专题01 勾股定理（十大题型）（期中真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题01 勾股定理 10大高频考点概览 考点01 以直角三角形三边为边长的图形面积 考点02 勾股定理与网格问题 考点03 勾股定理与折叠问题 考点04 以弦图为背景的计算题 考点05 勾股定理中相关求解 考点06 勾股定理实际应用之求梯子滑落高度 考点07勾股定理实际应用之解决水杯中筷子问题 考点08 勾股定理实际应用之判断汽车是否超速 考点09 长方体中最短路径问题 考点10圆柱体中最短路径问题 地 城 考点01 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．(24-25八上·四川绵阳江油·期中)如图，正方形的面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·四川雅安名山区车岭镇初级中学·期中)如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是（   ） A．336 B．396 C．464 D．368 3．(24-25八上·四川达州渠县第三中学·期中)如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为(      ) A．6 B．9 C．12 D．18 4．(24-25八上·四川江阳区·期中)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 5．(24-25八上·四川广元苍溪县·期中)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 6．(24-25八上·四川成都石室联合中学教育集团·期中)如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为 ． 7．(24-25八上·四川成都金牛区树德实验中学沙河校区·期中)如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 8．(24-25八上·四川师大附中教育集团·期中)如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 ． 9．(24-25八上·四川绵阳东辰学校·期中)如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则 ． 10．(24-25八上·四川成都青羊实验学校·期中)如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，则 ． 地 城 考点02 勾股定理与网格问题 1．(24-25八上·四川泸州江阳区泸南中学校·期中)如图，正方形网格中，每个正方形的边长为，则网格上的中，边的长度是（　） A． B． C． D． 2．(23-24八上·四川成都天府第七中学·期中)如图，方格纸中小正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的顶点处，则点到边距离为 ． 3．(23-24八下·四川广安广安友谊中学·期中)图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数； (2)在图中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为； (3)在图中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为． 4．(24-25八下·四川自贡富顺县第二中学校·期中)如图在正方形网格中，每个小方格的边长为单位1，且每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．    (1)在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形； (2)在图②中，画一个面积为10的正方形． (3)在图③中，D是中点，在边上找到点E，连接，使．    5．(23-24八上·四川达州渠县李馥中学·期中)如图网格中，每个小正方形的边长为1，规定顶点在小正方形的顶点的图形叫网格图形，图中是网格三角形． (1)求的长 (2)求的面积 (3)在网格中画一个面积为10的网格正方形 6．(23-24八上·四川成都青羊区树德实验中学·期中)问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点． 问题提出：      （1）若格点（、、都在格点上）是锐角三角形且面积为5，请在图1中任意画出一个符合要求的格点． 问题探究： （2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积； 问题解决： （3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积（用含a、b的代数式表示）． 地 城 考点03 勾股定理与折叠问题 1．(24-25八下·四川泸州合江县·期中)已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 2．(23-24八上·四川成都成都石室中学·期中)如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 3．(24-25八上·四川成都金牛区铁路中学校·期中)如图，在中，点D是上边一点，连接，把沿着翻折，得到．与交于点G，连接交于点F，若，，，的面积为5．则点F到直线的距离为 ． 4．(23-24八上·四川成都简阳雷家学校·期中)如图，把直角沿折叠后，使点B落在边上点E处，若，，则 ．    5．(24-25八上·四川成都树德实验中学·期中)在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 6．(24-25八上·四川雅安名山区车岭镇初级中学·期中)如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若．    (1)求线段的长； (2)求线段的长． 7．(23-24八上·四川成都成都石室中学·期中)（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 8．(23-24八上·四川成都金堂县竹篙片区·期中)如图，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，．    (1)求的长； (2)求的长． 地 城 考点04 以弦图为背景的计算题 1．(24-25八上·四川泸州江阳区梓橦路学校·期中)如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（   ） A．12 B． C．24 D．10 2．(24-25八上·四川泸州龙马潭区五校联考·期中)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（      ） A．19 B．13 C．42 D．29 3．(24-25八上·四川绵阳江油·期中)如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）． A．24 B．30 C．40 D．50 4．(24-25八上·四川成都天府第七中学·期中)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24八上·四川成都武侯区成都西川中学·期中)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·四川绵阳江油·期中)公元3世纪，我国汉代数学家赵爽注解《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，弦为25，股为20，则小正方形的面积为 ． 地 城 考点05 勾股定理中相关求解 1．(24-25八上·四川达州铁路中学·期中)直角三角形两边长分别是5，12，第三边是（　） A．13 B． C．13或 D．无法确定 2．(24-25八上·四川广安广安区广安友实学校·期中)如果直角三角形两边分别为3和4，那么这个三角形的第三边可能是（    ） A． B．7 C． D．1 3．(24-25八上·四川南充高坪区高坪区江陵初级中学·期中)已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．12 B． C．12或 D．14 4．(23-24八上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A． B． C． D． 5．(23-24八上·四川成都武侯区·期中)如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以为边作长方形，以点C为圆心，的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 6．(24-25八上·四川德阳中江县·期中)下列各组数据是勾股数的一组是（    ） A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．13，14，15 7．(23-24八上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 地 城 考点06 勾股定理实际应用之求梯子滑落高度 1．(24-25八上·四川嘉祥教育集团·期中)一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·四川德阳中江县·期中)如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 2．(24-25八上·四川广元苍溪县·期中)我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知 ， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 3．(24-25八上·四川成都树德中学·期中)如图所示，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙24米． (1)这个梯子的顶端A距地面有多高？ (2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升8米（云梯长度不变），那么云梯底端在水平方向应滑动多少米？ 地 城 考点07 勾股定理实际应用之解决水杯中筷子问题 1．(24-25八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（　　） A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 2．(24-25八上·四川广安岳池县五校·期中)如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是 ． 3．(23-24八上·四川成都邛崃高埂中学学区·期中)如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是 尺    4．(24-25八上·四川成都青羊区树德中学·期中)如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为 cm． 地 城 考点08 勾股定理实际应用之判断汽车是否超速 1．(24-25八上·四川乐山·期中)交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得 ，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，） 2．(24-25八上·四川眉山东坡区·期中)某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    3．(24-25八上·四川眉山东坡区·期中)《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 地 城 考点09 长方体中最短路径问题 1．(24-25八上·四川成都第七中学初中学校·期中)如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·四川成都·期中)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 3．(24-25八上·四川成都青羊区泡桐树中学·期中)如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 4．(24-25八上·四川绵阳平武县·期中)如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线最短需 ． 5．(24-25八上·四川成都石室天府中学多校联考·期中)如图，长方体的长，宽，高为6，点B处有一只蚂蚁，点N处有一滴蜂蜜，如果蚂蚁要沿着长方体的表面从点B爬到点N，需要爬行的最短距离是 ． 6．(24-25八上·四川师大附中教育集团·期中)长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ． 7．(23-24八上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 cm． 8．(23-24八上·四川达州渠县琅琊中学·期中)如图是一个长、宽、高的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少？ 9．(23-24八上·四川成都金堂县成都七中育才学校·期中)（1）如图，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ； （2）如图，小明家住楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？ 地 城 考点10 圆柱体中最短路径问题 1．(24-25八上·四川成都成都第七中学高新校区·期中)如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为 ． 2．(24-25八上·四川达州渠县三江中学·期中)如图，一只蚂蚁从点沿圆柱表面爬到点，圆柱高为，底面周长为，那么最短的路线长是 ． 3．(24-25八上·四川南充阆中龙泉镇中心学校·期中)如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为，在杯内壁离杯底3的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 4．(24-25八上·四川南充白塔中学·期中)如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计）． 5．(23-24八上·四川达州渠县宝城镇初级中学·期中)如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 6．(23-24八上·四川成都龙泉驿区·期中)如图，一圆柱高，底面周长为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 ． 7．(23-24八上·四川成都双流区成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为 ．（取） 8．(23-24八上·四川成都青羊区树德实验中学·期中)如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ．      9．(24-25八上·四川自贡荣县中学校·期中)如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理 10大高频考点概览 考点01 以直角三角形三边为边长的图形面积 考点02 勾股定理与网格问题 考点03 勾股定理与折叠问题 考点04 以弦图为背景的计算题 考点05 勾股定理中相关求解 考点06 勾股定理实际应用之求梯子滑落高度 考点07勾股定理实际应用之解决水杯中筷子问题 考点08 勾股定理实际应用之判断汽车是否超速 考点09 长方体中最短路径问题 考点10圆柱体中最短路径问题 地 城 考点01 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．(24-25八上·四川绵阳江油·期中)如图，正方形的面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理，找出规律是解题的关键．设正方形的边长为，求出找出规律，则，即可得出结论． 【详解】 解：如图，设正方形的边长为， 则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， ， 同理，， 则， ， ． 故选：D． 2．(24-25八上·四川雅安名山区车岭镇初级中学·期中)如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是（   ） A．336 B．396 C．464 D．368 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理等知识点，观察可看出M所处的正方形的面积等于直角三角形的长直角边的平方，已知斜边和另一较短的直角的平方，即可求得字母所代表的正方形面积，熟练掌握勾股定理的内容是解决此题的关键． 【详解】根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为64和400的正方形的边长是和； ∵三个正方形围成一个直角三角形， ∴图中直角三角形得字母M所代表的正方形的面积， 故选：A． 3．(24-25八上·四川达州渠县第三中学·期中)如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为(      ) A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理的应用．根据勾股定理可得，从而可得，，同理，，再根据，代入求值即可． 【详解】解：标记字母如图： 为直角三角形， ， 又 ， ， ， 同理，，， 在中，，， 所以阴影部分的面积为 ． 故选：D． 4．(24-25八上·四川江阳区·期中)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 【详解】解：如图 根据勾股定理得到：正方形C与D的面积的和是正方形P的面积；正方形A与B的面积的和是正方形Q的面积；而正方形P，Q的面积的和是正方形M的面积． 正方形M的面积为， 正方形A，B，C，D的面积的和为25． 故选：D． 5．(24-25八上·四川广元苍溪县·期中)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 6．(24-25八上·四川成都石室联合中学教育集团·期中)如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为 ． 【答案】100 【分析】本题主要考查正方形的面积以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出的长，再由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：100． 7．(24-25八上·四川成都金牛区树德实验中学沙河校区·期中)如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理， 由正方形面积公式得到，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形的面积为14，正方形的面积为19， ，. ， ， 的面积． 故答案为：5． 8．(24-25八上·四川师大附中教育集团·期中)如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x，根据勾股定理得，，再证明，即可得出结论，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键． 【详解】解：设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x， ∵两个空白三角形均为直角三角形， ∴，， ∴， ∵A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5， ∴， 即正方形D的面积为19， 故答案为：19． 9．(24-25八上·四川绵阳东辰学校·期中)如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据“”证明得出，再根据勾股定理结合正方形的面积得出同理可得， ，从而得出结果，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 如图，由题意可知，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 又∵，，， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 10．(24-25八上·四川成都青羊实验学校·期中)如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键． 根据为直角三角形且，可得到，同理可得到及，在中，由勾股定理得出：，继而可得，代入计算即可． 【详解】解：∵为直角三角形，且， ∴在中，有， ∴，即， ∴，即 同理可得：，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 勾股定理与网格问题 1．(24-25八上·四川泸州江阳区泸南中学校·期中)如图，正方形网格中，每个正方形的边长为，则网格上的中，边的长度是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据网格利用勾股定理求三角形的边长，根据是两个正方形的边长2和3个正方形的边长3组成的直角三角形的斜边，根据勾股定理直接求出即可． 【详解】解：由图可得， ， 故选：A． 2．(23-24八上·四川成都天府第七中学·期中)如图，方格纸中小正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的顶点处，则点到边距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由网格求出三角形的面积，由勾股定理求出的长，利用三角形的面积计算公式即可求解，掌握三角形面积的不同求法是解题的关键． 【详解】解：由网格可得，的面积， 由勾股定理可得，， 设点到边距离为，则， 解得， 故答案为：． 3．(23-24八下·四川广安广安友谊中学·期中)图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数； (2)在图中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为； (3)在图中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）根据网格可知作等腰直角三角形即可； （）根据勾股定理的逆定理即可画图； （）根据网格可得； 本题考查了作图，勾股定理定理及逆定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴即为所求； （2）如图， 由网格可知：，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴即为所求； （3）如图， 由网格可知：， ∴即为所求． 4．(24-25八下·四川自贡富顺县第二中学校·期中)如图在正方形网格中，每个小方格的边长为单位1，且每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．    (1)在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形； (2)在图②中，画一个面积为10的正方形． (3)在图③中，D是中点，在边上找到点E，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了格点作图、勾股定理的应用，利用勾股定理正确作图是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质，如果斜边长为，那么两条直角边长为3，据此即可画出符合题意的等腰直角三角形； （2）面积为10的正方形边长为，在网格中画出四条长度为的线段，再首尾相连即可； （3）在正方形网格中取格点，使得，则与的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，斜边长为为的等腰直角三角形即为所求：    （2）解：如图所示，面积为10的正方形即为所求：    （3）解：如图所示，点E即为所求：    5．(23-24八上·四川达州渠县李馥中学·期中)如图网格中，每个小正方形的边长为1，规定顶点在小正方形的顶点的图形叫网格图形，图中是网格三角形． (1)求的长 (2)求的面积 (3)在网格中画一个面积为10的网格正方形 【答案】(1) (2) (3)图见解析 【分析】本题考查勾股定理与网格问题． （1）勾股定理求的长； （2）分割法求三角形的面积即可； （3）根据题意画出一个边长为的正方形即可． 掌握勾股定理，是解题的关键． 【详解】（1）解：由勾股定理，得：； （2）的面积为 （3）如图所示：四边形即为所求． 6．(23-24八上·四川成都青羊区树德实验中学·期中)问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点． 问题提出：      （1）若格点（、、都在格点上）是锐角三角形且面积为5，请在图1中任意画出一个符合要求的格点． 问题探究： （2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积； 问题解决： （3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积（用含a、b的代数式表示）． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；；（3） 【分析】（1）根据题意，画出锐角三角形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形，再利用割补法求出三角形的面积； （2）构建长为a，宽为b的长方形网格图，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求；    理由：根据题意得：的面积为； （2）如图，即为所求；    理由：根据题意得：，，， 的面积为； （3）解：如图，网格中小长方形的长为a，宽为b，    根据题意得：， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 地 城 考点03 勾股定理与折叠问题 1．(24-25八下·四川泸州合江县·期中)已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到，再由折叠的性质得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 2．(23-24八上·四川成都成都石室中学·期中)如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 【答案】/0.875 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 设，则，由折叠可得：，根据勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．(24-25八上·四川成都金牛区铁路中学校·期中)如图，在中，点D是上边一点，连接，把沿着翻折，得到．与交于点G，连接交于点F，若，，，的面积为5．则点F到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 先求出的面积．根据三角形的面积公式求出，设点到的距离为，根据，求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， 由翻折可知，，， ，， ， ， ， ， 设点到的距离为，则有， ， 故答案为：． 4．(23-24八上·四川成都简阳雷家学校·期中)如图，把直角沿折叠后，使点B落在边上点E处，若，，则 ．    【答案】6 【分析】本题考查了折叠问题，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是先由，，，根据勾股定理求得，再由折叠得，，，则，，即可根据勾股定理列方程得，求得，即可求得． 【详解】解：，，， ， 由折叠得，，， ，， ，且， ， ， ， 故答案为：6． 5．(24-25八上·四川成都树德实验中学·期中)在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得： ， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 6．(24-25八上·四川雅安名山区车岭镇初级中学·期中)如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若．    (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据折叠的性质得到，，则，，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 7．(23-24八上·四川成都成都石室中学·期中)（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）（i）12；（ii）14或4；（2）． 【分析】此题考查了勾股定理、折叠问题等知识． （1）（i）设，则，利用勾股定理得到，则，求出，则； （i）分为锐角和钝角两种情况进行解答即可； （2）连接交于点，则，过点作于，在中，，在中，，根据折叠得到，设，则，由勾股定理得到，求出，进一步由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：（1）（i）设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （i）在中，， 在中，， 当为锐角时，如图，， 当为钝角时，如图，； （2）如图2，连接交于点，则，过点作于， 在中， 在中， 垂直平分， ∴ ， ， ， 设，则 ， ， ， 8．(23-24八上·四川成都金堂县竹篙片区·期中)如图，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，．    (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． （1）由折叠的性质可知，，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）由勾股定理得，，由折叠的性质可知，，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴的长为12； （2）解：由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴的长为． 地 城 考点04 以弦图为背景的计算题 1．(24-25八上·四川泸州江阳区梓橦路学校·期中)如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（   ） A．12 B． C．24 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，设两直角边分别为x，y，且，由勾股定理可得，结合小正方形的面积可得，再结合完全平方公式可得答案． 【详解】解：设两直角边分别为x，y，且， 根据题意得：，， ∴， ∴，   ∴， 即两直角边的积等于24， 故选C． 2．(24-25八上·四川泸州龙马潭区五校联考·期中)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（      ） A．19 B．13 C．42 D．29 【答案】D 【分析】本题考查“赵爽弦图”为背景的代数式求值，涉及勾股定理、三角形面积及正方形面积等知识，熟练掌握“赵爽弦图”图形构成，数形结合，掌握代数式求值方法是解决问题的关键． 根据题意，求出大正方形边长、直角三角形面积、大正方形面积，进而得到，，利用完全平方和公式展开后，代入求值即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， ，且直角三角形的斜边长为， 大正方形的边长为，则， 大正方形的面积为16，小正方形的面积是3， ，即，则， ， 故选：D． 3．(24-25八上·四川绵阳江油·期中)如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）． A．24 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】本题主要考查了弦图，完全平方公式，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，根据题意， ，结合已知化简计算即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b， 根据题意， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的值是30， 故选：B． 4．(24-25八上·四川成都天府第七中学·期中)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理在几何图形中的应用，通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后即可求出风车外围的周长，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，又∵为直角三角形，将长度为的边延长一倍长度为， ∴由勾股定理知，延伸后斜边长为， 又∵四个直角三角形全等， ∴这个风车外围周长为， 故选：． 5．(23-24八上·四川成都武侯区成都西川中学·期中)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理中的弦图模型，由图可知中间小正方形的边长为，再利用勾股定理求出边长即可求解； 【详解】解：如图， 由题意知：，， ∴ 在中，， ∴图2中的“风车”图案的周长为： 故选：C 6．(24-25八上·四川绵阳江油·期中)公元3世纪，我国汉代数学家赵爽注解《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，弦为25，股为20，则小正方形的面积为 ． 【答案】25 【分析】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式．应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵弦为25，股为20， ∴勾， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， 故答案为：25． 地 城 考点05 勾股定理中相关求解 1．(24-25八上·四川达州铁路中学·期中)直角三角形两边长分别是5，12，第三边是（　） A．13 B． C．13或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，分类讨论思想的运用是解答的关键． 题目中没有明确直角边和斜边，故要分情况讨论，再结合勾股定理即可求得结果． 【详解】解：当12为直角边时，第三边长为， 当12为斜边时，第三边长为， 故选：C． 2．(24-25八上·四川广安广安区广安友实学校·期中)如果直角三角形两边分别为3和4，那么这个三角形的第三边可能是（    ） A． B．7 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设第三边为a，再分情况讨论即可． 【详解】解：设第三边为a， 当4为斜边时，则， 当为斜边时，则， 四个选项，符合题意的是A， 故选：A． 3．(24-25八上·四川南充高坪区高坪区江陵初级中学·期中)已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．12 B． C．12或 D．14 【答案】C 【分析】先设的第三边长为x，由于4是直角边还是斜边不能确定，故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论． 【详解】设的第三边长为x， ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边， 由勾股定理得，，此时这个三角形的周长； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边， 由勾股定理得，，此时这个三角形的周长， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 4．(23-24八上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理．熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键． 根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∴a的值为：． 故选：C． 5．(23-24八上·四川成都武侯区·期中)如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以为边作长方形，以点C为圆心，的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理，根据长方形的性质得到，由此，利用勾股定理求出长度即可． 【详解】连接，    ∵长方形，， ∴， ∴， ∴， ∴点P表示的数是， 故选：D． 6．(24-25八上·四川德阳中江县·期中)下列各组数据是勾股数的一组是（    ） A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．13，14，15 【答案】A 【分析】本题考查勾股数，理解勾股数的概念是关键．根据勾股数是满足的三个正整数求解即可． 【详解】解：A、3，4，5满足的三个正整数，是勾股数，符合题意； B、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、1，1，中的不是整数，三个数不是勾股数，不符合题意； D、不等于，13,14,15不是勾股数，不符合题意， 故选：A． 7．(23-24八上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，， ∴最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B、设分别为， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； C、， ∴不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； D、， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 地 城 考点06 勾股定理实际应用之求梯子滑落高度 1．(24-25八上·四川嘉祥教育集团·期中)一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，设它的底部滑行了，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴， 设它的底部滑行了，则有， ∴， 解得：； 故选D． 2．(24-25八上·四川德阳中江县·期中)如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用；解决本题关键在于能找出其中的不变量，在不同的直角三角形中应用勾股定理．在中用勾股定理可得，梯子长，在中用勾股定理可得的长，即可计算． 【详解】解：中，米 中，米，梯子长， 米， 米； 故选A． 2．(24-25八上·四川广元苍溪县·期中)我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知 ， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理得到，，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，，在中， ， ， 则， 在中， ， ，则． ∴ ． 3．(24-25八上·四川成都树德中学·期中)如图所示，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙24米． (1)这个梯子的顶端A距地面有多高？ (2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升8米（云梯长度不变），那么云梯底端在水平方向应滑动多少米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有7米 (2)云梯的底部在水平方向应滑动4米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）利用勾股定理可得，再代入数计算即可； （2）根据题意表示出长，再在直角中利用勾股定理计算出长，进而可得长． 【详解】（1）解：由题意得：米，米， 则（米）． 答：这个梯子的顶端距地面有7米； （2）解：由题意得：米，米，则米， （米）， ∵米， ∴（米）， 答：云梯的底部在水平方向应滑动4米． 地 城 考点07 勾股定理实际应用之解决水杯中筷子问题 1．(24-25八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（　　） A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设水池里水的深度是x尺， 由题意得，， 解得：， 答：水池里水的深度是12尺． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 2．(24-25八上·四川广安岳池县五校·期中)如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：设牙刷的长度为， ∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴的取值范围是：， 即． 故答案为：． 3．(23-24八上·四川成都邛崃高埂中学学区·期中)如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是 尺    【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，可知的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形，    设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴水深为：尺． 故答案为：24． 4．(24-25八上·四川成都青羊区树德中学·期中)如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为 cm． 【答案】2 【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可构造直角三角形用勾股定理解答． 【详解】解：设在杯里部分长为xcm， 则有：x2＝32+42， 解得：x＝5， 所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm， 故吸管露出杯口外的最短长度是2cm， 故答案为：2． 地 城 考点08 勾股定理实际应用之判断汽车是否超速 1．(24-25八上·四川乐山·期中)交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得 ，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】距离为73米，速度为24米/秒 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出轿车的速度，由此即可求解． 【详解】解：，，， ∴， ∵，则，， ∴在中，， ∴， ∵从处行驶到处所用的时间为3秒， ∴轿车的速度是（米/秒）. 2．(24-25八上·四川眉山东坡区·期中)某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    【答案】超速了，理由见解析，每小时超速了12千米 【分析】首先根据题意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：小汽车超速了，理由如下： 根据题意，得米，米，． 在中，根据勾股定理，得， ∴米 ∴小汽车行驶速度为(米/秒)(千米/时) (千米/时) 答，这辆小汽车超速了，每小时超速了12千米． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 3．(24-25八上·四川眉山东坡区·期中)《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速． 【详解】解：根据题意：∠ACB= 90° 由勾股定理可得： BC=米 40米= 0.04千米， 2秒=小时； 0.04÷= 72千米/时> 70千米/时； 所以超速了． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可． 地 城 考点09 长方体中最短路径问题 1．(24-25八上·四川成都第七中学初中学校·期中)如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面展开图像的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用，根据不同侧棱展开，分别求得对应的边，利用勾股定理求得对应路径，再结合实数大小比较即可． 【详解】解：将长方体展开成平面图形如图1，2，3所示∶ 在图1中AB的长为∶ 在图2中AB的长为∶ 在图3中AB的长为： ∵ ∴蚂蚁需要爬行的最短路径是25厘米． 故选A． 2．(24-25八上·四川成都·期中)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； 则； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 3．(24-25八上·四川成都青羊区泡桐树中学·期中)如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【答案】/13厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图—最短路径问题正确找到最短路径是解题关键． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图1所示展开时： ， 此时； 如图2所示展开时： 此时． ∵， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 4．(24-25八上·四川绵阳平武县·期中)如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线最短需 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．根据绕两圈到B，则展开后相当于求出直角三角形的斜边长，并且，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕1圈到达点B， ∴展开后，， 由勾股定理得：AB＝． 故答案为5． 5．(24-25八上·四川成都石室天府中学多校联考·期中)如图，长方体的长，宽，高为6，点B处有一只蚂蚁，点N处有一滴蜂蜜，如果蚂蚁要沿着长方体的表面从点B爬到点N，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题，勾股定理等知识点，蚁从B到N有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可，熟练掌握蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短是解决此题的关键． 【详解】如图：，宽，高为6， 由已知，的长度即为所求， ∵中，，， ∴， 如图： ， 如图： ． ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故答案为：． 6．(24-25八上·四川师大附中教育集团·期中)长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开—最短路径问题，关键是熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可． 【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是7和1， 则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是4和4， 所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是3和5， 所以走的最短线段； ∵， ∴三种情况比较而言，第二种情况最短． 故答案为： ． 7．(23-24八上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 cm． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线． 分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm． 故答案为：20． 8．(23-24八上·四川达州渠县琅琊中学·期中)如图是一个长、宽、高的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先将点A和点B所在的面展开，得到最符合条件的三种情况，连接，利用勾股定理分别求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：由题意可知，仓库的长为、宽为、高为，点A是长的四等分点，点B是宽的三等分点 如图1，此时，，， ， ； 如图2，此时，，， ， ； 如图3，此时，，， ， ， ， 壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少． 9．(23-24八上·四川成都金堂县成都七中育才学校·期中)（1）如图，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ； （2）如图，小明家住楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？ 【答案】（）20；（）能，理由见解析． 【分析】（）将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，分三种情况利用勾股定理求出长，再比较即可得到答案； （）利用两点之间线段最短及勾股定理的运用即可； 此题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：（）如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得：； 如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得：； 如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：； 2）如图所示：    由勾股定理得：， ∴（米）＞， ∴钢管能放进电梯． 地 城 考点10 圆柱体中最短路径问题 1．(24-25八上·四川成都成都第七中学高新校区·期中)如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用勾股定理求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．如图（见解析），把圆柱体展开，连接，然后可知，，进而可由两点之间线段最短可得即为所求，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，展开得： 连接， 圆柱的高为，底面圆的周长为， ，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为， 故答案为：． 2．(24-25八上·四川达州渠县三江中学·期中)如图，一只蚂蚁从点沿圆柱表面爬到点，圆柱高为，底面周长为，那么最短的路线长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理的应用，将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，将圆柱体展开，则即为所求； 由题意，得：，， 则：； 故答案为：10 3．(24-25八上·四川南充阆中龙泉镇中心学校·期中)如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为，在杯内壁离杯底3的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质．熟练掌握勾股定理的应用，轴对称的性质是解题的关键． 如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，，则，，可知当三点共线时，蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离，为的长，由题意知，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，， ∴， ∴， 当三点共线时，蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离，为的长， 由题意知，，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 4．(24-25八上·四川南充白塔中学·期中)如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离， ∴， ∴ ∴蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 故答案为：． 5．(23-24八上·四川达州渠县宝城镇初级中学·期中)如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，根据“两点之间线段最短”可知的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求出的值． 本题考查了求圆柱体表面上两点之间的最短距离．将几何体展开成平面图形，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】如图， 将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，则的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 延长，过点作于D点， 则，，， 由题意得，， 由勾股定理得． 故答案为：． 6．(23-24八上·四川成都龙泉驿区·期中)如图，一圆柱高，底面周长为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将圆柱的侧面展开，根据“两点之间，线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开， 连接，根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线． 由题可得：， 由勾股定理得： ， 故答案为：5． 7．(23-24八上·四川成都双流区成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为 ．（取） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解答本题的关键． 将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短，求出答案． 【详解】解：如图，即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线， 圆柱的底面半径为， ， 又 ， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是， 故答案为：． 8．(23-24八上·四川成都青羊区树德实验中学·期中)如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ．      【答案】/15厘米 【分析】如图把圆柱体展开，连接，根据题意可得，，进而可由两点之间，线段最短可知的长． 【详解】解：把圆柱体展开，连接，如图所示，    ∵圆柱的高等于，底面上圆的周长等于， ∴， ∴， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．(24-25八上·四川自贡荣县中学校·期中)如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【答案】蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 【分析】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键．把圆柱体展开，连接，然后可知和，进而可由两点之间，线段最短可知即为所求 【详解】解：如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $