专题01 分式和分式方程100道计算题专训（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题01 分式和分式方程100道计算题专训 题型1 约分与通分 题型6 解分式方程 题型2 分式的求值 题型7 根据分式方程解的情况求值 题型3 分式加减乘除混合运算 题型8 分式方程增根问题 题型4 分式的化简求值（直接代入） 题型9 分式方程无解问题 题型5 分式的化简求值（间接代入） 题型11 分式与分式方程的新定义运算 题型10 分式的求整问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 约分与通分（共10小题） 1．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2025八年级上·河北廊坊·期中）约分 (1) (2) (3) 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）约分： (1) (2) 4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）通分： (1)，，； (2)，，． 5．通分： (1)与 (2)与． 6．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）通分： (1)，． (2)，． 7．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）通分： (1)，． (2)，． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 10．（25-26八年级上·河北唐山·期中）约分： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型二 分式的求值（共10小题） 11．（2025八年级上·河北廊坊·期中）当，时，分别求分式的值． 12．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）若，求的值． 13．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）已知，求的值． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）先约分，再求值，其中， 15．已知，求的值． 16．已知，求的值． 17．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 18．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 19．（25-26八年级上·河北廊坊·单元测试）阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 20．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 题型三 分式加减乘除混合运算（共10小题） 21．（25-26八年级上·河北廊坊·单元测试）计算： (1)； (2)． 22．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（2025八年级上·河北保定·期中）计算： (1)； (2)． 24．（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 25．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）计算： (1)； (2)． 26．化简：． 27．（24-25九年级下·上海·期中）计算： 28．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）计算： (1) (2) 29．计算： (1) (2)． 30．（2025八年级上·河北廊坊·期中）计算 (1) (2) 题型四 分式的化简求值（直接代入）（共10小题） 31．先化简，再求值：，其中． 32．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）先化简，再求值：，其中． 33．（25-26八年级上·河北唐山·期中）先化简，再求值：，其中，． 34．（25-26八年级上·河北保定·期中）先化简，再求值：，其中，． 35．（2025·江苏无锡·中考真题）先化简，再求值：．其中． 36．（24-25八年级下·广东湛江·期中）先化简，再求值：，其中． 37．（24-25八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值：，其中． 38．（2022·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中，． 39．（25-26九年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 40．（2025八年级上·河北廊坊·期中）先化简，再求值：，其中． 题型五 分式的化简求值（间接代入）（共10小题） 41．（2025八年级上·河北邯郸·期中）先化简，再求值：，其中x满足． 42．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 43．（2025八年级上·河北保定·期中）先化简，再求值：，其中． 44．（2025八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 45．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，求的值． 46．（25-26八年级上·河北保定·期中）先化简，再求值：，其中x是的最大整数解． 47．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）先化简，然后选择一个合适的m值代入求值． 48．先化简，再求值：，其中是方程的根． 49．（24-25八年级下·福建福州·期中）化简，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 50．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简： ，再从，0，1，2中取一个合适的数值代入，求出代数式的值． 题型六 分式的求整问题（共8小题） 51．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 52．（24-25八年级下·河北张家口·期中）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 53．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知分式，当满足下列条件时，确定m的取值． (1)当m为何值时，此分式无意义？ (2)当m为何整数时，此分式值为也为整数？ 54．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 55．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 56．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 57．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 58．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）当​为何整数时， (1)​分式​的值为正整数； (2)​分式​的值是整数． 题型七 解分式方程（共10小题） 59．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）解下列分式方程 (1) (2) 60．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）解分式方程： (1) (2) 61．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）解方程： (1)； (2)． 62．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）解方程： (1)； (2)． 63．（24-25八年级上·广西桂林·期中）解分式方程： (1) (2) 64．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解分式方程： (1)； (2)． 65．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程． (1) (2) 66．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 67．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 68．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）解方程： (1) (2) 题型八 根据分式方程解的情况求值（共10小题） 69．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 70．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）已知关于的方程的解为，则处可能为（　　） A． B． C． D． 71．关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 72．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是 ． 73．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是 ． 74．（24-25八年级下·河南周口·期中）关于的方程的解是负数，则的取值范围是 75．（24-25八年级下·四川成都·期中）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 76．（24-25八年级上·北京石景山·期中）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值． 77．（2025八年级上·河北廊坊·期中）若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围． 78．（25-26八年级上·河北廊坊·单元测试）若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 题型九 分式方程增根问题（共8小题） 79．关于x的分式方程有增根，则n的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 80．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 81．关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A． B． C． D． 82．解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 83．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 84．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若分式方程有增根，则m的值为 ． 85．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，则 ； (2)若分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 86．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 题型十 分式方程无解问题（共8小题） 87．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 88．（24-25八年级上·江西南昌·期中）关于x的方程 无解， 则m的值为（     ） A． B． C． D．5 89．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 90．已知关于的方程无解，则的值是 ． 91．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 92．（2025八年级上·河北廊坊·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 93．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 94．已知关于x的方程无解，求的值． 题型十一 分式与分式方程的新定义运算（共6小题） 95．（24-25七年级下·浙江金华·期中）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 96．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 97．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与：因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式_________（填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． (2)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． (3)若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求的值． 98．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 99．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，，，这样的分式就是假分式；，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式______，当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式． 100．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知，则_________，_________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)如果，，请用含有a和b的式子表示． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题01 分式和分式方程100道计算题专训 题型1 约分与通分 题型6 解分式方程（常考点） 题型2 分式的求值（重点） 题型7 根据分式方程解的情况求值（难点） 题型3 分式加减乘除混合运算（重点） 题型8 分式方程增根问题（重点） 题型4 分式的化简求值（直接代入）（重点） 题型9 分式方程无解问题（难点） 题型5 分式的化简求值（间接代入）（常考点） 题型11 分式与分式方程的新定义运算（难点） 题型10 分式的求整问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 约分与通分（共10小题） 1．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． （1）根据分式的基本性质约分即可； （2）根据分式的基本性质约分即可； （3）先利用平方差公式和提公因式进行因式分解，再根据分式的基本性质约分即可； （4）先根据，对分子进行变形，再根据分式的基本性质约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（2025八年级上·河北廊坊·期中）约分 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了约分，把分式化成最简分式，当分子，分母是多项式时，通常先分解因式再约分，解题的关键是先确定分子分母的公因式，再约去分子、分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，约掉即可； （2）首先把分子分母分解因式，再约掉公因式即可； （3）首先把分子分母分解因式，再约掉公因式即可． 【详解】（1） （2） （3） 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）约分： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键． （1）直接利用分式的性质化简得出答案； （2）直接将分子与分母因式分解，进而化简得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 5．通分： (1)与 (2)与． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查通分，通分是将两个或多个分数的分母化为相同的数，这个相同的数就是它们的最简公分母．然后根据分式的基本性质，将分式化为以最简公分母为分母的分式． （1）先找出最简公分母，然后根据分式的基本性质进行通分即可； （2）先找出最简公分母，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ，． （2）解：最简公分母是， ，． 【点睛】 6．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）通分： (1)，． (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出这两个分式的最简公分母，再将它们化成同分母的分式即可． （2）先找出这两个分式的最简公分母，再将它们化成同分母的分式即可． 本题主要考查了分式的通分，熟练掌握分式通分的定义，找出两个分式的最简公分母是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴最简公分母是， ∴， ． （2）解：∵，， ∴最简公分母是， ∴， ． 7．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的通分，掌握分式的最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，由此即可求解． （1）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （2）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （3）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （4）最简公分母是，结合分式的性质通分即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，，； （3）解： ，； （4）解： ，． 8．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）通分： (1)，． (2)，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查通分，掌握通分的方法是解决问题的关键． （1）找到最简公分母，然后进行通分即可； （2）找到最简公分母，然后进行通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ，； （2）最简公分母是， ，． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 10．（25-26八年级上·河北唐山·期中）约分： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （4）分子展开合并，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 题型二 分式的求值（共10小题） 11．（2025八年级上·河北廊坊·期中）当，时，分别求分式的值． 【答案】， 【分析】本题考查求分式的值，把x的值代入分式进行运算是解题的关键．把x的值分别代入分式即可求解． 【详解】当时，； 当时，． 12．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值；由已知得，将此整体代入分式，即可求解． 【详解】解：， ∴， ， ． 13．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的求值，解题关键是熟练运用分式的运算法则对等式进行变形，整体代入求值． 将变形为，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）先约分，再求值，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，再进行约分，最后将数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入， 原式． 15．已知，求的值． 【答案】 【分析】由可得，再取倒数可得：，即，再求解原代数式的倒数从而可得答案. 【详解】解：由知， 所以，即． 所以． 故的值为． 【点睛】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，掌握是解题的关键. 16．已知，求的值． 【答案】 【分析】先根据设出，得到，，，然后代入分式求值即可． 【详解】解：设， 则，，． ∴ ． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意，当条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k，得出x，y，z与k的关系，然后再代入待求的分式化简是解题的关键． 17．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 【答案】． 【分析】直接利用相反数和倒数的定义求出代数式的值，再整体代入分式计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数，m、n互为倒数， ∴a+b=0，mn=1， ∴． 【点睛】此题主要考查了相反数和倒数的定义等知识，正确运用整体思想是解题关键． 18．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．根据“倒数法”的解题思路即可求出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 19．（25-26八年级上·河北廊坊·单元测试）阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可． 【详解】解：方法一：∵， ∴，， ∴ ； 方法二：∵， ∴， 设，则， ∴ ． 20．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，分式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据完全平方公式进行计算即可求解； （）根据（）的方法进行计算即可求解； （）根据题意得出，再由，从而可得，然后进行求倒数即可求解； 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴． 题型三 分式加减乘除混合运算（共10小题） 21．（25-26八年级上·河北廊坊·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，包括平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握分式运算的法则． （1）先进行乘方运算，再进行分式的除法运算，然后约分化简即可； （2）先进行完全平方公式因式分解和分式的加减运算，再进行分式的除法运算，然后约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 22．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）先通分和因式分解，再进行分式的乘除法运算； （2）先进行幂的运算，再进行分式的乘除法运算，最后合并同类项； （3）先通分和因式分解，再进行分式的乘除法运算； （4）先因式分解，再利用乘法的分配律进行运算并约分，最后进行通分，约去公因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 23．（2025八年级上·河北保定·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算： （1）将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，将分子、分母因式分解，约分化简即可； （2）将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，将分子、分母因式分解，约分化简即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （1）先进行异分母分式的加减，再进行分式的除法运算即可； （2）先进行异分母分式的加减，利用平方差公式进行因式分解，再进行分式的乘法运算即可； （3）先进行分式的乘法运算，再进行加法运算，最后利用平方差公式进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 25．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算，提公因式，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． （1）括号里应用分式的减法运算法则，平方差公式化简，再用分式乘除运算法则，最后约分即可； （2）括号里应用分式的减法运算法则，提公因式化简，再用分式乘除运算法则，最后再根据减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 26．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先通分计算括号内的加法，再把除法化为乘法，分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 27．（24-25九年级下·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，先计算除法再计算减法，在每一步的运算中注意将分子与分母因式分解后约去公因式，化简分式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 28．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算顺序和分式的通分和约分是解题关键． （１）先给括号内通分相减后，再将除法化为乘法，约分即可； （２）首先对括号内的式子通分，再进行分式加减，合并同类项；接下来将除法转化为乘法，并根据分式乘法法则进行计算，化简即可得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 29．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先将乘除混合运算统一为乘法运算，结合因式分解进行约分计算即可； （2）先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ． 30．（2025八年级上·河北廊坊·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先将两个分式的分母化为相同的代数式，再进行分子的加减运算，最后化简结果； （2）先将分式的除法转化为乘法，再利用平方的性质化简，最后约分得出结果． 【详解】（1）原式 ． （2）． 题型四 分式的化简求值（直接代入）（共10小题） 31．先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先将分式进行化简，再将代入求值即可． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 32．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确根据分式的混合计算法则化简是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， 原式． 33．（25-26八年级上·河北唐山·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，再把，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：原式 ． ∵，， ∴原式． 34．（25-26八年级上·河北保定·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 先进行分式的乘法运算，再根据分式的加法法则化简，最后代入x，y的值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 35．（2025·江苏无锡·中考真题）先化简，再求值：．其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式化简求值；先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 36．（24-25八年级下·广东湛江·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则进行化简，再把代入求出分式的值即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 37．（24-25八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 38．（2022·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确利用分式的基本性质进行计算是解题的关键． 首先对确定括号内分式的最简公分母为，然后进行通分，对括号外面进行因式分解，再根据除法法则计算即可； 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 39．（25-26九年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简:包括通分、因式分解、约分等运算；分式的求值:将给定的值代入化简后的式子进行计算．先计算括号内分式减法，再将除法转化为乘法，分解因式后约分，最后代入求值． 【详解】解： 当时，原式． 故答案为：． 40．（2025八年级上·河北廊坊·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，包括平方差公式，多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握分式的化简运算． 先进行分式的化简，再代数求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 题型五 分式的化简求值（间接代入）（共10小题） 41．（2025八年级上·河北邯郸·期中）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ． 由，得． ∴原式． 42．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【答案】，1 【分析】此题考查了分式的除法，代入求值，一元一次不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ； 要使原式有意义，则． 又，且为非负整数， 只能取1． 当时， 原式． 43．（2025八年级上·河北保定·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查分式的化简求值，先分子分母因式分解后约分即可化简，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 44．（2025八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及绝对值和平方数的非负性，熟练掌握分式的运算法则和非负数的性质是解题的关键．先对给定的分式进行通分、化简运算，再根据绝对值和平方数的非负性求出、的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． ， ∴原式． 45．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题关键，根据分式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， ∴， ∴原式． 46．（25-26八年级上·河北保定·期中）先化简，再求值：，其中x是的最大整数解． 【答案】． 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，提公因式，不等式的整数解，掌握知识点是解题的关键． 先化简分式，然后解不等式，取x的最大整数解代入分式计算即可． 【详解】解：原式 ． 解不等式，得． ∵x是的最大整数解， ∴． 当时，原式． 47．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）先化简，然后选择一个合适的m值代入求值． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，分式有意义的条件，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 先利用分式的性质化简，再确定m的取值范围，再代入m值计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵，且， ∴且， ∴当时，原式（答案不唯一，符合条件即可）． 48．先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，原式利用除法法则变形，约分后化简得到结果，根据a为已知方程的解，将代入方程得到关系式，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 是方程的根， ， 则原式． 49．（24-25八年级下·福建福州·期中）化简，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【答案】，当时，原式；或当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先进行分式的除法运算，再进行加减运算即可化简，然后把有意义的值代入即可求解，熟练掌握分式的通分和约分及加减是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∵， ∴非负整数解有，，， ∵当时原式无意义， ∴可取或， ∴当时，原式；或当时，原式． 50．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简： ，再从，0，1，2中取一个合适的数值代入，求出代数式的值． 【答案】，时，5 【分析】先利用分式的乘除化简，后结合分式有意义的条件，确定不能选的数，再选择适当数，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解： ，        ∵分式要有意义， ∴， ∴，       ∴x可取2，此时原式． 题型六 分式的求整问题（共8小题） 51．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 52．（24-25八年级下·河北张家口·期中）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)的最小值是． (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了整式的加减、配方法的应用、分式的化简以及分式值为正整数的条件．熟练掌握整式的运算法则、配方法、分式的化简方法是解题的关键． （1）先求出的表达式，再将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． （2）先求出的表达式，再根据其为正整数以及为整数来确定的值． 【详解】（1）解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． （2）解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 53．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知分式，当满足下列条件时，确定m的取值． (1)当m为何值时，此分式无意义？ (2)当m为何整数时，此分式值为也为整数？ 【答案】(1)当时，该分式无意义； (2)当m的值为或或或或或或或时，该分式的值为整数． 【分析】本题考查了分式无意义和分式的值． （1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可； （2）根据题意分别令或或，求解即可． 【详解】（1）解：该分式无意义， ， 解得， 即当时，该分式无意义； （2）解：该分式的值为整数，且也为整数， 或或或， 解得或或或或或或或， 即当m的值为或或或或或或或时，该分式的值为整数． 54．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 55．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 56．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 57．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】(1)真分式 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 58．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）当​为何整数时， (1)​分式​的值为正整数； (2)​分式​的值是整数． 【答案】(1)0 (2)​或​或​或 【分析】（1）​若使该式的值为正整数，则​能够被​整除，所以​可以为​，​，​；即​，​，；由​为整数得，​即可； （2）​分式​进行变形，化为​，若要使​值为整数，则​的值一定是整数，则​一定是​的约数，从而求得​的值． 【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则​能够被​整除， ​可以为​，​，​， ​，​，​， ​为整数， ​； （2）解：​， ​的值为整数，且​为整数； ​为​的约数， ​的值为​或​或​或​； ​的值为​或​或​或​． 【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则． 题型七 解分式方程（共10小题） 59．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）解下列分式方程 (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解． （1）先去分母，化为一元一次方程求解，再检验即可； （2）先去分母，化为一元一次方程求解，再检验即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验：是方程的增根， ∴原方程无解； （2）解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 60．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 61．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解题的关键是利用了转化的思想将分式方程化为整式方程，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：方程两边同乘最简公分母，得， 去括号、移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解． ∴原方程的解为：； （2）解：方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原方程的解． ∴原方程的解为． 62．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可； （2）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解； （2）解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 63．（24-25八年级上·广西桂林·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转换为一元一次方程是解题的关键． （1）先去分母，转换为一元一次方程求解，再检验根，即可求解. （2）先去分母，转换为一元一次方程求解，再检验根，即可求解． 【详解】（1）解： ， 方程两边同乘得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得：， 把代入， ∴是原分式方程的解. （2）解：， 方程变形得，， 方程两边同乘得， 去括号得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 把代入， 是原分式方程的解． 64．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 （2） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的增根，原方程无解 65．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程无解． 66．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】（1）解： ， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为； （2）解： ， ， 解得：， 经检验：是增根， ∴分式方程无解． 67．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的求解，根据分式方程的解题流程按步骤求解并将求解出的值代回验算是解决本题的关键． 先将分式方程通过去分母的方法化为一元一次方程求解，再将求解的值代回原分式方程验证即可． 【详解】（1）解：， ∴去分母得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴经检验是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， ∴， ∴， 解得：， ∴经检验是原方程的增根， ∴原方程无解． 68．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得；， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 题型八 根据分式方程解的情况求值（共10小题） 69．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：C． 70．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）已知关于的方程的解为，则处可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解. 将代入原方程中解得A的值，然后将分别代入各式中判断是否等于求得的A的值即可． 【详解】解：已知关于x的方程的解为， 则， 那么， 检验： 当时，，则A不符合题意， 当时，，则B符合题意， 当时，，则C不符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：B． 71．关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为负数得到，则，再由，得到，据此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是负数， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上，， 故选：B． 72．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程的一般步骤：一化整式方程，二解整式方程，一元一次不等式与实际问题，理解分式方程的解的意义是解题的关键． 根据解分式方程的一般步骤解出方程，再根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解： ， 根据分式方程的解为负数得， ， 解得， 当时无意义，即， 解得， 综上，且， 故答案为：且． 73．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含k的式子表示出x，再根据解是正数列不等式，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 分式方程的解是正数， 且， 解得：且 故答案为：且 74．（24-25八年级下·河南周口·期中）关于的方程的解是负数，则的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法和利用分式方程的解的情况列式是解题的关键．先根据原方程解得方程的解，再根据分式方程的解是负数，以及分母不为0，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， ， ， ， 方程的解是负数， ， ，即， 的取值范围为且． 故答案为：且． 75．（24-25八年级下·四川成都·期中）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程及分式方程的解，先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”及分式方程有解建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：去分母得， 解得：， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 76．（24-25八年级上·北京石景山·期中）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值． 【答案】1 【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解为正数，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：原方程可化为：， ． 原方程的解为正数， ， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为且， 正整数的值为1． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为0的情况． 77．（2025八年级上·河北廊坊·期中）若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件，把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解． 【详解】解：去分母，得． 去括号、移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． ， ， 即． ， ∵解为非负数， ， ， 且． 78．（25-26八年级上·河北廊坊·单元测试）若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键． 直接解分式方程，再利用解为正数，分式方程有意义，列不等式，解不等式得出m的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：去分母，得． 整理，得， 解得． ∵关于x的方程的解为正数， ， 解得． 当时，， 解得， 的取值范围是且． 题型九 分式方程增根问题（共8小题） 79．关于x的分式方程有增根，则n的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的增根，掌握增根的概念是解题的关键． 将原方程去分母得，化简得，把增根代入解得的值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 解得， ∴， 解得． 故选B． 80．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．先将方程两边乘以最简公分母化为整式方程，再将增根代入整式方程求解参数． 【详解】解：， 去分母得：， 即， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 81．关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到，求出x的值代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母得， 由分式方程有增根，得到，即， 代入整式方程得：， 故选C． 82．解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 83．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先把去分母整理得，结合，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， 整理得， ∴去分母得， 整理得， 即， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 故， ∴ ∴， 故答案为： 84．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，先把分式方程去分母化为整式方程，再通过使最简公分母为确定增根的可能值，将其代入整式方程即可算出m的值. 【详解】解：方程两边同时乘以得：， ∵方程有增根， ∴， 当时，， 当时，， 解得， ∴m的值为2或， 故答案为：2或． 85．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，则 ； (2)若分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了解分式方程，增根问题，及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． （1）先化简，得，化简，将代入，即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴，解得， 把代入， 得， 解得， 故答案为：； （2）解：由（1）得， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 ∴且． 86．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识点，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤成为解题的关键． （1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程求解即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， ， ， 是原方程的增根， ，解得． （2）解： 去分母并整理得， 方程的解为非负数， ，即， ， 又或时，该分式方程无解， 且， 且， 综上所述，的取值范围为且． 题型十 分式方程无解问题（共8小题） 87．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 88．（24-25八年级上·江西南昌·期中）关于x的方程 无解， 则m的值为（     ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程无解，得到，即， 代入整式方程①得：， 解得． 故选：C． 89．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 90．已知关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】1或0 【分析】本题考查分式方程无解的情况，掌握知识点是解题的关键． 根据将分式方程化为整式方程，化简得，由分式方程无解，得到，求出， 对增根分类讨论即可． 【详解】解： 两边同时乘以，得 ， 解得 ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得 ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴a的值为1或0． 故答案为：1或0． 91．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当的系数为0时，方程无解，求出的值；当的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出的值即可． 【详解】解： 去分母后，， 整理得，， 当时，方程无解，此时； 当时，，此时； 综上，或； 故答案为：或3． 92．（2025八年级上·河北廊坊·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）去分母化为一元一次方程即可求解，最后对求出的根进行检验即可； （2）先直接求出分式方程的根，然后根据分式方程无解可知该根为增根，列出关于m的方程即可求解． 本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数． 【详解】（1）解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． ∴分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ∴，解得， ∴若该分式方程无解，m的值为4． 93．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查分式方程：将分式方程去分母整理为，然后： （1）方程的解为正数，则解为正数且不为增根4，据此列出不等式组求解即可； （2）分为0和不为0两种情况讨论即可． 【详解】（1）去分母得： 整理得：． ∵方程的根为正数， ∴且， 解得：且； （2）分式方程化为：， ∵方程无解， ∴方程有增根或等式不成立， ①当方程有增根时，即， 即， ∴， ②当时，等式不能成立， ∴， 综上所述，a的值为． 94．已知关于x的方程无解，求的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当的系数为0时，方程无解，求出的值；当的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 由于原方程无解，故有以下两种情形： （1）若整式方程无实数根，则且， 此时 ， （2）若整式方程的解是原方程的增根，则， 解得 ， 综上所述，可取或1． 题型十一 分式与分式方程的新定义运算（共6小题） 95．（24-25七年级下·浙江金华·期中）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 96．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【答案】(1)是 (2)①；② 1​, 3​ 或 4​ 【分析】分析 ​​（1）计算 和 ​，判断是否相等． ​​（2）​​​①​ 设分式A，由定义 ，解方程求A． ​②​ 令A为正整数，求整数x，再得A的值． 【详解】（1）解：设． ， ， 故​ 是的“友好分式”， 故答案为： ​是； （2）​​​①​分式是分式A的“友好分式”， 设分式． 则 移项，得， ， ， ， 分式A为 ​​． ​②​，要求A为正整数，x为整数且 ． 令（k正整数），则：， ， ， ， x整数，故 k−2 整除2，即： 当时， 当时，， 当时， 当时（舍去，非正整数） A的值为 1​, 3​ 或 4​． 【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． 97．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与：因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式_________（填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． (2)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． (3)若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是； (2)①；②分式A的值是1，3，5； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，分式的混合计算，正确理解题意是解题得关键． （1）分别计算出和的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，则可得到，据此计算求解即可；②根据①所求可得，根据整数使得分式A的值是正整数，可得或，再由分式有意义的条件确定x的值即可得到答案； （3）设关于的分式的“可存异分式”为M，则可求出，可得，整理得：，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ；                     ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴是整数， ∴或， 又∵分式要有意义， ∴且， ∴且， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （3）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ， ∵关于x的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：． 98．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)结果是“和谐分式”, 当时，该式的值为整数． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不符合和谐分式定义，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ∵该式的值为整数， ∴，， 解得或或1或， 又，1，，， ∴， 即当时，该式的值为整数． 99．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，，，这样的分式就是假分式；，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式______，当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真 (2)，或或或 (3) 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）根据定义进行化简即可． 【详解】（1）解：根据题意得，分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：； 当的值为整数时，为整数，即为的整数倍， ∴当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 故答案为：，或或或； （3）解：． 100．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知，则_________，_________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)如果，，请用含有a和b的式子表示． 【答案】(1)①“非和谐分式”；②3； (2)或或或 (3) 【分析】（1）①由，可知该分式不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可判断是“非和谐分式”； ②由，可得，，求出M、N即可； （2）由的值是整数，可得或或或，求出x的值即可； （3）由题分别得到，，两个式子消去可得，即可求． 本题考查分式的运算，根据所给的材料，能够将所给的分式进行拆解是解题的关键． 【详解】（1）解：①，不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 分式是“非和谐分式”， 故答案为：“非和谐分式”； ②∵， ∴，， 解得，； 故答案为：3，； （2）解：， 分式的值是整数， ∴或或或， 解得或或或； （3）解：∵， ， ①， ∵， ∴②， 由得：， ∴． $