专题01 有理数（必备知识+15题型+分层检测）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材浙教版

专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义. 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类. 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循 环小数和π. 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用 数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题. 期中必考点，各题型均有可能出现;用数轴表 示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数 轴比较大小是常考点;而数轴的动点问题则 是作为压轴题来进行考查. 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数 的两个数和为 0. 期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考 查，难度不大. 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期中必考点，基础题型和中等难度题型均可 能出现;同时也会和数轴一起作为压轴题进 行考查. 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较. 知识点01 自然数、分数、小数的意义 ★1、自然数的作用： （1）计数，计量人或物的数量； （2）测量，如长度、高度、质量等； （3）标号，人为的编号，如车次、学号、门牌号等； （4）排序，如年份、月份、名次等. ★2、分数、小数的关系： （1）分数可以看做两个整数相除，因此分数都可以化为小数（有限小数或无限循环小数）； （2）有限小数、无限循环小数和百分数都可以转化为分数. 知识点02 具有相反意义的量 ★1、具有相反意义的量包含两层含义：（1）具有相反意义；（2）具有数量． ★2、用正负数表示具有相反意义的量 为了更好的区分这些具有相反意义的量，通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示． 知识点03 正负数的概念 ★1、正数和负数的概念： 像 1，2，3，1.8％ 这样大于 0 的数叫做正数. 像 -3，-1，-2，-2.7％ 这样在正数前面加上符号“ - ”(负) 的数叫做负数. 【注意】 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“ +”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如我们以后会学到 −(−4)就不是负数，而+(−5)也不是正数． ★2、数0 的意义： （1）0 既不是正数也不是负数； （2）0是正数与负数的分界. （3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0℃可以表示实际温度为冰点时的计量结果. 知识点04 有理数的分类 ★1、整数：正整数、负整数、零统称为整数． ★2、分数：正分数、负分数统称为分数． ★3、有理数：整数和分数统称为有理数.有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数； 无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数. 拓展：任何一个有理数都可以写成（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数． ★4、部分常用的数： （1）正整数：例如： 1，2，3，… ； 负整数：例如：－1，－2，－3，…； （2）正分数：例如：，2，3.14，…， 负分数：例如：…. （3）非负数：正数和0； 非正数：负数和0； （4）非负整数：正整数和0；非正整数：负整数和0； 【注意】 引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数. ①按整数、分数的关系分类：有理数； ②按正数、负数与0的关系分类：有理数． 【注意】： ① 分类的标准不同，结果也不同； ② 分类的结果应无遗漏、无重复； ③ 0是整数，但0既不是正数，也不是负数. 知识点05数轴 ★1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ★2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ★3、画数轴的注意事项： (1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2) 直线一般是水平的； (3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀. 知识点06 数轴上的点与有理数的关系 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数﹣a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度． 知识点07 相反数 ★1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义） 一般地，a 和 -a 互为相反数. ★2、相反数的几何意义： （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等； （3）一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示 数 ﹣a 和 a，我们说这两点关于原点对称. ★3、相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数. ★4、求一个相反数的方法： （1） 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数. （2） 求一个字母或一个式子相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号. 知识点08 多重符号的化简 ★1、多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，所以﹣（﹣5）=5. ★2、多重符号的化简 化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.简称“奇负偶正”. 知识点09 绝对值 ★1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如3和﹣3的绝对值都等于3，0的绝对值等于0. ★2、表示方法：如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ★3、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 【拓展】 （1）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （2）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. （3）若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数，即若 |x|=|y| ，则 x=y 或 x=﹣y . （4）当| a |=a时， a是正数或0；当| a |= ﹣a时，a是负数或0 . 知识点10 利用数轴比较有理数的大小 ◆在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点11利用法则比较有理数的大小 ◆1、比较有理数大小的法则： 符号法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 同号两数比较 大小的法则 两个正数比较大小，绝对值大的数大． 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． ◆2、两个负数比较大小的步骤： （1）分别求出两个负数的绝对值； （2）比较绝对值的大小； （3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行判断. 题型一 正负数的概念 解｜题｜技｜巧 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【典例1】在，，，，0中，负数的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（25-26六年级上·全国·课后作业）下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数； 表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各数中是正数的是 ，是负数的是 ，既不是正数也不是负数的是 ． ． 题型二 用正负数表示具有相反意义的量 解｜题｜技｜巧 用正负数表示两种具有相反意义的量．通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示． 【典例1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入1000元记作元，那么支出600元应记为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作元，那么元表示（   ） A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）我国古数学经典著作《九章算术》中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以米为基准，跳米记作米，那么跳米应记作 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）在下列横线上填上适当的词，使其前后意义相反． （1）向东走3米和 走3米； （2）某地某天最高气温是零上，最低气温是 ； （3）飞机下降0.6千米和 1千米； （4）弹簧伸长和 ． 题型三 运用正负数表示误差范围 解｜题｜技｜巧 用正负数表示误差范围，首先根据a±b的实际意义，确定了最大值和最小值的结果，从而求出物体允许的误差范围；再将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格. 【典例1】（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）学校商超的花园牛奶包装上，标注有净含量：，那么下列选项中，哪个实际净含量是合格的（    ） A．248.9mL B．244.3mL C．256mL D．239mL 【典例2】（2025·广东梅州·一模）某种药品的说明书上标明保存温度是，则该药品在（　　）范围内保存才合适． A． B． C． D． 【变式1】隆回县羊古坳镇雷锋村超级杂交水稻的种植按照袁隆平院士指导的“良种、良法、良田、良态”四良法则进行研究和示范．该大米包装袋上的标识表示此袋大米重（    ） A． B． C． D． 【变式2】某疫苗说明书上标明疫苗保存的温度是，设该疫苗合适的保存温度为，则的取值范围是 ． 题型四 有理数的概念 解｜题｜技｜巧 整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数； 【典例1】（24-25七年级上·天津东丽·期末）下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）在实数中， 有理数有（　　）个 A．2 B．4 C．3 D．5 【变式2】（23-24七年级上·湖北荆门·期中）在、、、、 0、、中，有理数的个数是（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．7个 题型五 有理数的分类 解｜题｜技｜巧 有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数. 注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数可分整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类 D．以上说法都正确 【典例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列各数填入表示它们所在的数集的大括号里： ，，，0，2023，，，． 正数集｛                 …｝； 负数集｛                 …｝； 整数集｛                 …｝； 有理数集｛                 …｝． 【变式1】（24-25七年级下·重庆永川·阶段练习）下列各数：5，，，，，，，，其中是非负数的有（   ） A．2个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合              负分数集合              非负整数集合              有理数集合              题型六 数轴及其画法 解｜题｜技｜巧 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【典例2】（24-25七年级上·广东肇庆·阶段练习）下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（    ） A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数 C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 题型七 数轴上两点间的距离 解｜题｜技｜巧 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. 【典例1】在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【变式1】在数轴上表示3的点与表示﹣4的点之间的距离是（　　） A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣4 【变式2】如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： （1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A：　 　；B：　 　；C：　 　． （2）A、B两点间的距离是 　 　，A、C两点间的距离是 　 　． （3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 题型八 利用数轴解决实际问题 解｜题｜技｜巧 数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系. 【典例1】（2024•裕华区校级二模）如图，数轴上点A表示向东走了8m，则点B表示（　　） A．向东走8m B．向南走8m C．向西走8m D．向北走8m 【变式1】 数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 　 　． 【变式2】如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 　　. 【变式3】一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3 次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示 的数为（　　） A. -2022 B．2022 C．-1011 D．1011 题型九 绝对值 解｜题｜技｜巧 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【典例1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上到原点的距离等于的点表示的有理数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）绝对值不大于3的整数有（　　）个 A．7 B．5 C．4 D．3 【变式2】对于任何有理数，下列一定为负数的是（   ） A． B． C． D． 题型十 相反数 解｜题｜技｜巧 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数. 【典例1】（23-24七年级上·山西临汾·期中）的相反数是（　　） A． B．6 C． D． 【典例2】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上点所表示的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）7的相反数是 ，的相反数是 ，0.2与 互为相反数． 题型十一 多重符号的化简 解｜题｜技｜巧 多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 【典例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课前预习）（1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）解决下列问题： (1)若，求的值． (2)已知，求的相反数． (3)若，求的相反数． 题型十二 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、直接根据符号法则来比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 2、利用数轴比较有理数大小的步骤： （1）画数轴并描点； （2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序； （3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小. 3、两个正数比较大小，绝对值大的数大．两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【典例1】在，，，0这四个数中，最大的数是（　　） A． B．0 C． D． 【典例2】实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试比较下列各组数的大小：（填“＞，＜，≥，≤，＝”符号） 则：|﹣a|　 　|b|；﹣a 　 　c；c﹣b 　 |b|． 【变式1】（2024•丛台区校级二模）在﹣5，，0，3这四个数中，比﹣2小的是（　　） A．0 B． C．﹣5 D．3 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】比较下列各组数的大小： （1）﹣（）与﹣||； （2）﹣（﹣|﹣3.4|）与﹣（+|3.4|）． 题型十三 绝对值的非负性 解｜题｜技｜巧 1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. 2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. 【典例1】，则（　　） A．3 B． C． D．2 【变式1】（24-25七年级上·全国·阶段练习）若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 【变式2】若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝　 　． 【变式3】已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）求2|x|﹣|y|的值． 题型十四 利用绝对值解决实际问题 解｜题｜技｜巧 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. 【典例1】有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　） A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1 【变式1】太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质 量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】小明同学在一条南北走向的公路上晨练，跑步情况记录如下：（向北为正，单位：m）：500， ﹣400，﹣700，800，小明同学跑步的总路程为（　　） A．800 m B．200 m C．2400 m D．﹣200 m 【变式3】世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 题型十五 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值是一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。绝对值的几何意义可以推而广之，表示两点之间的距离，并不一定强调与原点的距离。例如：| x-a |的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离. 【典例1】同学们都知道，|5﹣2|表示5与2之差的绝对值，|5﹣2|也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答： （1）|﹣5﹣2|＝　 　，这个算式利用数轴可理解为 　 　； （2）求使|x+5|＝7成立的所有整数； （3）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且AB＝BC＝CD，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【变式2】（25-26七年级上·全国·阶段练习）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义， 如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上 对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上 两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若悉尼时间比北京时间早2小时，记为时．则巴黎时间比北京时间晚7小时，应记为（   ）时． A． B． C． D． 2．家乐福出售的面粉袋上标有质量为的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（   ） A． B． C． D． 3．下列表示的“相反数”的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各有理数：，，，，，，，，，中（ ） A．只有，，，是整数 B．只有，，是负分数 C．非负数有，，， D．其中有三个数是正整数 5．如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数可能是（　　） A． B．0 C．1 D． 6．如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．3 7．一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：、、、、、．这6袋面包中有 袋是合格的． 8．下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．在数轴上与的距离等于4的点表示的数为（   ） A． B．2或 C．或 D． 10．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位长度后，得到它的相反数，则这个数是 ． 12．点，点在数轴上表示的数分别为和5，点是数轴上一点，若，则点所表示的数为 ． 13．把下列各数填在相应的集合里∶ 3，，，0，，，，，，． (1)正整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (2)整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (3)正分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (4)负分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (5)非负有理数集合{　　　　　　　　　　　　　　…}． 14．（1）________． （2）________． （3）回答下列问题： ①当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ ②当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？ ③你能总结出什么规律？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 16．快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶3km到达A小区，继续向西行驶1km到达B小区，然后向东骑行8km到达C小区最后回到物流公司． （1）以物流公司为原点，向东方向为正方向，用1cm表示1km，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． （2）C小区离A小区有多远？ （3）求快递员一共骑行的路程． 17．如图，根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：　 　；B：　 　； （2）观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是：　 　； （3）若将数轴折叠，使得点A与点C表示的数﹣3重合，则点B与点D重合，则点D表示的数为 　　 ； （4）在（3）的条件下，用“＞”连接点A、B、C、D分别表示的有理数：　 　． 18．为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17． （1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？ （2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？ 19．已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 20．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义. 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类. 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循 环小数和π. 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用 数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题. 期中必考点，各题型均有可能出现;用数轴表 示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数 轴比较大小是常考点;而数轴的动点问题则 是作为压轴题来进行考查. 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数 的两个数和为 0. 期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考 查，难度不大. 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期中必考点，基础题型和中等难度题型均可 能出现;同时也会和数轴一起作为压轴题进 行考查. 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较. 知识点01 自然数、分数、小数的意义 ★1、自然数的作用： （1）计数，计量人或物的数量； （2）测量，如长度、高度、质量等； （3）标号，人为的编号，如车次、学号、门牌号等； （4）排序，如年份、月份、名次等. ★2、分数、小数的关系： （1）分数可以看做两个整数相除，因此分数都可以化为小数（有限小数或无限循环小数）； （2）有限小数、无限循环小数和百分数都可以转化为分数. 知识点02 具有相反意义的量 ★1、具有相反意义的量包含两层含义：（1）具有相反意义；（2）具有数量． ★2、用正负数表示具有相反意义的量 为了更好的区分这些具有相反意义的量，通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示． 知识点03 正负数的概念 ★1、正数和负数的概念： 像 1，2，3，1.8％ 这样大于 0 的数叫做正数. 像 -3，-1，-2，-2.7％ 这样在正数前面加上符号“ - ”(负) 的数叫做负数. 【注意】 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“ +”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如我们以后会学到 −(−4)就不是负数，而+(−5)也不是正数． ★2、数0 的意义： （1）0 既不是正数也不是负数； （2）0是正数与负数的分界. （3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0℃可以表示实际温度为冰点时的计量结果. 知识点04 有理数的分类 ★1、整数：正整数、负整数、零统称为整数． ★2、分数：正分数、负分数统称为分数． ★3、有理数：整数和分数统称为有理数. 有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数； 无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数. 拓展：任何一个有理数都可以写成（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数． ★4、部分常用的数： （1）正整数：例如： 1，2，3，… ； 负整数：例如：－1，－2，－3，…； （2）正分数：例如：，2，3.14，…， 负分数：例如：…. （3）非负数：正数和0； 非正数：负数和0； （4）非负整数：正整数和0；非正整数：负整数和0； 【注意】 引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数. ①按整数、分数的关系分类：有理数； ②按正数、负数与0的关系分类：有理数． 【注意】： ① 分类的标准不同，结果也不同； ② 分类的结果应无遗漏、无重复； ③ 0是整数，但0既不是正数，也不是负数. 知识点05数轴 ★1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ★2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ★3、画数轴的注意事项： (1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2) 直线一般是水平的； (3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀. 知识点06 数轴上的点与有理数的关系 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数﹣a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度． 知识点07 相反数 ★1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义） 一般地，a 和 -a 互为相反数. ★2、相反数的几何意义： （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等； （3）一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示 数 ﹣a 和 a，我们说这两点关于原点对称. ★3、相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数. ★4、求一个相反数的方法： （1） 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数. （2） 求一个字母或一个式子相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号. 知识点08 多重符号的化简 ★1、多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，所以﹣（﹣5）=5. ★2、多重符号的化简 化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.简称“奇负偶正”. 知识点09 绝对值 ★1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如3和﹣3的绝对值都等于3，0的绝对值等于0. ★2、表示方法：如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ★3、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 【拓展】 （1）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （2）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. （3）若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数，即若 |x|=|y| ，则 x=y 或 x=﹣y . （4）当| a |=a时， a是正数或0；当| a |= ﹣a时，a是负数或0 . 知识点10 利用数轴比较有理数的大小 ◆在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点11利用法则比较有理数的大小 ◆1、比较有理数大小的法则： 符号法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 同号两数比较 大小的法则 两个正数比较大小，绝对值大的数大． 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． ◆2、两个负数比较大小的步骤： （1）分别求出两个负数的绝对值； （2）比较绝对值的大小； （3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行判断. 题型一 正负数的概念 解｜题｜技｜巧 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【典例1】在，，，，0中，负数的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义，熟知比0小的数叫做负数是解题的关键． 需将符号化为最简，即数字前最多只有一个符号时，看是否有负号“” ，如果有“”就是负数，否则是正数. 【详解】解：，，是负数，有3个， 故选：D． 【变式1】（25-26六年级上·全国·课后作业）下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数； 表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 【详解】解答：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故选：C． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据负数的定义，判断每个选项是否为负数，负数是小于的数．本题主要考查负数的定义，熟练掌握“小于的数是负数”是解题的关键． 【详解】解：是负数，是负数，不是负数，是负数． 故选： ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各数中是正数的是 ，是负数的是 ，既不是正数也不是负数的是 ． ． 【答案】 0 【分析】本题考查了正数和负数的认识，熟练掌握正负数的基础知识是关键； 根据正负数的定义和0既不是正数也不是负数解答即可. 【详解】解：是正数， 是负数， 0既不是正数也不是负数； 故答案为：；；0 ． 题型二 用正负数表示具有相反意义的量 解｜题｜技｜巧 用正负数表示两种具有相反意义的量．通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示． 【典例1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入1000元记作元，那么支出600元应记为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：根据题意，收入1000元记作元， 则支出600元记作元． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作元，那么元表示（   ） A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，若收入记为正，那么支出则记为负，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负， ∴如果收入300元记作元，那么元表示支出90元， 故选：A． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）我国古数学经典著作《九章算术》中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以米为基准，跳米记作米，那么跳米应记作 【答案】米 【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义并结合题意可直接进行求解． 【详解】解：若跳远测试以米为基准，跳米记作米，那么跳米应记作米， 故答案为：米． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）在下列横线上填上适当的词，使其前后意义相反． （1）向东走3米和 走3米； （2）某地某天最高气温是零上，最低气温是 ； （3）飞机下降0.6千米和 1千米； （4）弹簧伸长和 ． 【答案】 向西 零下 上升 缩短 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正确理解具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：（1）东的相反方向是西，所以向东走 3 米和向西走 3 米，二者意义相反， 故填：向西； （2）零上的相反情况是零下，所以某地某天最高气温是零上，最低气温是零下，二者意义相反， 故填：零下； （3）下降的相反动作是上升，所以飞机下降 0.6 千米和上升1 千米，二者意义相反， 故填：上升； （4）伸长的相反变化是缩短，所以弹簧伸长和缩短，二者意义相反， 故填：缩短． 题型三 运用正负数表示误差范围 解｜题｜技｜巧 用正负数表示误差范围，首先根据a±b的实际意义，确定了最大值和最小值的结果，从而求出物体允许的误差范围；再将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格. 【典例1】（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）学校商超的花园牛奶包装上，标注有净含量：，那么下列选项中，哪个实际净含量是合格的（    ） A．248.9mL B．244.3mL C．256mL D．239mL 【答案】A 【分析】此题主要考查正负数的意义，关键是先求出合格净含量的范围． 【详解】解：，因此合格净含量应在245～255 mL之间．只有A符合题意． 故选：A． 【典例2】（2025·广东梅州·一模）某种药品的说明书上标明保存温度是，则该药品在（　　）范围内保存才合适． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据温度范围的表示方法，以为基准，允许上下浮动，计算最低和最高温度即可确定正确选项． 【详解】药品保存温度标注为， 表示最低温度为， 最高温度为． 由此可得保存温度范围为， 故项：B． 【变式1】隆回县羊古坳镇雷锋村超级杂交水稻的种植按照袁隆平院士指导的“良种、良法、良田、良态”四良法则进行研究和示范．该大米包装袋上的标识表示此袋大米重（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数在实际生活中的应用，解题的关键是理解质量标识＂＂所表示的范围含义． 根据质量标识＂＂的含义，通过计算标准质量与误差值的和、差，确定大米质量的范围． 【详解】解：质量标识＂＂表示：大米的实际质量最小为，最大为，即此袋大米重． 故选：A． 【变式2】某疫苗说明书上标明疫苗保存的温度是，设该疫苗合适的保存温度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，表示的意义是比高或低都可以，求出疫苗合适的最低和最高温度，从而得到的取值范围． 【详解】解： ，， 的取值范围是 故答案为：． 题型四 有理数的概念 解｜题｜技｜巧 整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数； 【典例1】（24-25七年级上·天津东丽·期末）下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数，掌握有理数和无理数的概念是解题的关键． 根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，据此即可解答． 【详解】解：有理数有：，，，0，共5个． 故选C． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）在实数中， 有理数有（　　）个 A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】D 【分析】此题考查了实数，熟练掌握有理数的定义是解本题的关键．判断每个数是否为有理数．有理数包括整数、有限小数、无限循环小数及分数形式的数(分母不为0)．无理数则为无限不循环小数． 【详解】解：由题意得这5个数是有理数， 这2个数是无理数． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·湖北荆门·期中）在、、、、 0、、中，有理数的个数是（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的定义，根据整数和分数统称为有理数进行求解即可． 【详解】解：有理数有、、、0、，共8个， 故选：A． 题型五 有理数的分类 解｜题｜技｜巧 有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数. 注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数可分整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类 D．以上说法都正确 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 根据有理数的分类方式作答即可． 【详解】A． 有理数包括正数、负数和零，说法错误 B． 一个有理数不是整数就是分数，说法正确 C．分类标准混乱，说法错误 D．综上可知，说法错误 故选：B 【典例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列各数填入表示它们所在的数集的大括号里： ，，，0，2023，，，． 正数集｛                 …｝； 负数集｛                 …｝； 整数集｛                 …｝； 有理数集｛                 …｝． 【答案】，，，；，，；，，；，，，，，， 【分析】本题考查有理数的分类；理解有理数的分类是解题的关键．根据有理数分类处理即可． 【详解】解：正数集｛，，，…｝； 负数集｛，，…｝； 整数集｛，，…｝； 有理数集｛，，，，，，…｝． 【变式1】（24-25七年级下·重庆永川·阶段练习）下列各数：5，，，，，，，，其中是非负数的有（   ） A．2个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的概念（非负数包括正数和0 ）．解题关键是准确识别正数和0，对每个数依据正负性判断是否为非负数，核心是清晰界定非负数的范围 ．非负数是指正数和0 ．依次判断每一个有理数即可． 【详解】解：依次判断：5是正数，是非负数；是负数，不是非负数；是正数，是非负数；是负数，不是非负数；是正数，是非负数；是正数，是非负数；是负数，不是非负数；0是非负数， 所以非负数有，共5个， 故选 B． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合              负分数集合              非负整数集合              有理数集合              【答案】15，，，171，，，；，；15，171，0；15，，，，，，，171，0，， 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合15，，，171，，， ； 负分数集合 ， ； 非负整数集合15，171，0； 有理数集合15，，，，，，，171，0，， ． 题型六 数轴及其画法 解｜题｜技｜巧 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【答案】D 【分析】本题考查数轴的基本知识，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 数轴是一条直线,说法正确； B. 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边,说法正确； C. 在数轴上表示2和的点到原点的距离相等,说法正确； D.数轴的正方向可以根据实际需求定义，通常默认向右为正方向，但并非绝对，故该选项说法不正确； 故选D． 【典例2】（24-25七年级上·广东肇庆·阶段练习）下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的画法，根据数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A．单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； B．没有原点，故该选项不正确，不符合题意； C．正确，故该选项符合题意； D.没有原点，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（    ） A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数 C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义. 根据数轴的定义和性质逐一分析选项. 【详解】A：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，但数轴本身是一条直线，这三个要素是其属性而非“组成”部分，因此表述不准确，错误. B：数轴上的点与实数一一对应，每个点只能表示一个数，正确. C：数轴上的点可以表示所有实数（如分数、小数等），错误. D：数轴包含正数、负数和原点（0），错误. 故选：B. 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的应用以及两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键；由题可知点表示的数是，由数轴可知，故可得到答案； 【详解】解：数轴的单位长度为1，由数轴可得两点的距离为，且在的右边 点A表示的数是-3，所以点表示的数为1． 故选：D． 题型七 数轴上两点间的距离 解｜题｜技｜巧 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. 【典例1】在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D． 【分析】由数轴上表示数﹣1和2021的点到原点的距离分别为1个单位长度和2021个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为2022． 【详解】解：点A在原点的左侧，到原点的距离是1个单位长度，点B在原点的右侧，到原点的距离是2021个单位长度，B两点之间的距离为1+2021=2022， 故选：D． 【变式1】在数轴上表示3的点与表示﹣4的点之间的距离是（　　） A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣4 【答案】A． 【分析】由数轴上表示数3和﹣4的点到原点的距离分别为3个单位长度和4个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为7． 【解答】解：点A在原点的右侧，到原点的距离是3个单位长度，点B在原点的左侧，到原点的距离是4个单位长度，B两点之间的距离为3+4=7， 故选：A． 【变式2】如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： （1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A：　 　；B：　 　；C：　 　． （2）A、B两点间的距离是 　 　，A、C两点间的距离是 　 　． （3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【分析】（1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于AC＝10，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【详解】解：（1）根据图示，知A、B、C这三个点表示的数各是﹣6、1、4， 故答案为﹣6、1、4； （2）根据图示知AB的距离是7；AC的距离是10， 故答案为：7；10； （3）∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， 此时将点B向左移动2个单位即可． 题型八 利用数轴解决实际问题 解｜题｜技｜巧 数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系. 【典例1】（2024•裕华区校级二模）如图，数轴上点A表示向东走了8m，则点B表示（　　） A．向东走8m B．向南走8m C．向西走8m D．向北走8m 【答案】C． 【分析】由题给数轴可知，A、B分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，则A、B表示相反意义的量． 【详解】解：由题给数轴可知，A、B分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，A表示向东走了8m，则点B表示向西走了8m， 故选：C． 【变式1】 数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 　 　． 【答案】﹣2． 【分析】根据题意知蚂蚁位于原点左侧2个单位的位置，据此可得． 【解答】解：根据题意知蚂蚁位于原点左侧2个单位的位置，即A所表示的数为﹣2， 故答案为：﹣2． 【变式2】如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 　　. 【答案】﹣2π． 【分析】由数轴的概念，圆周长公式，即可计算． 【详解】解：∵圆的周长为2πr＝2π， ∴半径为单位1圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是﹣2π． 故答案为：﹣2π． 【变式3】一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3 次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示 的数为（　　） A. -2022 B．2022 C．-1011 D．1011 【答案】C． 【分析】由题意可知第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…，由此规律可求解． 【详解】解：∵第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…， ∴第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…， ∵2022÷2=1011， ∴它跳第2022次落下时，向左1011个单位， 故选：C． 题型九 绝对值 解｜题｜技｜巧 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【典例1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上到原点的距离等于的点表示的有理数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴数轴上到原点的距离等于的点表示的有理数是或， 故选：． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）绝对值不大于3的整数有（　　）个 A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键；绝对值不大于3的整数有，然后问题可求解． 【详解】解：绝对值不大于3的整数有，共7个； 故选A． 【变式2】对于任何有理数，下列一定为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义和相反数、绝对值化简，掌握负数的定义以及绝对值的性质是解答此题的关键．根据负数小于0，可将各项化简，然后再进行判断． 【详解】解：A、，当时，原式不是负数，故A不符合题意； B、，当时，原式不是负数，故B不符合题意； C、，当时，原式不是负数，故C不符合题意； D、∵，∴，原式一定是负数，符合题意， 故选：D． 题型十 相反数 解｜题｜技｜巧 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数. 【典例1】（23-24七年级上·山西临汾·期中）的相反数是（　　） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D ． 【典例2】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【答案】A 【分析】该题考查了相反数的定义，化简各数，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：A．和互为相反数，符合题意； B．和，不是互为相反数，不符合题意； C．和，不是互为相反数，不符合题意； D．3和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上点所表示的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了相反数的定义，能够正确根据数轴得到点所对应的数字，掌握求一个数的相反数的方法．首先从数轴上正确看出点M所对应的数，再根据求一个数的相反数，即在这个数的前面加上负号． 【详解】解：结合数轴，得到点M所对应的数是． 再根据相反数的定义，得的相反数是． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）7的相反数是 ，的相反数是 ，0.2与 互为相反数． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解． 【详解】解：7的相反数是，的相反数是，0.2与互为相反数． 故答案为：，，． 题型十一 多重符号的化简 解｜题｜技｜巧 多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 【典例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用相反数的定义化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义分别对各选项进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课前预习）（1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是关键，只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）解决下列问题： (1)若，求的值． (2)已知，求的相反数． (3)若，求的相反数． 【答案】(1)，6 (2) (3)3 【分析】（1）括号前是，括号内的每一项都需要变号，括号前是“+”，括号内的每一项不变号. （2）括号前是，括号内的每一项都需要变号，再求相反数. （3）从内层开始一步步去括号，再求相反数. 【详解】（1）解： （2）解：因为， 所以的相反数为． （3）因为， 所以的相反数是3． 题型十二 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、直接根据符号法则来比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 2、利用数轴比较有理数大小的步骤： （1）画数轴并描点； （2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序； （3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小. 3、两个正数比较大小，绝对值大的数大．两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【典例1】在，，，0这四个数中，最大的数是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数比较大小，正数大于负数，零大于一切负数，零小于一切正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵， ∴最大的为0， 故选：B. 【典例2】实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试比较下列各组数的大小：（填“＞，＜，≥，≤，＝”符号） 则：|﹣a|　 　|b|；﹣a 　 　c；c﹣b 　 |b|． 【分析】先由数轴得b＜a＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|，再根据绝对值的性质，相反数的定义，减法法则进行判断便可． 【详解】解：由数轴知，b＜a＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|， ∴|﹣a|＜|b|，﹣a＜c，c﹣b＞﹣b＝|b|， 故答案为：＜，＜，＞． 【变式1】（2024•丛台区校级二模）在﹣5，，0，3这四个数中，比﹣2小的是（　　） A．0 B． C．﹣5 D．3 【答案】C 【分析】根据负数小于零，零小于正数，负数小于正数即可求解． 【详解】解：， ∴比﹣2小的是﹣5， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简多重符号，绝对值，比较有理数的大小．先化简多重符号、绝对值，再根据“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”比较大小即可． 【详解】解：A．，错误，不合题意； B．，错误，不合题意； C．，错误，不合题意； dD．，即，正确，符合题意； 故选：D． 【变式3】比较下列各组数的大小： （1）﹣（）与﹣||； （2）﹣（﹣|﹣3.4|）与﹣（+|3.4|）． 【分析】（1）先化简计算，再比较大小； （2）先化简计算，再比较大小． 【详解】解：（1）∵﹣（），﹣||， ∴， ∴﹣（）＞﹣||； （2）∵﹣（﹣|﹣3.4|）＝3.4，﹣（+|3.4|）＝﹣3.4， ∴3.4＞﹣3.4， ∴﹣（﹣|﹣3.4|）＞﹣（+|3.4|）． 题型十三 绝对值的非负性 解｜题｜技｜巧 1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. 2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. 【典例1】，则（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·全国·阶段练习）若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的非负性逐项判断即可． 【详解】解：A．，因此的值是正数或0，该选项说法错误； B．，因此的值是负数或0，该选项说法错误； C．，因此的值是正数，该选项说法正确； D．，因此的值小于或等于1，该选项说法错误； 故选C． 【变式2】若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝　 　． 【答案】1． 【分析】由绝对值的非负性，求出a＝20，b＝﹣19，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|a﹣20|+|b+19|＝0， ∴a﹣20＝0，b+19＝0， ∴a＝20，b＝﹣19， ∴|a|﹣|b| ＝|20|﹣|﹣19| ＝20﹣19 ＝1． 故答案为：1． 【变式3】已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）求2|x|﹣|y|的值． 【分析】（1）根据非负数的性质列式计算即可得解； （2）根据绝对值的性质进行计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意得，x﹣2＝0，y+3＝0， 解得x＝2，y＝﹣3； （2）2|x|﹣|y|＝2|2|﹣|﹣3|＝4﹣3＝1． 题型十四 利用绝对值解决实际问题 解｜题｜技｜巧 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. 【典例1】有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　） A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1 【答案】D． 【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的． 【详解】解：|2|＝2，|﹣3|＝3，|+4|＝4，|﹣1|＝1， ∵1＜2＜3＜4， ∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为﹣1． 故选：D． 【变式1】太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质 量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】求出各数绝对值，比较大小即可． 【详解】解：|+2.1|＝2.1，|﹣3.4|＝3.4，|+0.8|＝0.8，|﹣0.7|＝0.7， ∴|﹣0.7|＜|+0.8|＜|+2.1|＜|﹣3.4|， 则实际质量最接近标准质量的是﹣0.7g， 故选：D． 【变式2】小明同学在一条南北走向的公路上晨练，跑步情况记录如下：（向北为正，单位：m）：500， ﹣400，﹣700，800，小明同学跑步的总路程为（　　） A．800 m B．200 m C．2400 m D．﹣200 m 【答案】C． 【分析】求出各个数的绝对值的和即可． 【详解】解：小明同学跑步的总路程为|500|+|﹣400|+|﹣700|+|800|＝2400（m） 故选：C． 【变式3】世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【分析】由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量． 【详解】解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克． (2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球 |－0.15|＝0.15，合格品． 题型十五 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值是一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。绝对值的几何意义可以推而广之，表示两点之间的距离，并不一定强调与原点的距离。例如：| x-a |的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离. 【典例1】同学们都知道，|5﹣2|表示5与2之差的绝对值，|5﹣2|也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答： （1）|﹣5﹣2|＝　 　，这个算式利用数轴可理解为 　 　； （2）求使|x+5|＝7成立的所有整数； （3）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且AB＝BC＝CD，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【分析】（1）根据绝对值意义可得|﹣5﹣2|的值，根据绝对值的几何意义可得出答案； （2）根据绝对值的意义得x+5＝7或x+5＝﹣7，据此可求出整数x； （3）根据AB＝BC＝CD，则点A到B，C之间的距离较近，点D到B，C之间的距离也较近，据此可确定超 【详解】解：（1）|﹣5﹣2|＝7， 这个算式利用数轴可理解为：在数轴上，﹣5与2之间的距离． 故答案为：7；﹣5与2之间的距离． （2）∵|x+5|＝7， ∴x+5＝7或x+5＝﹣7， 由x+5＝7解得：x＝2， 由x+5＝﹣7解得：x＝﹣12， ∴使|x+5|＝7成立的所有整数有2，﹣12； （3）∵AB＝BC＝CD， ∴点A到B，C之间的距离较近，点D到B，C之间的距离也较近， 超市的位置应在B，C两个村庄之间． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 【变式2】（25-26七年级上·全国·阶段练习）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义， 如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上 对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上 两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________． 【答案】(1)，或； (2)，，． 【分析】本题主要考查了有理数数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，难点是分类讨论． （1）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （2）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：或， 故答案为：5，1或； （2）解：可以看作表示的点到1和的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，； 有最小值，最小值为：； 可以看作表示的点到的距离与到2的距离以及到4的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，的最小值为5， 故答案为：4，2，5； 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若悉尼时间比北京时间早2小时，记为时．则巴黎时间比北京时间晚7小时，应记为（   ）时． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数在实际情境中表示相反意义的量，解题的关键是根据“早2小时记为时”，确定“晚”对应负数的表示规则． 由“早于北京时间记为正”可推出“晚于北京时间记为负”，结合巴黎时间比北京时间晚7小时，得出对应记法． 【详解】解：根据题意，“比北京时间早”用正数表示，则“比北京时间晚”用负数表示．   因为巴黎时间比北京时间晚7小时，故应记为时，对应选项D．   故选：D． 2．家乐福出售的面粉袋上标有质量为的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的概念，理解其概念是解题的关键． 根据题意求出质量的最大值和最小值即可． 【详解】解：根据题意得：标有质量为的字样， ∴最大为，最小为， 二者之差为． 故选：D． 3．下列表示的“相反数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号、相反数，属于基础题目，熟知相反数的定义是关键. 先把各项中多重符号化简，再根据相反数的定义判断即可. 【详解】解：的相反数是， 而，，，， 故C符合题意， 故选：C． 4．下列各有理数：，，，，，，，，，中（ ） A．只有，，，是整数 B．只有，，是负分数 C．非负数有，，， D．其中有三个数是正整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类．根据正整数、整数（正整数、零和负整数）、非负数和负分数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、整数包括：，，，，，故本选项错误； B、负分数包括，，，故本选项正确； C、非负数包括，，，，，故本选项错误； D、正整数只有两个，即和，故本选项错误． 故选：B． 5．如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数可能是（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握用数轴上的点表示有理数是解题的关键，确定该数的取值范围即可求解． 【详解】解：设叶片盖住的点表示的数为x，则， 则表示的数可能是． 故选：A． 6．如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，用有理数表示数轴上的点，有理数的加法，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得到表示出点A表示的数是，点C表示的数是3，进而求解即可． 【详解】∵数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，点A，C两点之间距离为6个单位长度， ∵点A，C表示的数互为相反数， ∴点A表示的数是，点C表示的数是3， ∴点B表示的数是． 故选：C． 7．一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：、、、、、．这6袋面包中有 袋是合格的． 【答案】4 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握相反意义的量，有理数大小比较，是解题的关键． 的意思是质量都是有浮动的，不都正好是．所以它的质量允许有的上下浮动，只要不超范围都是合格的． 【详解】解：指面包质量比100g多或少都是合格的． 其中指的是比标准质量多，是合格的； 指比标准质量少，是不合格的； 指正好等于标准质量，是合格的； 指比标准质量少，是合格的； 指比标准质量多，是合格的； 指比标准质量多，是不合格的． ∴这6袋面包中有4袋是合格的． 故答案为：4． 8．下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键； 有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可． 【详解】解：：是正分数，属于正有理数； ：是负整数，小于，不是正有理数； ：既不是正数也不是负数，不是正有理数； ：是负数，不是正有理数； ，是正整数，属于正有理数； ：是无限不循环小数，不是正有理数； ：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数； （每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数； 综上，正有理数有，和，共3个． 故答案为：3． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．在数轴上与的距离等于4的点表示的数为（   ） A． B．2或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离计算，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式，通过列方程求解符合条件的数． 设数轴上与的距离等于4的点表示的数为；根据数轴上两点间距离公式列出绝对值方程；解绝对值方程得到x的值，进而确定答案． 【详解】设数轴上与的距离等于4的点表示的数为x． 根据数轴上两点间的距离公式，可得，即． 解这个绝对值方程： 当时，解得； 当时，解得． 因此，数轴上与的距离等于4的点表示的数为或． 故选：C． 10．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的一般规律，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是”是解题的关键. 【详解】解：当时，，说法正确； 当时，，说法正确； 当时，可能是，也可能是，说法错误，说法正确； 当时，，既不是正数也不是负数，说法错误； ，一定是正数，说法正确； 综上，正确的有四个； 故选：D． 11．一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位长度后，得到它的相反数，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，数轴的知识，根据相反数的意义得这个数到原点的距离为，再根据这个数在原点左侧可得结论． 【详解】解：∵一个数在数轴上对应的点向右移动8个单位长度后得到它的相反数， ∴这两个数(原数和它的相反数)在数轴上对应的点之间的距离是8； ∵互为相反数的两个数到原点的距离相等， ∴原数到原点的距离是， 又∵原数在数轴上对应的点向右移动8个单位长度后才到它的相反数对应的点， ∴原数在原点左侧，是， 故答案为：． 12．点，点在数轴上表示的数分别为和5，点是数轴上一点，若，则点所表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴及两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．先求出，分点C在A左边和点C在线段上两种情况来解答． 【详解】解：， 当点C在A左边时， ∵， ∴， ∴， 此时点C表示的数为； 当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴， 此时点C表示的数为， 故答案为：或． 13．把下列各数填在相应的集合里∶ 3，，，0，，，，，，． (1)正整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (2)整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (3)正分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (4)负分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (5)非负有理数集合{　　　　　　　　　　　　　　…}． 【答案】(1)3， (2)3，，0，， (3)，， (4)， (5)3，，0，，， 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键； 根据有理数的分类可分别求解（1）（2）（3）（4）（5）． 【详解】（1）正整数集合{3，，…}； （2）整数集合{3，，0，，，…}； （3）正分数集合{，，，…}； （4）负分数集合{，，…}； （5）非负有理数集合{3，，0，，，，…}． 14．（1）________． （2）________． （3）回答下列问题： ①当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ ②当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？ ③你能总结出什么规律？ 【答案】（1）；（2）3.5；（3）①当前面有2024个负号时，化简后的结果是5． ②当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． ③总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】本题考查化简多重符号，总结规律从而解决后面两小问是解题的关键： （1）根据相反数的定义，进行化简即可； （2）根据相反数的定义，进行化简即可； （3）根据（1）（2）得出规律，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴； 故答案为：3.5； （3）①当前面有2024个负号时，化简后的结果是5； ②当前面有2025个负号时，化简后的结果是； ③总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点； （3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可． 【详解】解：（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C； （3）如图所示： 故答案为：B；C． 16．快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶3km到达A小区，继续向西行驶1km到达B小区，然后向东骑行8km到达C小区最后回到物流公司． （1）以物流公司为原点，向东方向为正方向，用1cm表示1km，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． （2）C小区离A小区有多远？ （3）求快递员一共骑行的路程． 【分析】（1）根据数轴表示数的意义和距离可在用数轴表示出来， （2）A小区所表示的数为﹣3，C小区所表示的数为4，即可求出AC的距离， （3）所有行驶路程的和即可求出路程． 【解答】解：（1）在数轴上表示出A、B、C三个小区的位置如图所示： （2）根据题意可知：4＋3＝7， 答：C小区离A小区7千米； （3）3+1+8+4＝16（千米）， 答：快递员一共骑行了16千米． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键． 17．如图，根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：　 　；B：　 　； （2）观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是：　 　； （3）若将数轴折叠，使得点A与点C表示的数﹣3重合，则点B与点D重合，则点D表示的数为 　　 ； （4）在（3）的条件下，用“＞”连接点A、B、C、D分别表示的有理数：　 　． 【分析】（1）根据数轴可直接得出答案； （2）分两种情况列式计算即可； （3）根据题意可先求出折叠点的位置，然后根据中点公式进行计算； （4）根据数轴上点的特点，用“＞”连接点A、B、C、D分别表示的有理数即可． 【详解】解：（1）根据图中A、B两点的位置可知，点A所表示的有理数1，点B所表示的有理数﹣2； 故答案为：1；﹣2； （2）∵A点表示1， ∴与点A的距离为3的点表示的数是1+3＝4或1﹣3＝﹣2， 故答案为：4或﹣2； （3）∵A点与﹣3表示的点重合， ∴折痕处表示的数为：， ∵点B表示﹣2， ∴与B点重合的数为：﹣1+[﹣1﹣（﹣2）]＝﹣1+1＝0． 故答案为：0． （4）∵点A所表示的有理数1，点B所表示的有理数﹣2，点C表示的数﹣3，点D表示的数为0， ∴用“＞”连接为：1＞0＞﹣2＞﹣3． 故答案为：1＞0＞﹣2＞﹣3． 18．为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17． （1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？ （2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？ 【分析】（1）根据绝对值的定义求出总路程，再计算耗油量； （3）油费＝汽油单价×耗油量． 【详解】解：（1）出租车共行驶了|+15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|+|﹣17|＝87（km）， 共耗油87÷100×10＝8.7（升）． 故这天上午汽车共耗油8.7升； （2）7×8.7＝60.9（元）． 故出租车司机今天上午的油费是60.9元． 19．已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 【分析】（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出﹣a，﹣b； （2）先得到b表示的点到原点的距离为10，然后根据数轴表示数的方法得到b表示的数； （3）先得到﹣b表示的点到原点的距离为10，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a表示的点到原点的距离为5，然后根据数轴表示数的方法得到a表示的数． 【详解】解：（1）如图，； （2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为10， 所以b表示的数是﹣10； （3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度， 所以a表示的点到原点的距离为5， 所以a表示的数是5． 20．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)有最小值，最小值为 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握数形结合的解题思想． （1）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离； （3）根据绝对值的几何意义，当时，取最小值，求与之间的距离即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：，． （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据绝对值的几何意义可知，表示：数轴上表示的点到表示与的点的距离之和， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：有最小值，最小值为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $