6.3一元一次不等式的解法（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

6.3一元一次不等式的解法 （5大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 一元一次不等式的解法 题型二 求一元一次不等式的特殊解 题型三 根据方程或方程组解的情况求字母的取值范围 题型四 根据一元一次不等式的解集情况求字母的值或取值范围 题型五 列一元一次不等式解应用题 题型一 一元一次不等式的解法 1．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解为（   ） A． B． C． D． 3．如图，完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（ ） A． B． C．0 D．2 4．解不等式，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 5．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 6．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 题型二 求一元一次不等式的特殊解 1．不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．不等式的非负整数解为 ． 3．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为 ． 4．不等式的正整数解有 个． 5．一元一次不等式的最大整数解是 ． 题型三 根据方程或方程组解的情况求字母的取值范围 1．若方程组的解满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程的解不小于方程的解，则的最大整数值为 ． 3．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围． (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 题型四 根据一元一次不等式的解集情况求字母的值或取值范围 1．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．不等式括号中部分数字被墨水污染，淇淇查到该不等式的解集为，则污染部分的内容为（  ） A．2 B． C．1 D． 3．若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型五 列一元一次不等式解应用题 1．信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批罐装信阳毛尖，并在进价的基础上提价30%进行售卖，设售出的数量为x，要使总销售额多于13万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 2．在某商店购买50件A商品和60件B商品共用9500元，购买30件A商品和20件B商品共用4500元． (1)求购买一件A商品和一件B商品各需多少元？ (2)若该商店在店庆期间所有商品均按原价的八折出售，则购买50件A商品和若干件商品可比打折前节省超过1300元，那么最少购买B商品多少件？ 3．为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等． (1)求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元； (2)医院准备购买A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？ 4．水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的不可缺少的物质资源之一．为更好地提升水质，保护环境，市污水处理管理办公室预购买台污水处理设备．现有两种型号的设备，其价格如表： 型号 型 型 价格/（万元/台） 市污水处理管理办公室为了节约开支，计划购买污水处理设备的资金不超过万元．有哪几种购买方案？ 1．如果，则x的取值范围 ． 2．已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)若和是数A的平方根，求A的值． 3．（1）解不等式并把解集在数轴上表示出来：． （2）若（1）中的不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 4．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解”． (1)试判断组合是“梦想解”还是“无缘解”，并说明理由； (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围． 5．下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______； （2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集． 任务二： 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 1．对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 2．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月在哈尔滨举行，如图是本次亚冬会吉祥物“妮妮”和“滨滨”，某纪念品商店计划采购x个吉祥物，两个工厂收费方式如下： 甲厂收费方式：收模具费1000元，另外每个收制造费5元． 乙厂收费方式：不超过2000个时，每个吉祥物收制造费10元；超过2000个时，超过部分每个吉祥物收费2元． (1)①当x不超过2000时，甲厂的收费为______元，乙厂的收费为______元． ②当x超过2000时，甲厂的收费为______元，乙厂的收费为______元． (2)采购多少个吉祥物时，甲、乙两厂收费相同？ (3)选择哪个厂更节省费用？ 3．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3一元一次不等式的解法 （5大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 一元一次不等式的解法 题型二 求一元一次不等式的特殊解 题型三 根据方程或方程组解的情况求字母的取值范围 题型四 根据一元一次不等式的解集情况求字母的值或取值范围 题型五 列一元一次不等式解应用题 题型一 一元一次不等式的解法 1．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可以求得不等式的解集，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 解集表示在数轴上如下所示： 故选：． 2．不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 去分母，移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 故选：B． 3．如图，完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（ ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， 解得：， ∴的值可以是， 故选：A． 4．解不等式，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式两边同时乘上6，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴不等式两边同时乘上6，得， 故选：D． 5．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．根据不等式的性质：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再将不等式的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 把它的解集在数轴上表示出来如下： ． 6．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析； (2)，解集在数轴上表示见解析． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，数轴上表示解集，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． （）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为，求出解集，然后在数轴上表示解集即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，求出解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： ， 解集在数轴上表示如下， ； （2）解： ， 解集在数轴上表示如下， ． 题型二 求一元一次不等式的特殊解 1．不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先根据一元一次不等式的解法求得，再求出其非负整数解即可． 【详解】解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以3，得， 不等式的非负整数解是0，1，2，共有3个． 故选：C． 2．不等式的非负整数解为 ． 【答案】0、1、2、3 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求得不等式的解集，然后确定解集中的非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 则非负整数解是：0、1、2、3． 故答案为：0、1、2、3． 3．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意．列出不等式，然后求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 4．不等式的正整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握解不等式的一般步骤，是解题的关键．先求出不等式的解集，然后得出正整数解，即可得出答案． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的正整数解为2，1共2个． 故答案为：2． 5．一元一次不等式的最大整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤是解题关键． 按照移项、合并同类项，系数化为 1 的步骤解一元一次不等式，然后确定最大整数解即可． 【详解】解：， 移项、合并同类项，得， 所以，其最大整数解是2． 故答案为：2． 题型三 根据方程或方程组解的情况求字母的取值范围 1．若方程组的解满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的综合问题，解题的关键是掌握相关知识．方程组两方程相加，变形后表示出，代入已知不等式计算即可求出的范围． 【详解】解： 得： ， 方程组的解满足， ， 解得：， 故选：C． 2．已知关于的方程的解不小于方程的解，则的最大整数值为 ． 【答案】 【分析】本题结合了解含有未知系数的方程和不等式．分别解出方程的解，根据题意列不等式解答． 【详解】解：由方程， 得， 解方程，得， 依题意，得, 解得 故的最大整数值为， 故答案为：． 3．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围． (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，则最小的整数解是4，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 因为该方程的解满足， 所以， 解得． （2）解：解不等式， 得，则最小的整数解是4． 把代入，得， 解得． 题型四 根据一元一次不等式的解集情况求字母的值或取值范围 1．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查解不等式，根据不等式的解集求解字母的值．先解不等式，结合数轴可得，进一步求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 结合数轴得：， 解得：， 故选：B． 2．不等式括号中部分数字被墨水污染，淇淇查到该不等式的解集为，则污染部分的内容为（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键． 设被墨水污染的部分为，根据不等式的解集为，进行求解即可． 【详解】设被墨水污染的部分为， 解不等式，得， 不等式的解集为， ， 解得， 故选： C． 3．若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的解集．根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：A． 4．定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的关键． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合数轴上得到等式为，即，然后求解即可． 【详解】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 题型五 列一元一次不等式解应用题 1．信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批罐装信阳毛尖，并在进价的基础上提价30%进行售卖，设售出的数量为x，要使总销售额多于13万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了售卖问题．熟练掌握总价与单价和数量的等量关系列不等式，是解题的关键．根本总价与单价和数量的关系列不等式即可． 【详解】解：进价200元/罐，在进价的基础上提价30%售卖，售出的数量为x，总销售额多于13万元， 列方程为． 故选：B． 2．在某商店购买50件A商品和60件B商品共用9500元，购买30件A商品和20件B商品共用4500元． (1)求购买一件A商品和一件B商品各需多少元？ (2)若该商店在店庆期间所有商品均按原价的八折出售，则购买50件A商品和若干件商品可比打折前节省超过1300元，那么最少购买B商品多少件？ 【答案】(1)购买一件A商品和一件B商品各需元和元 (2)21件 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设购买一件A商品和一件B商品各需元和元，根据购买50件A商品和60件B商品共用9500元，购买30件A商品和20件B商品共用4500元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买B商品件，根据购买50件A商品和若干件B商品可比打折前节省超过1300元，列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一件A商品和一件B商品各需元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一件A商品和一件B商品各需元和元； （2）设购买B商品件，由题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴最小为； 答：最少购买B商品21件． 3．为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等． (1)求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元； (2)医院准备购买A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？ 【答案】(1)购买一台A器材需要15万元，购买一台B器材需要5万元 (2)最多购买A器材65台 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要万元，再结合花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等，进行列方程，解得，最后验根，即可作答． （2）先设购买A器材y台，则购买B器材台，结合购买A、B器材的总费用不高于1050万元，进行列不等式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要万元， 依题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一台A器材需要15万元，则购买一台B器材需要5万元． （2）解：设购买A器材y台，则购买B器材台， 依题意，得：． 解得． ∴y的最大值为65． 答：最多购买A器材65台． 4．水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的不可缺少的物质资源之一．为更好地提升水质，保护环境，市污水处理管理办公室预购买台污水处理设备．现有两种型号的设备，其价格如表： 型号 型 型 价格/（万元/台） 市污水处理管理办公室为了节约开支，计划购买污水处理设备的资金不超过万元．有哪几种购买方案？ 【答案】有种购买方案：①购买型设备台，型设备台；②购买型设备台，型设备台；③购买型设备台，型设备台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买型设备台，则购买型设备台，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设购买型设备台，则购买型设备台， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有种购买方案： ①购买型设备台，型设备台； ②购买型设备台，型设备台； ③购买型设备台，型设备台． 1．如果，则x的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质与化简，解题关键是掌握绝对值的性质． 由绝对值的性质可得，继而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 即的取值范围是：． 故答案为：． 2．已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)若和是数A的平方根，求A的值． 【答案】(1) (2)A的值为81或9 【分析】本题主要考查了平方根的定义理解． （1）根据平方根的概念即可得出答案． （2）分这两个平方根“互为相反数”与“相等”两种情况分别列式进行求解即可． 【详解】（1）解：因为有平方根， 所以， 解得： （2）解：分两种情况讨论： ①，解得，则，所以； ②，解得，则，所以． 综上所述，A的值为81或9． 3．（1）解不等式并把解集在数轴上表示出来：． （2）若（1）中的不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【答案】（1），数轴见解析；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式和一元一次方程的一般步骤． （1）按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成，求出不等式的解集，并表示在数轴上； （2）根据（1）中不等式的解集，求出它的最大整数解，再代入，得关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 解集在数轴上表示为： （2）（1）中不等式的解集为， 不等式的最大整数解为， 把代入方程得： ， ， ． 4．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解”． (1)试判断组合是“梦想解”还是“无缘解”，并说明理由； (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围． 【答案】(1)是无缘解，理由见解析 (2) 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组，新定义，关键是对“梦想解”与“无缘解”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“梦想解”和“无缘解”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“梦想解”的定义得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：无缘解，理由如下： 解方程得，， 解不等式得，， ∵， ∴方程的解不是不等式的解， ∴组合是无缘解； （2）解：解方程得， 解不等式得， ∵关于x的组合是“梦想解”， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 5．下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______； （2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集． 任务二： 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：（1）不等式的基本性质2；（2），，数轴见解析；任务二：见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 任务一：（1）根据不等式的性质作答即可； （2）根据不等式的解法补充步骤，再在数轴上表示不等式的解集即可； 任务二：根据不等式的解法作答即可． 【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是不等式的性质2， 故答案为：不等式的性质2； （2）去分母，得…第一步 去括号，得……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 在数轴上表示如图所示： 任务二：不等式两边乘以（或除以）一个负数时，不等号要改变方向等．（答案不唯一） 1．对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键． （1）由新定义即可求解； （2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 满足条件的负整数为， 故答案为：． 2．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月在哈尔滨举行，如图是本次亚冬会吉祥物“妮妮”和“滨滨”，某纪念品商店计划采购x个吉祥物，两个工厂收费方式如下： 甲厂收费方式：收模具费1000元，另外每个收制造费5元． 乙厂收费方式：不超过2000个时，每个吉祥物收制造费10元；超过2000个时，超过部分每个吉祥物收费2元． (1)①当x不超过2000时，甲厂的收费为______元，乙厂的收费为______元． ②当x超过2000时，甲厂的收费为______元，乙厂的收费为______元． (2)采购多少个吉祥物时，甲、乙两厂收费相同？ (3)选择哪个厂更节省费用？ 【答案】(1)①，；②， (2)200个或5000个 (3)当或时，选择乙厂更节省费用；当和时，两厂费用一样；当时，选择甲厂更节省费用． 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用． (1)①根据题意和题目中的数据，可以用x的代数式表示出在甲、乙两厂的费用； ②根据题意和题目中的数据，可以用x的代数式表示出在甲、乙两厂的费用； (2)根据(1)中的结果和分类讨论的方法可以计算出采购多少个吉祥物时，甲、乙两厂收费相同； (3)根据题意和(1)中的结果，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可得， 当x不超过2000时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元， 故答案为：，； ②由题意可得， 当x超过2000时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元， 故答案为：，； （2）解：当x不超过2000时，， 解得； 当x超过2000时，， 解得； 答：采购200个或5000个吉祥物时，甲、乙两厂收费相同； （3）解：当x不超过2000时， ，解得， ，解得， ，解得； 当x超过2000时，，得， ，得， ，得； 由上可得，当或时，选择乙厂更节省费用；当和时，两厂费用一样；当时，选择甲厂更节省费用． 3．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解含绝对值的不等式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出时的x的值，再仿照题意可得答案； （2）当时，则或，分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于；数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；数2右边的数与的差的绝对值大于3，据此可得答案； （3）把方程组中的两个方程相加可得，则，同（2）分析可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴根据题意可得的解集是或； （2）解：当时，则或， 解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为或； （3）解：， ∴方程组中的两个方程相加可得， ∵， ∴， 当时，则或，解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $