第一章 有理数（举一反三讲义）数学浙教版2024七年级上册

第一章 有理数（举一反三讲义）全章题型归纳 【浙教版2024】 【培优篇】 4 【题型1 正负数的意义】 4 【题型2 相反意义的量】 6 【题型3 有理数的概念及分类】 7 【题型4 数轴上的点与有理数之间的关系】 10 【题型5 相反数】 12 【题型6 绝对值】 13 【题型7 有理数的大小比较】 14 【拔尖篇】 16 【题型8 正负数的实际应用】 16 【题型9 数轴上整点问题】 19 【题型10 利用相反数化简多重符号】 21 【题型11 绝对值的非负性】 22 【题型12 有理数大小比较的实际应用】 24 知识点1 正数和负数的概念 1. 正数和负数的定义： 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫做正数．有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 3，1.8%，3.5，都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”的数叫作负数 3，2.7%，，4.5都是负数 负数前的“”不能省略 2. 注意：0既不是正数，也不是负数． 3. 0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示． 知识点2 具有相反意义的量 1. 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量． 2. 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m． 知识点3 有理数 1. 定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数． 2. 有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 3. 各类数的含义： 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的整数 负整数 小于0的整数 正分数 大于0的分数 负分数 小于0的分数 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 知识点4 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点5 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 知识点6 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 知识点7 绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 知识点8 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【培优篇】 【题型1 正负数的意义】 【例1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，2.5，，0，中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解．根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：，，是负数； ，，是正数； 0既不是正数，也不是负数； ∴负数有，，共2个． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 【详解】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，； 负数有，； 0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 【变式1-2】在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔，负数表示低于海平面的某地的海拔． （1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是 ； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是 ． 【答案】 珠穆朗玛峰高出海平面 吐鲁番盆地低于海平面 【分析】本题主要考查正数和负数的定义，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键． （1）根据正数和负数的概念得出结论即可； （2）根据正数和负数的概念得出结论即可． 【详解】解：（1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是珠穆朗玛峰高出海平面， 故答案为：珠穆朗玛峰高出海平面； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是吐鲁番盆地低于海平面， 故答案为：吐鲁番盆地低于海平面． 【变式1-3】如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【答案】A 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【详解】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98， ∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm． ∵29.8mm不在该范围之内， ∴不合格的是A． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． 【题型2 相反意义的量】 【例2】（24-25七年级上·四川成都·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，理解正负数可以表示相反意义的量是解答本题的关键． 根据正负数的意义解答即可． 【详解】解：如果盈利元记作元，那么亏损元记作元， 故选：A． 【变式2-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的应用，根据正负数是表示具有相反意义的量，结合题意求解即可． 【详解】解：若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作， 故选：A． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）地球上海拔最高的地点是珠穆朗玛峰，其海拔高于海平面8848.86米，记作米，则地球上海拔最低的地点是我国新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔低于海平面154米，记作 米． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案，理解具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：由题意可得海拔低于海平面154米，记作米， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·广东茂名·期中）某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为 L． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【详解】解：节约的水记为， 浪费的水记为， 故答案为：． 【题型3 有理数的概念及分类】 【例3】（2025·贵州贵阳·二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 【变式3-1】下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0这五类 D．负有理数既是分数，又是负数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类和相关定义，熟练掌握有理数的相关定义是解题的关键．利用有理数的相关定义逐一判断即可． 【详解】解：A中，一个有理数如果不是正数，那么可能是负数或0，选项错误，故不符合题意； B中，一个有理数不是整数就是分数，选项正确，故符合题意； C中，有理数是可以分为整数、分数两类；也可以分为正有理数、负有理数和0三类，故选项错误，故不符合题意； D中，负有理数是负数，可能是分数，也可能是整数，故选项错误，故不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把下列各数填在相应的大括号里，并用“<”把这些数连接起来． ，，，，，． (1)负整数｛__________…｝ (2)正分数｛__________…｝ (3)非负数｛__________…｝ (4)负有理数｛__________…｝ (5)用“<”把这些数连接起来为：__________________． 【答案】(1) (2)， (3)，，， (4)， (5) 【分析】本题考查了有理数的分类、有理数的大小比较方法． （1）根据有理数的分类解答即可； （2）根据有理数的分类解答即可； （3）根据有理数的分类解答即可； （4）根据有理数的分类解答即可； （5）根据有理数的大小比较方法即可得解． 【详解】（1）解：负整数｛…｝ （2）解：正分数｛，…｝ （3）解：非负数｛，，，…｝ （4）解：负有理数｛，…｝ （5）解：用“<”把这些数连接起来为：． 【变式3-3】阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题： （1）是 循环小数（填“纯”或“混”） （2）的循环节是 ． 【答案】 纯 24 【分析】本题考查了新定义，循环小数等知识，认真读题，理解题意是解题关键． （1）根据纯循环小数和混循环小数的概念判断即可； （2）根据循环节的概念判断即可； 【详解】解：（1）由纯循环小数和混循环小数的概念可知：是纯循环小数， 故答案是：纯； （2）的循环节是24， 故答案为：24． 【题型4 数轴上的点与有理数之间的关系】 【例4】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【答案】(1)见解析；4 (2)2或6 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点，根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （2）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： 点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为2或6． 故答案为：2或6． 【变式4-1】（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示 ；如果点表示0，点表示1，则A点表示 ． 【答案】 1.5 【分析】本题考查了数轴的认识，结合正负数知识解答即可． 根据图示，结合数轴知识，如果A点表示0，E点表示1，则每个小格表示0.25，所以G点表示1.5；如果D点表示0，G点表示1，结合正负数知识可知A点表示． 【详解】解：如果A点表示0，E点表示1，则G点表示1.5； 如果D点表示0，G点表示1， 由图知： 所以A点表示． 故答案为：1.5；． 【变式4-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，理解题意是解题的关键． 根据题意，平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者，即可求得平移之前点表示的数． 【详解】解：依题意平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者， 则． 故答案为：或． 【变式4-3】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 【题型5 相反数】 【例5】（2025·湖北孝感·模拟预测）请写出一个其相反数是负数的数为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题主要查了相反数．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：根据题意得：一个其相反数是负数的数为正数，如1，2，…… 故答案为：1（答案不唯一） 【变式5-1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是， 故答案为： 【变式5-2】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，a，b，c，d四个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，请将，，，四个数按照从小到大的顺序排列 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上a，b，c，d的位置得出，，，的位置是解此题的关键．根据数轴和相反数比较即可． 【详解】解：因为从数轴可知：， 所以， 故答案为：． 【变式5-3】（2025·陕西延安·二模）如图，数轴上点，表示的数互为相反数，该数轴的单位长度是1，则点表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数与数轴，相反数，利用相反数的性质确定原点的位置，再利用原点的位置解答即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴点A表示的数字为，点B表示的数字为3， ∴原点距离点一个单位长度，点在原点的右侧， ∴点C表示的数字为1． 故答案为：1． 【题型6 绝对值】 【例6】（24-25七年级上·天津·阶段练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中结论错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值等知识点．根据绝对值的性质，通过举反例逐项判断即可． 【详解】解：①当，，满足，而，故①错误； ②当，，满足，而，故②错误； ③当，，满足，而，故③错误； ④若，则，故④正确； 综上，错误的有①②③共3个． 故选：C． 【变式6-1】绝对值小于的整数有 个，它们分别是 ；绝对值大于且小于的整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：绝对值小于的整数有个，分别为；绝对值大于且小于的整数是， 故答案为：，；． 【变式6-2】写出一个绝对值小于4的负数 ．（写出一个即可） 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查绝对值与有理数比较大小，解题的关键是掌握负数的绝对值等于它的相反数． 写出一个比大的负数即可． 【详解】解：比大的负数的绝对值均小于4，如． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-3】按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 【答案】甜味 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键．找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得． 【详解】解：，，，， ， 最符合标准的一种食品是甜味饼干， 故答案为：甜味． 【题型7 有理数的大小比较】 【例7】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）在，，，四个有理数中，比小的数是（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）比大小：7 ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较法则“正数大于0、负数小于0、正数大于负数、负数绝对值大的反而小”，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据有理数的大小比较法则、绝对值的性质、化简多重符号求解即可得． 【详解】解：∵7是正数，是负数， ∴． ∵，，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：；；． 【变式7-2】比较，，，的大小． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，理解正数大于负数，0大于一切负数，两个负数绝对值大的反而是解答关键． 每个分数都加1，分别得，，，，再比较它们的大小，根据正数大的它的相反数反而小来求解． 【详解】解：根据题意可得 每个分数都加1，分别得，，，． 因为， 所以． 【变式7-3】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)把这些数用数轴上的点表示出来：．请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【答案】(1)见解析；4 (2)数轴见解析； 【分析】（1）利用点A向右平移3个单位确定数轴原点，再确定点B表示的数即可； （2）数轴上标上数字，先化简，，，然后在数轴上描出表示各数的点，标上原数，根据数轴的性质用“”号把这些数按从小到大连接起来即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，点A向右移动3个单位为数轴原点O， ∴点B在原点右边4个单位位置，表示4， （2）解：，，， 在数轴上表示各数， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴上表示数，利用数轴比较大小，掌握点的平移，数轴上表示数，利用数轴比较大小是解题关键． 【拔尖篇】 【题型8 正负数的实际应用】 【例8】（24-25七年级上·甘肃陇南·期中）在活动课上，有5名学生用橡皮泥做了5个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 【答案】(1)张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的 (2)蔡伟同学 【分析】（1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于是实心球是合乎要求，即可作答． （2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接近标准质量，即可作答． 本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，有理数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， ∴张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的； （2）解： ∵ ∴蔡伟同学做的质量最接近标准质量 【变式8-1】（24-25七年级上·河南新乡·期中）近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂”，该社区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验．下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则这五笔交易中支出最多的是4月 日． 支付账单 日期 交易明细 4.10 买菜 4.11 转账收入 4.12 乘坐公交车 4.13 日常用品 4.14 衣物 【答案】14 【分析】本题考查了有理数正负数的实际应用，有理数大小的比较，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和有理数大小比较是解题的关键；． 根据账单，找出表示支出的数，然后比较支出的绝对值大小，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 在这五笔交易中，支出用负数表示， ，，，， ， 由于是最大的绝对值， 所以4月14日的支出是最多的， 故答案为：14． 【变式8-2】（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小璐；见解析 (2)3人 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方法． （1）根据，即可得出答案； （2）先求出各个数据的绝对值，然后与进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：小璐的视力最差． ， 最小，与标准差的最多， 小璐的视力最差． （2）解：，，，，， ∴6名学生中有3人需要配戴眼镜． 【变式8-3】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【答案】(1)6号实验器材的质量最接近标准质量； (2)2号，4号，6号，7号是合格品；3号是次品；1号，5号是废品． 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值： （1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可； （2）根据规定，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴6号实验器材的质量最接近标准质量； （2）∵ ∴2号，4号，6号，7号是合格品； ∵， ∴3号是次品； ∵，， ∴1号，5号是废品． 【题型9 数轴上整点问题】 【例9】若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【答案】C 【分析】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案． 【详解】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 线段盖住的整数点至少有个 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键． 【变式9-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）数轴上表示与的两点之间，表示整数点的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据题意，与的两点之间，表示整数点的有，解答即可． 本题考查了数轴上整数点问题，熟练掌握整数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得与的两点之间，表示整数点的有，有5个， 故选：C． 【变式9-2】如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点右侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小. 【详解】解：被遮住的左边是整数-2，右边是0，因此被遮挡的整数是-1. 故选B. 【点睛】本题主要考查数轴表示数的意义，互为相反数的求法，理解数轴表示数的意义. 【变式9-3】（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 【题型10 利用相反数化简多重符号】 【例10】（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简下列各式的符号，并回答问题： ①；②；③；④；⑤． 问：（1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】①．②；③．④．⑤；（1）（2），总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握相反数的意义及归纳总结规律及应用是解本题的关键．奇数个负号为负，偶数个负号为正，根据化简多重符号的方法，分别计算；再根据所得规律：奇数个负号为负，偶数个负号为正，求解（1）（2）． 【详解】解：①．②． ③．④．⑤． （1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是． （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【变式10-1】化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符号即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的识别，化简多重符号，先根据化简多重符号的法则求出对应的数的结果，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：，，，，， ∴一定是正数的有，，由于m的符号未知，故的符号未知， 故选：B． 【变式10-3】若为，则的相反数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵，   ∴， ∵的相反数是3， ∴的相反数是3． 故答案为：3． 【题型11 绝对值的非负性】 【例11】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：当时，； 当时，则，； 当时，则，； 所以当小于或等于0时，， 所以不满足条件． 故选：A． 【变式11-1】若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 【变式11-2】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是非负数的性质-绝对值，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 所以， 所以当时，式子有最大值，此时的值是2026． 故选：A． 【变式11-3】（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M的最小值，由数轴上两点间的距离可求出N的最小值． 【详解】解：∵， ∴，即M的最小值为3； ∵表示数轴上数x对应的点到数4和5对应点的距离之和，这个和的最小值是， ∴的最小值为1． 故选D． 【题型12 有理数大小比较的实际应用】 【例12】正式排球比赛对所使用的排球的质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下表（单位：克）： 1号球 2号球 3号球 4号球 5号球 哪一个排球质量最接近规定质量？用绝对值知识来说明． 【答案】5号球，见解析 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的比较大小，比较各个数的绝对值的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：因为， 所以5号球的质量最接近规定质量． 【变式12-1】党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算方式为：标准体重年龄． 下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 体重情况 超出标准体重的同学有          位． 哪位同学的体重最符合这种标准体重？ 我们可以用标准体重法来判断是否肥胖．少年儿童：肥胖程度． 一般地，肥胖程度为轻度肥胖；肥胖程度为中度肥胖；肥胖程度以上为重度肥胖． 号同学今年岁，请你判断一下他属于哪一类的肥胖． 【答案】(1)4  (2)因为|-0.2|＜|-0.5|＜|+0.8|＜|+2.2|＜|-2.6|＜|+5.7|＜|+9.2|， 所以5号同学的体重最符合这种标准体重．  (3)12岁少年儿童的标准体重为(12×7-5)÷2＝39.5(kg)， 所以6号同学的肥胖程度是．  所以6号同学属于轻度肥胖．  【变式12-2】在活动课上，名同学用橡皮泥各做了个乒乓球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表所示： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 哪些同学做的乒乓球是符合要求的？ 在符合要求的乒乓球中，哪名同学做的质量最好？这名同学中，哪名同学做的质量最差？ 请你对这名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差排名； 请你用学过的绝对值知识来说明解答以上问题的依据． 【答案】(1)|+0.031|＝0.031，|-0.017|＝0.017，|+0.023|＝0.023，|-0.021|＝0.021，|+0.022|＝0.022，|-0.011|＝0.011． 因为0.017＜0.02，0.011＜0.02，所以张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的． (2)绝对值越小，质量越好． 因为0.011＜0.017＜0.021＜0.022＜0.023＜0.031， 所以蔡伟做的乒乓球质量最好，李明做的乒乓球质量最差．  (3)因为0.011＜0.017＜0.021＜0.022＜0.023＜0.031， 所以这6名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差的排名为蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明．  (4)这是绝对值在实际生活中的应用，对于误差来说，绝对值越小越好．  【变式12-3】已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 指出哪件样品的大小最符合要求． 如果规定误差的绝对值在之内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)解：编号为4的样品的大小最符合要求．  (2)因为|+0.1|＝0.1＜0.18，|-0.15|＝0.15＜0.18，|-0.05|＝0.05＜0.18， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为|+0.2|＝0.2，0.18＜0.2＜0.22， 所以编号为3的样品是次品； 因为|+0.25|＝0.25＞0.22， 所以编号为5的样品是废品．  2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数（举一反三讲义）全章题型归纳 【浙教版2024】 【培优篇】 4 【题型1 正负数的意义】 4 【题型2 相反意义的量】 5 【题型3 有理数的概念及分类】 5 【题型4 数轴上的点与有理数之间的关系】 6 【题型5 相反数】 7 【题型6 绝对值】 7 【题型7 有理数的大小比较】 8 【拔尖篇】 8 【题型8 正负数的实际应用】 8 【题型9 数轴上整点问题】 9 【题型10 利用相反数化简多重符号】 10 【题型11 绝对值的非负性】 10 【题型12 有理数大小比较的实际应用】 11 知识点1 正数和负数的概念 1. 正数和负数的定义： 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫做正数．有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 3，1.8%，3.5，都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”的数叫作负数 3，2.7%，，4.5都是负数 负数前的“”不能省略 2. 注意：0既不是正数，也不是负数． 3. 0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示． 知识点2 具有相反意义的量 1. 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量． 2. 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m． 知识点3 有理数 1. 定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数． 2. 有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 3. 各类数的含义： 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的整数 负整数 小于0的整数 正分数 大于0的分数 负分数 小于0的分数 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 知识点4 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点5 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 知识点6 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 知识点7 绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 知识点8 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【培优篇】 【题型1 正负数的意义】 【例1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，2.5，，0，中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【变式1-2】在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔，负数表示低于海平面的某地的海拔． （1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是 ； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是 ． 【变式1-3】如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【题型2 相反意义的量】 【例2】（24-25七年级上·四川成都·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）地球上海拔最高的地点是珠穆朗玛峰，其海拔高于海平面8848.86米，记作米，则地球上海拔最低的地点是我国新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔低于海平面154米，记作 米． 【变式2-3】（24-25七年级上·广东茂名·期中）某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为 L． 【题型3 有理数的概念及分类】 【例3】（2025·贵州贵阳·二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【变式3-1】下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0这五类 D．负有理数既是分数，又是负数 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把下列各数填在相应的大括号里，并用“<”把这些数连接起来． ，，，，，． (1)负整数｛__________…｝ (2)正分数｛__________…｝ (3)非负数｛__________…｝ (4)负有理数｛__________…｝ (5)用“<”把这些数连接起来为：__________________． 【变式3-3】阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题： （1）是 循环小数（填“纯”或“混”） （2）的循环节是 ． 【题型4 数轴上的点与有理数之间的关系】 【例4】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【变式4-1】（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示 ；如果点表示0，点表示1，则A点表示 ． 【变式4-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 【变式4-3】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【题型5 相反数】 【例5】（2025·湖北孝感·模拟预测）请写出一个其相反数是负数的数为 ． 【变式5-1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）的相反数是 ． 【变式5-2】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，a，b，c，d四个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，请将，，，四个数按照从小到大的顺序排列 ． 【变式5-3】（2025·陕西延安·二模）如图，数轴上点，表示的数互为相反数，该数轴的单位长度是1，则点表示的数是 ． 【题型6 绝对值】 【例6】（24-25七年级上·天津·阶段练习）下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中结论错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】绝对值小于的整数有 个，它们分别是 ；绝对值大于且小于的整数是 ． 【变式6-2】写出一个绝对值小于4的负数 ．（写出一个即可） 【变式6-3】按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 【题型7 有理数的大小比较】 【例7】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）在，，，四个有理数中，比小的数是（    ） A．4 B． C．1 D． 【变式7-1】（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）比大小：7 ， ， ． 【变式7-2】比较，，，的大小． 【变式7-3】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)把这些数用数轴上的点表示出来：．请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【拔尖篇】 【题型8 正负数的实际应用】 【例8】（24-25七年级上·甘肃陇南·期中）在活动课上，有5名学生用橡皮泥做了5个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 【变式8-1】（24-25七年级上·河南新乡·期中）近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂”，该社区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验．下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则这五笔交易中支出最多的是4月 日． 支付账单 日期 交易明细 4.10 买菜 4.11 转账收入 4.12 乘坐公交车 4.13 日常用品 4.14 衣物 【变式8-2】（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【变式8-3】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【题型9 数轴上整点问题】 【例9】若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【变式9-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）数轴上表示与的两点之间，表示整数点的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式9-2】如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 【变式9-3】（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型10 利用相反数化简多重符号】 【例10】（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简下列各式的符号，并回答问题： ①；②；③；④；⑤． 问：（1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【变式10-1】化简 ． 【变式10-2】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-3】若为，则的相反数是 ． 【题型11 绝对值的非负性】 【例11】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 【变式11-1】若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【变式11-2】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 【变式11-3】（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【题型12 有理数大小比较的实际应用】 【例12】正式排球比赛对所使用的排球的质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下表（单位：克）： 1号球 2号球 3号球 4号球 5号球 哪一个排球质量最接近规定质量？用绝对值知识来说明． 【变式12-1】党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算方式为：标准体重年龄． 下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 体重情况 超出标准体重的同学有          位． 哪位同学的体重最符合这种标准体重？ 我们可以用标准体重法来判断是否肥胖．少年儿童：肥胖程度． 一般地，肥胖程度为轻度肥胖；肥胖程度为中度肥胖；肥胖程度以上为重度肥胖． 号同学今年岁，请你判断一下他属于哪一类的肥胖． 【变式12-2】在活动课上，名同学用橡皮泥各做了个乒乓球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表所示： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 哪些同学做的乒乓球是符合要求的？ 在符合要求的乒乓球中，哪名同学做的质量最好？这名同学中，哪名同学做的质量最差？ 请你对这名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差排名； 请你用学过的绝对值知识来说明解答以上问题的依据． 【变式12-3】已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 指出哪件样品的大小最符合要求． 如果规定误差的绝对值在之内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$