专题01 特殊的平行四边形（必备知识+18题型+分层检测）（期中复习讲义）九年级数学上学期北师大版

专题01 特殊的平行四边形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 菱形的性质与判定 掌握菱形的定义、性质和判定方法，能运用这些知识解决与菱形相关的计算和证明问题 高频考点，常与矩形、正方形等知识综合考查，在选择题、填空题、解答题中均有出现 矩形的性质与判定 掌握矩形的定义、性质和判定方法，能运用这些知识解决与矩形相关的计算和证明问题 高频考点，常结合三角形、菱形、正方形等知识综合考查，在各类题型中广泛出现 正方形的性质与判定 掌握正方形的定义、性质和判定方法，能运用这些知识解决与正方形相关的计算和证明问题 核心考点，是菱形和矩形知识的综合，常与其他特殊四边形、三角形等知识结合，在几何综合题中高频考查 四边形综合 能综合运用各种特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的性质与判定，解决复杂的四边形相关问题 重要考点，多为几何综合题，考查对特殊四边形知识的综合运用能力，在解答题中较为常见 知识点01 菱形的性质与判定 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2. 菱形的性质 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC 对角线 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【解题技巧】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形； 3）菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形； 3. 菱形的面积公式： 1）菱形的面积=底×高，即. 2）菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 4. 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴▱ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形 知识点02 矩形的性质与判定 1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2. 矩形的性质 性质 符号语言 图示 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【解题技巧】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 3. 矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 知识点03 正方形的性质与判定 1. 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2. 正方形的性质： 1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【补充】 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 3. 正方形的判定： 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 判定 定理 已知是矩形时 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+一组邻边相等 对角线互相垂直的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 已知是菱形时 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+一个角是直角 对角线相等的菱形是正方形 菱形+对角线相等 知识点04 四边形综合 1. 特殊平行四边形的性质对比 四边形 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对称图形 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 2. 矩形、菱形、正方形的判定 四边形 边 角 对角线 矩形 1）平行四边形+一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 题型一 利用菱形的性质求解 解｜题｜技｜巧 1）菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； 2）菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在菱形中，E，F分别是、上的点，是等边三角形，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质，平行线有性质，难度一般． 利用菱形以及等边三角形的性质，设，用表示出和，利用平行线的性质得，求解得，即，进而可求的度数． 【详解】解：如图所示： 在菱形中，、分别在、上，且是等边三角形，， ，，， 设，则， 故，则， 在菱形， ，， ， ， 解得：，即， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）菱形的两条对角线分别为和，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键； 根据菱形的对角线互相垂直平分求出两条对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：菱形周长为：； 菱形的周长为； 故答案为： 3．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理可求出的长，进而根据菱形面积计算公式求出的长，则由勾股定理可求出的长，再由平行线间距离处处相等得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线和相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，突破点是证明是等边三角形．如图连接，首先证明是等边三角形，可得，再根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ． 故答案为：． 题型二 利用菱形的性质证明 5．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在菱形中，是延长线上一点，是延长线上一点，连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，先证明，得出，同理，得出，，再根据菱形的判定方法，证明即可． 【详解】解：四边形是菱形． 理由：四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， 同理得：， ∴，， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 6．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，在菱形中，，点在对角线上，将线段绕点顺时针旋转角，得到，连接、，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定；由菱形的性质，，由旋转性质得，，由即可判定；掌握菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 证明：四边形为菱形， ，， 由旋转性质知：，， ， ， 在和中， （）． 7．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知菱形中，，，为射线和上一点，． (1)如图，若点，分别在边，上，求证：； (2)在图中，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解答的关键． （1）连接，由菱形的性质得到，，进而证明是等边三角形，得到，，则，然后证明即可证的结论； （2）过C作于H，先根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得，由全等三角形的性质得到，推导出四边形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，过C作于H， ∵，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积 ． 题型三 证明四边形是菱形 解｜题｜技｜巧 判定一个四边形是菱形的关键是能把已知条件转化为判定菱形时所需要的条件，如在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可判定其为菱形;若在四边形的基础上，则需四条边都相等才可判定其为菱形. 重难点一 添一个条件使四边形是菱形 8．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； B、当平分时，， ∵， ∴， ∴， ∴，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 、当，时，不能证明是菱形，故本选项符合题意； D、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③平分；④．其中使得是菱形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定，熟练掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定逐个判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ①若，则可得其为菱形，故①正确； ②中一组邻边相等，也可得到一菱形，故②正确； ③如图， ∵， ∴， ∴， 若平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形，故③正确； ④若则，所以四边形为矩形不一定是菱形，故④错误； 则能使是菱形的有①②③，共3个． 故选：C． 10．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 【答案】添加一个条件：（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形、菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形和菱形的判定是解题的关键． 由可证，可得，从而可得出四边形为平行四边形，再由菱形的判定可求解． 【详解】解：添加一个条件：当时，四边形为菱形， 证明：若添加， ∵，D是中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 重难点二 证明四边形是菱形 11．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形，，连接，点为的中点，连接并延长交于点，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 由点O为的中点得到，由得到，，证得，得到，进而推出四边形是平行四边形，再根据即可得证． 【详解】证明：∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 13．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 中，，、 分别为 、 的中点，、 分别是 、 的中点．求证： (1)； (2)四边形 是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等腰梯形的性质得出，，再由是的中点，根据即可证明； （2）先由（1）得出，再由已知条件证出，、是的中位线，即可证出，得出四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是等腰梯形， ，， 是的中点， ， 在和中， ， （）； （2）解：由（1）得：， ， 、分别是线段、的中点， ，， ， 又是的中点， 、是的中位线， ，， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的判定；熟练掌握等腰梯形的性质，菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 题型四 根据菱形的性质与判定求解 解｜题｜技｜巧 判定一个四边形是菱形的关键是能把已知条件转化为判定菱形时所需要的条件，如在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可判定其为菱形;若在四边形的基础上，则需四条边都相等才可判定其为菱形. 14．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得 则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 15．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及对称轴的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解． 【详解】（1）证明：∵为对角线上的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形； （2）解：如图： ∵， ∴， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 题型五 利用矩形的性质求解 解｜题｜技｜巧 运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系，以及直线的位置关系、角的等量关系.运用时应注意： 1）矩形的性质是证明线段相等、角相等、线段平行或垂直的常用依据和手段； 2）矩形的四个角都是直角，据此，常把矩形的有关问题放到直角三角形中解决； 3）矩形的两条对角线相等且互相平分，并将矩形分割成四个等腰三角形，因而矩形的有关问题也常放在等腰三角形中解决. 17．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的额关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可推出，得到，再根据三角形的内角和定理可得，结合，推出，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，四边形是矩形，，，点C在第二象限，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质等；过作轴交于，过作轴交于，由矩形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解；掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，能构建全等三角形进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作轴交于，过作轴交于， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 故答案为： ． 20．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 【答案】192 【分析】由题意知，是全等三角形，由此可得，即四边形为菱形，由菱形的周长，可求其边长，根据勾股定理可求得和，即可求得和的值，从而求得矩形面积． 【详解】在和中， ∵， ∴， ∴， 同理，即四边形为菱形． 又∵四边形的周长是40cm， ∴ ． ∵， 设，则． 由勾股定理得，，即， ∴， 矩形的面积． 故答案为：192． 题型六 利用矩形的性质证明 21．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 22．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出矩形的边长，再根据矩形的面积公式计算即可． 根据矩形的性质可得，利用可证； 根据全等三角形的性质可得，利用勾股定理可求，根据矩形的面积公式计算即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， ， 又， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， 又，, ， 矩形的面积是． 23．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，判断的形状并说明理由． 【答案】是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判断，证明，得到，，推出，即可得出结果． 【详解】解：是等腰直角三角形 理由：矩形与矩形全等， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 题型七 斜边的中线等于斜边的一半 解｜题｜技｜巧 1）性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，则AD=___________. 2）拓展： ①∠1=∠2，∠3=∠4； ②∠ADB=______=2∠4， ∠ADC=______=2∠2 答案：1）一半 BC 2）2∠3 2∠1 24．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 25．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（   ） A．5 B．4 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件先得出是的中位线，求出长度，再利用直角三角形斜边中线定理进行求解即可． 【详解】解：∵，分别为，边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵于，点是的中点， ∴, 故选：A． 26．（24-25九年级上·云南丽江·期末）如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用直角三角形斜边上的中线的性质求出即可． 【详解】解：∵在中，，垂足为D， ∴是直角三角形； ∵E是的中点． ∴（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）； 又∵， ∴； 故答案为：10 题型八 证明四边形是矩形 解｜题｜技｜巧 1）在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件即可判定该平行四边形为矩形. 2）在四边形的基础上，有三个角是直角(第四个角必是直角)，则可判定该四边形为矩形. 重难点一 添一个条件使四边形是矩形 27．（23-24九年级下·甘肃平凉·期中）如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    【答案】①（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，有一个角为直角的平行四边形是矩形，证明即可． 【详解】解：当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， 故答案为：①． 28．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形等判定方法一一判定即可． 【详解】解：①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立； ②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立； ③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立； ④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立． 故答案为：①③④． 29．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且 (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明 【答案】(1)见解析 (2)当时或当时，四边形BEDF为矩形 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、矩形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，利用可以证明和全等，从而可以得到； （2）根据（1）可知： ，从而可以得到，，故四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定，即可写出添加的条件． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：当时，四边形为矩形， 理由：由（）知： ，则，， 故四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形； 当时，四边形为矩形， 理由：由（）知： ，则，， 故四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形． 由上可得，当时或当时，四边形为矩形． 重难点二 证明四边形是矩形 30．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线，两线相交于点P，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，熟练掌握菱形的性质定理，矩形的判定定理是解题的关键．根据，，即可证出四边形是平行四边形，由菱形的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 31．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，分别是及其邻补角的平分线，于点E，于点F，四边形是矩形吗？请证明你的结论． 【答案】四边形是矩形，见解析 【分析】本题考查矩形的判定，根据由3个角是直角的四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：四边形是矩形． 理由：∵分别是及其邻补角的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形． 32．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，解题的关键是掌握矩形的性质和判定定理． 首先根据矩形的性质得到，然后证明出，证明出四边形是平行四边形，然后由得到平行四边形是矩形． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 题型九 根据矩形的性质与判定求解 解｜题｜技｜巧 1）利用矩形的性质可证明线段相等或互相平分、角相等、直线平行等； 2）证明是矩形可以直接证明三个角等于90°或者先证明是平行四边形再证明一个角是90°或对角线相等. 33．（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 34．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，四边形是菱形，延长至点E，使，再延长至点F，使，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，则四边形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）由，，得出四边形为平行四边形，由菱形的性质可得，则，即可判断四边形是矩形； （2）根据四边形是菱形，得出，求出，根据勾股定理求出，根据矩形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明： ，， ∴四边形为平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ． 35．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，进而得到，即可得证； （2）设，根据矩形的性质，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）由（1）知平行四边形为矩形， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 题型十 利用正方形的性质求解 解｜题｜技｜巧 在正方形问题中，一般可以通过证三角形全等来得到等线段或等角，也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形，利用勾股定理解题.在正方形中，也常用对角线互相垂直平分证明线段相等. 36．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ．    【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 由四边形是正方形，得，则，，，而，则，，所以可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，，作 交延长线于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上取一点F使得，连接，先证明得到，，进而可以证明得到，设，则，，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，在上取一点F使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：10． 38．（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质的应用，全等三角形的证明和图形的分割．要求阴影部分四边形面积，可分割成两个三角形面积之和，设与交于点E，与交于点F，证明，即可将阴影部分面积转化为求的面积，而占正方形面积的，正方形面积根据已知边长可求，由此问题得到解决． 【详解】解：设与交于点E，与交于点F，如图所示，    四边形是正方形， 所以，，． ． 又， ． ． ． 正方形边长为2， 正方形面积， ． 所以阴影部分面积为1． 故答案为1． 题型十一 根据正方形的性质证明 39．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形， (1)在CB延长线上存在一点G，使绕着A点逆时针旋转后能与重合，请在图上画出； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是∶ （1）在CB延长线上取点G，使，连接即可； （2）先根据证明，得出，，结合角的和差关系可求出，然后根据证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（1）中作图知：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 40．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）如图是一个正方形花园，是它的两个门且分别是的中点，要修两条路和． (1)如图这两条路等长吗？它们有什么位置关系？直接写出结果． (2)如图若点不是正方形的边的中点但满足那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请说明理由？ 【答案】(1)，，理由见解析； (2)，，理由见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与交于点，由正方形性质可得，，又分别是的中点，则有，然后证明，由性质可得，，再根据三角形内角和定理求出即可； （）设与交于点，由正方形性质可得，，又，则有，然后证明，由性质可得，，再根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解：，，理由如下： 如图，设与交于点， ∵四边形是一个正方形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，设与交于点， ∵四边形是一个正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（E在上，F在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点D，E，F，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． (1)证明：； (2)若，请计算儿童活动区的面积． 【答案】(1)见解析； (2)儿童活动区的面积为． 【分析】（1）将绕点D逆时针旋转得到．证明，则即可得到； （2）求出．．由（1）可知，，设，则，．在中，，则，求出，即，根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，将绕点D逆时针旋转得到． ，． ． 即． 在和中， ， ． （2）解：∵四边形是正方形，． ． ． 由（1）可知，，设，则，． 在中，， ，即， ． 故儿童活动区的面积为． 【点睛】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 题型十二 证明四边形是正方形 解｜题｜技｜巧 在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来判定的，判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 重难点一 添一个条件使四边形是正方形 42．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 43．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中在（4）处填写的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查正方形的判定，掌握有一个角是直角的菱形是正方形成为解题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 44．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方形的判定方法． （1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明四边形是平行四边形，进而证得，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又 ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）知，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 故答案为：． 重难点二 证明四边形是正方形 45．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 【答案】正方形，见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，旋转的性质，正方形的判定，难度适中．先由中位线的性质得出，则，再根据旋转的性质得出，则四边形是矩形，又，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形是正方形． 【详解】解：四边形是正方形． 证明如下： 点、点分别是、的中点， ，是的中位线， ， ． 又是由绕点旋转而得， ，点、、在一条直线上， 四边形是矩形． ，， ， 四边形是正方形． 46．（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点，设． (1)求证：； (2)当a为何值时，四边形是正方形？ 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，，进而可得，再利用（1）的结论可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，进而可得四边形是菱形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∵点是的中点， ， ∵分别是线段的中点， ，， ， ∴四边形是菱形， ， ∴四边形是正方形． 47．（24-25八年级下·河北承德·期末）已知：如图，中，O为对角线的交点，平分． (1)求证：是菱形． (2)在上截取，在上截取．连结．判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，菱形的判定和性质以及正方形的判定，灵活运用各性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，等量代换得到，然后根据等角对等边及菱形的判定定理得出结论； （2）根据菱形的性质可得，求出，即可判定四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴，          ∵平分， ∴， ∴， ∴，           ∴平行四边形是菱形． （2）解：四边形是正方形， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，   ∴平行四边形是菱形，   ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 题型十三 正方形的性质与判定综合 48．（24-25九年级上·辽宁·期中）如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是正方形． (2)当是的中点，且时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据即可得出结论； （2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，，，进而得到，在中由勾股定理得，据此可求的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， 又， 菱形为正方形， （2）连接，如下图所示： 于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ，， ， 四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， （负值舍去）， ． 49．（22-23八年级下·山东烟台·期中）已知，如图，在四边形中，，，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点D作，交的延长线于点M，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：过点D作，交的延长线于点M， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴矩形是正方形 ∵， ∴， ∴ ∴ ， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定、矩形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质与判定、矩形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型十四 特殊平行四边形的判定定理的理解 50．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有 （只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确 【详解】解：∵ ∴四边形是平行四边形，①正确； 若， ∴平行四边形为矩形，②正确； 若平分， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形为菱形，③正确 由可得四边形是菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形；④错误， 故答案为：①②③ 51．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定等知识点，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵， ∴平行四边形是矩形，A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），B正确，不符合题意； ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴平行四边形是正方形，C正确，不符合题意； ∵或，四边形是平行四边形， ∴都只能证明平行四边形是菱形，D错误，符合题意． 故选：D． 52．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 【答案】(1)当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 (3)不会，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，菱形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，同理可得，则，当，可得与相等且互相平分，据此可证明四边形是矩形； （2）当时，可证明，进而证明，据此可证明四边形是正方形； （3）连接交于G，可证明，若四边形是菱形，则，但在中，不可能存在两个角为，故四边形不会是菱形． 【详解】（1）解：当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴与相等且互相平分， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （3）解：四边形不会是菱形，理由如下： 如图所示，连接交于G， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为， ∴四边形不会是菱形． 53．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、交于点O，分别过点C、D作，，连接交于点E． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． (3)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． (4)当满足______时，四边形为正方形（填空，不用证明） 【答案】(1)证明见解析 (2)当满足时，四边形为矩形，理由见解析 (3)当满足时，四边形为菱形，理由见解析 (4)， 【分析】（1）先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，由平行线的性质得到，再由平行四边形的性质推出，据此可证明； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到要满足，则由三线合一定理可得要满足； （3）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得到要满足，则由对角线相等的平行四边形是矩形可得要满足； （4）结合（2）（3）即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵平行四边形的对角线、交于点O， ∴， ∴， ∴； （2）解：当满足时，四边形为矩形，理由如下： ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （3）解：当满足时，四边形为菱形，理由如下： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （4）解：当满足，时，四边形为正方形， 证明如下： 由（2）（3）可知可同时证明平行四边形是矩形且平行四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定定理，矩形的性质与判定定理，菱形的判定定理，正方形的判定定理是解题的关键． 题型十五 多结论问题 解｜题｜技｜巧 对每个结论进行逐一求证和求解，已经验证的正确结论可以作为已知条件使用. 54．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定定理，全等三角形的判定和性质，证明，得到，进而证明，得到，推出四边形是平行四边形，得到，当时，证明是等边三角形，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，得到四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即①②③都是正确的． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴． ∴当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故④正确． 故选D． 55．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形中，，联结的平分线交于点，在上截取，联结，分别交，于点，点是线段上的动点，于点，联结．下列结论：①；②；③；④的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①② C．①③ D．①4 【答案】A 【分析】①利用正方形的性质证明，得到进而可证； ②利用正方形的性质证明，得到，证明，进而可证； ③利用，求得，，进而可证； ④证垂直平分，得，根据，可得为最小值． 【详解】解：过D作于点M，连接，则， ∵在正方形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②④， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线性质，是解题的关键． 56．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在菱形中，．为边中点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：；；；，则正确结论有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据菱形的性质得到，，推出和是等边三角形， 根据等腰三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理得到，从而判断；根据三角函数的定义得到，从而判断；易得，通过线段之间的数量关系，证明，再根据全等三角形的性质得到，从而判断；过作于，求得，易证得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， 四边形是菱形， ，， 和是等边三角形， 是边的中点， ， 将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处， ， ， ， ，故正确； ，， ，故正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 过作于， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ，故错误． 故正确结论有：． 故选：B． 57．（2023·江苏扬州·一模）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】如图：连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，由等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； 如图：连接，由折叠得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图：过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得∶， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质、三线合一的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 题型十六 最值问题 解｜题｜技｜巧 解决此类问题，关键是分辨出“动”和“定”，探寻“动点”的运动轨迹，这个轨迹一般是直线(线段)或圆，探究最值问题的理论依据有:直线外一点与这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短以及三角形的三边关系等. 55．（2021·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念．解答本题的关键是读懂题意，知道根据正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 连接，，根据点与点关于对称和正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴，． 由，知． 又∵点与点关于对称， ∴且平分． ∴． ∴． ∴的最小值是10． 故答案为：10 56．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形．由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故答案为：． 57．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于，可得，根据正方形的性质可得，，于是可得，由旋转的性质可得，，进而可得，于是可证得，进而可得，由此可知，点在与平行且与的距离为的直线上，根据垂线段最短可知，当点在边上时最小，然后根据即可求得的最小值． 【详解】解：如图，过点作于， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质可得： ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与平行且与的距离为的直线上， 根据垂线段最短可知，当点在边上时，最小且， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 58．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，直线的表达式为，与轴交于点，与轴交于点，点为线段上的一个动点，作轴于点，轴于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意判断出四边形是矩形，连接，则有，可知当时，有最小值，利用一次函数解析式求出点坐标，再由勾股定理求出，最后根据等面积法求出即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵轴于点，轴于点， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，有最小值，如图， ∵直线的解析式为， ∴当，；，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，一次函数与的交点坐标，等面积法，正确作出辅助线是解题的关键． 题型十七 折叠问题 解｜题｜技｜巧 在初中数学中，图形的折叠是我们常见的一种数学问题，这类问题的解决是有规律可循的.由于图形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在图形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形的不变性，在求解几何全等型问题时，具有很重要的运用价值.一些要通过作辅助线进行全等证明的数量关系，由图形的折叠变换就可以直接得到. 59．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形中，点F在上，点E在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在边上的点G处．若矩形面积为且，，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】由折叠的性质可知，，，，，结合即可得出，进而可得出为等边三角形．在中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出、，再由结合矩形面积为，即可求出的长度，根据即可求出结论． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、等边三角形的判定及性质以及解含30度角的直角三角形，根据边角关系及勾股定理确定、是解题的关键． 60．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点E是的中点．连接，将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，则（1） ，（2）的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形、折叠的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 通过折叠和点E是的中点可得，则、易得；在运用勾股定理可得，进而得到，然后在中运用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图：设与相交于点O， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，点E是的中点， ∴， ∴，， 又∵三内角之和为， ∴， ∴， ∴， 解得：； 在中，由可得：， ∵， ∴，解得：， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接， ∴点是点B关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， 在中，． 故答案为：． 61．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点E处，已知， ， 则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算；先求解，，设，再利用勾股定理求解，再求解，从而可得答案． 【详解】解：由长方形的性质可知，， 由折叠的性质可知， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 62．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，点E是边的中点，动点P在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则 ，的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了菱形的性质、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当D、E、F在同一直线上时，最短， 如图，过点E作于点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：2，． 题型十八 动点问题 解｜题｜技｜巧 一般有两种情况，一种情况是有一个动点，一种情况是有两个动点，经常与其他知识点相结合，要求学生既要有数形结合的能力，还需要洞察出可能的多解，分类讨论. 63．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解． 【详解】解：作轴于点，轴于点，连接，如图， ∵， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 64．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图1，在矩形中，，，点E从A出发，沿方向匀速运动到点C停止，点F从C出发，沿方向匀速运动到点A停止，E，F的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)如图2，点P，Q分别是边，上的点，连接，，，． ①若P，Q分别是，的中点，当________时，四边形是矩形； ②若P，Q分别是动点，点P从A出发，沿方向匀速运动到点D停止，点Q从C出发，沿方向匀速运动到点B停止，P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，P，Q，E，F均同时出发，是否存在某一时刻，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)①2或8；②存在，． 【分析】（1）由勾股定理计算得出，再分两种情况：当时；当时，分别计算即可得解； （2）①证明四边形为矩形，得出，由矩形的性质可得，由①可得当时，；当时，，再分情况计算即可得解；②连接，交于点O，连接，．由菱形的性质可得，，，证明四边形是平行四边形得出，即可得出是的垂直平分线，从而可得，设，则，由勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∵E，F的运动速度均为每秒1个单位长度， ∴E，F相遇的时间为（秒），E，F运动的总时间为（秒）， 故当时，；当时，； （2）解：①如图，连接， ∵P，Q分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 由①可得当时，；当时，， 故当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，当2或8时，四边形是矩形； ②存在．连接，交于点O，连接，． ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：，即 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 65．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点A出发，以速度沿线段向终点B运动．过点P作交折线于点Q，以为边向右侧作正方形．设点P的运动时间为，正方形与四边形重叠部分图形的面积为． (1)____________． (2)当点M与点C重合时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)45 (2) (3) 【分析】本题考查的正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）过作于，根据矩形的性质得到,，求得，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到； （2）根据正方形的性质得到，求得，得到， （3）当时，根据正方形的性质得到；当时，，，根据三角形和正方形的面积公式得到；当时，，，即可求解． 【详解】（1）解：（1）过作于， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ； 故答案为：45； （2）解：，， ， ∴四边形是矩形， ∴ ∵四边形是正方形， ， ∵，， ∴， ∴出发时， ∵动点P从点A出发，以速度沿线段向终点B运动，设点P的运动时间为， ； （3）解：如图①， 由（2）可知，当时，点M与点C重合， ∴当时，则； 如图②， 当点Q与点C重合，此时， ∴当时，则，， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 如图③， 当点P与点B重合，此时， ∴当时，则， ， 综上所述，． 期中重难突破练（测试时间：25分钟） 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知：如图，在矩形中，M、N分别是、的中点，P、Q分别是、的中点． (1)求证：； (2)四边形是怎样的特殊四边形，请说明理由； (3)矩形的边长与满足什么长度关系时四边形为正方形，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据矩形的性质和线段中点证明即可； （2）先根据矩形的性质证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，连接，则四边形是矩形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可得出结论； （3）由（2）可知，四边形是菱形，四边形是矩形，若四边形为正方形，则，从而得到垂直平分，则，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， M、N分别是、的中点， ，， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ，， 由（1）可知，， 四边形是平行四边形， ，， P、Q分别是、的中点， ， 四边形是平行四边形， 如图，连接， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，P是的中点， ， 四边形是菱形； （3）解：，理由如下： 由（2）可知，四边形是菱形，四边形是矩形， 若四边形为正方形，则， P是的中点， 垂直平分， ， N是的中点， ， ，， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质、菱形的判定，正方形的性质，直角三角形的斜边中线定理，垂直平分线的性质，掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，见解析 【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可得，，再由等边对等角即可得证； （2）求出 ，由勾股定理可得 ，再由直角三角形的性质即可得解； （3）先证明四边形是平行四边形， 再结合，即可得证． 【详解】（1）证明：如图所示， 交的平分线于点，交的角平分线于点， ，， ，， ，， ，， ； （2）解：交的平分线于点，交的外角平分线于点， ∴，， ∴ ，， ∴ ∴ （3）解：在边上运动到中点时，四边形是矩形． 理由如下：当为的中点时，， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）问题：如图（1），正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．试判断和之间的数量关系． 【发现证明】 小聪把绕点顺时针旋转至，从而发现，请你利用图（1）证明上述结论． 【类比引申】 当绕点旋转到如图（2）的位置时，猜想线段和之间的数量关系是_________． 【探究应用】 如图（3），四边形中，，，，点、分别在边、上，，，，求的长度． 【答案】[发现证明]见解析；[类比引申] ，理由见解析；[探究应用] 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． [发现证明]根据正方形和旋转的性质证明即可； [类比引申] 证明，得到，，进而可证明，得到，则可得出结论； [探究应用] 延长至点，，再连接，先证明，再证明，即可求解． 【详解】[发现证明] 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵绕点顺时针旋转至， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； [类比引申] 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接 ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， 即， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； [探究应用] 解：延长至点，，再连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交与、两点，以为边向外作正方形，对角线、交与点，求过两点的直线解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数解析式的求法，首先根据直线的解析式求出点、的坐标，过点作轴，垂足为，可证，根据全等三角形的性质可得点的坐标为，因为点是的中点，从而可得点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：当时，， ， 点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标为， ， 如下图所示，过点作轴，垂足为， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 点是的中点， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为， 设过、两点的直线解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 所求得直线解析式为． 5．（23-24八年级下·广东江门·期中）综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形；理由见解析 (3)45 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，，过点C的直线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是菱形；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，D在的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形；理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 答案为：45． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求． (2)如图2，求、、、四者关系． (3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 【答案】(1)16 (2) (3) 【分析】（1）连结，交于点O，先证明矩形是正方形，根据正方形的性质可得点P与点O重合，进一步求解即得答案； （2）过点P作于点F，交于点E，根据勾股定理得，，，，，从而可推得结论； （3）以，为边作矩形，连结，，过点C作，分别交、的延长线于点G、F，根据（2）的解题思路，首先得到，从而求得，再根据两点之间线段最短，可得，即，当点C、D、E三点共线时，取最小值，从而可求得答案． 【详解】（1）解：连结，交于点O， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，，， ， ， ， 点P与点O重合， ， ； （2）解：过点P作于点F，交于点E， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 即； （3） 解：以，为边作矩形，连结，，过点C作，分别交、的延长线于点G、F， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， 当点C、D、E三点共线时，取最小值， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确理解各小题之间思考方法上的关联是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质可得，，，进而可得，利用等式的性质可得，利用即可证得，进而可得，于是可得； （2）由三角形的面积公式可得，由（1）可得：，由经过适当变形可得，进而可求出面积的最大值； （3）利用菱形的性质可得，，，进而可证得是等边三角形，于是可得，，利用三角形的中位线定理可证得且，利用平行线的性质可得，进而可得，，利用即可证得，进而可得，于是可得． 【详解】（1）证明：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是正方形， ， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， 面积的最大值是； （3）解：，理由如下： 如图，取的中点，连接， ， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， 且， ，， ，， ，，且， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，不等式的性质，完全平方公式，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，两直线平行同位角相等等知识点，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质以及添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，请你根据（1）题方法完成（2）题解答． (1)已知：如图1，在正方形中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且，求证：四边形是正方形； (2)①如图2，在菱形中， E，F，G，H点分别是菱形四条边上的点，若．四边形是什么特殊四边形，并说明你判断的理由； ②如图3，在等腰中，交于G点，交于D点，则________． 【答案】(1)见解析； (2)①为平行四边形，见解析；②． 【分析】（1）证明，则可得四边形的四边相等，且得，从而得四边形是正方形； （2）①分别证明，，则得，得四边形是平行四边形； ②作的平分线交于H，证明，则得，，从而得；在中，由勾股定理即可求得，从而求得结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴四边形是正方形； （2）解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②如图，作的平分线交于H， 则； ∵在等腰中，， ∴，； ∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴，； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴； 在中，，由勾股定理得， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，涉及的知识点较多，灵活运用这些知识是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊的平行四边形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 菱形的性质与判定 掌握菱形的定义、性质和判定方法，能运用这些知识解决与菱形相关的计算和证明问题 高频考点，常与矩形、正方形等知识综合考查，在选择题、填空题、解答题中均有出现 矩形的性质与判定 掌握矩形的定义、性质和判定方法，能运用这些知识解决与矩形相关的计算和证明问题 高频考点，常结合三角形、菱形、正方形等知识综合考查，在各类题型中广泛出现 正方形的性质与判定 掌握正方形的定义、性质和判定方法，能运用这些知识解决与正方形相关的计算和证明问题 核心考点，是菱形和矩形知识的综合，常与其他特殊四边形、三角形等知识结合，在几何综合题中高频考查 四边形综合 能综合运用各种特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的性质与判定，解决复杂的四边形相关问题 重要考点，多为几何综合题，考查对特殊四边形知识的综合运用能力，在解答题中较为常见 知识点01 菱形的性质与判定 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2. 菱形的性质 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC 对角线 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【解题技巧】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形； 3）菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形； 3. 菱形的面积公式： 1）菱形的面积=底×高，即. 2）菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 4. 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴▱ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形 知识点02 矩形的性质与判定 1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2. 矩形的性质 性质 符号语言 图示 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【解题技巧】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 3. 矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 知识点03 正方形的性质与判定 1. 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2. 正方形的性质： 1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【补充】 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 3. 正方形的判定： 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 判定 定理 已知是矩形时 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+一组邻边相等 对角线互相垂直的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 已知是菱形时 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+一个角是直角 对角线相等的菱形是正方形 菱形+对角线相等 知识点04 四边形综合 1. 特殊平行四边形的性质对比 四边形 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对称图形 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 2. 矩形、菱形、正方形的判定 四边形 边 角 对角线 矩形 1）平行四边形+一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 题型一 利用菱形的性质求解 解｜题｜技｜巧 1）菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； 2）菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在菱形中，E，F分别是、上的点，是等边三角形，若，则的度数是 ． 2．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）菱形的两条对角线分别为和，则菱形的周长为 ． 3．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 题型二 利用菱形的性质证明 5．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在菱形中，是延长线上一点，是延长线上一点，连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 6．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，在菱形中，，点在对角线上，将线段绕点顺时针旋转角，得到，连接、，求证：． 7．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知菱形中，，，为射线和上一点，． (1)如图，若点，分别在边，上，求证：； (2)在图中，若，求四边形的面积． 题型三 证明四边形是菱形 解｜题｜技｜巧 判定一个四边形是菱形的关键是能把已知条件转化为判定菱形时所需要的条件，如在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可判定其为菱形;若在四边形的基础上，则需四条边都相等才可判定其为菱形. 重难点一 添一个条件使四边形是菱形 8．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③平分；④．其中使得是菱形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 重难点二 证明四边形是菱形 11．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形，，连接，点为的中点，连接并延长交于点，，连接．求证：四边形是菱形． 13．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 中，，、 分别为 、 的中点，、 分别是 、 的中点．求证： (1)； (2)四边形 是菱形． 题型四 根据菱形的性质与判定求解 解｜题｜技｜巧 判定一个四边形是菱形的关键是能把已知条件转化为判定菱形时所需要的条件，如在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可判定其为菱形;若在四边形的基础上，则需四条边都相等才可判定其为菱形. 14．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 15．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 16．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 题型五 利用矩形的性质求解 解｜题｜技｜巧 运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系，以及直线的位置关系、角的等量关系.运用时应注意： 1）矩形的性质是证明线段相等、角相等、线段平行或垂直的常用依据和手段； 2）矩形的四个角都是直角，据此，常把矩形的有关问题放到直角三角形中解决； 3）矩形的两条对角线相等且互相平分，并将矩形分割成四个等腰三角形，因而矩形的有关问题也常放在等腰三角形中解决. 17．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ． 18．（23-24九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，四边形是矩形，，，点C在第二象限，则点C的坐标是 ． 19．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，则的长为 ． 20．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 题型六 利用矩形的性质证明 21．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：． 22．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 23．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，判断的形状并说明理由． 题型七 斜边的中线等于斜边的一半 解｜题｜技｜巧 1）性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，则AD=___________. 2）拓展： ①∠1=∠2，∠3=∠4； ②∠ADB=______=2∠4， ∠ADC=______=2∠2 24．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 25．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（   ） A．5 B．4 C．2 D．2.5 26．（24-25九年级上·云南丽江·期末）如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，若，则 ． 题型八 证明四边形是矩形 解｜题｜技｜巧 1）在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件即可判定该平行四边形为矩形. 2）在四边形的基础上，有三个角是直角(第四个角必是直角)，则可判定该四边形为矩形. 重难点一 添一个条件使四边形是矩形 27．（23-24九年级下·甘肃平凉·期中）如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    28．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ． 29．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且 (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明 重难点二 证明四边形是矩形 30．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线，两线相交于点P，求证：四边形是矩形． 31．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，分别是及其邻补角的平分线，于点E，于点F，四边形是矩形吗？请证明你的结论． 32．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 题型九 根据矩形的性质与判定求解 解｜题｜技｜巧 1）利用矩形的性质可证明线段相等或互相平分、角相等、直线平行等； 2）证明是矩形可以直接证明三个角等于90°或者先证明是平行四边形再证明一个角是90°或对角线相等. 33．（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 34．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，四边形是菱形，延长至点E，使，再延长至点F，使，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，则四边形的面积是______． 35．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 题型十 利用正方形的性质求解 解｜题｜技｜巧 在正方形问题中，一般可以通过证三角形全等来得到等线段或等角，也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形，利用勾股定理解题.在正方形中，也常用对角线互相垂直平分证明线段相等. 36．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ．    37．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，，作 交延长线于点，则的长为 ． 38．（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ． 题型十一 根据正方形的性质证明 39．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形， (1)在CB延长线上存在一点G，使绕着A点逆时针旋转后能与重合，请在图上画出； (2)证明：． 40．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）如图是一个正方形花园，是它的两个门且分别是的中点，要修两条路和． (1)如图这两条路等长吗？它们有什么位置关系？直接写出结果． (2)如图若点不是正方形的边的中点但满足那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请说明理由？ 41．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（E在上，F在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点D，E，F，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． (1)证明：； (2)若，请计算儿童活动区的面积． 题型十二 证明四边形是正方形 解｜题｜技｜巧 在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来判定的，判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 重难点一 添一个条件使四边形是正方形 42．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 43．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中在（4）处填写的条件可以是 ． 44．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 重难点二 证明四边形是正方形 45．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 46．（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点，设． (1)求证：； (2)当a为何值时，四边形是正方形？ 47．（24-25八年级下·河北承德·期末）已知：如图，中，O为对角线的交点，平分． (1)求证：是菱形． (2)在上截取，在上截取．连结．判断四边形的形状并证明． 题型十三 正方形的性质与判定综合 48．（24-25九年级上·辽宁·期中）如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是正方形． (2)当是的中点，且时，求的面积． 49．（22-23八年级下·山东烟台·期中）已知，如图，在四边形中，，，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 题型十四 特殊平行四边形的判定定理的理解 50．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有 （只填写序号） 51．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 52．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 53．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、交于点O，分别过点C、D作，，连接交于点E． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． (3)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． (4)当满足______时，四边形为正方形（填空，不用证明） 题型十五 多结论问题 解｜题｜技｜巧 对每个结论进行逐一求证和求解，已经验证的正确结论可以作为已知条件使用. 54．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 55．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形中，，联结的平分线交于点，在上截取，联结，分别交，于点，点是线段上的动点，于点，联结．下列结论：①；②；③；④的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①② C．①③ D．①4 56．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在菱形中，．为边中点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：；；；，则正确结论有（   ） A． B． C． D． 57．（2023·江苏扬州·一模）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型十六 最值问题 解｜题｜技｜巧 解决此类问题，关键是分辨出“动”和“定”，探寻“动点”的运动轨迹，这个轨迹一般是直线(线段)或圆，探究最值问题的理论依据有:直线外一点与这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短以及三角形的三边关系等. 55．（2021·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ． 56．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 57．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为 ． 58．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，直线的表达式为，与轴交于点，与轴交于点，点为线段上的一个动点，作轴于点，轴于点，连接，则线段的最小值为 ． 题型十七 折叠问题 解｜题｜技｜巧 在初中数学中，图形的折叠是我们常见的一种数学问题，这类问题的解决是有规律可循的.由于图形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在图形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形的不变性，在求解几何全等型问题时，具有很重要的运用价值.一些要通过作辅助线进行全等证明的数量关系，由图形的折叠变换就可以直接得到. 59．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形中，点F在上，点E在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在边上的点G处．若矩形面积为且，，则折痕的长为 ． 60．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点E是的中点．连接，将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，则（1） ，（2）的长为 ． 61．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点E处，已知， ， 则 ， ． 62．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，点E是边的中点，动点P在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则 ，的最小值是 ． 题型十八 动点问题 解｜题｜技｜巧 一般有两种情况，一种情况是有一个动点，一种情况是有两个动点，经常与其他知识点相结合，要求学生既要有数形结合的能力，还需要洞察出可能的多解，分类讨论. 63．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 64．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图1，在矩形中，，，点E从A出发，沿方向匀速运动到点C停止，点F从C出发，沿方向匀速运动到点A停止，E，F的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)如图2，点P，Q分别是边，上的点，连接，，，． ①若P，Q分别是，的中点，当________时，四边形是矩形； ②若P，Q分别是动点，点P从A出发，沿方向匀速运动到点D停止，点Q从C出发，沿方向匀速运动到点B停止，P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，P，Q，E，F均同时出发，是否存在某一时刻，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 65．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点A出发，以速度沿线段向终点B运动．过点P作交折线于点Q，以为边向右侧作正方形．设点P的运动时间为，正方形与四边形重叠部分图形的面积为． (1)____________． (2)当点M与点C重合时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：25分钟） 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知：如图，在矩形中，M、N分别是、的中点，P、Q分别是、的中点． (1)求证：； (2)四边形是怎样的特殊四边形，请说明理由； (3)矩形的边长与满足什么长度关系时四边形为正方形，请说明理由． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 3．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）问题：如图（1），正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．试判断和之间的数量关系． 【发现证明】 小聪把绕点顺时针旋转至，从而发现，请你利用图（1）证明上述结论． 【类比引申】 当绕点旋转到如图（2）的位置时，猜想线段和之间的数量关系是_________． 【探究应用】 如图（3），四边形中，，，，点、分别在边、上，，，，求的长度． 4．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交与、两点，以为边向外作正方形，对角线、交与点，求过两点的直线解析式． 5．（23-24八年级下·广东江门·期中）综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求． (2)如图2，求、、、四者关系． (3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】（1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】（2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】（3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 3．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，请你根据（1）题方法完成（2）题解答． (1)已知：如图1，在正方形中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且，求证：四边形是正方形； (2)①如图2，在菱形中， E，F，G，H点分别是菱形四条边上的点，若．四边形是什么特殊四边形，并说明你判断的理由； ②如图3，在等腰中，交于G点，交于D点，则________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $