周测卷(十九) 随机变量及其分布列-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十九)　随机变量及其分布列 1．A　2.A　3.B　 4．D　由题可得p1＋p3＝2p2，p1＋p2＋p3＝1，解得p2＝，则p1·p3≤2＝，当且仅当p1＝p3＝时等号成立，故p1·p3的最大值为. 5．B　根据题意，ξ的可能取值为1，2，3，对应的概率为： P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝；P(ξ＝3)＝，故分布列为 所以E(ξ)＝，D(ξ)＝，所以a＝b＋3c，7c＝a＋b，所以b＝2c，a＝5c，故a∶b∶c＝5∶2∶1.故选B. 6．A　E(ξ1)＝0×＋1×p1＋2×＝＝0×＋1×p2＋2×＝－p2，由于p1<p2，所以E(ξ1)>E(ξ2)．D(ξ1)＝2×＋2×p1＋2×＝2×＋2×p1＋2×＝－，同理可得D(ξ2)＝－－D(ξ2)＝(p2－p1)＝(p2－p1)>D(ξ2)．故选A. 7．B　随机变量ξ的取值为0，1，2，当ξ＝1时，所取的三个数中仅两个数相邻且与第三个数不相邻，其中取1，2和19，20，对应取法为17种，其余17种情况取法为16种，所以P(ξ＝1)＝，当ξ＝2时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，所以P(ξ＝2)＝，所以当ξ＝0时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有1140－18－(2×17＋17×16)＝816种，所以P(ξ＝0)＝，则E(ξ)＝0×＝0.3. 8．B　因为X～N(0.95，0.012)，得出μ＝0.95，μ＋σ＝0.96，所以P(X≤0.95)＝P(X≤μ)＝0.5，P(0.95<X≤0.96)＝P(μ<X≤μ＋σ)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝×0.6826＝0.3413；P(X>0.96)＝[1－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝×(1－0.6826)＝0.1587，所以E(X)＝0＋100×0.3413＋200×0.1587＝65.87(元)．故选B. 9．ABC　选项A，由已知可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，即15a＝1，故该选项正确；选项B，P(0.4<ξ<0.8)＝ P(ξ＝0.6)＝3a＝＝0.2，故该选项正确；选项C，P(0.1<ξ<0.6)＝P(ξ＝0.2)＋P(ξ＝0.4)＝P＋P＝＝0.2，故该选项正确；选项D，P(ξ＝1)＝≠0.3，故该选项错误．故选ABC. 10．BCD　曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大，因为0<σ1<σ2，所以Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，A错误； 甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，故B正确； 因为甲村的平均分为70，由对称性知P(X≥80)＝P(X≤60)，C正确； 因为乙村的平均分为75，由对称性知P(X≥80)>P(X≤60)，D正确． 故选B、C、D. 11．ACD　E(X)＝－0.1＋1.2＝1.1，E(Y)＝0.4＋0.6＝1，E(X)＞E(Y)， D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29， D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，D(X)＞D(Y)， 则投资股票甲的期望收益较大，投资股票甲比投资股票乙风险高，故C、D正确． E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3.2，D(2Y＋1)＝4D(Y)＝2.4，故A正确，B错误． 12．解析：因为X～B(12，0.25)，所以E(X)＝12×0.25＝3，D(X)＝12×0.25×(1－0.25)＝，又E(aX－3)＝aE(X)－3＝3，即3a－3＝3，解得a＝2，所以D(aX－3)＝D(2X－3)＝22D(X)＝4×＝9. 答案：9 13．解析：Y的可能取值为6，7，8，P(Y＝6)＝，P(Y＝7)＝，P(Y＝8)＝，所以得分Y的均值E(Y)＝6×. 答案： 14．解析：由题意可知400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值为5. 答案：5 15．解：(1)设该考生两年内可获得该职称的事件为A， P(A)＝＋＋2×. (2)X的可能取值为2，3，4. P(X＝2)＝； P(X＝3)＝×2＝； P(X＝4)＝＝； X的分布列为： 数学期望为E(X)＝2×＝3. 16．解：(1)μ＝1000，σ＝5，生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在(995，1000]和(1005，1010]的概率分别为p1＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.3413，(提醒：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个) p2＝(P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ))≈0.1359， 因此所求概率为p＝2p1p2≈0.093. (2)生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布N， 计算可得这5只电阻阻值的平均数＝1009， 记σ′＝， 1009＞1000＋3，即＞μ＋3σ′， 小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常． 17．解：(1)f(p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－p)2，则f′(p)＝10p2(1－p)(3－5p)． 当0<p<时，f′(p)>0，f(p)在区间内单调递增； 当<p<1时，f′(p)<0，f(p)在区间内单调递减． 故f(p)在p0＝处取得最大值，最大值为f＝. (2)设“领航队”的每个成员积分成绩为Y，则X＝5Y， 所以“领航队”积分成绩X的数学期望E(X)＝5E(Y). 每个成员积分成绩Y的所有可能取值为－1，1，5，9， 记第i道题目答对为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(Y＝－1)＝＝， P(Y＝1)＝P＝2＝， P(Y＝5)＝P＋P ＝2×2×， P(Y＝9)＝P(A1A2A3)＝3＝. 则Y的分布列为 则E(Y)＝－1×， 故E(X)＝5E(Y)＝. 18．解：(1)记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件A， 则P(A)＝. (2)如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球， 则得分ξ的所有可能取值为6，7，8，9，10，11， P(ξ＝6)＝，P(ξ＝7)＝， P(ξ＝8)＝，P(ξ＝9)＝， P(ξ＝10)＝，P(ξ＝11)＝， 所以ξ的分布列为 所以E(ξ)＝6×. (3)由(1)可知，若先摸出绿球， 则摸球人获胜的概率P1＝， 由(2)可知，若先摸出红球， 则摸球人获胜的概率P2＝， 若先摸出黄球， 则摸球人获胜的概率P3＝， 若先摸出白球， 则摸球人获胜的概率P4＝， 则摸球人获胜的概率P＝. 答案一：因为摸球人获胜的概率P＝>，所以比赛不公平． 答案二：如果指定由某人先摸球，则比赛不公平． 答案三：如果先摸球的人是在甲、乙两人中随机等可能的产生，则这样的比赛是公平的． 19．解：(1)当p＝，k＝2时，控制系统由3个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为.控制系统中正常工作的元件个数X服从二项分布， 即X～； 所以P(X＝k)＝k3-k，k＝0，1，2，3. 随机变量X的分布列如下： 所以随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2. 依题意p2＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝. (2)(ⅰ)设备正常运转时单位时间内的平均利润为：2a××4＝10a， 所以随机变量Y的分布列如下： Y 10a 0 P pk 1－pk 所以E(Y)＝10apk； (ⅱ)由题意可知，将该设备的控制系统增加2个相同的元件，是否能够提高E(Y)等价于比较pk，与pk＋1的大小． 所以，当p＞时，pk＋1＞pk，可以提高E(Y)； 当p＝时，pk＋1＝pk，E(Y)保持不变； 当0＜p＜时，pk＋1＜pk，E(Y)降低． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(十九)　随机变量及其分布列 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知两个随机变量X，Y，其中X～B，Y～N(μ，σ2)(σ>0)，若E(X)＝E(Y)，且P(|Y|<1)＝0.3，则P(Y<－1)＝(　　) A．0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.1 2．已知随机变量X，Y，X～B，Y～N(μ，σ2)，且D(X)＝E(Y)，又P(Y≤a－1)＋P(Y≤3－2a)＝1，则实数a＝(　　) A．0 B. C. D. 3．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(　　) A．36元 B. 37元 C. 38元 D. 39元 4．已知一个离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 P p1 p2 p3 若p1，p2，p3成等差数列，则p1·p3的最大值为(　　) A． B. C. D. 5．根据国家关于加强禁毒教育要求，某中学举办了“禁毒知识竞赛”，采用抽题问答形式．设抽题盒中a道简单题，b道中等题，c道难题，且规定：抽中简单题并回答正确得1分，抽中中等题并回答正确得2分，抽中难题并回答正确得3分．现在从盒子中取出1道题并回答正确，记所得分为ξ.若E (ξ)＝，D(ξ)＝，则a∶b∶c＝(　　) A．4∶1∶1 B. 5∶2∶1 C. 6∶3∶1 D. 6∶3∶2 6．已知随机变量ξi(i＝1，2)的分布列如下表所示： 若0<p1<<p2<，则(　　) A．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) B. E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D. E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) 7．从1～20中随机抽取3个数，记随机变量ξ为这3个数中相邻数组(a，a＋1)的个数．如当这三个数为11，12，14时，ξ＝1；当这三个数为7，8，9时，ξ＝2.则E(ξ)的值为(　　) A．0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 8．某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95，0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元．则每张芯片获得奖励的数学期望为(　　) 附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974. A．52.28元 B. 65.87元 C. 50.13元 D. 131.74元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　　) A．15a＝1 B. P(0.4<ξ<0.8)＝0.2 C．P(0.1<ξ<0.6)＝0.2 D. P(ξ＝1)＝0.3 10．(2024·江苏省南京市、盐城市调研)《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动．某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”．经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中<σ2，则(　　) A．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B．甲村的平均分低于乙村的平均分 C．甲村的高度满意率与不满意率相等 D．乙村的高度满意率比不满意率大 11．(2024·安徽示范高中联考)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表①和表②所示． 表①　股票甲收益的分布列 收益X(元) －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表②　股票乙收益的分布列 收益Y(元) 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 关于两种股票，下列结论正确的是(　　) A．E(2X＋1)＝3.2 B. D(2Y＋1)＝2.2 C．投资股票甲的期望收益较大 D. 投资股票甲比投资股票乙风险高 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量X服从二项分布B(12，0.25)，且E(aX－3)＝3(a∈R)，则D(aX－3)＝________． 13．一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球，记抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值E(Y)＝________． 14．统计学中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，简称为3σ原则．假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400，σ2)(单位：g)，某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415 g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修．由此可以得出，σ的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称．某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为. (1)求该考生两年内可获得该职称的概率； (2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 16．(15分)一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1000，52)． (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间(995，1000]和 (1005，1010]内各一只的概率；(精确到0.001) (2)根据统计学的知识，从服从正态分布N(μ，σ2)的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本的平均数服从正态分布N某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013(单位：Ω)．你认为这时生产线生产正常吗？说明理由. (参考数据：若X～，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974.) 17．(15分)某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分；若第一道题答错，则不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，则后2道题均需作答.5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三(1)班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为p(0<p<1)，且每人答每道题都是相互独立的． (1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为f(p)，求f(p)的最大值和最大值点p0的值； (2)以(1)中确定的p0作为p的值，求“领航队”积分成绩X的数学期望． 18.(17分)某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏，班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下： ①一个人摸球，另一人不摸球； ②摸出的球不放回； ③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球，若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和． (1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率； (2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙的得分ξ的期望E(ξ)； (3)有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由． 19．(17分)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k－1(k∈N＋)个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(0＜p＜1)，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行．记设备正常运行的概率为pk(例如：p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率)． (1)若p＝，当k＝2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求p2； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为4元，设备升级后，在正常运行的状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是8元．记设备升级后单位时间内的利润为Y(单位：元)． (ⅰ)请用pk表示E(Y)； (ⅱ)设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E(Y)． 学科网（北京）股份有限公司 $