精品解析：广西钦州市第四中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

广西钦州市第四中学 2025-2026 学年高三上学期开学考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在签题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结来后，.将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则A与B的交集是（ ） A. B. C. D. ABC均错误 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则集合在实数集的补集是 （ ） A. B. C. D. 5. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B. 我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C. 由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D. 数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设正整数（m为常数），单调递增数列各项均为正数，设集合{均为正整数}，对有限集S，记为S中元素的个数，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是等差数列，则 C. 的最大值为 D. 若，且，则必有 11. （多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 （共3小题，每小题5分，共18分） 12. 已知集合，，，则_____. 13. 已知，则集合__________． 14. 设区间，则使成立的的取值范围为___________． 四、解答题 （共5小题，共77分） 15. 已知集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 设全集，集合． （1）若时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 17. 一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： （1）该校共有多少学生？ （2）只修一门课的学生有多少？ （3）正好修两门课的学生有多少？ 18. 已知定义在上的函数满足：①对任意，有；②当时，；③． （1）求证：函数在上为单调减函数． （2）若集合，，试问：是否存在的值，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.记十进制下的自然数在二进制下的表示为，则，其中，若，则称为“数”.记表示集合 中“数”的个数. （1）计算； （2）求； （3）求证：，有，并求出使得的取值唯一的所有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西钦州市第四中学 2025-2026 学年高三上学期开学考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在签题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结来后，.将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A、B，再由并集计算即可. 【详解】， 所以. 故选：D 2. 已知集合，，则A与B的交集是（ ） A. B. C. D. ABC均错误 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，再判断即可. 【详解】由题知， 故选：D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式，再利用集合的交集运算可得结果. 【详解】，所以. 故选：D. 4. 已知集合，则集合在实数集的补集是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合A，再由补集的定义求解即可. 【详解】不等式，解得或， 即或，所以. 故选：B. 5. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C. 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念来列举并求出与的交集即可. 【详解】把集合中的元素逐一代入，判断其正负， 当时，满足， 当时，不满足， 所以， 故选：D. 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正确理解集合的含义，对中所有元素进行运算进而求解. 【详解】根据题意可知，对，有且，因此考虑集合中所有元素， ，，，，，. 因此，. 故选：D 8. 下列说法正确的是（ ） A. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B. 我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C. 由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D. 数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的特性判断. 【详解】对于A：联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A正确； 对于B：“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误； 对于C：不大于3的自然数包括,C错误； 对于D：，不同的数有共5个，D错误； 故选：A. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出数列和的通项公式，进而分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 两式相减得，即，所以， 又，解得，则，故A正确； ，故B不正确； 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，故C正确； 由，得，则集合中元素的个数为，即，故D正确． 故选：ACD． 10. 设正整数（m为常数），单调递增数列各项均为正数，设集合{均为正整数}，对有限集S，记为S中元素的个数，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是等差数列，则 C. 的最大值为 D. 若，且，则必有 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数列新定义，列举判断A，将的最大值抽象为组合数，判断C，再通过列举法判断B，由条件抽象出，再根据与这个集合的关系，结合数列的单调性，即可判断D. 【详解】对于选项A，计算可得，故A正确； 因为从m个元素中任取两个元素，一共有种，故C正确； 若等差数列，则，所以，故B错误； 因为，所以中至少包括个元素， 又，且， 所以中至少还包括个元素，故． 因此，当，可记集合， 显然， 又，所以，故D正确. 故选：ABD 11. （多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，可知，所以依次讨论为时，集合中的元素个数． A选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； B选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素； C选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； D选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素． 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题 （共3小题，每小题5分，共18分） 12. 已知集合，，，则_____. 【答案】或0或 【解析】 【分析】求解方程，讨论集合，计算. 【详解】由得到或；为的子集， 当，则； 当，则或，得到或； 综上，或或. 13. 已知，则集合__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两集合的研究对象可判断它们没有公共元素即得交集. 【详解】由于集合是数集，集合是点集， 所以它们没有公共元素，交集为空集. 故答案为：. 14. 设区间，则使成立的的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到，再结合区间表示的集合列不等式组即可求得. 【详解】由可知，， 因， 故可得，，得. 故答案为： 四、解答题 （共5小题，共77分） 15. 已知集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）,; （2）. 【解析】 【分析】（1）化简，当时，用交集和并集的概念求解即可； （2）若，则，利用子集关系可求得的取值范围． 【小问1详解】 , 当时,, 所以， 【小问2详解】 若，则， 又， 所以. 16. 设全集，集合． （1）若时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由集合的交并补运算即可求解； （2）由题意得，进一步列不等式即可求解； （3）由题意得，对是否是空集进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以． 方法一 因为或，或， 所以或． 方法二 或． 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 17. 一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： （1）该校共有多少学生？ （2）只修一门课的学生有多少？ （3）正好修两门课的学生有多少？ 【答案】（1）340人 （2）251人 （3）84人 【解析】 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【小问1详解】 设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. 【小问2详解】 只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. 【小问3详解】 正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 18. 已知定义在上的函数满足：①对任意，有；②当时，；③． （1）求证：函数在上为单调减函数． （2）若集合，，试问：是否存在的值，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据递推式得到，进而得，再应用函数单调性的定义，取且，则，即可证； （2）假设存在这样的使，根据已知得，结合条件有，再由求得，联立判断是否有解，即可得结论. 【小问1详解】 取，则，故， 令，则，故， 任取且，则， 所以，函数在上为单调减函数； 【小问2详解】 假设存在这样的使，由题意， 所以，即①， 由①式，得②，而， 因为函数在上单调，所以③， 将③代入②，得，即，知， 所以假设错误，这样的不存在. 19. 二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.记十进制下的自然数在二进制下的表示为，则，其中，若，则称为“数”.记表示集合 中“数”的个数. （1）计算； （2）求； （3）求证：，有，并求出使得的取值唯一的所有. 【答案】（1）， （2） （3）证明：设表示所有的“数”组成的集合，因为在二进制表示下， 在的二进制表示的最右边的数字后面添加一个0，恰为在二进制下表示的数， 故与同时属于，或者同时不属于， 集合 比恰少了一个，多了两个数， 因此， 由，且对任意正整数，都存在正整数使得， 结合递推关系可知存在正整数使得. 当时，易知，故不符合题意. 当，时，假设恰有一个使得， 则， 当且仅当时成立， 由二进制表示知必有的形式， 故. 故使得只有唯一解的全体由正整数给出，且唯一解为. 【解析】 【分析】（1）根据二进制的表示，结合“Z20数”的定义即可求解； （2）根据“Z20数”的定义以及的定义，利用组合的定义即可求解； （3）根据以及（2）的结论可得，进而存在正整数使得，假设恰有一个使得，即可根据求解. 【小问1详解】 由题知，表示集合中“数”的个数，表示集合中“数”的个数， 由于，，故4不是“数”， 由于，，故5不是“数”， 由于，，故6不是“数”， 故； 由于，，故7是“数”， 由于，，故8不是“数”， 故. 【小问2详解】 因为表示集合中在二进制表示下恰有3个1的所有元素的个数. 因为中在二进制表示下恰有3个1的数都是从右起第位数字是1， 再在后面位中找两个位置放1，其余位置放0而得到的，故该集合中有个“数”. 又的二进制表示分别为 ，，，，， 其中只有的二进制表示中恰有3个1， 所以当，时，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $