重难点专题 有理数（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

重难点专题 有理数 1.1 从自然数到有理数 重难点一 有理数的分类 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。对有理数进行分类，通常有以下两种常见的方法： 一、按定义分类 1. 整数：整数是像-3、-2、-1、0、1、2、3这样的数，包括正整数、零和负整数。 · 正整数：大于0的整数，如1、2、3、4、5……，它们是自然数的一部分（在数学中，有时自然数包括0，有时不包括，此处正整数特指大于0的整数）。 · 零（0）：零是一个特殊的整数，它既不是正整数，也不是负整数，是介于正整数和负整数之间的数。 · 负整数：小于0的整数，如-1、-2、-3、-4、-5……，它们是正整数的相反数。 2. 分数：分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。分数由分子、分母和分数线组成，分母不能为0。在有理数范围内，分数包括正分数和负分数。 · 正分数：大于0的分数，例如1/2、3/4、5.2（可化为分数形式16/5）、7/3等，这些分数的分子和分母同号（通常分子为正，分母为正）。 · 负分数：小于0的分数，例如-1/2、-3/4、-5.2（可化为分数形式-16/5）、-7/3等，这些分数的分子和分母异号（通常分子为负，分母为正，或分子为正，分母为负，最终结果为负）。 二、按性质（符号）分类 1. 正有理数：所有大于0的有理数叫做正有理数，它包括正整数和正分数。 · 正整数：如1、2、3、4、5……，与按定义分类中的正整数一致。 · 正分数：如1/2、3/4、5.2、7/3……，与按定义分类中的正分数一致。 2. 零（0）：零既不是正数，也不是负数，它是一个独立的类别，是有理数中一个特殊的存在。 3. 负有理数：所有小于0的有理数叫做负有理数，它包括负整数和负分数。 · 负整数：如-1、-2、-3、-4、-5……，与按定义分类中的负整数一致。 · 负分数：如-1/2、-3/4、-5.2、-7/3……，与按定义分类中的负分数一致。 需要注意的是，无论是哪种分类方法，有理数都可以表示为两个整数的比（即分数形式，整数可以看作分母为1的分数），这是有理数的本质特征。同时，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也属于有理数的范畴，在分类时通常将其归为相应的分数类别中。 1.在，5，，，，中，负分数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2.在，，0，，中，非负数有 个． 3.把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，， 正有理数集合：{                …}； 负分数集合：{                …}； 非负整数集合：{                …}． 重难点二 正负数的实际应用 一、明确相反意义的量 1. 识别标准：在实际问题中，先确定一对具有相反意义的量，如“收入与支出”“上升与下降”“向东与向西”等。 2. 规定正负：任选其中一个量为正，则另一个量为负。例如：若规定“收入”为正，则“支出”为负；若规定“上升”为正，则“下降”为负。 二、用正负数表示具体数值 1. 直接表示：将选定为正的量用正数表示，相反意义的量用负数表示。例如：收入300元记作+300元，支出200元记作-200元；海平面以上500米记作+500米，海平面以下100米记作-100米。 2. 注意单位：表示时需带上具体单位，确保数值与单位对应。 三、解决实际问题的步骤 1. 审题：明确问题中的数量关系，找出具有相反意义的量。 2. 设定正负：根据题意规定正方向或正意义的量。 3. 列式计算：将实际问题中的量转化为正负数，再进行加减运算（若涉及多个量）。 · 同号相加：取相同符号，绝对值相加。如：（+5）+（+3）=+8；（-2）+（-4）=-6。 · 异号相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减去小绝对值。如：（+5）+（-3）=+2；（-5）+（+3）=-2。 · 减法转化为加法：减去一个数等于加上这个数的相反数。如：（+5）-（+3）=（+5）+（-3）=+2；（-5）-（-3）=（-5）+（+3）=-2。 4. 结果解释：根据计算结果的正负，结合最初规定的意义，解释结果的实际含义。例如：计算结果为+15，表示“比规定的基准多15”；结果为-8，表示“比规定的基准少8”。 四、常见应用场景及方法 1. 温度问题：以0℃为基准，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示。计算温差时，用较高温度减去较低温度（或用正负数的减法运算）。例如：某日最高气温为+5℃，最低气温为-3℃，温差为（+5）-（-3）=+8℃，即温差为8℃。 2. 海拔高度：以海平面为基准（记为0米），高于海平面的高度用正数表示，低于海平面的用负数表示。比较两地高度差时，用较高海拔减去较低海拔。例如：甲地海拔+200米，乙地海拔-100米，两地高度差为（+200）-（-100）=+300米，即甲地比乙地高300米。 3. 收支问题：以“无收入也无支出”为基准（记为0元），收入用正数表示，支出用负数表示。计算最终结余时，将所有收入和支出的数值相加。例如：收入500元（+500），支出300元（-300），结余为（+500）+（-300）=+200元，即结余200元。 4. 方向与距离：规定一个正方向（如向东为正），则相反方向（向西）为负。移动距离用正负数表示，计算最终位置时，将各段移动的距离相加。例如：向东走3米（+3），再向西走5米（-5），最终位置为（+3）+（-5）=-2米，即位于起点西边2米处。 1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 2.算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 3.外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 1.2 数轴 重难点一 数轴上比较大小 1. 数轴的三要素：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。通常规定向右为正方向。 2. 数与点的对应：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。正数在原点的右边，负数在原点的左边，0用原点表示。 3. 比较法则：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 · 正数都大于0：因为所有正数对应的点都在原点的右边，所以任意一个正数都比0大。例如，3在原点右边，所以3 > 0。 · 负数都小于0：因为所有负数对应的点都在原点的左边，所以任意一个负数都比0小。例如，-2在原点左边，所以-2 < 0。 · 正数大于一切负数：正数在原点右边，负数在原点左边，右边的数总比左边的大，所以任何一个正数都大于任何一个负数。例如，5 > -1，2 > -3等。 · 两个负数比较大小：绝对值大的反而小。这是因为两个负数在数轴上都位于原点左边，绝对值大的负数离原点更远，即更靠左，所以它比另一个绝对值小的负数更小。例如，比较-5和-3，|-5| = 5，|-3| = 3，因为5 > 3，所以-5 < -3。具体在数轴上看，-5在-3的左边，所以-5 < -3。 1．，两个有理数在数轴上的位置如图，则，，0按照从小到大的顺序为（    ） A． B． C． D． 2．小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数共有 个． 3．如图，已知数轴上点表示互为相反数，数轴的单位长度为1． (1)请在数轴上标出原点，并写出点所表示的数_____； (2)请在数轴上表示下列各数：，，，，； (3)请用“”将（2）中的5个数连接起来． 重难点二 数轴上点的平移与距离 一、数轴上点的平移规律 1. 左右平移法则 点在数轴上向右平移时，用原数加上平移的单位长度 点在数轴上向左平移时，用原数减去平移的单位长度 ✅ 口诀：右加左减（方向与符号对应：右→+，左→-） 2. 坐标公式 若数轴上点P表示数a，平移m个单位后得到点P'： 向右平移：P'表示的数为a + m（m > 0） 向左平移：P'表示的数为a - m（m > 0） 二、数轴上两点间的距离计算 （一）已知两点坐标求距离 1. 直接计算法 当两点位置明确时（如点A在点B左侧）： 距离 = 右边点表示的数 - 左边点表示的数 2. 绝对值公式法 通用公式：数轴上两点A(x₁)、B(x₂)的距离为|x₁ - x₂|（或|x₂ - x₁|） 推导依据：正数与负数的绝对值均表示非负距离 （二）已知距离求点的坐标 1. 单方向平移 已知点A表示数a，在数轴上与A相距m个单位的点有两个： ① 向右平移：a + m ② 向左平移：a - m 2. 方程法应用 设所求点表示的数为x，根据距离公式列方程：|x - a| = m 解方程得：x = a + m 或 x = a - m（体现距离的双向性） 1．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上向右平移5个单位长度得到点B，则点B表示的数是（   ） A． B． C．2 D．3 2．如图，将一刻度尺放在数轴上若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则刻度尺对应数轴上的点表示的数是 ．    3．数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题： (1)如果点表示数，将点向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________，、两点间的距离是__________； (2)如果点表示数，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________，、两点间的距离是__________； (3)一般的，如果点表示的数为，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________． (4)如果点表示的数为，点表示的数是，在数轴上有点到点和点的距离相等，则点表示的数是__________． 重难点三 数轴动点求t 一、核心思路 数轴动点问题的本质是通过用含t的代数式表示动点位置，结合数轴上两点间距离公式或位置关系（如相遇、追及、中点等）建立方程，求解时间t的值。 二、通用解题步骤 1. 设元与表示位置 设运动时间为t（单位：秒），明确动点的起始位置、运动方向（向左为负，向右为正）和运动速度（单位长度/秒）。 用代数式表示动点在t秒后的位置： 若动点A从起点a出发，向右运动，速度为v，则t秒后位置为：a + v·t； 若向左运动，则位置为：a - v·t。 2. 根据题意列方程 · 距离问题：数轴上两点M（x₁）、N（x₂）的距离为|x₁ - x₂|。根据题目中“两点距离为某个值”“两点重合”“一点是另一点的几倍”等条件，列出含绝对值的方程。 · 中点问题：若点M是线段AB的中点，则M的位置=(A位置 + B位置)/2。 · 追及/相遇问题： · 相遇：两点位置相等，即A位置=B位置； · 追及：快的点追上慢的点，位置相等（注意方向和起点位置）。 3. 解方程并检验 · 解含绝对值的方程时，需分“绝对值内非负”和“绝对值内为负”两种情况讨论。 · 解出t后，需检验： · t是否为非负数（时间t≥0）； · 动点位置是否符合实际运动方向（如向左运动时，位置不能无限增大）。 1．如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 3．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒． (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 1.3 绝对值 重难点一 绝对值的非负性 一、核心概念：绝对值的非负性本质 绝对值的定义：对于任意实数 ( a )，。 非负性结论：无论 ( a ) 是正数、负数还是 0，恒成立，即绝对值的结果不可能是负数。 二、非负性的直接应用场景 1. 判断绝对值表达式的取值范围 方法：直接利用确定表达式的最小值或取值范围。 示例： · ( |x| ) 的最小值是 0（当 ( x = 0 ) 时取得）。 · ( |x - 3| + 2 ) 的最小值是 ( 0 + 2 = 2 )（当 ( x = 3 ) 时取得）。 2. 利用非负性解“绝对值 + 绝对值 = 0”型方程 原理：若两个非负数的和为 0，则每个非负数必须同时为 0（即“非负之和为零，各部分均为零”）。 步骤： ① 确定方程中每个绝对值表达式均为非负数； ② 令每个绝对值内的式子等于 0，解方程组. 1．若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 2．若 ，则 的值为 ． 3．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出a，b值，______，______． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则______． (3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①若点P在点M、N之间，则______． ②若，则______． 重难点二 绝对值在数轴上的化简 一、明确绝对值的几何意义 绝对值 (|a|) 表示数轴上数 (a) 对应的点到原点的距离，距离非负，因此。 二、化简步骤（结合数轴确定数的范围） 1. 确定绝对值符号内代数式的正负性 在数轴上找到代数式中未知数对应的点，根据点与原点（或其他关键节点）的位置关系，判断代数式的正负： 若代数式的值大于0，则绝对值等于它本身，即 （(A > 0)）； 若代数式的值等于0，则绝对值等于0，即 （）； 若代数式的值小于0，则绝对值等于它的相反数，即 （(A < 0)）。 2. 去绝对值符号并化简 根据上述判断结果，去掉绝对值符号，再进行合并同类项等化简操作。 1．已知在数值上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则 ． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：________0，________0，________0； (2)化简：． 重难点三 绝对值中的最值 一、绝对值的几何意义与单绝对值最值 1. 形如|x-a|的最值分析 绝对值|x-a|表示数轴上点x到点a的距离，距离具有非负性，即|x-a|≥0。 最小值：当x=a时，距离为0，因此|x-a|的最小值是0，无最大值（x取值越远离a，距离越大）。 2. 形如|x-a|+b或|x-a|-b的最值 |x-a|+b：由于|x-a|≥0，因此|x-a|+b≥b，最小值为b（当x=a时），无最大值。 |x-a|-b：|x-a|≥0，故|x-a|-b≥-b，最小值为-b（当x=a时），无最大值。 二、双绝对值和差的最值（重点模型） 1. 形如|x-a|+|x-b|（a<b）的最值——“两点之间线段最短” 几何意义：数轴上点x到点a和点b的距离之和。 最小值：当x在a和b之间（包括a、b）时，距离之和为固定值|a-b|（即a与b的距离），因此最小值为b-a（因a<b）。 无最大值：当x在a左侧或b右侧时，x越远离a、b，距离之和越大，趋于无穷。 2. 形如|x-a|-|x-b|（a<b）的最值——“距离差的范围” 几何意义：数轴上点x到a的距离与到b的距离之差。 最大值：当x≥b时，距离差为(x-a)-(x-b)=b-a； 最小值：当x≤a时，距离差为(a-x)-(b-x)=a-b； 中间范围：当a<x<b时，距离差在(a-b)到(b-a)之间波动，无固定最值。 三、含参数的绝对值最值（分类讨论思想） 1. 形如|x-a|+|x-b|+|x-c|（多绝对值和）的最小值 关键：找到“中间点”。当有奇数个绝对值相加时，x取中间点的值，距离之和最小；当有偶数个绝对值时，x在中间两点之间，距离之和最小。 2. 形如|ax+b|+c的最值（含系数） 先化简为|+c=|a|·|x+|+c，因|a|为正数，故最值由|x+|决定： 最小值：当x=-时，最小值为c；无最大值。 1．式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离．若式子的最小值是2，则m的值为（   ） A．1 B．5 C．或 D．1或5 2．已知m是有理数，则的最小值是 ． 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________； （3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________． 1.4 有理数的大小比较 重难点一 有理数比较大小的综合应用 一、直接比较法（适用于同号或易于判断的数） 1. 正数与正数比较：绝对值大的数大。例如：3 > 2（因为|3|=3，|2|=2，3>2）；（通分后）。 2. 负数与负数比较：绝对值大的数反而小。例如：-5 < -3（因为|-5|=5，|-3|=3，5>3，所以-5<-3）；（绝对值，，，故）。 3. 正数、负数与0比较：正数 > 0 > 负数。例如：5 > 0，-2 < 0，3 > -1。 二、数轴比较法（直观体现数的位置关系） 1. 步骤：在数轴上标出所有要比较的有理数，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 2. 示例：比较-4，1，-2，3的大小。在数轴上从左到右依次为-4，-2，1，3，故大小关系为-4 < -2 < 1 < 3。 三、作差法（适用于任意两数，通过差的符号判断） 1. 原理：若(a - b > 0)，则(a > b)；若，则；若(a - b < 0)，则(a < b)。 2. 示例：比较与的大小。，所以；比较-3与-5的大小，，所以-3 > -5。 四、作商法（适用于同号两数，通过商与1的关系判断） 1. 原理：若(a)，(b)同正，则(a > b)；则；则(a < b)。若(a)，(b)同负，则(a < b)（因为负数相除，商为正，绝对值大的反而小）。 2. 示例：比较与（同正），，所以；比较-8与-6（同负），，所以-8 < -6。 五、特殊值法（适用于含字母或抽象问题的验证） 1. 方法：根据题目条件选取符合要求的特殊有理数代入，通过具体数值比较大小。 2. 示例：若(a < 0)，比较(a)与(-a)的大小。设（符合(a < 0)），则，所以，即(a < -a)。 1．已知，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．比较大小： （填“”“”或“”）． 3．根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法． (1)比较下列各式的大小（用“”、“”、“”连接） ① ；② ； ③ ；④ ． (2)、为有理数，通过比较、分析，归纳与的大小关系为 ． （用“”、“”、“”、“”、“”连接） (3)根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是 ；整数，，，满足，，则 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 有理数 1.1 从自然数到有理数 重难点一 有理数的分类 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。对有理数进行分类，通常有以下两种常见的方法： 一、按定义分类 1. 整数：整数是像-3、-2、-1、0、1、2、3这样的数，包括正整数、零和负整数。 · 正整数：大于0的整数，如1、2、3、4、5……，它们是自然数的一部分（在数学中，有时自然数包括0，有时不包括，此处正整数特指大于0的整数）。 · 零（0）：零是一个特殊的整数，它既不是正整数，也不是负整数，是介于正整数和负整数之间的数。 · 负整数：小于0的整数，如-1、-2、-3、-4、-5……，它们是正整数的相反数。 2. 分数：分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。分数由分子、分母和分数线组成，分母不能为0。在有理数范围内，分数包括正分数和负分数。 · 正分数：大于0的分数，例如1/2、3/4、5.2（可化为分数形式16/5）、7/3等，这些分数的分子和分母同号（通常分子为正，分母为正）。 · 负分数：小于0的分数，例如-1/2、-3/4、-5.2（可化为分数形式-16/5）、-7/3等，这些分数的分子和分母异号（通常分子为负，分母为正，或分子为正，分母为负，最终结果为负）。 二、按性质（符号）分类 1. 正有理数：所有大于0的有理数叫做正有理数，它包括正整数和正分数。 · 正整数：如1、2、3、4、5……，与按定义分类中的正整数一致。 · 正分数：如1/2、3/4、5.2、7/3……，与按定义分类中的正分数一致。 2. 零（0）：零既不是正数，也不是负数，它是一个独立的类别，是有理数中一个特殊的存在。 3. 负有理数：所有小于0的有理数叫做负有理数，它包括负整数和负分数。 · 负整数：如-1、-2、-3、-4、-5……，与按定义分类中的负整数一致。 · 负分数：如-1/2、-3/4、-5.2、-7/3……，与按定义分类中的负分数一致。 需要注意的是，无论是哪种分类方法，有理数都可以表示为两个整数的比（即分数形式，整数可以看作分母为1的分数），这是有理数的本质特征。同时，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也属于有理数的范畴，在分类时通常将其归为相应的分数类别中。 1.在，5，，，，中，负分数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了负分数的定义，负分数是小于0的有限小数和无限循环小数，据此可得答案． 【详解】解：在，5，，，，中，负分数有，，，共3个， 故选：C． 2.在，，0，，中，非负数有 个． 【答案】3 【分析】题目主要考查有理数的分类，根据非负数的定义求解即可． 【详解】解：是负数，不是非负数； ，是非负数； 0是非负数；是负数，不是非负数； ，是非负数， 因此非负数有，0，，共3个， 故答案为：3． 3.把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，， 正有理数集合：{                …}； 负分数集合：{                …}； 非负整数集合：{                …}． 【答案】，，，；，，；，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的相关定义． 根据正有理数、负分数和非负整数的定义进行分类即可． 【详解】解：正有理数集合：； 负分数集合：； 非负整数集合：． 重难点二 正负数的实际应用 一、明确相反意义的量 1. 识别标准：在实际问题中，先确定一对具有相反意义的量，如“收入与支出”“上升与下降”“向东与向西”等。 2. 规定正负：任选其中一个量为正，则另一个量为负。例如：若规定“收入”为正，则“支出”为负；若规定“上升”为正，则“下降”为负。 二、用正负数表示具体数值 1. 直接表示：将选定为正的量用正数表示，相反意义的量用负数表示。例如：收入300元记作+300元，支出200元记作-200元；海平面以上500米记作+500米，海平面以下100米记作-100米。 2. 注意单位：表示时需带上具体单位，确保数值与单位对应。 三、解决实际问题的步骤 1. 审题：明确问题中的数量关系，找出具有相反意义的量。 2. 设定正负：根据题意规定正方向或正意义的量。 3. 列式计算：将实际问题中的量转化为正负数，再进行加减运算（若涉及多个量）。 · 同号相加：取相同符号，绝对值相加。如：（+5）+（+3）=+8；（-2）+（-4）=-6。 · 异号相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减去小绝对值。如：（+5）+（-3）=+2；（-5）+（+3）=-2。 · 减法转化为加法：减去一个数等于加上这个数的相反数。如：（+5）-（+3）=（+5）+（-3）=+2；（-5）-（-3）=（-5）+（+3）=-2。 4. 结果解释：根据计算结果的正负，结合最初规定的意义，解释结果的实际含义。例如：计算结果为+15，表示“比规定的基准多15”；结果为-8，表示“比规定的基准少8”。 四、常见应用场景及方法 1. 温度问题：以0℃为基准，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示。计算温差时，用较高温度减去较低温度（或用正负数的减法运算）。例如：某日最高气温为+5℃，最低气温为-3℃，温差为（+5）-（-3）=+8℃，即温差为8℃。 2. 海拔高度：以海平面为基准（记为0米），高于海平面的高度用正数表示，低于海平面的用负数表示。比较两地高度差时，用较高海拔减去较低海拔。例如：甲地海拔+200米，乙地海拔-100米，两地高度差为（+200）-（-100）=+300米，即甲地比乙地高300米。 3. 收支问题：以“无收入也无支出”为基准（记为0元），收入用正数表示，支出用负数表示。计算最终结余时，将所有收入和支出的数值相加。例如：收入500元（+500），支出300元（-300），结余为（+500）+（-300）=+200元，即结余200元。 4. 方向与距离：规定一个正方向（如向东为正），则相反方向（向西）为负。移动距离用正负数表示，计算最终位置时，将各段移动的距离相加。例如：向东走3米（+3），再向西走5米（-5），最终位置为（+3）+（-5）=-2米，即位于起点西边2米处。 1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】D 【分析】本题主要考查正负数的意义，用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：若气温为零上记作，则表示气温为零下． 故选：D． 2.算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可， 【详解】解：要解决这道题，我们结合算筹的摆法规则和图形来逐步分析： 1，明确算筹的数位与摆法规则 数位交替规则：个位为纵式，十位为横式，百位为纵式，千位为横式以此类推；零的表示：用空格表示；负数表示：在个位数上画斜线表示负数． 2，逐位解析的每一位 千位（横式）：图形为≡，对照横式表格，≡对应数字3，因此千位是3． 百位（纵式）：图形为，对照纵式表格，对应数字6，因此百位是6． 十位（横式）：图形为⊥，对照横式表格，⊥对应数字7，因此十位是 7．个位（纵式，带斜线）：图形为，对照纵式表格，对应数字2，且个位画斜线表示负数，因此个位2． 3，组合各位数字 将千位、百位、十位、个位的数字组合起来，得到这个数是． 故答案为：． 3.外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)4千米 (2)他能完成上面的行程，理由见解析 【分析】本题考查了正负数的实际应用，正负数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把行程中的正负数相加即可解答； （2）求出所行驶的路程后进行比较即可． 【详解】（1）解：， 答：当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为4千米． （2）解：， 因此他能完成上面的行程． 1.2 数轴 重难点一 数轴上比较大小 1. 数轴的三要素：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。通常规定向右为正方向。 2. 数与点的对应：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。正数在原点的右边，负数在原点的左边，0用原点表示。 3. 比较法则：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 · 正数都大于0：因为所有正数对应的点都在原点的右边，所以任意一个正数都比0大。例如，3在原点右边，所以3 > 0。 · 负数都小于0：因为所有负数对应的点都在原点的左边，所以任意一个负数都比0小。例如，-2在原点左边，所以-2 < 0。 · 正数大于一切负数：正数在原点右边，负数在原点左边，右边的数总比左边的大，所以任何一个正数都大于任何一个负数。例如，5 > -1，2 > -3等。 · 两个负数比较大小：绝对值大的反而小。这是因为两个负数在数轴上都位于原点左边，绝对值大的负数离原点更远，即更靠左，所以它比另一个绝对值小的负数更小。例如，比较-5和-3，|-5| = 5，|-3| = 3，因为5 > 3，所以-5 < -3。具体在数轴上看，-5在-3的左边，所以-5 < -3。 1．，两个有理数在数轴上的位置如图，则，，0按照从小到大的顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的大小比较，熟练掌握数轴上有理数的大小比较是解题的关键；由数轴可知，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴； 故选A． 2．小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数共有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴，有理数大小比较的方法．根据有理数大小比较的方法，判断出和1.2之间的整数有多少个即可． 【详解】解：， 在数轴上，大于且小于的整数有，共3个． 故答案为：3． 3．如图，已知数轴上点表示互为相反数，数轴的单位长度为1． (1)请在数轴上标出原点，并写出点所表示的数_____； (2)请在数轴上表示下列各数：，，，，； (3)请用“”将（2）中的5个数连接起来． 【答案】(1)图见解析；4 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小，相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键， （1）根据相反数的意义即可确定数轴的原点，从而得到点所表示的数； （2）分别求得，，再将数在数轴上表示即可得到答案； （3）由（2）即可得到答案． 【详解】（1）解：∵数轴的单位长度为1， ∴， 数轴上点表示互为相反数， ∴点表示，点表示， ∴数轴的原点如图所示： （2）解：，， ∴在数轴上表示各数如图所示： （3）解：由（2）得：． 重难点二 数轴上点的平移与距离 一、数轴上点的平移规律 1. 左右平移法则 点在数轴上向右平移时，用原数加上平移的单位长度 点在数轴上向左平移时，用原数减去平移的单位长度 ✅ 口诀：右加左减（方向与符号对应：右→+，左→-） 2. 坐标公式 若数轴上点P表示数a，平移m个单位后得到点P'： 向右平移：P'表示的数为a + m（m > 0） 向左平移：P'表示的数为a - m（m > 0） 二、数轴上两点间的距离计算 （一）已知两点坐标求距离 1. 直接计算法 当两点位置明确时（如点A在点B左侧）： 距离 = 右边点表示的数 - 左边点表示的数 2. 绝对值公式法 通用公式：数轴上两点A(x₁)、B(x₂)的距离为|x₁ - x₂|（或|x₂ - x₁|） 推导依据：正数与负数的绝对值均表示非负距离 （二）已知距离求点的坐标 1. 单方向平移 已知点A表示数a，在数轴上与A相距m个单位的点有两个： ① 向右平移：a + m ② 向左平移：a - m 2. 方程法应用 设所求点表示的数为x，根据距离公式列方程：|x - a| = m 解方程得：x = a + m 或 x = a - m（体现距离的双向性） 1．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上向右平移5个单位长度得到点B，则点B表示的数是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了数轴，掌握数轴上的点平移法则是解题关键．数轴上点的平移：向左平移，表示的数减小，向右平移，表示的数增大．点A向右平移表示数值增加，因此将点A的数值加上平移的单位数即可得到点B的数值． 【详解】解：点A表示的数为，向右平移5个单位长度，则增加5，即：， 点B表示的数为2． 故选：C． 2．如图，将一刻度尺放在数轴上若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则刻度尺对应数轴上的点表示的数是 ．    【答案】3 【分析】本题考查有理数与数轴，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，由题意得到数轴的单位长度是，根据两点间的距离即可求解． 【详解】解：刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，， 数轴的单位长度是， 刻度尺对应数轴上的点表示的数是． 故答案为：． 3．数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题： (1)如果点表示数，将点向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________，、两点间的距离是__________； (2)如果点表示数，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________，、两点间的距离是__________； (3)一般的，如果点表示的数为，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达点，那么点表示的数是__________． (4)如果点表示的数为，点表示的数是，在数轴上有点到点和点的距离相等，则点表示的数是__________． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】（）根据“左减右加”的规则求出点表示的数，再根据数轴上两点间的距离公式求出两点间的距离即可； （）根据“左减右加”的规则求出点表示的数，再根据数轴上两点间的距离公式求出两点间的距离即可； （）根据“左减右加”的规则解答即可； （）由题意可知，点一定在点之间，设点表示的数是，根据数轴上两点间的距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了有理数与数轴，数轴上两点间距离公式，掌握数轴上点的平移规则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴点表示的数是， ∵， ∴、两点间的距离是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴点表示的数是， ∴、两点间的距离是， 故答案为：，； （3）解：点表示的数是， 故答案为：； （4）解：由题意可知，点一定在点之间， 设点表示的数是， 则， 解得， ∴点表示的数是， 故答案为：． 重难点三 数轴动点求t 一、核心思路 数轴动点问题的本质是通过用含t的代数式表示动点位置，结合数轴上两点间距离公式或位置关系（如相遇、追及、中点等）建立方程，求解时间t的值。 二、通用解题步骤 1. 设元与表示位置 设运动时间为t（单位：秒），明确动点的起始位置、运动方向（向左为负，向右为正）和运动速度（单位长度/秒）。 用代数式表示动点在t秒后的位置： 若动点A从起点a出发，向右运动，速度为v，则t秒后位置为：a + v·t； 若向左运动，则位置为：a - v·t。 2. 根据题意列方程 · 距离问题：数轴上两点M（x₁）、N（x₂）的距离为|x₁ - x₂|。根据题目中“两点距离为某个值”“两点重合”“一点是另一点的几倍”等条件，列出含绝对值的方程。 · 中点问题：若点M是线段AB的中点，则M的位置=(A位置 + B位置)/2。 · 追及/相遇问题： · 相遇：两点位置相等，即A位置=B位置； · 追及：快的点追上慢的点，位置相等（注意方向和起点位置）。 3. 解方程并检验 · 解含绝对值的方程时，需分“绝对值内非负”和“绝对值内为负”两种情况讨论。 · 解出t后，需检验： · t是否为非负数（时间t≥0）； · 动点位置是否符合实际运动方向（如向左运动时，位置不能无限增大）。 1．如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，，，，得到，从而得出，则，再结合的值固定不变，得到，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 2．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 【答案】3或5 【分析】本题主要考查了数轴上的动点．熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，是解题的关键． 相遇前点P表示的数，点Q表示的数，，，根据，解得；相遇后，点P表示的数，点Q表示的数t，，，得． 【详解】解：∵A，B两点表示的数分别是，8， ∴点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得； 相遇时间是， 相遇点表示的数为：， 相遇后，点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∴， 解得． ∴或． 故答案为：3或5． 3．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒． (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值为或 (3)t的值为2 (4)t的值为或或或 【分析】（1）根据数轴上两点A、B表示的数分别为、10，列式求出线段中点表示的数，根据N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒，得到点N表示的数为，即可求出； （2）由M、N两点相距6个单位，可得，即可解得答案； （3）求出的中点P表示的数是，根据点P与数轴上表示的点重合列式计算，可解得答案； （4）分四种情况：当时，列式， 当时，列式，当时，列式，当时，列式，分别解方程可得结果． 本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A、B表示的数分别为、10， ∴线段的中点表示的数为， ∵N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒， ∴点N表示的数为， 故答案为：，； （2）解：∵点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动， ∴点M表示的数为， 点N表示的数为， ∵M、N两点相距6个单位， ∴， 解得或， ∴t的值为或； （3）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴的中点P表示的数是， ∴， 解得， ∴t的值为2； （4）解：M从A到B所需时间为（秒）， N从B到A所需时间为（秒）， 当时，M表示的数为，点N表示的数为，P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是，N表示的数是，P表示的数为， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或或． 1.3 绝对值 重难点一 绝对值的非负性 一、核心概念：绝对值的非负性本质 绝对值的定义：对于任意实数 ( a )，。 非负性结论：无论 ( a ) 是正数、负数还是 0，恒成立，即绝对值的结果不可能是负数。 二、非负性的直接应用场景 1. 判断绝对值表达式的取值范围 方法：直接利用确定表达式的最小值或取值范围。 示例： · ( |x| ) 的最小值是 0（当 ( x = 0 ) 时取得）。 · ( |x - 3| + 2 ) 的最小值是 ( 0 + 2 = 2 )（当 ( x = 3 ) 时取得）。 2. 利用非负性解“绝对值 + 绝对值 = 0”型方程 原理：若两个非负数的和为 0，则每个非负数必须同时为 0（即“非负之和为零，各部分均为零”）。 步骤： ① 确定方程中每个绝对值表达式均为非负数； ② 令每个绝对值内的式子等于 0，解方程组. 1．若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．若 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性和平方的非负性，解决此题的关键是掌握非负性的性质； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出a，b值，______，______． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则______． (3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①若点P在点M、N之间，则______． ②若，则______． 【答案】(1) (2)或 (3)①5；②或 【分析】本题考查绝对值的性质与数轴上的距离问题，解题的关键是利用绝对值的非负性．绝对值方程的解法以及数轴上两点间距离的几何意义来求解． （1）利用绝对值的非负性，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，求出、的值； （2）根据绝对值的定义解绝对值方程； （3）①利用数轴上两点间距离的几何意义，分析点在、之间时的意义并计算，②分情况讨论解绝对值方程． 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：； （2）解： 或； （3）解：①∵点在点、之间， ②∵， ， 当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 重难点二 绝对值在数轴上的化简 一、明确绝对值的几何意义 绝对值 (|a|) 表示数轴上数 (a) 对应的点到原点的距离，距离非负，因此。 二、化简步骤（结合数轴确定数的范围） 1. 确定绝对值符号内代数式的正负性 在数轴上找到代数式中未知数对应的点，根据点与原点（或其他关键节点）的位置关系，判断代数式的正负： 若代数式的值大于0，则绝对值等于它本身，即 （(A > 0)）； 若代数式的值等于0，则绝对值等于0，即 （）； 若代数式的值小于0，则绝对值等于它的相反数，即 （(A < 0)）。 2. 去绝对值符号并化简 根据上述判断结果，去掉绝对值符号，再进行合并同类项等化简操作。 1．已知在数值上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与有理数，化简绝对值，由数轴可得，，再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴判断出绝对值符号里面式子的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴， 故选：． 2．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值，由数轴可得，再根据绝对值的意义化简即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， 故答案为：． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：________0，________0，________0； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴、绝对值： （1）根据数轴判断a、b、c、0的大小关系，以及它们的绝对值的大小关系，从而可以判断作答； （2）根据（1）中的大小，正负判断结果，再结合绝对值的计算方法即可化简． 【详解】（1）解：由图可知，，且， ∴； 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ∴． 重难点三 绝对值中的最值 一、绝对值的几何意义与单绝对值最值 1. 形如|x-a|的最值分析 绝对值|x-a|表示数轴上点x到点a的距离，距离具有非负性，即|x-a|≥0。 最小值：当x=a时，距离为0，因此|x-a|的最小值是0，无最大值（x取值越远离a，距离越大）。 2. 形如|x-a|+b或|x-a|-b的最值 |x-a|+b：由于|x-a|≥0，因此|x-a|+b≥b，最小值为b（当x=a时），无最大值。 |x-a|-b：|x-a|≥0，故|x-a|-b≥-b，最小值为-b（当x=a时），无最大值。 二、双绝对值和差的最值（重点模型） 1. 形如|x-a|+|x-b|（a<b）的最值——“两点之间线段最短” 几何意义：数轴上点x到点a和点b的距离之和。 最小值：当x在a和b之间（包括a、b）时，距离之和为固定值|a-b|（即a与b的距离），因此最小值为b-a（因a<b）。 无最大值：当x在a左侧或b右侧时，x越远离a、b，距离之和越大，趋于无穷。 2. 形如|x-a|-|x-b|（a<b）的最值——“距离差的范围” 几何意义：数轴上点x到a的距离与到b的距离之差。 最大值：当x≥b时，距离差为(x-a)-(x-b)=b-a； 最小值：当x≤a时，距离差为(a-x)-(b-x)=a-b； 中间范围：当a<x<b时，距离差在(a-b)到(b-a)之间波动，无固定最值。 三、含参数的绝对值最值（分类讨论思想） 1. 形如|x-a|+|x-b|+|x-c|（多绝对值和）的最小值 关键：找到“中间点”。当有奇数个绝对值相加时，x取中间点的值，距离之和最小；当有偶数个绝对值时，x在中间两点之间，距离之和最小。 2. 形如|ax+b|+c的最值（含系数） 先化简为|+c=|a|·|x+|+c，因|a|为正数，故最值由|x+|决定： 最小值：当x=-时，最小值为c；无最大值。 1．式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离．若式子的最小值是2，则m的值为（   ） A．1 B．5 C．或 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． 根据的最小值是2可知3与m的距离为2，分m在3左侧、m在3右侧两种情况作答即可． 【详解】若式子的最小值是2，则3与m的距离为2， 当m在3左侧时，； 当m在3右侧时，； 故选：D． 2．已知m是有理数，则的最小值是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了化简绝对值，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、、、、五种情况，分别化简绝对值，再结合m的取值范围确定最小值，最后综合五种情况即可解答． 【详解】解：当时， ，即最小值为24； 当时， ，即最小值为12； 当时， ，即最小值为12； 当时， ； 当时， ． 综上，的最小值是12． 故答案为：12． 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________； （3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________． 【答案】（1）或1；（2）；（3）或5；（4） 【分析】本题考查了绝对值以及绝对值方程，掌握绝对值的几何意义是解题关键． （1）根据绝对值求解即可； （2）根据绝对值几何意义求解即可； （3）由（2）可知，的最小值为，则当时，或，再分别求解即可； （4）根据绝对值几何意义求解即可；． 【详解】解：（1）当时，， 解得：或1， 故答案为：或1； （2）表示到4和的距离和， 当时，有最小值，最小值， 故答案为：6； （3）由（2）可知，的最小值为， 则当时，在左侧或的右侧，即或， 当时，，解得：； 当时，，解得：， 故答案为：或5； （4）表示到、2、5的距离和， 则当时，距离和最小为， 即的最小值为8， 故答案为：8． 1.4 有理数的大小比较 重难点一 有理数比较大小的综合应用 一、直接比较法（适用于同号或易于判断的数） 1. 正数与正数比较：绝对值大的数大。例如：3 > 2（因为|3|=3，|2|=2，3>2）；（通分后）。 2. 负数与负数比较：绝对值大的数反而小。例如：-5 < -3（因为|-5|=5，|-3|=3，5>3，所以-5<-3）；（绝对值，，，故）。 3. 正数、负数与0比较：正数 > 0 > 负数。例如：5 > 0，-2 < 0，3 > -1。 二、数轴比较法（直观体现数的位置关系） 1. 步骤：在数轴上标出所有要比较的有理数，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 2. 示例：比较-4，1，-2，3的大小。在数轴上从左到右依次为-4，-2，1，3，故大小关系为-4 < -2 < 1 < 3。 三、作差法（适用于任意两数，通过差的符号判断） 1. 原理：若(a - b > 0)，则(a > b)；若，则；若(a - b < 0)，则(a < b)。 2. 示例：比较与的大小。，所以；比较-3与-5的大小，，所以-3 > -5。 四、作商法（适用于同号两数，通过商与1的关系判断） 1. 原理：若(a)，(b)同正，则(a > b)；则；则(a < b)。若(a)，(b)同负，则(a < b)（因为负数相除，商为正，绝对值大的反而小）。 2. 示例：比较与（同正），，所以；比较-8与-6（同负），，所以-8 < -6。 五、特殊值法（适用于含字母或抽象问题的验证） 1. 方法：根据题目条件选取符合要求的特殊有理数代入，通过具体数值比较大小。 2. 示例：若(a < 0)，比较(a)与(-a)的大小。设（符合(a < 0)），则，所以，即(a < -a)。 1．已知，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可推导出，然后比较各数的大小关系即可；本题主要考查了绝对值、有理数的加法、有理数的比较大小，熟练掌握绝对值越大，负数越小，正数越大是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选项：A． 2．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数比较大小、多重符号的化简等知识，掌握有理数的大小比较原则是解题的关键．根据负数比较大小，绝对值大的反而小即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，， ∴， 故答案为：． 3．根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法． (1)比较下列各式的大小（用“”、“”、“”连接） ① ；② ； ③ ；④ ． (2)、为有理数，通过比较、分析，归纳与的大小关系为 ． （用“”、“”、“”、“”、“”连接） (3)根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是 ；整数，，，满足，，则 ． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)；或． 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据绝对值的定义和有理数的加法，将各式计算出结果，再进行比较即可； （2）根据（1）中的结果，总结得出结论即可； （3）根据题意，结合（2）的结论推出x与同号或等于0，进而得出结论；根据（2）的结论得出与异号，然后分两种情况化简绝对值求得的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵，， ∴； ③∵，，， ∴； ④∵，， ∴． 故答案为：①；②；③；④． （2）解：由（1）可得： 当a与b同号或a、b中至少有一个为0，则； 当a与b异号，则， ∴、为有理数时，． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴x与同号，或者， ∴． ∵，，， ∴与异号， 令，，则，，且与异号， ①当，时，， ∴， ∴， 解得或2； ②当，时，， ∴， ∴， 解得或； ∴或． 故答案为：；或． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $