12.3.2 等腰三角形的判定 课件 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

12.3.2 等腰三角形的判定 M A T H 22251 1. 能证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理，并应用定理解决有关问题. 学习目标 M A T H 22251 在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C A 新知导入 M A T H 22251 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ AB = AC 如何验证你的结论？ 等腰三角形的判定 新知探究 M A T H 22251 在△BAD 与△CAD 中， ∠1 =∠2， ∴△BAD≌△CAD(AAS). ∵∠B =∠C， AD = AD， ∴AB = AC (全等三角形的对应边相等). 如图，作∠BAC 的平分线 AD. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC 是等腰三角形. M A T H 22251 ∴ AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. ∵∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所对应的边也相等（简写成“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 等角对等边 等边对等角 归纳 M A T H 22251 例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC. A B C 40° 70° 证明 ∵∠A + ∠B + ∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∠A = 40°，∠B = 70°， ∴∠C = 180° -∠A -∠B， = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠C =∠B. ∴ AB = AC(等角对等边). 典型例题 M A T H 22251 证明：∵ AB∥CD (已知)， ∴∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 =∠2， ∴∠B =∠1 (等量代换). ∴AB = AC (等角对等边). 例2 如图，AB∥CD，∠1 =∠2，求证：AB = AC. A B C （ （ 1 2 D 分析 要证 AB = AC，可以设法证明∠B =∠1，而∠1 =∠2，因此只要证明∠B =∠2. 典型例题 M A T H 22251 一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 等边三角形的两个判定定理： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 等边三角形的判定 新知探究 M A T H 22251 A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证： AB = AC = BC. 证明：∵ ∠A =∠B， ∴ AC = BC. ∵ ∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC. 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. M A T H 22251 判定2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形. 证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC. 由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°. 若顶角 ∠A = 60°， 则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°. 又 AB = AC， ∴∠B =∠C. ∴∠B =∠C =∠A = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 如果底角∠B = 60° (或∠C = 60°) 呢？ M A T H 22251 例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED . ∴△ADE 是等边三角形. 典型例题 M A T H 22251 变式 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD = AE，△ADE 还是等边三角形吗？试说明理由. A C B D E 证明： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°. ∵ ∠A + ∠ADE +∠AED = 180°，AD = AE， ∴ ∠ADE +∠AED = 120°. ∴ ∠ADE = ∠AED = 60°. ∴ △ADE 是等边三角形. M A T H 22251 例4 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠ACB=∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：由于直角边 AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧. A C B B' A' C' B (A) (C) 典型例题 M A T H 22251 ∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)， ∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°. 即点 B、C'、B' 在同一条直线上. 在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)， ∴ ∠B =∠B' (等边对等角). 在△ABC 和△A'B'C' 中， ∵∠B =∠B' (已证)， ∠ACB =∠ A'C'B' (已知)， AC = A'C' (已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS). 这样我们就证明了HL判定定理 B' A' C' B (A) (C) M A T H 22251 1. 如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则∠ABD = _____°，∠BDC = _____°， 图中的等腰三角形有_______________________. 36 72 △ABC、 △DBA、 △BCD A B C D 2. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则△ABC 的周长为___cm. 9 巩固练习 M A T H 22251 3.如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 D A C B D E O 巩固练习 M A T H 22251 4.如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD = BE，求∠EDA 的度数. 解：∵ △ABC 是等边三角形， ∴∠CBA = 60°. ∵BD 是 AC 边上的中线， ∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°. ∵ BD = BE， ∴ ∠BDE = (180°-∠DBA)÷2=75° ∴ ∠EDA = 90° -∠BDE = 90° - 75° = 15°. B C D A E 巩固练习 M A T H 22251 等腰三角形 等腰三角形的判定：等角对等边. 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 课堂小结 M A T H 22251 $