周测卷(十七) 圆锥曲线的综合应用-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十七)　圆锥曲线的综合应用 1．C　2.C 3．B　因为直线y＝kx(k≠0)过原点，所以设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，故kAD·kBD＝，又所以，则，故kAD·kBD＝－. 4．A　椭圆＝3，∴F(3，0)，＝3，2p＝12，∴抛物线C：y2＝12x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－3)(k>0)．联立消去y，化简整理得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，则x1＋x2＝＋6，x1x2＝9.∵|AF|＝3|BF|，∴x1＋3＝3(x2＋3)，∴x1－3x2＝6，∵x1＋x2＝＋6，∴x1＝6＋，又x1x2＝9，∴k2＝3，∵k>0，∴k＝.因此直线l的方程是＝0.故选A. 5．B　设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)． ∵点B，D都在椭圆C上，∴两式相减，得＝0.∴，即k1k2＝－.∴|k1－4k2|＝＝＝2.当且仅当k1＝±1时取“＝”．故选B. 6．A　如图，连接OB，建立以MO为y轴，以过点M，且平行HH′的直线为x轴的直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝2py，底面圆O的面积为16π，所以|OB|＝4，又|OP|＝2， ∴在△POB中，|PB|＝. 又M为PB中点，故|OM|＝， ∴H，即16＝2p×，∴p＝，故选A. 7．B　由抛物线方程知其焦点为，准线为l：x＝.分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，AC与BD分别交y轴于M，N，则|AM|＝＝＝＝.设AB的中点为E，过E作y轴的垂线，垂足为G，∴|EG|＝＝＋)＝＝4(当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立)，∴线段AB的中点到y轴的距离的最小值为4，故选B. 8．C　设外层椭圆方程为＝1(a>b>0)，则内层椭圆方程为＝λ(0<λ<1)，设过点A的切线方程为y＝k1(x＋a)，k1<0，与＝λ(0<λ<1)联立得－λa2b2＝0，由Δ1＝－4＝0得，设过点B的切线方程为y＝k2x＋b，与＝λ(0<λ<1)联立得x2＋2a2k2bx＋(1－λ)a2b2＝0，由Δ2＝b2－4(1－λ)a2b2＝0得，从而，故，椭圆的离心率为 .故选C. 9．ABD　连接FD，AD(图略)，因为以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|＝|FD|.因为∠ABD＝90°，所以|AB|＝|FA|，AD为圆的直径，所以A，F，D三点共线，故A正确；因为|FA|＝|AB|＝2＝16＝8，故C不正确；因为△ABF的面积为16，所以，可得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，故D正确．故选ABD. 10．BD　由题可知，a＝3，b＝4，所以c＝5，渐近线方程为y＝.若A，B两点都在双曲线的右支上，且直线AB垂直于x轴，则直线AB的斜率不存在，故A错误；若点A在双曲线的右支上，则|FA|min＝c－a＝2，故B正确；当直线AB为实轴时，|AB|＝6，故C错误；若A，B两点都在双曲线的右支上，由|AB|＝11，可得满足条件的直线有2条，若A，B在双曲线的两支上，由|AB|＝11，可得满足条件的直线有2条，则满足|AB|＝11的直线有4条，故D正确．故选BD. 11．BCD　由双曲线的方程，可知|F1F2|＝4，所以a2－b2＝4，故A不正确；由双曲线的定义，可知|AF1|－|AF2|＝2，设切点为B，由内切圆的性质，可得|AF1|－|AF2|＝|F1B|－|BF2|＝2，又|F1F2|＝|F1B|＋|BF2|＝4，所以|F1B|＝3，故△AF1F2的内切圆与x轴相切于点(1，0)，故B正确；因为|F1F2|＝|AF1|，|AF1|－|AF2|＝2，所以|AF2|＝2，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝6，即a＝3，所以C2的离心率为2＝＝12，所以(|AF1|＋|AF2|)2＝＝28，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，所以a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝3，椭圆C2的方程为＝1.故D正确．故选BCD. 12．解析：如图，作BD⊥x轴，垂足为D.直线y＝－(x－a)过点A(a，0)，即过C的右顶点，直线l的倾斜角为，则∠MAO＝∠BAD＝＝a，则|AM|＝2a，|OM|＝＝2|AM|，△MAO ∽△BAD，所以|AD|＝2a，|BD|＝2a，则B，所以＝1，解得2＝，则C的渐近线方程为y＝±x. 答案：y＝±x 13．解析：在椭圆C1：＝1中， 令x＝－y，y＝－x，得曲线C2：＝1， 由解得x2＝y2＝， 因为四边形P1P2P3P4的面积为4，结合对称性，所以4x2＝4， 即x2＝y2＝1，＝1，解得b2＝， 因为点P1位于第一象限，所以P1(1，1)， 对于椭圆C1，由a2＝4，得a＝2，则c＝， 所以椭圆C1的离心率为e＝. 答案：(1，1)　 14．解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则f＝，又＝0.5，所以d＝p，所以A，B，直线BF的斜率k＝，所以tan ，所以tan θ＝. 答案：－ 15．解：(1)设F(c，0)，由题意kAF＝，∴c＝，又离心率，∴a＝2，∴b＝＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，方程可设为y＝kx－2，联立直线与椭圆方程化简得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，由Δ＝16(4k2－3)>0，∴k2>，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝＝＝，坐标原点O到直线l的距离为d＝，S△OPQ＝， 令t＝(t>0)，则S△OPQ＝， ∵t＋≥4，当且仅当t＝，即t＝2时等号成立， ∴S△OPQ≤1， 故当t＝2，即>，∴k＝±时，△OPQ的面积最大， 此时直线l的方程为y＝±x－2. 16．解：(1)因为双曲线的离心率为， 故该双曲线为等轴双曲线， 设方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点，得4－2＝2＝λ，故双曲线C的标准方程为＝1. (2)在直线方程y＝2x＋m中，令y＝0，得D故S△AOB＝， 联立整理得3x2＋4mx＋m2＋2＝0， 由题意得Δ＝16m2－12(m2＋2)＝4m2－24＝0， 故m2＝6， 联立解得yA＝－m； 联立得yB＝. 因此S△AOB＝＝·＝＝2. 17．解：(1)由P(－4，m)是C上一点知16＝2pm，故m＝. 由抛物线定义可知，|PF|＝m＋＝5， 化简得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8， 又因为P位于F的上方，故＞，故p＝2， 故抛物线方程为x2＝4y. (2)由(1)知P(－4，4)，F(0，1)， 显然，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，设点A，B，联立整理得x2－4kx－4＝0， 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 若PF平分∠APB，则，故， 即， 即，即 ＝， 将x1x2＝－4代入，化简得－32x1， 即31(x2＋x1)(x2－x1)－32(x2－x1)＝0， 因为x1≠x2，故31(x2＋x1)＝32， 即31×4k＝32，得k＝，故直线l的方程为y＝x＋1. 18．解：(1)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0， 由动点P(x0，y0)到两条渐近线l1，l2的距离之积为， 则，又2c＝2，即c2＝a2＋b2＝5， 解得a＝2，b＝1，则双曲线的方程为－y2＝1. (2)证明：当直线l的斜率不存在时， 可设直线l的方程为x＝2，可得M(2，－1)，N(2，1)， 则△OMN的面积为×2×2＝2； 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y＝kx＋m， 与双曲线的方程x2－4y2＝4联立，可得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， 直线与双曲线的右支相切，可得Δ＝(8km)2－4(4k2－1)·(4m2＋4)＝0，可得4k2＝m2＋1， 设直线l与x轴交于D，则D， S△M ON＝S△M OD＋S△NOD＝ ＝， 又双曲线的渐近线方程为y＝±x， 联立可得M， 同理可得N， 则S△MON＝· ＝·＝2. 即△MON面积为定值2. 19．解：(1)设椭圆C的方程为λx2＋μy2＝1(λ≠μ，λ＞0，μ＞0)， ∵点和在椭圆C上， ∴解得 ∴椭圆C的标准方程为＝1. 由椭圆方程可知椭圆C的左顶点为(－3，0)， 又F，∴－(－3)＝4，解得p＝2， ∴抛物线Γ的方程为y2＝4x. (2)(ⅰ)证明：当m＝k时，直线l：y＝k(x＋1)，即x＝－1，令＝n，则直线l：x＝ny－1， 由得y2－4ny＋4＝0， 则Δ＝16n2－16＞0，∴n2＞1. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ∴y1＋y2＝4n，y1y2＝4. 设抛物线Γ在点P，Q处的切线方程分别为x＝n1(y－y1)＋x1，x＝n2(y－y2)＋x2， 由得y2－4n1y＋4n1y1－4x1＝0， ∴Δ1＝－16n1y1＋16x1＝0，又＝4x1，则＝16x1， ∴＝4(2n1－y1)2＝0，则2n1＝y1. 同理可得2n2＝y2. 联立两切线方程得将2n1＝y1，2n2＝y2代入，解得∴S(1，2n)， ∴|SP|2＝(x1－1)2＋(y1－2n)2，又x1＝ny1－1， ∴|SP|2＝(ny1－2)2＋(y1－2n)2＝2＝－8ny2＋4n2＋4， ∵， ∴要证|PF|·|SQ|2＝|QF|·|SP|2， 即证y1·|SQ|2＝y2·|SP|2 ∵y1·|SQ|2＝－8ny1y2＋4(n2＋1)y1，又y1y2＝4，∴y1·|SQ|2＝4(n2＋1)(y1＋y2)－32n， 同理可得y2·|SP|2＝4(n2＋1)(y1＋y2)－32n， ∴y1·|SQ|2＝y2·|SP|2， 即|PF|·|SQ|2＝|QF|·|SP|2. (ⅱ)当m＝－2k时，直线l：y＝k(x－2)， 假设存在点T(x0，0)，使得直线MT，NT的倾斜角互补，则直线MT，NT的斜率之和为0. 设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 由得(3k2＋4)x2－12k2x＋12k2－36＝0， Δ2＝(－12k2)2－4(3k2＋4)(12k2－36)＞0，即5k2＋12＞0恒成立， 由根与系数的关系得x3＋x4＝， ∵＝0， ∴k(x3－2)(x4－x0)＋k(x4－2)(x3－x0)＝0， 即2x3x4－(x0＋2)(x3＋x4)＋4x0＝0， ∴－(x0＋2)·＋4x0＝0，即＝0，解得x0＝， ∴假设成立，即存在点T，使得直线MT，NT的倾斜角互补． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(十七)　圆锥曲线的综合应用 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知双曲线E的焦点与椭圆C：＝1的焦点在同一坐标轴上，且E的焦距与C的长轴长相等，记F1，F2是E的两个焦点，点M＝13，则|QF2|＝(　　) A．1 B. 13 C．25 D. 1或25 2．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到抛物线的准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，若点A的最小值是(　　) A． B. 4 C. D. 5 3．已知椭圆＝1，直线y＝kx(k≠0)与椭圆交于A，B两点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线AF2与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为(　　) A．－ B. － C. － D. － 4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F与椭圆＝1的右焦点重合．斜率为k(k>0)的直线l经过点F，且与C的交点为A，B.若|AF|＝3|BF|，则直线l的方程是(　　) A．＝0 B. 4＝0 C．3x－y－9＝0 D. x－3y－3＝0 5．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝kx(k≠0)交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上(与点A，B不重合)．若直线AD，BD的斜率分别为k1，k2，则|k1－4k2|的最小值为(　　) A． B. 2 C. 2 D. 4 6．如图，有一块圆锥体形状的蛋糕，一只蚂蚁要从点H出发经过PB的中点M到H′，若蚂蚁经过的路线为一条抛物线，|PO|＝2，底面圆O的面积为16π，HH′为底面圆O的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A. B. C. D. 7．已知A，B是抛物线y2＝－6x上的两点，且|AB|＝11，则线段AB的中点到y轴的距离的最小值为(　　) A． B. 4 C. D. 5 8．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为(　　) 图①　　　　　　　图② A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为16，则(　　) A．点D，F，A三点共线 B. △ABF是等边三角形 C．|BF|＝4 D. 抛物线C的方程为y2＝8x 10．已知双曲线C：＝1，过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，则下列结论正确的是(　　) A．若A，B两点都在双曲线的右支上，则直线l的斜率大于 B．若点A在双曲线的右支上，则|FA|的最小值为2 C． D．满足|AB|＝11的直线l有4条 11．如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，设C2方程为＝1(a>b>0)，则下列说法正确的是(　　) A．a2＋b2＝4 B. △AF1F2的内切圆与x轴相切于点(1，0) C．若|F1F2|＝ D. 若AF1⊥AF2，则C2的方程为＝1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，直线l：y＝－a与C的右支分别交于点A，B两点，与y轴交于点M，若，C的渐近线方程为________． 13．椭圆C1：＝1与曲线C2关于直线y＝－x对称，C1与C2分别在第一、二、三、四象限交于点P1，P2，P3，P4.若四边形P1P2P3P4的面积为4，则点P1的坐标为________，C1的离心率为________． 14．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位于其焦点上的照射器(馈源，通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通信等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为θ，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线的焦径比等于0.5，那么馈源方向角θ的正切值为________． 图1　　　　　　　图2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆C的焦点，点A(0，－2)，直线AF的斜率为，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)设过点A的直线l与C交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 16．(15分)已知双曲线C的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，已知直线l：y＝2x＋m交l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求△AOB的面积． 17．(15分)(2024·云南师大附中模拟)已知F为抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，P(－4，m)是C上一点，P位于F的上方且|PF|＝5. (1)求C的方程； (2)已知过焦点的直线l交C于A，B两点，若PF平分∠APB，求l的方程． 18.(17分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线C右支上一动点P(x0，y0)到两条渐近线l1，l2的距离之积为. (1)求双曲线C的方程； (2)设直线l是曲线C在点P(x0，y0)处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M，N两点，O为坐标原点，证明：△MON面积为定值，并求出该定值． 19．(17分)(2025·福建漳州质检)已知椭圆C的中心为坐标原点O，对称轴为x轴、y轴，且点和点在椭圆C上，椭圆的左顶点与抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点F的距离为4. (1)求椭圆C和抛物线Γ的方程； (2)直线l：y＝kx＋m(k≠0)与抛物线Γ交于P，Q两点，与椭圆C交于M，N两点． (ⅰ)若m＝k，抛物线Γ在点P，Q处的切线交于点S，求证：|PF|·|SQ|2＝|QF|·|SP|2； (ⅱ)若m＝－2k，是否存在定点T(x0，0)，使得直线MT，NT的倾斜角互补？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $