小问2详解】 根据题意可得， 所以已知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率为. 【小问3详解】 根据题意可得， 所以第二次取得白球的概率为. 19. 已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义及其极值定义计算即可得解； （2）利用函数单调性与导函数的关系可得当时，，计算即可得解. 【小问1详解】 ，则有， 解得，即； 【小问2详解】 由，， 由在区间上单调递增，故当时，， 令，解得或， 故或， 对，该不等式组无解， 对，解得， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年广东省中山市卓雅外国语学校高二下学期 数学月考（4月） 一、单选题 1. 设，则＝（ ） A. 0 B. e C. 1 D. －e 2. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（ ） A. 24 B. 12 C. D. 4. 在展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 90 C. 270 D. 405 5. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 6. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 7. 设随机变量的分布列为，，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 8. 某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为. 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 各项的系数之和为0 B. 二项式系数的和为 C. 展开式共有2026项 D. 展开式中常数项为-1 11. 以下结论正确的是（ ） A. 3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是 B. 从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法 C. 60有12个不同的正因数 D. 从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差 三、填空题 12. 若直线是曲线在处的切线，则的斜率为__________. 13. 的二项式展开式中的常数项为________（用数值作答）. 14. 从数字0，1，2，3，4，5中任取四个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为______ 四、解答题 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数． （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的期望和方差． 18. 一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求： （1）第一、第二次都取得白球的概率； （2）已知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率； （3）求第二次取得白球的概率． 19. 已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $