专题03 图形的相似8考点（期中真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期湘教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03图形的相似 ☆8大高频考点概览 考点01比例的基本性质 考点02成比例线段 考点03平行线分线段成比例 考点04相似图形 考点05相似三角形的判定与性质 考点06相似三角形的应用 考点07相似三角形的动点问题 考点08位似 考点01 比例的基本性质 1.(2425九上湖南益阳益阳师专附层学校期中)已知旷-则号的值是（) A.1 B.月 c± D. 2.(24-25九上·湖南永州京华中学.期中)在比例尺为1：1000000的地图上，图上相距8Cm的A、B两地的实际 距离是km. 3,(24-25九上·湖南永州蓝山县·期中)在比例尺为1：20000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25cm,则甲， 乙两地的实际距离是米 4.(Q425九上湖南衡南县冠联合学校期中已知后=则岁=一 5.2425九上潮南岳阳岳阳县期中)已知=子则号=一 6.24-25九上湖南水州第九中学期中若号=克则。2的值是 7.Q425九上湖南岳阳云溪区九校联考期中)已知=系则，4的值为 2 8.(Q4-25九上潮南邵阳新邵县新邵县惠源实验学校、新祁县陈家坊镇中学期中)已知=则 1/24 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.425九上潮南衡阳第八中学教育集团期中)若8=则。= 10.(2425九上湖南郴州永兴县树德初级中学期中)若=？，则士=。 y 7 1.(2425九上湖南岳阳湘阴县城南区联考期中已知非零实数a,,c满足号=品=每且a+b=34,c 值为一· 12.425九上湖南那阳新宁县新宁县十校期已知a,6:c为△48C的三边，且，杂=。=。二。=， 则k的值为一· 目目 考点02 成比例线段 1.(24-25九上湖南麻阳苗族自治县锦江中学期中)下列各组线段的长度成比例的是() A.6cm、2cm、1cm、4cm B.4cm、5cm、6cm、7cm C.3cm、4cm、5cm、6cm D,6cm、3cm、8cm、4cm 2.(24-25九上·湖南衡阳华新实验中学.期中)下列长度的四组线段中，成比例的一组是() A.2cm,4cm,9cm,18cm B.2cm,2.5cm,3cm,3.5cm C.4cm,5cm,6cm,7cm D.2cm,7cm,9cm,4cm 3.(23-24九上湖南常德五校联考期中)下列四组线段中，是成比例线段的是() A.4cm,3cm,4cm,5cm B.10cm,16cm,5cm,8cm C.2cm,4cm,6cm,8cm D.9cm,8cm,15cm,10cm 4.(24-25九上湖南永州道县·期中)下列各组中的四条线段成比例的是() A.1cm,2cm,3cm,4cm B.2cm,3cm,4cm,6cm C.5cm,6cm,7cm,8cm D.7cm,8cm,9cm,10cm 5.(24-25九上·湖南衡阳第八中学教育集团期中)下列各组中的四条线段成比例的是() A.4cm、2cm、1cm、3cm B.2cm、3cm、5cm、6cm C.1cm、2cm、20cm、40cm D.25cm、35cm、45cm、55cm 6.(24-25九上·湖南郴州永兴县树德初级中学.期中)已知线段a,b,c,d是成比例线段，其中a=2m,b=4m, c=5m,则d等于() A.1m B.m C.10m D.m 2/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25九上·湖南株洲荷塘区·期中)已知线段AB=10cm,点C是线段AB的黄金分割点(AC<BC),则AC 的长为() A.(5V5-10)cmB.(55-5)cm C.(15-5V5⑤)cmD.(10-25)cm 8.(24-25九上·湖南娄底双峰县·期中)在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到 铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯 用数学的方式衣达出来，后来人们将这个数5称为黄金分制数.设a=5b=士出，记51=。+ 1 1 S2=1+a++,S=1++1+,S10=1+m+1+b则S1+S2+S3++S100的值为（) A.1005 B.200V2 C.100 D.505 9.(24-25九上·湖南怀化溆浦县圣达学校·期中)已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC>BC), AB=4.则线段BC的大小是· 10.(24-25九上湖南邵阳洞口县期中)点P为线段AB的黄金分割点，PA>PB,AB=10,PA=(结 果保留根号)· 11.(24-25九上·湖南娄底第二中学·期中)线段AB=20cm,点P是线段AB上的黄金分割点，AP>BP,则 BP= 12.(24-25九上湖南株洲荷塘区期中)下列四组线段中：①a=1,b=V2,c=V2,d=2,②a=V3cm, b=2cm,c=v2cm,d=v6cm,3a=6cm,b=2cm,c=3cm,d=1m,4a=3cm,b=4cm,c=9 cm,d=15cm;其中a,b,c,d是成比例线段的有 ·(请填写序号) 13.(24-25九上·湖南益阳沅江第四中学期中)在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部 以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2的雷 锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是·（结果用根号表示） 14.(24-25九上·湖南湘潭岳塘区·期中)鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界 最美的鬼斧神工，黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长 线段长度的比值，其比值为5，如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP),若线段AB的长为4cm,则AP的 长为cm. 3/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 目目 考点03 平行线分线段成比例 1,(24-25九上·湖南衡阳实验中学期中)如图，在△ABC中，DE II BC,AD=2,DB=3,AE=1,则EC的 长为() A.月 B. c D. 2.(24-25九上·湖南娄底第二中学期中)如图，在△ABC中，D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点， DE II BC,EF I AB,则下列结论正确的是() D B B.d-ge AD BF C.AB=BC D.品- 3.(24-25九上·湖南岳阳·期中)如图L1Il2IIl3,AC=5,AE=15,CD=14,则BC的长为(） 4/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.5 B.7 C.10 D.无法确定 4.(23-24九上湖南怀化通道县·期中)如图，己知ABICDIEF,AD:AF=3:5,BC=9,则CE的长是() A D A.3 B.6 C.9 D.12 5.(24-25九上湖南郴州永兴县树德初级中学期中)如图，在平面直角坐标系中，点C,D在△A0B的边0A上， AC:CD:D0=1:21,分别过C,D点作CEI0B,DF ROB,交AB于点E,P,则5等于（） B D A.寻 B.吉 c D. 6.(23-24八下·湖南岳阳六校联考·期中)如图，两个小朋友在水平地面坐跷跷板，支点O是跷跷板的中点， 若支柱0C=0.5m.当跷跷板的一端B完全着地时，跷跷板的另一端A离地面的高度为 m. 地面 7.(23-24九上·湖南衡阳外国语学校·期中)如图，己知l1Il2Il3,AC=6,DF=9,AB=2,则 DE= 5/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B E -12 8.(23-24九上·湖南永州祁阳·期中)如图，l1Il2Il3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,已 知2=则DF=10,则DE= E B 9.(Q3-24九上湖南怀化演浦县圣达学校期中)如图，在AMBC中，点D为AC上一点，且=专过点D 作DE BC交AB于点E,连接CE,过点D作DF ICE交AB于点F,若AB=15,求线段EF的长度， B 目目 考点04 相似图形 1.(23-24九上·湖南岳阳岳阳县·期中)下列命题中，正确命题的是() A,所有的正方形都相似 B.所有的菱形都相似 C,底边相等的两个等腰三角形相似 D,对角线相等的两个矩形相似 2.(24-25九上·湖南郴州永兴县树德初级中学期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,截去矩形 ABFE,若剩下的矩形DEFC与矩形ABCD相似，则DE等于() 6/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E y A.2 B.3.5 C.4 D.4.5 3.(22-23九上·湖南衡阳师范学院祁东附属中学期中)若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面 积比是 一· 4.(22-23九上湖南永州蓝山县期中)如图，四边形ABCD和A'B'CD是以点O为位似中心的位似图形，若OA:O A'=3:4,则四边形ABCD与四边形ABCD'的面积比为 D B 目目 考点05 相似三角形的判定与性质 1,(24-25九上·湖南湘潭岳塘区·期中)己知△ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是() A.AB=4,BC=8,AC=10;DE=20,EF=16,DF=8 B.AB=3,BC=4,AC=6;DE=6,EF=8,DF=9 C.AB=12,BC=15,AC=24;DE=16,EF=30,DF=20 D.AB=3k,BC=4k,AC=5k;DE=6k,EF=7k,DF=8k(k>0) 2.(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校期中)我们把练习本上的横线认定是平行且等距的格线，如图， 彤彤同学在两条横线上画出△ABC,且边AB,AC与中间的另外两横线交于D,F,E,G四点，连接CD交FG 于点H,若BC=24,则HG的长为() 7/24 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.3 C.4 D.4.5 3.(24-25九下·湖南衡阳八中教育集团·期中)如图，△ABC被平行四边形所截，边AB被截成三等分，D和E 为三等分点，DF‖BC,若图中阴影部分的面积为3，则四边形BCGE的面积记为S,则S的值为() D A.5 B.6 C.9 D.12 4.(24-25九上·湖南益阳赫山区海棠学校·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=90°，AD=14, AB=4,CD=6,P是AD上的动点，连接BP,CP,若△PAB一△CDP,则这样的点P共有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.(24-25九上·湖南永州蓝山县·期中)如图，要使△ABC与△DCA相似，则只需添加一个适当的条件 是·（填一个即可）· B 6,(24-25九上·湖南邵阳邵东振华中学.期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC 于点D,若AC=2,则AD= 8/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25九上·湖南永州李达中学期中)如图，在△ABC中，AB=6,BC=8,CA=7,延长CA至点D,使 △DAB一△DBC,则BD=· 8.(24-25九上湖南益阳益阳师专附属学校期中如图，己知CD是△ABC边AB上的中线，且AC=2V2,AB=4, 求证：△ACD一△ABC. A D 9.(24-25九上·湖南娄底涟源·期中)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE. E B (I)求证：△ABC一△AEB: (2)当AB=6,AC=4时，求CE的长. 1O.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处； 9/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B F (I)求证：△ABF一△FCE; (2)若F是BC中点，求铝的值， 11.(24-25九上·湖南衡阳实验中学.期中)如图，在口ABCD中，AE与BC的延长线交于点E,与BD、CD分别 相交于点F、G. (1)若AB=3,BC=4,CE=2,求CG的长； (2)求证：AF2=FG·FE, 12.(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校期中)如图，在菱形ABCD的边长为1，E是AB边上与A,B不重 合的一动点，连接DE,点F是DE上一点，且∠CFE=∠B, (I)求证：△DAE一△CFD; (②)当点E在AB上移动时，线段CF也随之变化，设DE=x,CF=y,求y与x间的函数关系式.（不考虑自变 量x的取值范围) 13.(24-25九下·湖南永州第十六中学.期中)如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延 长，交BC的延长线于点F,连接BD交AF于点E,连接EC, 10/24 专题03 图形的相似 8大高频考点概览 考点01 比例的基本性质 考点02 成比例线段 考点03 平行线分线段成比例 考点04 相似图形 考点05 相似三角形的判定与性质 考点06 相似三角形的应用 考点07 相似三角形的动点问题 考点08 位似 地 城 考点01 比例的基本性质 1．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)已知，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 故选：D． 2．(24-25九上·湖南永州京华中学·期中)在比例尺为的地图上，图上相距的A、B两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例尺的相关计算，较为简单．比例尺就是图上距离与实地距离之比，变形计算即可． 【详解】解：图上相距的A、B两地的实际距离是： ， 故答案为： 3．(24-25九上·湖南永州蓝山县·期中)在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离是 米． 【答案】5000 【分析】本题考查的是比例线段，掌握比例尺的概念和性质是解题的关键． 根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲，乙两地间的实际距离． 【详解】解：设甲，乙两地间的实际距离为， 则， 解得：， 故答案为：5000． 4．(24-25九上·湖南衡南县冠联合学校·期中)已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查比例的性质，设，，代入即可求解． 【详解】解： ， 设，，其中， ， 故答案为：5． 5．(24-25九上·湖南岳阳岳阳县·期中)已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质设，，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·湖南永州第九中学·期中)若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，正确将已知式子变形是解题的关键．根据，得到，再代入所求式子中计算即可． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 7．(24-25九上·湖南岳阳云溪区九校联考·期中)已知，则的值为 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 8．(24-25九上·湖南邵阳新邵县新邵县思源实验学校、新邵县陈家坊镇中学·期中)已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键．根据比例的性质设，，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·湖南衡阳第八中学教育集团·期中)若则 ． 【答案】/0.25 【分析】本题主要查了比例的基本性质．根据比例的基本性质可得，再代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故答案为： 10．(24-25九上·湖南郴州永兴县树德初级中学·期中)若，则 ． 【答案】/2.4 【分析】此题主要考查了比例的性质，直接利用已知得出，代入化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 11．(24-25九上·湖南岳阳湘阴县城南区联考·期中)已知非零实数a，b，c满足，且，c值为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了比例的性质，设，用k表示出a、b、c,然后代入等式求出k的值，再求解即可． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 解得， 所以，． 故答案为：26． 12．(24-25九上·湖南邵阳新宁县新宁县十校·期中)已知a，b，c为的三边，且，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了比例的基本性质的综合运用；依据，即可得出，再根据、、为的三边，可得，进而得到． 【详解】解： ， ，，， ， 、、为的三边， ， ． 故答案为：． 地 城 考点02 成比例线段 1．(24-25九上·湖南麻阳苗族自治县锦江中学·期中)下列各组线段的长度成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，四条线段成比例，根据中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．据此进行判断即可． 【详解】解：A、由于，所以不成比例，故不符合题意； B、由于，所以不成比例，故不符合题意； C、由于，所以不成比例，故不符合题意； D、由于，所以成比例，故符合题意； 故选：D． 2．(24-25九上·湖南衡阳华新实验中学·期中)下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段的定义，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】A、， 长分别为，，，的四条线段是成比例线段，符合题意； B、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； C、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； D、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 3．(23-24九上·湖南常德五校联考·期中)下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，∴4条线段不成比例，故不符合题意； B、∵，∴4条线段成比例，故符合题意； C、∵，∴4条线段不成比例，故不符合题意； D、∵，∴4条线段不成比例，故不符合题意． 故选：B． 4．(24-25九上·湖南永州道县·期中)下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项判断即可得解，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，故不符合题意； B、，故四条线段成比例，故符合题意； C、，故四条线段不成比例，故不符合题意； D、，故四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 5．(24-25九上·湖南衡阳第八中学教育集团·期中)下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例线段．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，不符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段成比例，符合题意； D、，四条线段不成比例，不符合题意； 故选：C 6．(24-25九上·湖南郴州永兴县树德初级中学·期中)已知线段是成比例线段，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段的定义：若四条线段，，，有，那么就说这四条线段成比例． 根据比例线段的定义得到，然后把，，代入进行计算即可． 【详解】解：线段、、、是成比例线段， ， 而，，， ． 故选：C． 7．(24-25九上·湖南株洲荷塘区·期中)已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，把代入计算，再进一步求解即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8．(24-25九上·湖南娄底双峰县·期中)在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，记，，，，则的值为（   ） A． B． C．100 D．505 【答案】C 【分析】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．先计算，，的值，找出规律，然后求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．(24-25九上·湖南怀化溆浦县圣达学校·期中)已知点是线段的黄金分割点（其中），．则线段的大小是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 根据黄金分割的定义得到，先算出，再算出即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ， ， ， ， 故答案为：． 10．(24-25九上·湖南邵阳洞口县·期中)点P为线段的黄金分割点， ，， （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的概念与黄金比值，掌握黄金比值为是解题的关键．根据黄金分割的定义得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，，， ∴． 故答案为：． 11．(24-25九上·湖南娄底第二中学·期中)线段，点P是线段上的黄金分割点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，根据题意，得到，求出的长，再利用求出的长即可． 【详解】解：∵点P是线段上的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．(24-25九上·湖南株洲荷塘区·期中)下列四组线段中：①，，，，②，，，，③，，，，④，，，；其中a，b，c，d是成比例线段的有 ．（请填写序号） 【答案】①② 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：①，这四条线段成比例，符合题意； ②，这四条线段成比例；符合题意； ③∵，，，， ∴ ∴，这四条线段不成比例，不符合题意； ④，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故答案为：①②． 13．(24-25九上·湖南益阳沅江第四中学·期中)在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是 ．（结果用根号表示） 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题． 设下部高为米，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部高为米，则上部高度是米， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ∴， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 14．(24-25九上·湖南湘潭岳塘区·期中)鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 地 城 考点03 平行线分线段成比例 1．(24-25九上·湖南衡阳实验中学·期中)如图，在中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解掌握该比例关系列出比例式是解答关键． 根据得到，然后代数求解即可． 【详解】∵ ∴，即 ∴． 故选：A． 2．(24-25九上·湖南娄底第二中学·期中)如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由，可得，，由，可得，，再进一步分析判断即可． 【详解】∵， ∴，，故A不符合题意； ∵， ∴，， ∴，故B不符合题意；C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 3．(24-25九上·湖南岳阳·期中)如图，，，，则的长为（   ） A．5 B．7 C．10 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，比较简单． 根据平行线分线段成比例定理得出，即可解答． 【详解】解： ， ， ，，， ， ， ． 故选B． 4．(23-24九上·湖南怀化通道县·期中)如图，已知，，，则的长是（  ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．(24-25九上·湖南郴州永兴县树德初级中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点在△的边上，，分别过点作，，交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得到，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．(23-24八下·湖南岳阳六校联考·期中)如图，两个小朋友在水平地面坐跷跷板．支点O是跷跷板的中点，若支柱．当跷跷板的一端B完全着地时，跷跷板的另一端A离地面的高度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，从而得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则， ∴， ∵O为中点，即， ∴，即C为中点， ∴． 故答案为：1 7．(23-24九上·湖南衡阳外国语学校·期中)如图，已知，，则 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为3． 8．(23-24九上·湖南永州祁阳·期中)如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和，已知，则，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出比例式，把已知数据代入计算． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故答案为：6． 9．(23-24九上·湖南怀化溆浦县圣达学校·期中)如图，在中，点 D 为 上一点，且 ，过点 D 作交 于点 E，连接 ，过点D作交于点 F．若 ，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 地 城 考点04 相似图形 1．(23-24九上·湖南岳阳岳阳县·期中)下列命题中，正确命题的是（    ） A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似 C．底边相等的两个等腰三角形相似 D．对角线相等的两个矩形相似 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，解题的关键在于熟知两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，据此求解即可． 【详解】解：A、∵所有正方形的四个角都是90度，对应边成比例， ∴所有的正方形都相似，故原命题正确，符合题意； B、∵所有的菱形其四个角不一定对应相等， ∴所有的菱形不一定都相似，原命题错误，不符合题意； C、底角相等的两个等腰三角形相似，原命题错误，不符合题意； D、对角线相等的两个矩形不一定相似，例如长方形和正方形的对角线相等，但是它们不相似，原命题错误，不符合题意； 故选A． 2．(24-25九上·湖南郴州永兴县树德初级中学·期中)如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可． 【详解】解：∵矩形与矩形相似， ∴， 又∵，， ∴，解得：， 故选D． 3．(22-23九上·湖南衡阳师范学院祁东附属中学·期中)若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面积比是 ． 【答案】25∶4 【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果． 【详解】解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2， ∴这两个多边形的面积比是， 即这两个多边形的面积比是25：4， 故答案为：25：4． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键． 4．(22-23九上·湖南永州蓝山县·期中)如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ．    【答案】/ 【分析】根据位似图形的性质和得到四边形和的相似比为，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，， ∴四边形和的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为： 【点睛】此题考查了位似图形和相似的性质，熟练掌握相似形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 地 城 考点05 相似三角形的判定与性质 1．(24-25九上·湖南湘潭岳塘区·期中)已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 2．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)我们把练习本上的横线认定是平行且等距的格线，如图，彤彤同学在两条横线上画出，且边，与中间的另外两横线交于，，，四点，连接交于点，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解，熟练 相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故选：C． 3．(24-25九下·湖南衡阳八中教育集团·期中)如图，被平行四边形所截，边被截成三等分，和为三等分点，，若图中阴影部分的面积为3，则四边形的面积记为，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后得到，再分别求出的面积，由即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵阴影部分的面积是3， 故选：A． 4．(24-25九上·湖南益阳赫山区海棠学校·期中)如图，在四边形中，，，，，P是上的动点，连接，若，则这样的点P共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．设，则，则由相似三角形性质得到，化简得到，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：设，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根，故这样的点P共有2个， 故选：C． 5．(24-25九上·湖南永州蓝山县·期中)如图，要使与相似，则只需添加一个适当的条件是 ．（填一个即可）． 【答案】（任选其一即可） 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）进行添加即可． 【详解】解：与中，，已满足一组对角相等， 根据相似三角形的判定定理，添加或，根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可证与相似； 添加，根据“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似” ，可证与相似； 故答案为：（任选其一即可）． 6．(24-25九上·湖南邵阳邵东振华中学·期中)如图，在中，，平分交于点D，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出，设，则，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴, 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴。 故答案为：． 7．(24-25九上·湖南永州李达中学·期中)如图，在中，，，，延长至点，使，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟悉相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形对应边成比例得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 故答案为：12． 8．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定． 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴，且，     ∴． 9．(24-25九上·湖南娄底涟源·期中)如图，四边形为菱形，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质． （1）根据四边形是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，代入数据进行计算，求出的值，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 10．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定、矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 11．(24-25九上·湖南衡阳实验中学·期中)如图，在中，与的延长线交于点，与、分别相交于点、． (1)若，，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可； （2）分别证明，，根据相似三角形的性质证明． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴ ，即， 解得； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 12．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)如图，在菱形的边长为1，是边上与，不重合的一动点，连接，点是上一点，且． (1)求证：； (2)当点在上移动时，线段也随之变化，设，，求与间的函数关系式．（不考虑自变量的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，而，可得，从而可得结论； （2）由，可得，即，整理即可得到答案. 【详解】（1）解：∵菱形， ∴，， ∴，， ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴． 13．(24-25九下·湖南永州第十六中学·期中)如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握判定方法及性质，能用辅助未知数进行求解是解题的关键． （1）由正方形的性质得，，由即可得；由平行线的性质得，由全等三角形的性质得，即可得证： （2）由得，由三角形相似的性质得，设，则，，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴ ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．(24-25九上·湖南岳阳岳阳县·期中)如图，四边形和四边形都是正方形，三点在一直线上，连接并延长交边于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求正方形的对角线的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由正方形性质得到相关角度，结合对顶角相等，等量代换，再由两个三角形相似的判定定理即可得证； （2）由正方形性质及等腰直角三角形性质得到边的关系以及角度关系，再由两个三角形相似的判定定理即可得证； （3）根据勾股定理、相似三角形的性质列式求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查正方形性质、对顶角相等、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 15．(24-25九上·湖南娄底涟源·期中)如图，四边形为正方形，且E 是边延长线上一点，过点B作 于F点， 交于H点， 交于G点， 连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到； （2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论； （3）证明，然后通过相似三角形的对应角相等解题即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 地 城 考点06 相似三角形的应用 1．(24-25九上·湖南永州道县·期中)如图，支点O是跷跷板的中点，若支柱m，当跷跷板的一端B完全着地时，跷跷板的另一端A离地面的高度为 m． 【答案】/ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点A作，垂足为D，则，得到，根据相似三角形的性质求解即可； 【详解】过点A作，垂足为D，则， ∵ O为中点， ∴，又m ∴m 故答案为： 2．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ， 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 故答案为：． 3．(24-25九上·湖南永州蓝山县·期中)如图是小明利用光线来测古城墙高度的示意图，如果镜子与古城墙的距离米，镜子与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点，小明眼睛距地面的高度米，那么该古城墙的高度是 ． 【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出的长．正确得出相似三角形是解题关键． 【详解】解：由题意可得： ，，，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． ∴该古城墙的高度是米． 故答案为：米． 4．(24-25九上·湖南株洲荷塘区·期中)如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ． 【答案】/米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．根据题意，画出示意图，易得，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意作出示意图，则，，，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，经检验符合题意； 故答案为：． 5．(23-24九上·湖南衡阳常宁·期末)我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于尺，根据以上条件，可求得井深为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据题意可知，根据相似三角形的性质可求，进一步得到井深． 【详解】解：依题意有， ∴， 即， 解得， ∴（尺）． 故答案为：． 6．(23-24九上·湖南怀化麻阳苗族自治县锦江中学·期中)如图所示的小孔成像问题中，光线穿过小孔，在竖直的屏幕上形成倒立的实像．若像的长度，点O到的距离是，到的距离是3cm，则蜡烛的高度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用，根据相似三角形的对应边的比等于对应高的比列出比例式，再求出解即可． 【详解】根据题意，得， 即， 解得． 故答案为：8． 7．(24-25九上·湖南常德鼎城区·期中)如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点、、、，使点、、在一条直线上且，如果，，，求河的宽度． 【答案】河的宽度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，利用相似比得到 ，然后根据比例的性质即可求出的长度，熟练掌握其性质并能正确证明是解决此题的关键． 【详解】解： ， ， ， 即， ， 答：河的宽度为． 8．(24-25九上·湖南岳阳岳阳县·期中)学校网球场的网高为，如图，轩轩同学在课外活动课打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的点A位置上，已知球拍垂直于地面的点B离网，求此时球拍击球时的高度h为多少？ 【答案】h=1.5m 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程． 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行得，根据其相似比即可求解即可． 【详解】解：∵， , ∴， 即， 则 ∴． 9．(24-25九上·湖南益阳赫山区箴言龙光桥学校·期中)在一次箴龙活动课上，老师让同学们到操场上想办法测量旗杆的高度，曹峰同学的测量办法是，拿一根高的标杆直立在离旗杆的B处，然后走到F处，这时目测到旗杆的顶部C与标杆顶部A恰好在同一直线上，又测得，曹峰的目高，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行公理，先过E作分别交、于G、H，再结合平行线之间距离处处相等，即，然后证明，则，然后把数值代入得，进行计算，即可作答． 【详解】解：过E作分别交、于G、H，如图所示： ​ ∵，且， ∴（平行线之间距离处处相等）． ∴ 则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 即旗杆的高． 10．(24-25九上·湖南邵阳隆回县·期中)小明想测量在太阳光下一栋楼高，他设计了一种测量方案如下：如图，小明站到点处时，刚好使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，小明测得落在墙上的影子高度，，（点、、在同一直线上），已知小明的身高是1.7m，请你帮小明求出楼高（结果精确到0.1m）． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题关键．过点作，分别交、于点、，利用平行线的性质得出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：过点作，分别交、于点、， 则，，， ． 因为，所以， 所以，即， 解之，得． 所以． 答：楼高约为20.0m． 11．(23-24九上·湖南常德五校联考·期中)如图，王老师为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的A点处，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高m，m ，A，C两点在同一水平线上，A点距墙根G点m，m，且A、G、C三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树的高． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形求得线段的长度即可求得树高，解题的关键是根据实际问题整理出相似三角形的模型． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得：， ∴小树的高为米． 12．(24-25九上·湖南郴州桂阳县·期中)为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______米． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3)可行，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． （1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）解：可行，理由如下： 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 13．(24-25九上·湖南娄底涟源·期中)在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题． 实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量河的宽度 活动工具 标杆、卷尺 测量过程 如图，为了测量河的宽度，小康所在的数学兴趣小组设计了如下测量方案： 【步骤一】小康站在河岸 的点B处立了一根标杆； 小明站河岸的另一端点D处， 立了另一根标杆； 【步骤二】小英适当调整自己所处的位置， 在点A处测得点A， B， D恰好在同一条直线上， 点A， C， E恰好在同一条直线上； 【步骤三】其他同学用卷尺测出标杆及河岸的长； 【步骤四】记录数据 (单位：m) 标杆 1.5 标杆 1.8 河岸 10 解决问题 根据以上数据计算河的宽度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】河的宽度为50米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题题意是解题的关键． 得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得：米， 答：河的宽度为50米； 14．(24-25九上·湖南郴州永兴县树德初级中学·期中)学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为 ，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度 ，到镜面距离 ，镜面到旗杆的距离 ．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得 ， ， ， ．求旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）旗杆的高度为；（3）旗杆的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． （1）由题意知，，即，求解作答即可； （2）由题意得，，，，， 证明，则，即，计算求解即可； （3）如图，设过点作平行于的直线分别交于点，由题意得，，，， ，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，即， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 答：旗杆的高度为． （3）解：如图，设过点作平行于的直线分别交于点， 由题意得，，，， ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：m， ∴， 答：旗杆的高度为． 地 城 考点07 相似三角形的动点问题 1．(23-24九上·湖南衡阳八中教育集团·期中)如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的动点问题，主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．先利用勾股定理计算出，再讨论：当时，则可证明，当时，则可证明，然后分别利用相似比求出对应的的长． 【详解】解：如图， ，，， ， 当时， ，， ， ，即， 解得， 当时， ，， ， ，即， 解得， 综上所述，的长为4或． 故选：D． 2．(23-24九上·湖南岳阳第十九中学·期中)如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接、，若，求 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； 过P点作于点M，，交于点N，则有，，，,故，因而可得， 则，然后代入计算即可得出结论． 【详解】解：过P点作于点M，,交于点N，如下图：    则有，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解的， 故答案为：． 3．(24-25九上·湖南益阳安化县梅城镇中学·期中)如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 【答案】(1)经过2秒或4秒，的面积等于； (2)线段不能将分成面积相等的两部分；理由见详解； (3)经过秒或2.4秒时，与相似． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）设经过秒，的面积等于，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积之间的等量关系得到关于的一元二次方程，利用根的判别式即可求解； （3）设经过秒时，与相似，分①时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，由题意得，，， ∵的面积等于， ∴， 整理得， 解得，， 故经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：∵的面积， 根据题意得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：设经过秒时，与相似， ①时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，经过秒或2.4秒时，与相似． 4．(24-25九上·湖南常德桃源县文昌中学·期中)如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长；（用含t的代数式表示） (2)连接，当与相似时，求t的值； (3)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)的值为或1 (3)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （3）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）解：由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，， 即：，解得：； 当时，， 即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （3）解：由题意可得：， ∵，，，， ∴， ∵矩形， ∴， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去） 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 5．(23-24九上·湖南郴州汝城县·期中)如图，在中，，．如果点P由B出发沿向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动．已知点P的速度为，点Q的速度为．连接，设运动的时间为t（单位：s）（）    (1)求，的长； (2)当t为何值时，与相似． (3)当t为何值时，的面积为面积的． 【答案】(1) (2)t为或 (3)t为1或4 【分析】（1）先利用线段的比值可得，再利用勾股定理求解即可； （2）分两种情况讨论：当时，，当时，，再建立方程求解即可； （3）作于点E，证明，可得， 求解，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故当t为或时，与相似．与相似． （3）作于点E，    由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积，的面积， ∴， ∴， ∴当t为1或4时，的面积为面积的； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，动态三角形的面积的表示，熟练的证明三角形相似并灵活应用相似三角形的性质是解本题的关键． 6．(23-24九上·湖南邵阳洞口县·期中)如图，在中，，．点分别从同时出发，沿分别向终点移动．已知点移动端的速度分别为．设两点移动的时间为，当以为顶点的三角形与相似时，求的值． 【答案】的值为或时，以为顶点的三角形与相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握以判定方法及性质是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，分类讨论，①；②；结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：点从的运动时间为，点从的运动时间为，根据题意可得，，则，，则， 以为顶点的三角形与相似，分类讨论， ①， ∴，即，解得，， ∵， ∴运动时间为时，以为顶点的三角形与相似； ②， ∴，即，解得，， ∵， ∴运动时间为时，以为顶点的三角形与相似； 综上所述，的值为或时，以为顶点的三角形与相似． 地 城 考点08 位似 1．(24-25九上·湖南湘潭岳塘区·期中)如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确； B、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确； D、与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误． 故选：D． 2．(24-25九上·湖南郴州永兴县树德初级中学·期中)下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可． 【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心． 故选：A． 3．(23-24九上·湖南永州冷水滩区·期中)如图，六边形与六边形是位似图形，O为位似中心，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质，根据对应边之比等于位似比直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵六边形与六边形是位似图形，， ∴， 故选：D． 4．(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)与是位似图形，且与的位似比是，已知的周长是9，则的周长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的位似比是， ∴， ∵的周长是9， ∴的周长是． 故答案为：3 5．(24-25九下·湖南衡阳船山实验中学-·期中)如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，位似中心与对应点连线之比等于位似比，据此即可求解； 【详解】解：∵与的面积比， ∴与的位似比为， ∴， 故答案为： 6．(24-25九上·湖南娄底涟源·期中)如图，与是位似图形， 点O为位似中心，．若，则 的长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．(24-25九上·湖南永州第九中学·期中)如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，，若四边形的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形，根据面积比等于位似比的平方，即可求解． 【详解】∵，，以点为位似中心，作四边形的位似图形， ∴， ∵四边形的面积为， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 8．(23-24九上·湖南常德安乡县·期中)如图，两个相似图形和，若，则 ． 【答案】 【分析】已知两个图形是位似图形，则其相似，根据相似比可求解． 【详解】解：∵和是位似图形， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(23-24九上·湖南邵阳洞口县·期中)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，以原点为位似中心将放大，得到的三角形记为若的对应点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：解：∵三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，将这个三角形放大后对应点的坐标是，， ∴点B的对应点的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向和扩大的倍数． 10．(24-25九上·湖南益阳沅江第四中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，把的各边缩小到原来的，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变化的性质是解题的关键． 根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，且， 点的对应点坐标为或，即或． 故答案为：或． 11．(24-25九上·湖南邵阳第七中学·期中)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度 (1)将先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到，画出的图形； (2)以O为位似中心，将放大为原来的二倍，得到，画出三角形，并写出的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，或 【分析】本题考查了作图—平移变换、位似变换，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作出图形即可； （2）根据位似图形的作图画出图形即可，结合图形即可得出坐标． 【详解】（1）解：如图：即为所求， （2）解：如图，即为所求， ，或． 12．(23-24九上·湖南怀化·期中)如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）； (2)若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】问题考查了位似图形的作图和性质． （1）连接并延长，使，在依次连接即可； （2）根据题意得出和相似比为，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；（另一种同样给分） （2）解：∵，位似比的绝对值为2，放大为， ∴和相似比为， ∴ 即：． 13．(24-25九上·湖南常德第四中学·期中)如图，为原点，，两点的坐标分别为，． (1)以为位似中心，在轴左侧将放大2倍，得到，请画出图形（，两点的对应点分别为，）； (2)分别写出点，的坐标； (3)若的面积为，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了作图位似变换，点的坐标的特征，相似三角形的性质等知识，准确画出是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，找到点、即可； （2）由（1）的图形求解即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：由图形可知，，； （3）解：∵将放大2倍得到 ∴和的位似比为 ∴和的相似比为 ∴和的面积比为 ∵的面积为 ∴的面积为 14．(24-25九上·湖南衡阳衡阳四校·期中)如图，已知在直角坐标系平面中的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)的面积是 ； (3)将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点P，则点P的坐标为________． (4)以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请作出满足条件的一个图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点坐标画图即可； （2）根据割补法进行计算即可； （3）根据平移的性质得到答案即可； （4）由位似得到点的坐标画出图形即可． 【详解】（1）解： ，，， ， （2）解：， 故答案为：6； （3）解：将点先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点P，则点P的坐标为，即； （4）解： ，，，以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半， 或即为所求． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $