专题03 位置与坐标（九大题型）（期中真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题03 位置与坐标 9大高频考点概览 考点01 写出直角坐标系中点的坐标 考点02 判断点所在的象限 考点03 已知点在的象限求参数取值范围 考点04 坐标轴上点的特点 考点05 角平分线上点的特点 考点06 平面直角坐标系中点的特点综合 考点07点坐标规律探索 考点08 对称轴与坐标变化 考点09 坐标与图形变化---轴对称 地 城 考点01 写出直角坐标系中点的坐标 1．(24-25八上·四川成都武侯区·期末)中国象棋历史悠久，战国时期就有关于它的正式记载．观察如图所示的象棋棋盘，我们知道，行“马”的规则是走“日”字对角（图中向上为进，向下为退），如果“帅”的位置记为，“马2退1”后的位置记为（表示第2列的“马”向下走“日”字对角到达第1列的位置），那么“马8进7”后的位置可记为（　　） A． B． C． D． 2．(23-24八上·四川达州渠县土溪镇初级中学·期中)如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点（　　）    A． B． C． D． 3．(24-25八上·四川成都青羊区成都树德中学·期中)如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上、的坐标分别为，，那么点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·四川成都棕北中学·期中)中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，那么“兵”在同一坐标系下的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24八上·四川成都温江中学实验学校·期中)如图，如果“仕”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，那么“炮”所在位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·四川成都石室联合中学教育集团·期中)如图，在某平面直角坐标系内，已知甲的坐标为，乙的坐标为，则丙的坐标为 ． 地 城 考点02 判断点所在的象限 1．(24-25八上·四川内江资中县·期中)平面直角坐标系中，点所在的象限是(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(24-25八上·四川乐山马边县·期中)在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·四川巴中平昌县同州片区联考·期中)在平面直角坐标系中，点在（   ） A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限 4．(24-25八上·四川成都双流区棠湖外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．(24-25八上·四川达州铁路中学·期中)平面直角坐标系中，点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．(24-25八上·四川成都双流区实外西区学校·期中)在平面直角坐标系中，点属于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．(24-25八上·四川绵阳涪城区·期中)若点在第三象限，则点在第 象限． 地 城 考点03 已知点在的象限求参数取值范围 1．(24-25八上·四川乐山马边县·期中)已知点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25八上·四川巴中平昌县同州片区联考·期中)已知点在第二象限内，且满足，，则点P的坐标是 ． 9．(24-25八上·四川宜宾叙州区观音片区·期中)已知点在第四象限，化简的结果为 ． 地 城 考点04 坐标轴上点的特点 1．(24-25八上·四川成都温江区王府外国语学校·期中)已知点在x轴上，则a的值是 ． 2．(24-25八上·四川内江隆昌黄家镇桂花井初级中学·期中)若在y轴上，则点P的坐标为 ． 3．(24-25八上·四川成都双流区棠湖外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为 ． 4．(24-25八上·四川简阳简城学区·期中)若点在轴上，则 ． 5．(24-25八上·四川广元苍溪县·期中)已知点在坐标轴上，则点P的坐标为 ． 6．(24-25八上·四川广安广安友实学校·期中)在平面直角坐标系中，点在轴上，则的平方根为 ． 地 城 考点05 角平分线上点的特点 1．(24-25八上·四川遂宁射洪沱牌实验学校·期中)若点M在第二．四象限的角平分线上，且点M到y轴的距离为3，则点M的坐标是 ． 2．(24-25八上·四川成都大邑县大邑中学·期中)已知点点在第一、三象限的角平分线上，则 ． 3．(24-25八上·四川成都石室中学·期中)若点在第一、三象限角平分线上，则 ； 4．(24-25八上·四川广安广安区广安区五福学校·期中)已知点P、Q的坐标分别为、，若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则的值为 ． 地 城 考点06 平面直角坐标系中点的特点综合 1．(24-25八上·四川雅安名山区车岭镇初级中学·期中)已知平面直角坐标系中有一点 (1)当点N的坐标为且轴时，求点M的坐标； (2)当点N的坐标为且轴时，求点M的坐标． 2．(24-25八上·四川南充仪陇县新政初级中学校·期中)在平面直角坐标系中，已知点，请根据相应条件解决下列问题： (1)若点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)若点P到x轴的距离为2，求a的值； (3)若点P是第二象限角平分线上的点，求的值 3．(24-25八上·四川泸州古蔺县金兰教育集团·期中)在平面直角坐标系中，已知点 (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． (3)若点坐标，并且轴，求点坐标． 4．(24-25八上·四川泸州江阳区第二学区·期中)在平面直角坐标系中，已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点，且轴，求点P的坐标； (3)点P在第二象限，到x轴、y轴的距离相等，求的平方根． 5．(23-24八上·四川达州达川区四中联盟·期中)已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，则点的坐标为______________； (2)若，且轴，则点的坐标为______________； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 地 城 考点07 点坐标规律探索 1．(24-25八上·四川达州渠县中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(　　) A． B． C． D． 2．(24-25八上·四川成都青羊区泡桐树中学·期中)如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 3．(24-25八上·四川成都双流区实外西区学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律则点的坐标是 ． 4．(24-25八上·四川成都双流区棠湖外国语学校·期中)一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动【即】，且每秒移动一个单位，那么第41秒时质点所在位置的坐标是 ． 5．(24-25八上·四川雅安中学·期中)在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是 ． 6．(24-25八上·四川成都外国语学校·期中)如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点，则第24秒时点所在位置的坐标是 ，第2024秒时点所在位置的坐标是 ． 7．(24-25八上·四川成都七中万达学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，，则点的横坐标为 ．    地 城 考点08 对称轴与坐标变化 1．(23-24八上·四川南充南部县第二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 ； (2)求的面积； (3)x轴上找一点P，使三角形周长最小，x轴上画出P点位置． 2．(24-25八上·四川成都温江区王府外国语学校·期中)如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个 (1)画出关于y轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)求的面积． 3．(24-25八上·四川成都青羊区泡桐树中学·期中)如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 4．(24-25八上·四川眉山仁寿县·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为， (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出的坐标；_____，_______，_______； (3)求的面积． 5．(24-25八上·四川达州渠县第二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 6．(24-25八上·四川泸州江阳区梓橦路学校·期中)如图，在平面直角坐标系中． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点、点的坐标； (3)求的面积． 7．(24-25八上·四川泸州田家炳中学·期中)如图，已知的顶点分别为，，． (1)作出关于轴对称的图形． (2)在x轴上求作一点P，使的值最小．（不写作法，保留作图痕迹） (3)求的面积． 8．(24-25八上·四川绵阳三台县·期中)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是，，． (1)求作，使与关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别为D、E、F，并写出点D的坐标． (2)求的面积． 9．(24-25八上·四川达州铁路中学·期中)如图，已知∶ (1)写出点坐标为（ ， ）；点坐标为（ ， ）； 点坐标为（ ， ），并求出的面积； (2)作出关轴的对称图形； (3)把向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，则点坐标为（ ， ），点坐标为（ ， ），坐标为（ ， ）． 10．(24-25八上·四川广安岳池县·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形； (2)直接写出点A，B，C关于x轴的对称点，，的坐标． 11．(23-24八上·四川成都温江中学实验学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： (1)写出A，B，C的坐标； (2)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）； (3)求的面积； (4)在x轴上找一点P，使最小（画出点P即可，保留作图痕迹）． 12．(24-25八上·四川自贡绿盛实验学校·期中)（1）若点，与关于x轴对称，求a、b的值； （2）若点在第二象限，且到x轴和y轴距离相等，求点A坐标． 地 城 考点09 坐标与图形变化---轴对称 1．(24-25八上·四川南充南部县第二中学·期中)和点关于y轴对称的点是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·四川德阳第五中学·期中)若点与点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D．1 3．(24-25八上·四川成都第七中学初中学校·期中)在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24八上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)已知点，，则和满足（　　） A．关于y轴对称 B．直线过原点 C．关于x轴对称 D． 5．(54-25八下·四川眉山仁寿县城区初中学校2·期中)在直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 6．(24-25八上·四川泸州合江县·期中)点与点关于轴对称，则的值为 ． 7．(24-25八上·四川广安友谊中学·期中)在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 8．(24-25八上·四川德阳第二中学·期中)已知点与点关于x轴对称，则的值为 ． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 位置与坐标 9大高频考点概览 考点01 写出直角坐标系中点的坐标 考点02 判断点所在的象限 考点03 已知点在的象限求参数取值范围 考点04 坐标轴上点的特点 考点05 角平分线上点的特点 考点06 平面直角坐标系中点的特点综合 考点07点坐标规律探索 考点08 对称轴与坐标变化 考点09 坐标与图形变化---轴对称 地 城 考点01 写出直角坐标系中点的坐标 1．(24-25八上·四川成都武侯区·期末)中国象棋历史悠久，战国时期就有关于它的正式记载．观察如图所示的象棋棋盘，我们知道，行“马”的规则是走“日”字对角（图中向上为进，向下为退），如果“帅”的位置记为，“马2退1”后的位置记为（表示第2列的“马”向下走“日”字对角到达第1列的位置），那么“马8进7”后的位置可记为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可获得答案． 【详解】解：用表示“帅”的位置，那么“马8进7”（表示第8列的“马”向上走“日”字对角到达第7列的位置）后的位置可记为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用坐标确定位置，明确数对表示位置的方法是解题关键． 2．(23-24八上·四川达州渠县土溪镇初级中学·期中)如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】此题主要考查了建立平面直角坐标系，根据“帅”与“相”所在位置的坐标可建立直角坐标系，然后写出“炮”所在位置的点的坐标即可，解题的关键是正确理解平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应． 【点睛】根据“帅”位于点上，“相”位于点上可建立如图的直角坐标系，   ， ∴“炮”位于点， 故选：． 3．(24-25八上·四川成都青羊区成都树德中学·期中)如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上、的坐标分别为，，那么点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用已知点位置得出原点位置，作出平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 点A的坐标为：，故A正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题关键． 4．(24-25八上·四川成都棕北中学·期中)中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，那么“兵”在同一坐标系下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标的实际应用，根据“帅”和“马”的坐标建立正确的坐标系即可得到答案． 【详解】解：由题意可建立如下平面直角坐标系， ∴“兵”的坐标是， 故选C． 5．(23-24八上·四川成都温江中学实验学校·期中)如图，如果“仕”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，那么“炮”所在位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，解题的关键是根据已知条件确定平面直角坐标系．根据“仕”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，确定平面直角坐标系，再得出炮的位置即可． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示： 炮的位置， 故选：A． 6．(24-25八上·四川成都石室联合中学教育集团·期中)如图，在某平面直角坐标系内，已知甲的坐标为，乙的坐标为，则丙的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．先利用甲的坐标和乙的坐标，画出直角坐标系，然后可写出丙的坐标． 【详解】解：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系： 则丙的坐标是， 故答案为：． 地 城 考点02 判断点所在的象限 1．(24-25八上·四川内江资中县·期中)平面直角坐标系中，点所在的象限是(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，根据平面直角坐标系中点的坐标特征即可求解， 【详解】∵点的横坐标，纵坐标， ∴根据平面直角坐标系特点，点P在第三象限， 故选：C． 2．(24-25八上·四川乐山马边县·期中)在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负。 【详解】解： 选项A：，横坐标为负，纵坐标为正，属于第二象限，不符合条件。 选项B：，横坐标和纵坐标均为正，属于第一象限，不符合条件。 选项C：，横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限的符号特征，是正确答案。 选项D：，横坐标和纵坐标均为负，属于第三象限，不符合条件。 故选C. 3．(24-25八上·四川巴中平昌县同州片区联考·期中)在平面直角坐标系中，点在（   ） A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查点的横纵坐标的正负性和点所在的象限的关系，熟记点的横纵坐标的正负性和所在象限的关系，是解题的关键. 【详解】解：∵ ∴点在第四象限， 故选：D． 4．(24-25八上·四川成都双流区棠湖外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，．第一、二、三、四象限内的点的符号分别为、、、． 根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P在第二象限． 故选：B． 5．(24-25八上·四川达州铁路中学·期中)平面直角坐标系中，点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，先判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点， ∴为负，为正， ∴点在第二象限， 故选：． 6．(24-25八上·四川成都双流区实外西区学校·期中)在平面直角坐标系中，点属于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了象限点的坐标特征：第一象限的点横坐标和纵坐标都是正数；第二象限的点横坐标是负数，纵坐标是正数；第三象限的点横坐标和纵坐标都是负数；第四象限的点横坐标是正数，纵坐标是负数．据此即可求解． 根据坐标的符号特征，确定其位于第三象限，解答即可． 【详解】解：∵， ∴点位于第三象限， 故选：C． 7．(24-25八上·四川绵阳涪城区·期中)若点在第三象限，则点在第 象限． 【答案】四 【详解】解：点在第三象限， ，， ，， 点在第四象限． 故答案为：四． 地 城 考点03 已知点在的象限求参数取值范围 1．(24-25八上·四川乐山马边县·期中)已知点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据点所在的象限求参数的范围，根据第二象限内点的符号特征为，得到即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴； 故选B． 8．(24-25八上·四川巴中平昌县同州片区联考·期中)已知点在第二象限内，且满足，，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，各象限内点的坐标的符号特征．根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数结合绝对值的性质求出x、y的值，然后写出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵点在第二象限， ∴，， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 9．(24-25八上·四川宜宾叙州区观音片区·期中)已知点在第四象限，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了第四象限内点的坐标特征、化简绝对值、化简二次根式，根据第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负得出的取值范围，熟练掌握绝对值和二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得：， ，， ， 故答案为：． 地 城 考点04 坐标轴上点的特点 1．(24-25八上·四川成都温江区王府外国语学校·期中)已知点在x轴上，则a的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 根据x轴上的点的纵坐标为0列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得：． 故答案为：7． 2．(24-25八上·四川内江隆昌黄家镇桂花井初级中学·期中)若在y轴上，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点在坐标轴上的特点，其关键是掌握：在x轴上的点，纵坐标为0；在y轴上的点，横坐标为0． 根据点在坐标轴上的坐标特点，先求出m，再确定坐标． 【详解】解：由点在轴上， ∴， ∴， 则P的坐标为． 故答案为：． 3．(24-25八上·四川成都双流区棠湖外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得． 故答案为：1． 4．(24-25八上·四川简阳简城学区·期中)若点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊位置的点的坐标，根据轴上的点的横坐标为0，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 5．(24-25八上·四川广元苍溪县·期中)已知点在坐标轴上，则点P的坐标为 ． 【答案】或 当，解得，，即． 【详解】解：∵在坐标轴上， ∴当，解得，，即； 当，解得，，即； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．(24-25八上·四川广安广安友实学校·期中)在平面直角坐标系中，点在轴上，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点所在的象限，以及平方根的定义，熟练掌握轴上的点的横坐标等于0是解题关键．根据轴上的点的横坐标等于0可得，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在轴上， ∴， 解得， ∴的平方根为． 故答案为：． 地 城 考点05 角平分线上点的特点 1．(24-25八上·四川遂宁射洪沱牌实验学校·期中)若点M在第二．四象限的角平分线上，且点M到y轴的距离为3，则点M的坐标是 ． 【答案】或 的横纵坐标互为相反数，再根据点M到y轴的距离决定横坐标，到x轴的距离决定纵坐标，即可求点M的坐标． 【详解】解：根据题意设， 点M到y轴的距离为3， ，即， 或， 故答案为：或． 2．(24-25八上·四川成都大邑县大邑中学·期中)已知点点在第一、三象限的角平分线上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点在坐标，由点点在第一、三象限的角平分线上，得到即可求解. 【详解】 解：∵点点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得． 故答案为：． 3．(24-25八上·四川成都石室中学·期中)若点在第一、三象限角平分线上，则 ； 【答案】4 【分析】根据第一、三象限角平分线上的点的坐标特点：点的横纵坐标相等，即可解答． 【详解】解：点在第一、三象限的角平分线上，且第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等， ， 解得． 故答案是：4． 【点睛】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数． 4．(24-25八上·四川广安广安区广安区五福学校·期中)已知点P、Q的坐标分别为、，若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则的值为 ． 【答案】8 【分析】由题意根据一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相等以及第二、四象限的角平分线上各点的横纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点P 在第二、四象限的角平分线上， ∴． 解得：． ∵点Q在第一、三象限的角平分线上， ∴． 解得：． 所以． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查的是坐标与图象的性质，注意明确一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相等；第二、四象限的角平分线上各点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 地 城 考点06 平面直角坐标系中点的特点综合 1．(24-25八上·四川雅安名山区车岭镇初级中学·期中)已知平面直角坐标系中有一点 (1)当点N的坐标为且轴时，求点M的坐标； (2)当点N的坐标为且轴时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征，解一元一次方程等知识点， （1）由题意得出，得到m的值，即可求出点M的坐标； （2）由得出，得到m的值，即可求出点M的坐标； 熟练掌握直角坐标系中点的坐标特征是解决此题的关键． 【详解】（1）∵点N的坐标为且轴，， ∴且， 解得， ∴， ∴； （2）∵点，点且轴， ∴且， 解得， ∴， ∴点M的坐标为． 2．(24-25八上·四川南充仪陇县新政初级中学校·期中)在平面直角坐标系中，已知点，请根据相应条件解决下列问题： (1)若点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)若点P到x轴的距离为2，求a的值； (3)若点P是第二象限角平分线上的点，求的值 【答案】(1) (2)0或 (3)2025 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点，点到坐标轴的距离，以及已知字母的值，求代数式的值． （1）根据y轴上点的特点作答即可； （2）根据点p到x轴的距离为2，即可得出，即可求出a的值． （3）由已知条件可知点P到x轴、y轴的距离相等，则点P的横坐标与纵坐标的和为零，由此即可求出a的值，最后代入式子计算即可． 【详解】（1）∵点P在y轴上 ∴ ∴， ∴， ∴ （2）∵点p到x轴的距离为2 ∴ ∴或 （3）∵点p是第二象限角平分线上的点 ∴ ∴ ∴ ． 3．(24-25八上·四川泸州古蔺县金兰教育集团·期中)在平面直角坐标系中，已知点 (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． (3)若点坐标，并且轴，求点坐标． 【答案】(1)的值为 (2)的值为 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握平面直角坐标系中点的特点是解题的关键． （1）根据在轴上的点纵坐标为零，即可求解； （2）根据在一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等，即可求解； （3）根据平行于轴的特点，横坐标相等，即可求解． 【详解】（1）∵点在轴上， ∴， 解得， ∴的值为． （2）∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴点的横纵坐标相等， 即， 解得， ∴的值为． （3）∵轴，且点的坐标为， ∴， 则， ∴点的坐标为． 4．(24-25八上·四川泸州江阳区第二学区·期中)在平面直角坐标系中，已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)若点，且轴，求点P的坐标； (3)点P在第二象限，到x轴、y轴的距离相等，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标平面上特殊点的坐标特征． （1）点P在x轴上，则点P的纵坐标为0，由此可求得a的值，进而得点P的坐标； （2）根据平行于y轴的直线上点P，Q的横坐标相等，即可求得a的值，进而得点P的坐标； （3）点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则点P的横坐标与纵坐标的和为零，得关于a的方程，求解a后代入计算即可． 【详解】（1）解：已知点，点P在x轴上，则点P的纵坐标为0， ∴， 解得，， ∴． （2）解：，且轴，则点P，Q的横坐标相等， ∴， 解得，， ∴． （3）解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴点P的横坐标与纵坐标的和为零， ∴， 解得，， ∴ 故的平方根为． 5．(23-24八上·四川达州达川区四中联盟·期中)已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，则点的坐标为______________； (2)若，且轴，则点的坐标为______________； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形的变化，一元一次方程等知识； （1）根据x轴上的点的纵坐标为0，列出方程即可解决问题； （2）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，列出方程即可解决问题； （3）根据第二象限内点的符号特征，以及点到坐标轴的距离，列出方程得出a的值代入即可得到结论． 解题的关键是熟记各象限内与坐标轴上点的坐标的特点． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ， ∴点P的坐标为， 故答案为：； （2）解：根据题意可得：， 解得：， ， ∴点P的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ∴， 解得：， 把代入． 地 城 考点07 点坐标规律探索 1．(24-25八上·四川达州渠县中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴绕四边形一周的细线长度为， ， ∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置， 即点B的位置，点的坐标为． 故选：B． 2．(24-25八上·四川成都青羊区泡桐树中学·期中)如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标3个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【详解】解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第n组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ， 余2， ∴是第四组第三个坐标：， 是第675组的第二个坐标， 故． 故答案为：，． 3．(24-25八上·四川成都双流区实外西区学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，勾股定理，通过计算发现规律，然后根据规律求解． 【详解】解：由已知，点M每次旋转转动，则转动一周需转动8次， ∵， ∴点的在第一象限的角平分线上， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理可求：，，…， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 4．(24-25八上·四川成都双流区棠湖外国语学校·期中)一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动【即】，且每秒移动一个单位，那么第41秒时质点所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了规律型：点的坐标，从所给数据及图形中找出规律是解本题的关键．通过观察和归纳要知道所有偶数的平方均在x轴上，且坐标为k，便对应第个点，且从向上走k个点就转向左边；所有奇数的平方均在y轴上，且坐标为k，便对应第个点，且从向右走k个点就转向下边，计算可知，从而可求结果． 【详解】解：∵， ∴先找到，向上5个单位，即为第41秒时质点所在位置， 则第41秒时质点所在位置的坐标是． 故答案为： 5．(24-25八上·四川雅安中学·期中)在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据图象得出每移动4次图象完成一个循环，结合得出点在第个循环的第4个点的位置，即纵坐标与的相同，为，再根据，，，……，得出，求出的坐标是，即可得解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，……， ∴每移动4次图象完成一个循环， ∵， ∴点在第个循环的第4个点的位置，即纵坐标与的相同，为， ∵，，，……， ∴， ∴的坐标是， 故答案为：． 6．(24-25八上·四川成都外国语学校·期中)如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点，则第24秒时点所在位置的坐标是 ，第2024秒时点所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，分析点的运动路线及所处位置的坐标得出规律“动点第秒运动到”，进而得出答案即可．从所给的数据和图形中得出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意分析可得： 动点第秒运动到， 动点第秒运动到， 动点第秒运动到， 以此类推，动点第秒运动到， 又， 第2024秒时点所在位置的坐标是， 故答案为：，． 7．(24-25八上·四川成都七中万达学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，，则点的横坐标为 ．    【答案】10126 【分析】本题主要考查坐标与图形的变换，在变换中找到规律，结合图形得出结论是解题的关键．根据图形和旋转规律得出点的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 的周长为： ， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为： 当n为奇数时，横坐标为：； 当n为偶数时，横坐标为：， ∵2025是奇数， ∴点的横坐标为：. 故答案为：10126. 地 城 考点08 对称轴与坐标变化 1．(23-24八上·四川南充南部县第二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 ； (2)求的面积； (3)x轴上找一点P，使三角形周长最小，x轴上画出P点位置． 【答案】(1)见解析， (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、网格中求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点的位置，再顺次连接即可作图； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求；由图知，点的坐标为； （2）解：的面积为； （3）解：如图，取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时三角形周长最小， 则点P即为所求． 2．(24-25八上·四川成都温江区王府外国语学校·期中)如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个 (1)画出关于y轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据图形即可写出点的坐标； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：根据题意得：，； （3）解：的面积为． 3．(24-25八上·四川成都青羊区泡桐树中学·期中)如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析，点P的坐标为 【分析】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法，连接对应点，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1：即为所求； （2）解：的面积为： ； （3）解：如图所示：点P即为所求， 点P的坐标为． 4．(24-25八上·四川眉山仁寿县·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为， (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出的坐标；_____，_______，_______； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)11 【分析】本题考查图形与坐标，涉及作图−轴对称变换、写出平面直角坐标系中点的坐标、网格中求三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出的对应点即可； （2）根据（1）中所作的图，由的位置写出坐标即可； （3）在网格中，间接表示出的面积，数形结合求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： ， 故答案为：； （3）解：如图所示： ． 5．(24-25八上·四川达州渠县第二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)，，； (3)． 【分析】（）根据轴对称图形定义即可作图， （）根据点的位置即可求点坐标； （）利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可求解； 本题考查了作图-轴对称变换、图形与点的坐标、求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质作图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：∵，，， ∴关于轴对称的，，； （3）解：的面积为： ． 6．(24-25八上·四川泸州江阳区梓橦路学校·期中)如图，在平面直角坐标系中． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点、点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为 (3) 【分析】本题考查作图—轴对称， （1）根据轴对称的性质作出点、、关于轴对称的对应点、、，再顺次连接即可； （2）由图可得答案； （3）利用所在的长方形的面积减去该三角形周围的三个三角形的面积即可； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作出点、、关于轴对称的对应点、、，连接、、， 则即为所作； （2）由图可得，点的坐标为，点的坐标为； （3）∵ ， ∴的面积为． 7．(24-25八上·四川泸州田家炳中学·期中)如图，已知的顶点分别为，，． (1)作出关于轴对称的图形． (2)在x轴上求作一点P，使的值最小．（不写作法，保留作图痕迹） (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5.5 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键．也考查了利用网格求三角形的面积等知识． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点连线即可； （2）作点C关于x轴的对称点，连接，与轴相交于点，点即为所求； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：点P即为所求； （3）解：． 8．(24-25八上·四川绵阳三台县·期中)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是，，． (1)求作，使与关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别为D、E、F，并写出点D的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析； (2)11 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接各点，根据点D所在坐标系中的位置写出其坐标即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点； （2）解：的面积为． 9．(24-25八上·四川达州铁路中学·期中)如图，已知∶ (1)写出点坐标为（ ， ）；点坐标为（ ， ）； 点坐标为（ ， ），并求出的面积； (2)作出关轴的对称图形； (3)把向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，则点坐标为（ ， ），点坐标为（ ， ），坐标为（ ， ）． 【答案】(1) ； ；  ，的面积 (2)见解析 (3)，，． 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标系中轴对称变换与平移. 熟练掌握轴对称的作图方法，以及平移的点的变化规律，是解题的关键． （1）根据坐标系即可得出点的坐标； （2）根据对称的性质找出对应点，再描点连线画出即可； （3）根据平移规则，找出对应点，画出，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：写出点A坐标为；点B坐标为； 点C坐标为， 的面积； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； 由图可知：点坐标为，点坐标为，坐标为． 10．(24-25八上·四川广安岳池县·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形； (2)直接写出点A，B，C关于x轴的对称点，，的坐标． 【答案】(1)图见详解； (2)，， 【分析】本题考查作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由关于x轴对称点的坐标特征可得答案． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：∵关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴ ． 11．(23-24八上·四川成都温江中学实验学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： (1)写出A，B，C的坐标； (2)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）； (3)求的面积； (4)在x轴上找一点P，使最小（画出点P即可，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）根据坐标系的知识，确定点的坐标即可． （2）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （3）根据分割法计算面积计算即可． （4）根据点A关于轴的对称点，连接，交轴于点P，点P即为所求． 本题考查了坐标系中的确定坐标，对称作图，三角形的面积计算，线段和的最小值，熟练掌握对称作图，线段和最小值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 故，画图如下： 则即为所求． （3）解：根据题意，得的面积为： ． （4）解：如图2，作点A关于轴的对称点， 连接，交轴于点P， 则点P即为所求，此时点P的坐标为． 12．(24-25八上·四川自贡绿盛实验学校·期中)（1）若点，与关于x轴对称，求a、b的值； （2）若点在第二象限，且到x轴和y轴距离相等，求点A坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查坐标与图形变化-轴对称，平面直角坐标系中点的坐标特征，求不等式组的解集，掌握点的坐标特征是关键； （1）根据关于x轴对称的点横坐标相等列式求解即可． （2）根据第二象限内点的坐标特征及点到坐标轴的距离即可求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵点，与关于x轴对称， ∴， ． （2）解：∵点在第二象限， ∴， ， ∵点到轴、轴的距离相等， ， 解得：（舍去）或， ∴点． 地 城 考点09 坐标与图形变化---轴对称 1．(24-25八上·四川南充南部县第二中学·期中)和点关于y轴对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】解：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得关于y轴对称的点的坐标是， 故选：C． 2．(24-25八上·四川德阳第五中学·期中)若点与点关于轴对称，则的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得，的值，进而可得答案．熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ． 故选：C． 3．(24-25八上·四川成都第七中学初中学校·期中)在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：A． 4．(23-24八上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)已知点，，则和满足（　　） A．关于y轴对称 B．直线过原点 C．关于x轴对称 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，根据和横坐标相同，纵坐标互为相反数可知和都在直线上，且二者关于x轴对称，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴和都在直线上，且二者关于x轴对称， ∴直线不过原点，， 故选：C． 5．(54-25八下·四川眉山仁寿县城区初中学校2·期中)在直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】当两点关于y轴对称时，它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此进行作答即可；本题考查了轴对称的性质，坐标系中点的特征；掌握对称的性质是解题关键． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 6．(24-25八上·四川泸州合江县·期中)点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点关于轴对称，根据关于轴对称，不变，互为相反数即可求解，解题的关键熟练掌握关于轴对称，不变，互为相反数，关于轴对称，不变，互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．(24-25八上·四川广安友谊中学·期中)在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查关于x轴对称的点的坐标，熟知关于x轴对称的点的坐标变换规律是解答的关键． 根据点关于x轴对称的点的坐标为进行解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点B的坐标是． 故答案为：． 8．(24-25八上·四川德阳第二中学·期中)已知点与点关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称、解一元一次方程，熟练掌握点的坐标关于x轴对称的特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键．由题意得到关于m和n的方程，然后求出m和n的值，最后代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $