精品解析：2025年广东省中山市第一中学中考模拟（数学）试卷（二）

2024-2025学年广东中山第一中学中考模拟（数学）试卷（二） 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. 0 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据小于0的数是负数即可判断． 【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故选项不符合题意； B、，是负数，故选项符合题意； C、，5是正数，故选项不符合题意； D、，是正数，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了负数的定义，掌握负数的定义是解题的关键． 2. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 观察下列各组式子：①，；②，；③，．可猜想得到：（），上述探究过程体现的数学思想方法是（ ） A. 从特殊到一般 B. 类比 C. 转化 D. 公理化 【答案】A 【解析】 【分析】由探究过程可得答案． 【详解】解：由题干可知，上述探究过程是通过取一些特殊的数字说明等式成立，进而总结出一般规律，故蕴含的思想方法是特殊与一般， 故选：A． 【点睛】本题考查探究过程的思想方法，关键在于掌握各思想方法的定义． 4. 如图中几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：从几何体的左边看可得到一列两个矩形： ． 故选：B． 5. 如图，是线段所在直线上的一动点，点在的两侧，，，，，，连接，分别取的中点，连接．随着点的运动，线段的长（ ） A. 随着点的位置变化而变化 B. 保持不变，长为 C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 即的长保持不变， 长为， 故选：． 6. 一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9，，9，8，7，，8．这名运动员射击环数的众数与中位数分别是（　　） A. 9环与8环 B. 8环与环 C. 环与9环 D. 8环与9环 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，掌握中位数和众数的定义是关键．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列7，8，8，8，9，9，，， 处于中间位置的那个数是8和9，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是， 在这一组数据中8是出现次数最多的，故众数是8． 故选：B． 7. 某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小道入口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小道入口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：， 故选：A． 8. 小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵y轴表示当天爷爷离家的距离，X轴表示时间 又∵爷爷从家里跑步到公园，在公园打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家， ∴刚开始离家的距离越来越远，到公园打太极拳时离家的距离不变，然后回家时离家的距离越来越近 又知去时是跑步，用时较短，回来是慢走，用时较多 ∴选项B中的图形满足条件. 故选B. 9. 甲，乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑，白，红，转动转盘时，指针指向的颜色即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．转动两次转盘，其中“一定有黑色”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有9种可能结果，其中“一定有黑色”的有5种， ∴其中“一定有黑色”的概率， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，再利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：______． 【答案】m（m﹣1） 【解析】 【分析】 【详解】解：m2﹣m=m（m﹣1） 故答案为： 12. 如果两个相似三角形的周长的比是1：2，那么这两个三角形的面积的比是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长的比是1：2， ∴两个相似三角形的相似比是1：2， 这两个三角形的面积的比是 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 13. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可进行解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 14. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，立方根，先算零指数幂和立方根，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，，当时，开口向上，即可作答． 【详解】解：设， ∵二次函数的图象开口向上，且经过点， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 三．解答题（共3小题，满分21分） 16. 已知方程，小张同学是这样解方程的： 解： 第一步（___________） 第二步（___________） 第三步（___________） 显然不成立，故原方程无解． 你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据． 【答案】 解：小张的解答是正确的． 运算依据： 第一步：“等式的性质”或“等式左右两边同时加（减）同一个数，等式仍然成立．” 第二步：“分式的运算”或“同分母的分式加减：分母不变，分子相加减．” 第三步：“分式的化简”或“分子分母同时乘以（除以）一个不为零的数，分式大小不变．” 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据小张解方程的步骤结合等式的性质，分式的运算法则进行求解即可． 【详解】略． 17. 如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】 证明：连接交于，连接，如图， 和为的切线， ， ， 垂直平分， 是的直径， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，如图，先根据切线长定理得到，再判断垂直平分，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【详解】略 18. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可． 【小问1详解】 解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． 【小问2详解】 由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19. 如图，在平行四边形中，对角线上有两点，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若是等边三角形，且边长为8，，求． 【答案】（1） 证明：如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）根据是等边三角形，且边长为8，证平行四边形是菱形，得，则平行四边形是菱形，得，则，然后由勾股定理得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，且边长为8， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 2024年瑞安市非机动车保有量已达50余万辆，其中电动自行车交通违法行为问题日益凸显，佩戴安全头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害．2024年瑞安交警部门在全市范围开展了安全使用电动车专项治理活动．某校学生在吾悦罗阳大道路口对活动前后电动自行车违法行为进行抽样调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动后吾悦路口电动自行车违法行为统计表 类别 人数 A 60 B a C 20 D 50 合计 250 （1）请确认“活动后吾悦路口电动车违法行为统计表”中，B类别对应人数的值为_____； （2）治理活动前吾悦路口某时段若约有2万人使用电动自行车，请你估计，专项治理活动前该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数； （3）小明发现，专项治理活动前后C类别人数均为20人，因此认定交警部门开展的此次专项活动没有效果，你认为小明分析数据的方法是否合理？为什么？ 【答案】（1） （2）人； （3） 小明分析数据的方法不合理，理由： 专项治理活动后违法载人的百分比为， 专项治理活动后违法载人的百分比为， ， ∴交警部门开展的此次专项活动有效果． 【解析】 【分析】此题考查了样本估计总体、统计表与条形统计图，读懂统计图，从统计图中获取必要的信息是解题的关键． （1）用总人数减去其它三类人数即可得到答案； （2）用2万乘以样本中未佩戴安全头盔的人数的百分比即可求出答案； （3）分别求出专项治理活动后违法载人的百分比和专项治理活动后违法载人的百分比，比较后即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意可得，（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意可得，（人） 答：专项治理活动前该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数为人； 【小问3详解】 略 21. 消防车是消防救援的主要装备，图是某种消防车云梯，图是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可烧着点旋转，为云梯的液压杆长度可以变化，点，，在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为，套管的长度不变． （1）在某种工作状态下测得，，，求的长． （2）将云梯伸长到最大长度米，当从上升到时，云梯顶端的铅直高度升高了多少米？参考数据：，，，，， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）过点作于点，在中，，，可得，，根据，得到，由即可求解； （2）分别算出，时云梯顶端到的距离，再相减即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，，， 在中，，， ∴，， ， ， ； 【小问2详解】 解：当时，云梯顶端到的距离为， 当时，云梯顶端到的距离为， ∴云梯顶端的铅直高度升高的长度． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22. 已知：，， （1）当时，写出的值______（用科学记数法表示结果）； （2）当时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是______．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 嘉淇的发现正确，理由如下： ， ， 当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 当时， 原式 ； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，，， 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴这个三角形的面积是； 故答案为：24； 【小问3详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． （1）如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和B点坐标； （2）如图2，当，连接，时，求m的值； （3）当时，若，求b的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，两点坐标，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，根据点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，得到一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，则，如图所示，过点作轴于点，根据，得坐标，可求出直线的解析式，则坐标可表示，根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意得到，则，，则点，，，设一次函数与轴交点，，直线的解析式为，即可知，根据两点之间距离的计算得到，，，，由，得到，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，一次函数解析式为， ， 点是的中点，且， ， 解得， ， 把点代入反比例函数解析式得，， 解得，， 反比例函数解析式为， 把点代入一次函数解析式得，， 解得，， 一次函数解析式为， 联立反比例函数、一次函数解析式得，， 解得，，， ； 【小问2详解】 解：当时，同理，， 点是的中点，且， 点的横坐标为，纵坐标为，即， 点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上， ，， 解得，，， 一次函数解析式为：，反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，，， ， 如图所示，过点作轴于点， ，， ，，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，，即， ， ， 整理得，， ， 解得，或， 或， 解得，或； 【小问3详解】 解：当时，一次函数解析式为， 把点代入得，， ，则， ，则点，， ， 把点代入得，， ， 反比例函数解析式为， ， 解得，，， ， 当时，，即设一次函数与轴交点， ， 同理，， ， ，则， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为， 当时，，即， 由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ， 整理得，， ， 当时，， ，，如图所示， 当时，， ，，如图所示， 若，的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数性质，反比例函数与几何图形的综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东中山第一中学中考模拟（数学）试卷（二） 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. 0 B. C. 5 D. 2. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 观察下列各组式子：①，；②，；③，．可猜想得到：（），上述探究过程体现的数学思想方法是（ ） A. 从特殊到一般 B. 类比 C. 转化 D. 公理化 4. 如图中几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是线段所在直线上的一动点，点在的两侧，，，，，，连接，分别取的中点，连接．随着点的运动，线段的长（ ） A. 随着点的位置变化而变化 B. 保持不变，长为 C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为 6. 一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9，，9，8，7，，8．这名运动员射击环数的众数与中位数分别是（　　） A. 9环与8环 B. 8环与环 C. 环与9环 D. 8环与9环 7. 某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 甲，乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑，白，红，转动转盘时，指针指向的颜色即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．转动两次转盘，其中“一定有黑色”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：______． 12. 如果两个相似三角形的周长的比是1：2，那么这两个三角形的面积的比是______． 13. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围为______． 14. 计算：________． 15. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式________． 三．解答题（共3小题，满分21分） 16. 已知方程，小张同学是这样解方程的： 解： 第一步（___________） 第二步（___________） 第三步（___________） 显然不成立，故原方程无解． 你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据． 17. 如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 18. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19. 如图，在平行四边形中，对角线上有两点，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若是等边三角形，且边长为8，，求． 20. 2024年瑞安市非机动车保有量已达50余万辆，其中电动自行车交通违法行为问题日益凸显，佩戴安全头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害．2024年瑞安交警部门在全市范围开展了安全使用电动车专项治理活动．某校学生在吾悦罗阳大道路口对活动前后电动自行车违法行为进行抽样调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动后吾悦路口电动自行车违法行为统计表 类别 人数 A 60 B a C 20 D 50 合计 250 （1）请确认“活动后吾悦路口电动车违法行为统计表”中，B类别对应人数的值为_____； （2）治理活动前吾悦路口某时段若约有2万人使用电动自行车，请你估计，专项治理活动前该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数； （3）小明发现，专项治理活动前后C类别人数均为20人，因此认定交警部门开展的此次专项活动没有效果，你认为小明分析数据的方法是否合理？为什么？ 21. 消防车是消防救援的主要装备，图是某种消防车云梯，图是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可烧着点旋转，为云梯的液压杆长度可以变化，点，，在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为，套管的长度不变． （1）在某种工作状态下测得，，，求的长． （2）将云梯伸长到最大长度米，当从上升到时，云梯顶端的铅直高度升高了多少米？参考数据：，，，，， 五．解答题（共2小题，满分27分） 22. 已知：，， （1）当时，写出的值______（用科学记数法表示结果）； （2）当时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是______．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． （1）如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和B点坐标； （2）如图2，当，连接，时，求m的值； （3）当时，若，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $