周测卷(十八) 计数原理、二项式定理、概率-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十八)　计数原理、二项式定理、概率 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．(2024·江苏盐城四校联考)将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到A，B，C，D四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在A社区的不同安排方法数为(　　) A．24 B. 36 C. 60 D. 96 2．(2024·河南省七校联合教学质量检测)在(x＋1)(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)(x－a)展开式中，含x5的项的系数是6，则a＝(　　) A．－6 B. －3 C. 3 D. 6 3．某校毕业典礼上有6个节目，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　) A．120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种 4．某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为(　　) A． B. C. D. 5．2023年9月杭州亚运会召开，某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为(　　) A．144 B. 150 C. 168 D. 192 6．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军(假设没有平局)，比赛结束．假设每局比赛乙胜甲的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为(　　) A． B. C. D. 7．在(x＋y＋2)5的展开式中，xy3的系数是(　　) A．24 B. 32 C. 36 D. 40 8．(2024·河南省七校联合教学质量检测)如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为偶数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是(　　) A．事件B与C互斥，A与C相互对立 B．P(A∪B)＝ C．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)但不满足A，B，C两两独立 D．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)且A，B，C两两相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知二项式7的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是(　　) A．a＝1 B. 展开式中二项式系数之和为256 C．展开式中第5项为 D. 展开式中x-5的系数为－14 10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(B)＝，P＝，则(　　) A．P(AB)＝ B. P＝ C．P＝ D. P＝ 11．随着高三毕业日期的逐渐临近，有n(n≥2)个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则(　　) A．当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的卡片的概率为 B．当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为 C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为 D．记n个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为an，则an＋2＝(n＋1)(an＋an＋1)，n∈N* 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知(1＋mx)(1＋x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6.若a2＝5，则m＝________． 13．将一个4×4正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个红色方格，则有________种不同的染色方法． 14．几何分布是一种离散型概率分布，定义：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的概率，即前k－1次失败，第k次成功的概率，因此试验次数k服从几何分布．现甲参加射击考核，甲每次命中的概率为0.68，考核通过的规则为命中即可获得“通过”，故考核通过的射击次数服从几何分布，若每次射击需要一发子弹，则甲至少需要申请________发子弹才能保证有98%的概率获得“通过”．(参考数据：lg 2≈0.3) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知二项式n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，按要求完成以下问题： (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项； (3)计算式子26＋25＋24＋23＋22＋21＋20的值． 16.(15分)(2025·河北石家庄模拟)为丰富学生的课外活动，某学校羽毛球社团举办羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每名队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.(注：比赛结果没有平局) (1)求甲队明星队员M在前4局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队获得最终胜利的概率； (2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率； (3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率． 17．(15分)(2024·江苏省苏、锡、常、镇四市教学情况调研)我国无人机产业发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭． (1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率． 18.(17分)有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站(出发地)，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷硬币正面向上，棋子向前跳一站，若掷硬币反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或跳到第100站(失败)时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn. (1)求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况写出Pn与Pn－1，Pn－2的递推关系式(n∈N*，2≤n≤99)； (2)求证：数列{Pn－Pn－1}(n＝1，2，3，…，100)为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 19．(17分)某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为Pn. (1)求P2的值，并探究数列{Pn}的通项公式； (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(十八)　计数原理、二项式定理、概率 1．C　2.B　3.A　 4．C　从4名男生、3名女生中选出2名的基本事件有＝21(个)，这2名宣讲员中男、女生各1人所包含的基本事件有＝12(个)，故所求概率为P＝.故选C. 5．D　由题可得，参与志愿服务的项目人数为：2，1，1，1，若没有限制则共有＝240(种)安排方法；当两个女同学在一起有＝24(种)安排方法；当男同学小王、女同学大雅在一起有＝24(种)方法，所以当要求2位女同学不安排一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为240－24－24＝192，故选D. 6．A　在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况；①甲前三局全胜，概率为P1＝3＝；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜，概率为P2＝2×.所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为P＝P1＋P2＝.故选A. 7．D　(x＋y＋2)5＝[x＋(y＋2)]5的展开式中，含xy3的项为y3×2＝40xy3，所以xy3的系数是40. 8．C　因为事件A所含的样本点为：{2，4，6，8}，事件B所含的样本点为：{1，2，3，4}，事件C所含的样本点为：{2，3，5，7}． 因为事件B，C都包含样本点2，3，所以B，C不互斥，故A错误； 因为A∪B所含的样本点为：{1，2，3，4，6，8}，所以P(A∪B)＝，故B错误； 因为事件ABC所含的样本点为：{2}，所以P(ABC)＝，又P(A)＝P(B)＝P(C)＝，所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C). 又事件AC所含的样本点为：{2}，所以P(AC)＝，又P(A)P(C)＝，所以P(AC)≠P(A)P(C)， 所以事件A，C不独立，即A，B，C两两独立错误，所以C正确，D错误．故选C. 9．AC　对于A，令x＝1可得(2－a)7＝1，解得a＝1，故A正确；对于B，二项式系数和为27＝128，故B错误；对于C，7展开式的通项为Tr＋1＝27-r(－1)rx7-2r，第5项即r＝4，所以T5＝·23(－1)4x-1＝，故C正确；对于D，令7－2r＝－5，解得r＝6，所以展开式中x-5的系数为＝14，故D错误．故选AC. 10．BC　由P(B)＝可知P＝1－，又P＝P(A)＋P－P＝可得P＝. 由P(AB)＋P＝P(A)可得P(AB)＝，所以A错误； 由P＋P＝P可得P＝，所以B正确； 由条件概率公式可得P＝，所以C正确； 由P(AB)＋P＝P(B)可得P＝，则P＝，所以D错误．故选BC. 11．ACD　考虑n＋1个同学时的情况，若n＋1个同学都拿到其他同学的卡片，则第n＋2个同学可以与其中任何一个交换卡片，若n＋1个同学只有一个拿到自己的卡片，则第n＋2个同学必须与该同学交换卡片，∴an＋2＝(n＋1)an＋1＋(n＋1)an，故D正确；an＋2－(n＋2)· an＋1＝－[an＋1－(n＋1)an]，∵a1＝0，a2＝1，∴an－nan－1＝(－1)n，∴an＝n！·，代入数据可得a4＝9，∴当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的卡片的概率为，故A正确；当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为，故B错误；甲和乙恰好互换了卡片的概率为，故C正确．故选ACD. 12．解析：因为(1＋mx)(1＋x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中(1＋x)5展开式的通项为Tk＋1＝xk，令k＝1，则T2＝x1＝5x，令k＝2，则T3＝x2＝10x2，所以(1＋mx)(1＋x)5展开式中含x2的项为10x2＋mx·5x＝5x2，故m＝－1. 答案：－1 13．解析：第一行染2个红色方格有种染法．第一行染好后，有如下三种情况：①第二行染的红色方格均与第一行的红色方格同列，这时其余行都只有1种染法；②第二行染的红色方格与第一行的红色方格均不同列，这时第三行有种染法；第四行的染法随之确定；③第二行染的红色方格恰有一个与第一行的红色方格同列，而第一、第二这两行染好后，第三行的红色方格必然有一个与上面的红色方格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行染法随之确定．因此，共有6×(1＋6＋4×2)＝90(种)不同的染色方法． 答案：90 14．解析：设甲申请了n发子弹，则能获得“通过”的概率P＝＝1－0.32n，令1－0.32n≥0.98，即0.02≥0.32n，两边取以10为底的对数，得lg 2－2≥n(5lg 2－2)，即n≥＝3.4，故甲至少需要申请4发子弹． 答案：4 15．解：(1)依题意＝2∶5，即5n＝n(n－1)，解得n＝6. (2)由(1)知n＝6，∴n＝6， ∴Tr＋1＝·(2x)6-r·r＝， 令6－r＝0，得r＝4， ∴展开式中的常数项为·26-4＝60. (3)令x＝1，得26＋25＋24＋23＋22＋21＋20＝36＝729. 16．解：(1)事件B＝“甲乙两队比赛4局，甲队获得最终胜利”， 事件Aj＝“甲队第j局获胜”，其中j＝1，2，3，4，A1，A2，A3，A4相互独立．因为甲队明星队员M前4局比赛中不出场，所以P(Aj)＝，j＝1，2，3，4. B＝A4， 所以P(B)＝4＝. (2)设事件C＝“甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利”，事件D＝“甲队明星队员M在前3局比赛中出场”， 则由全概率公式可知P(C)＝P·P. 因为每名队员上场顺序随机，故P(D)＝， P＝1－， P(C|D)＝2×，P＝3＝， 所以P(C)＝. (3)P(D|C)＝. 17．解：(1)由题知，起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B， 所以P(X＝0)＝3＝；P(X＝1)＝2＝；P(X＝2)＝2×；P(X＝3)＝3＝. 分布列如下：由二项分布的期望公式可得E(X)＝3×. (2)记起火点被无人机击中i次为事件Ai(i＝1，2，3)， 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， 记起火点被扑灭为事件B，则P(B|A1)＝＝＝1.P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝， 所以起火点被无人机击中且被扑灭的概率为. 18．解：(1)棋子开始在第0站是必然事件，∴P0＝1. 棋子跳到第1站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为，∴P1＝. 棋子跳到第2站，有两种情况： ①第一次掷硬币反面向上，其概率为； ②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为. ∴P2＝. 依题意知，棋子跳到第n(n∈N*，2≤n≤99)站有两种情况： 第一种，棋子先跳到第n－2站，又掷出反面，其概率为Pn－2； 第二种，棋子先跳到第n－1站，又掷出正面，其概率为Pn－1. ∴Pn＝Pn－2(n∈N*，2≤n≤99)． (2)证明：由(1)知，Pn＝Pn－2， ∴Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，又P1－P0＝－， ∴数列{Pn－Pn－1}(n＝1，2，…，100)是以－为首项，公比的等比数列． (3)由(2)知，Pn－Pn－1＝－·n-1＝n， ∴P99＝P0＋(P1－P0)＋(P2－P1)＋(P3－P2)＋…＋(P99－P98)＝1＋＋2＋…＋99＝， ∴玩该游戏获胜的概率为. 19．解：(1)记该顾客第i(i∈N*)次摸球抽中奖品为事件A，依题意，P1＝， 所以Pn＝(1－Pn－1)＝－， 所以Pn－， 又P1＝，则P1－≠0， 所以数列{Pn－}是首项为－，公比为－的等比数列，故Pn＝n-1. (2)证明：当n为奇数时，Pn＝＜＜，当n为偶数时，Pn＝，则Pn随着n的增大而减小，所以，Pn≤P2＝. 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 学科网（北京）股份有限公司 $