精品解析：陕西省西安市高新区第三初级中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

数学学科综合素养评价（一） （总分120分 用时120分钟） 一、单选题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  2. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形 B. 两条对角线互相平分的四边形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定条件逐一分析选项，找出不符合判定条件的选项． 【详解】解：选项A：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此选项A能判定； 选项B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此选项B能判定； 选项C：一组对边平行，另一组对边相等的四边形，这种情况不一定是平行四边形， 例如等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形，因此选项C不能判定； 选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此选项D能判定． 故选：C ． 3. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 4. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 5. 如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 将纸片对折，折痕为， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 故选：B ． 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 7. 如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设点到距离为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等，同理的面积和的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是， ∵的面积是，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：． 8. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义； 根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个实数根， ． 故选：D． 9. 如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 10. 如图，矩形中，，点M在上，点N在上，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过B点作的垂线，垂足为点，延长至点，使得，连接，过点作交于点， 证明，结合勾股定理以及矩形的性质求出，由作图可得垂直平分，则，那么，故当点共线，且点重合时，取得最小值即为． 【详解】解：过B点作的垂线，垂足为点，延长至点，使得，连接，过点作交于点， ∵矩形中，, ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴， 当点共线，且点重合时，取得最小值即为， ∴的最小值为 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故答案为：． 12. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和，首先根据正多边形的每个外角都相等都是，可以求出多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等， 多边形的边数为， 这是一个正边形， 这个正多边形的内角和为． 故答案为：. 13. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 14. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是线段，的中点，若，的周长是，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，进而得到，最后根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 的周长是，即， ， 、分别是线段、的中点， ， 故答案为：． 15. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长． 【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，， 故答案为： 16. 如图，正方形的边长为，点E是边上的一个动点，点F是边上的一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，设与的交点为点O，得到平行四边形，点O是的中点，连接，则经过点O，且，取的中点H，连接，根据三角形三边不等关系式，计算最值即可． 【详解】如图，连接，，，设与的交点为点O， ∵正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点O是的中点，连接， ∵正方形， ∴点O是的中点，且， 取的中点H，连接， ∵， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∴，， ∴长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形不等式，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边不等关系式是解题的关键． 三、解答题（共10小题，计72分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2） ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）将方程利用公式法直接求解即可得到答案； （2）将方程移项后因式分解直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理为， 则， 则， 即：或， 解得 ，． 18. 如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，三角形相似判定与性质，掌握作一个角等于已知角的方法与步骤是解题关键． 利用作一个角等于已知角方法：作，利用相似三角形的判定定理即可判定． 【详解】解：过点以任意长为半径画弧交角的两边分别为、，再以点D为圆心以长为半径画弧交于，再以点为圆心，长为半径画弧交前弧于，则，过点D作射线交于点E，如图所示， ， ， ． 19. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． （3）的面积为_______． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求； （3）10 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）把A，B，C的坐标乘以得到其对应点，，，再连线即可得出答案； （3）利用割补法求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，关于x轴对称图形画法及位似图形的画法，熟练运用位似图形的性质是解题关键． 20. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x； （1）_______米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． 【答案】（1） （2）的长为10米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式； （1）设栅栏长为米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设栅栏长为米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴（米）， 故答案为： 【小问2详解】 解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米． 21. 如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F． （1）求证：EO＝DC； （2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD ∴四边形AEBO是平行四边形 又∵菱形ABCD对角线交于点O ∴AC⊥BD 即∠AOB＝90° ∴四边形AEBO是矩形 ∴EO＝AB ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝DC ∴EO＝DC． （2）50 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形AEBO是平行四边形，再证明是矩形可得EO=AB，又因为AB=CD，所以EO=DC，问题得证；（2）根据菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=2×△ABD的面积计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形 ∴∠EBO＝90° ∵∠EBA＝60° ∴∠ABO＝30° 在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO＝30° ∴AO＝5，BO＝5 ∴BD＝10 ∴菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积 ＝2×△ABD的面积 ＝2××10×5 ＝50． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，得到菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=2×△ABD的面积是解题的关键． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 23. 如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB； （2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 【答案】 （1）证明：∵△PCD为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°． ∴∠ACP＝∠PDB＝120°． ∵∠APB＝120°， ∴∠A+∠B＝60°． ∵∠PDB＝120°， ∴∠DPB+∠B＝60°． ∴∠A＝∠DPB． ∴△ACP∽△PDB． （2）6． 【解析】 【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB． （2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到 ，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC•BD． ∵AC＝4，BD＝9， ∴CD＝6． 【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键. 24. 如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件推出，求得与的关系，再根据题意易得四边形、四边形、四边形均为矩形，得到，根据，得，构造一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设米，如图， 根据题意可得，，， ∴， ∴, ∴， ∵点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，， ∴四边形、四边形、四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴ 答：雕像的高度为16.8米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25. 如图所示，已知直线l的表达式为，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，其中一点停止运动，另一点也随之停止运动，设点Q、P移动时间为t秒． （1）求点A、B的坐标 （2）当t为何值时，与相似； （3）当t为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）点A的坐标是，点B的坐标是， （2）或 （3）当时，的面积最大，最大面积为5 【解析】 【分析】（1）在中，当时，，当时，，解得，即可得到答案； （2）求出，当移动时间为t时，，则，分两种情况根据相似三角形的性质列方程，解方程即可得到答案； （3）过点Q作于点M，则，则，根据相似三角形对应边成比例求得，设的面积为S，则 ，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中， 当时，， 当时，，解得； ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 【小问2详解】 如图所示，由， 根据勾股定理可得， 当移动时间为t时，， 则， 由题意可得，， ①当时，， 此时， 解得， ②当时，， 此时， 解得， 综上可知，当或时，与相似； 【小问3详解】 如图所示，过点Q作于点M，则， ∴， ∴， 即， 解得， 设的面积为S，则 ， ∴当时，的面积最大，最大面积为5． 【点睛】此题考查了相似三角形综合题，主要考查了一次函数图象与坐标轴交点、二次函数的性质、坐标与图形、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练熟练掌握一次函数的性质和相似三角形的性质是解题的关键，要注意分类讨论思想的应用． 26. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：． 深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）见详解（2）（3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）过点作，延长交于点，利用勾股定理求得，即可得，可证得，求得，进一步证得，有，即可求得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2， 则四边形是平行四边形． ， 是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由得③， 解方程组， 得（不合题意的值已舍）， ， ． （3）过点作，延长交于点，如图， 在中，，，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质与判定和勾股定理，解二元二次方程组，平行四边形的判定与性质等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科综合素养评价（一） （总分120分 用时120分钟） 一、单选题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形 B. 两条对角线互相平分的四边形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形 3. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 5. 如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则的比值为（ ） A. B. C. D. 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 7. 如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 9. 如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，点M在上，点N在上，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为_________． 12. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 13. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 14. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是线段，的中点，若，的周长是，则的长为______． 15. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______． 16. 如图，正方形的边长为，点E是边上的一个动点，点F是边上的一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值为________． 三、解答题（共10小题，计72分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 19. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． （3）的面积为_______． 20. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x； （1）_______米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． 21. 如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F． （1）求证：EO＝DC； （2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 23. 如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB； （2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 24. 如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度． 25. 如图所示，已知直线l的表达式为，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，其中一点停止运动，另一点也随之停止运动，设点Q、P移动时间为t秒． （1）求点A、B的坐标 （2）当t为何值时，与相似； （3）当t为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 26. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：． 深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $