第14章　全等三角形——全等七大重点模型　训练　2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

全等三角形的7种常见模型及其构造方法

 

类型一 倍长中线模型

01. 如图, 在△ABC中, D为BC的中点, 若AC=3,AD=4. 则AB的长不可能是(     )

A. 5 B. 7 C. 8 D. 9

02. 如图所示, AD为△ABC中线, D为BC中点, AE=AB, AF=AC,连接EF, EF=2AD. 若△AEF的面积为3, 则△ADC的面积为       .

 

 

类型二 一线三等角模型

 

 

03.如图, 在矩形ABCD中, E, F分别为BC, DC上一点, AE=EF, AE⊥EF, 若BE=3, 矩形ABCD 的周长为26, 则矩形ABCD 的面积为       .

 

 

04.如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口. 已知AE=BE，∠AEB=90° , AD⊥DC, BC⊥DC, 点D、E、C在同一直线上, AD=150米, 米，求两个排污口之间的水平距离DC.

05.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(0，3)，把线段BA绕点 B逆时针旋转 后得到线段BC，则点C的坐标是 (    )

A. (3, 4) B. (4, 3) C. (4, 7) D. (3, 7)

 

06. 如图1, OA=2, OB=4, 以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC,

(1)求C点的坐标；

(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD(D点在第四象限), 过D作DE⊥x轴于E点, 求OP-DE的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

07.如图, AC=AB=BD, ∠ABD=90°, BC=8, 则△BCD的面积为(    )

A. 8 B. 12 C. 14 D. 16

 

 

类型三 手拉手模型

08. 如图,在△AOB和△COD中, OA=OB,OC=OD, ∠AOB=∠COD, AC, BD交于点M, 关于结论Ⅰ, Ⅱ, 下列判断正确的是(    )

结论Ⅰ: AC=BD;

结论Ⅱ: ∠CMD>∠COD

A. Ⅰ对, Ⅱ错B. Ⅰ错, Ⅱ对 C. 1, Ⅱ都对 D. Ⅰ, Ⅱ都错

09.在等腰△OAB和等腰△OCD 中, OA=OB, OC=OD, 连接AC、BD交于点 M.

(1) 如图1. 若∠AOB=∠COD=40°. 则AC与BD的数量关系为       ; ∠AMB 的度数为      ;

(2) 如图2, 若∠AOB=∠COD=90°, 判断AC与BD之间存在怎样的关系? 并说明理由;

10. 已知: 在△ABD和△ACE中, AD=AB, AC=AE.

(1) 如图1, 若∠DAB=∠CAE=60° , 求证: BE=DC;

(2) 如图2, 若∠DAB=∠CAE=n°, 求∠DOB 的度数.

 

11. (2021秋•恩施市校级期末) 在 中， D为BC的中点

(1) 如图1, E, F 分别是AB, AC上的点, 且. 求证： 为等腰直角三角形；

(2) 如图1, 若 ，则四边形AEDF的面积为     (直接写出结果)；

(3) 如图2, 若E, F分别为AB, CA 延长线上的点, 仍有. 其他条件不变，则 是否仍为

 

答案解析

01答案

如图，延长AD至H，使AD=DH=4,连接BH,

则AH=8,

∵D为BC的中点,

 

在 和 中，

在 和 中，

∴△ADC≌△HDB(SAS),

 在 中，AH-BH<AB<AH+BH,

 

∴AB的长不可能是5，

故选: A.

∵D为BC中点,

∴△ADC的面积=△ADB的面积, BD=DC,

∵∠ADC=∠GDB,

∴△ADC≌△GDB(SAS),

∴△ADC的面积=△BDG的面积, BG=AC,

∵AC=AF,

∴BG=AF,

∵EF=2AD, AG=2AD,

 

 

∴△AEF≌△BGA(SSS),

 的面积： 的面积：=3,

 的面积： 的面积： 的

面积 的面积：=1.5,

故答案为: 1.5.

∴AB=EC,

∵AB+BC=13,

 

 

∴S矩形. 故答案为：40.

04答案

解: ∵∠AEB=90°, AD⊥DC, BC⊥DC,

∴∠AEB=∠ADE=∠BCE=90°,

∴∠AED+∠DAE=90°, ∠AED+∠BEC=90°, ∠BEC+∠EBC=90°,

∴∠DAE=∠CEB, ∠AED=∠EBC,又∵AE=BE,

∴△ADE≌△ECB(ASA),

∴AD=CE, DE=BC,

又∵AD=150米, BC=350米,

∴DC=DE+CE=BC+AD=350+150=500(米).

答：两个排污口之间的水平距离DC为500米.

 

 

∵点A的坐标是(4, 0), 点B的坐标是(0, 3),

 

由旋转得：

 

 

 

 

 

 

∴点C的坐标是(3, 7),

故选: D.

∴点C的坐标为(6, - 2);

(2)过D作DQ⊥OP于Q点，如图2,

∴OP-DE=PQ,∠APO+∠QPD=90°∠APO+∠OAP=90°,

∴∠QPD=∠OAP,

在△AOP和△PDQ中,

∴△AOP≌△PDQ(AAS),

∴OP-DE=PQ=OA=2.

07答案

解：作 于E, 交CB延长线于F,

 

 

 

 

 

 

故选: D.

∵∠AOB=∠COD,

∠AOB+∠AOD =∠COD+∠AOD∴∠AOC =∠BOD,

在△AOC和△BOD中,

 

∴△AOC≌△BOD(SAS),

∴AC = BD, 故结论Ⅰ正确;

∵△AOC≌△BOD,

∴∠OCA=∠MDO,

∴∠MDC =∠MDO+∠ODC,

∴∠OCD=∠OCA+∠MCD,

∵∠COD=180°-(∠OCD+∠ODC)

 

 

故结论Ⅱ错误.

故选: A.

09答案

解: (1)∵∠AOB=∠COD,

∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD,

∴∠BOD=∠AOC,

在△BOD和△AOC中,

 

∴△BOD≌△AOC(SAS),

∴AC=BD; ∠OBD=∠OAC,

∵∠AOB=40°,

∴∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=180°-40°=140°,

又∵∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠ABD+∠OBD,

∴∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠ABD+∠OAC=140 ,

故答案为: AC=BD, 40°;

(2)AC=BD, AC⊥BD,

理由如下: ∵∠AOB=∠COD=90°,

∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD,

∴∠BOD=∠AOC,

在△BOD和△AOC中,

 

∴△BOD≌△AOC(SAS),

∴BD=AC, ∠OBD=∠OAC,

又∵∠OAB+∠OBA=90°,

∠ABO=∠ABM+∠OBD,

∠MAB=∠MAO+∠OAB,∴∠MAB+∠MBA=90°,又∵在△AMB中, ∠AMB+∠ABM+∠BAM=180°,

∴∠AMB=180°-(∠ABM+∠BAM)=180°

∴AC⊥BD;

10答案

证明: (1)∵∠DAB=∠CAE

∴∠DAB+∠BAC =∠CAE+∠BAC

∴∠DAC=∠BAE,

在△ADC和△ABE中,

∴△ADC≌△ABE,

∴DC=BE,

(2)同理得: △ADC≌△ABE,

∴∠ADC=∠ABE,

又∵∠DOB=180°−∠ODB−∠OBD,

=180°-∠ODB-∠ABD-∠ABE,

∴∠DOB=180°-∠ODB-∠ABD-∠

, =180°-∠ADB-∠ABD,

∴∠DOB=∠DAB=n°.

 

且AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠CAD=45°,

在△BDE和△ADF中,

∴△BDE≌△ADF(SAS),

∴DE=DF, ∠BDE=∠ADF,

∵∠BDE+∠ADE=90°,

∴∠ADF+∠ADE=90°,

即: ∠EDF=90°,

∴△EDF为等腰直角三角形.

(2)解: ∵由(1)可知, △AFD≌△BED,

而S四边形.

∵AB=4,

 

 

故答案为：4.

(3)解：仍为等腰直角三角形.

理由: ∵△AFD

≌△BED,

∴DF=DE, ∠

ADF=∠BDE,

∵∠ADF+∠FD

B=90°,

∴∠BDE+∠F

DB=90°,

 为等腰直角三角形.

12答案

解: (1)如图所示，延长AE交BD的

延长线于F,

 D,

 

∵E为CD的中点,

 

在 和 中，

 

 

 

即AB=BD+DF,

由(1)可得, DF=AC,

13答案

解:延长 BE 交AD 于点 F.

∵E 是DC 的中点,

 

 

 

 

 

 

 

 

在 中，

 

 

=12.

∵AD平分

 

在 和 中，

 

 

 又

 

则∠DAE=∠AEF, ∠EBC=∠BEF,

∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,

∴∠EAF=∠AEF, ∠EBF=∠BEF,

∴AF=EF=FB,

又∵EF∥AD∥BC,

∴EF是梯形ABCD的中位线,

 

 

∵∠EAN=90°,

∴∠MAN=45°.

(2)解: 如图, 延长CB到E, 使BE=DN, 连接AE,

∵∠D=∠B=90°, AD=AB, DN=BE,

∴∠ABE=∠D=90°,

∴△ABE≌△ADN.

∴AE=AN, ∠BAE=∠DAN,

∴∠EAN=∠DAB=90°,又MN=2-CN-CM=DN+BM=BE+BM=ME,

∴△AMN≌△AME,

∴∠MAN=∠MAE=45°.

解：(1)EF=BE+FD,理由如下：如图1，延长CB至G, 使BG=DF,连 接AG,在 和 中，

 

 

 

 

 

 

理由如下：如图2，延长

CB至M, 使BM=DF, 连接AM,

∵∠ABC+∠D=180°, ∠ABC+∠1=180°,

∴∠1=∠D,

在△ABM和△ADF中.

在 和 中，

 

 

 

 

 

在 和 中，

 

 

∴△HAE≌△FAE(SAS),