周测卷(十五) 直线与圆-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十五)　直线与圆 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．过直线x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为(　　) A．3x－2y－1＝0 B. 3x＋2y－5＝0 C．2x－3y＋1＝0 D. 2x－3y－1＝0 2．已知曲线y＝x2－x－2与x轴交于A，B两点，圆M经过A，B，C(2，4)三点，则圆M的方程为(　　) A．x2＋y2－x－4y－2＝0 B. x2＋y2－3x＋2＝0 C．x2＋y2＋2x－4y－8＝0 D. x2＋y2＋x－y－18＝0 3．已知圆C：x2＋2x＋y2－1＝0，直线mx＋n(y－1)＝0与圆C交于A，B两点．若△ABC为直角三角形，则(　　) A．mn＝0 B. m－n＝0 C．m＋n＝0 D. m2－3n2＝0 4．“m＝2”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直”的(　　) A．充要条件 B. 充分不必要条件 C．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线MN的方程为(　　) A．5x－2y－5＝0 B. 2x－5y－5＝0 C．5x－2y＋5＝0 D. 2x－5y＋5＝0 6．若直线x＝2与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，则＝(　　) A．2 B. 4 C. －2 D. －4 7．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光反烛人，则景在日与人之间”．这是我国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy中，一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆x2－6x＋y2＋4y＋9＝0相交所得弦长为2，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－或－ B. － C．－ D. －或－ 8．在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆C1：(x－1)2＋(y＋4)2＝7和圆C2：(x－2z)2＋(y－5)2＝9引切线，切点分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为d1，d2，则d1＋d2的最小值为(　　) A．2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，若△ABC为钝角三角形，则满足条件的实数a的值可能是(　　) A． B. 1 C. 2 D. 4 10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．若a≠0，则点O在圆C外 B．圆C与x轴相切 C．若圆C截y轴所得弦长为4，则a＝1 D．点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2 11．已知点P(2，4)，若过点Q(4，0)的直线l交圆C：(x－6)2＋y2＝9于A，B两点，R是圆C上一动点，则(　　) A． B. P到l的距离的最大值为2 C．的最小值为12－2 D. ＋3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(开放题)写出与圆O：x2＋y2＝1，圆O1：(x－2)2＋(y－2)2＝1都相切的一个圆的方程________． 13．直线y＝与圆D：2＋(y－1)2＝3交于A，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为________． 14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4y＋3＝0，若直线x－ty＋2＝0上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则实数t的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－y＋2＝0均与圆相切． (1)求圆C的标准方程； (2)设点P(0，1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN＝90°，求m的值． 16.(15分)已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． (1)求点M的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积． 17．(15分)已知圆M经过函数y＝x2－6x＋5的图象与坐标轴的3个交点． (1)求圆M的标准方程； (2)若点P为圆N：x2＋(y－2)2＝1上一动点，点Q为圆M上一动点，点A在直线y＝－2上运动，求|AP|＋|AQ|的最小值，并求此时点A的横坐标． 18.(17分)如图，已知⊙C的圆心在原点，且与直线x＋3y＋4＝0相切． (1)求⊙C的方程； (2)点P在直线x＝8上，过点P引⊙C的两条切线PA，PB，切点为A，B. ①求四边形OAPB面积的最小值； ②求证：直线AB过定点． 19．(17分)已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝8，直线l：mx－y－4m＝0与圆C相交的弦长为. (1)求m； (2)过坐标原点O的直线l1，l2关于x轴对称，且分别交圆C于E，F两点(E，F不与原点重合)，证明：线段EF的中点在定直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(十五)　直线与圆 1．C　2.A 3．A　易知圆心C(－1，0)，半径r＝＝|CB|＝＝＝2，设圆心C(－1，0)到直线mx＋n(y－1)＝0的距离为d，由|AB|＝2得d＝1，则d＝＝1，解得mn＝0. 4．B　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直，则2×3＋(m＋1)×(－m)＝0，解得m＝2或m＝－3，所以“m＝2”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直”的充分不必要条件．故选B. 5．A　设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，因为A(5，－2)，B(7，3)，所以且解得x＝－5， y＝－3，m＝，n＝1，即C(－5，－3)，M，N(1，0)，所以MN所在直线方程为，即5x－2y－5＝0.故选A. 6．D　由题意得圆x2＋y2＝4的圆心O(0，0)到直线x＝的距离为d＝，所以＝ ＝2，且△OAB是等腰直角三角形，从而有∠OAB＝，所以＝cos (π－∠OAB)＝－cos ∠OAB＝－4，故选D. 7．A　根据题意，设B与点(2，3)关于y轴对称，则B的坐标为(－2，3)，则反射光线经过点B，且与圆x2－6x＋y2＋4y＋9＝0相交．设反射光线所在直线的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝4，则圆心为(3，－2)，半径r＝2.因为弦长l＝2，所以圆心到反射光线的距离d＝＝1，故d＝＝1，解得k＝或k＝－. 8．D　圆C1：(x－1)2＋(y＋4)2＝7的圆心为(1，－4)，半径r1＝，圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝9的圆心为(2，5)，半径r2＝3.设点P(x0，0)，则d1＋d2＝ ，故d1＋d2表示点(x0，0)到(1，－3)与(2，4)两点的距离之和，当(x0，0)，(1，－3)，(2，4)三点共线时，d1＋d2最小，即d1＋d2的最小值为.故选D. 9．AC　由题意，知圆C的圆心为(1，a)，半径为r＝2，由于△ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则0°<∠CAB<45°，设圆心C到直线l的距离为d，则d＝，则0<sin∠CAB＝<， 且直线l不经过圆心，即a＋a－2≠0，整理可得解得2－<a<2＋，且a≠1.所以a∈∪.故选AC. 10．ABD　对于A，当a≠0时，a2>0，故点O在圆C外，故A正确．对于B，圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－3)2＝9，则圆心为C(a，3)，半径r＝3，显然圆心C到x轴的距离为3，所以圆C与x轴相切，故B正确．对于C，若圆C截y轴所得弦长为4，则4，解得a＝±1，故C不正确．对于D，当a＝0时，圆C：x2＋(y－3)2＝9，所以点O在圆C上，显然点O到圆C上一点的最小距离为0，最大距离为2r＝6，乘积为0＝a2；当a≠0时，由选项A知，点O在圆C外，|OC|＝，所以点O到圆C上一点的最大距离为－r2＝a2＋9－32＝a2.故D正确．故选ABD. 11．ABD　如图，当直线l与x轴垂直时， ＝，所以B正确；设R(6＋3cos θ，3sin θ)，则＝(2，－4)·(4＋3cos θ，3sin θ－4)＝6cos θ－12sin θ＋24， 所以＋24，所以的最小值为24－6＋r＝4＋3，所以D正确．故选ABD. 12．解析：由题意，可得O(0，0)，O1(2，2)，则OO1的中点坐标为(1，1)，根据对称性知，与圆O和圆O1都相切的圆O′的圆心O′在直线x＋y－2＝0上，设O′(2，0)，则圆O′：(x－2)2＋y2＝r2，例如当r＝1，圆O′：(x－2)2＋y2＝1，此时圆O′与圆O和圆O1都相切，满足题意． 答案：(x－2)2＋y2＝1(答案不唯一) 13．解析：如图所示，直线y＝的斜率是，则倾斜角为，则∠1＝α－，∠2＝＋π－β，因为AD＝BD，所以∠1＝∠2，所以α－＋π－β，即α＋β＝π. 答案：π 14．解析：由于圆C的标准方程为x2＋(y－2)2＝1，则圆C的圆心坐标为(0，2)，半径为1.要使直线x－ty＋2＝0上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则只需满足圆C的圆心到直线x－ty＋2＝0的距离d≥2，即d＝≥2，解得t≤0. 答案：(－∞，0] 15．解：(1)设圆心(a，0)，a>0 ，∴圆的半径为r＝a， ∴＝a，解得a＝2. ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由消去y得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0， ∵直线与圆有两个交点， ∴Δ＝4(m－2)2－8m2>0，解得－2－2<m<－2＋2， 且∴又＝0， ∴(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0， 整理得m2＋m－1＝0，解得m＝或m＝. 16．解：圆C：x2＋(y－4)2＝42，故圆心为C(0，4)，半径为4，点P在圆C内部． (1)当C，M，P三点均不重合时，∠CMP＝90°，所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P，C)．线段PC中点为(1，3)，＝，故M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2(x≠2，且y≠2或x≠0，且y≠4)． 当C，M，P三点中有重合的情形时，易求得点M的坐标为(2，2)或(0，4)． 综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆． 由题意知O在线段PM的垂直平分线上，又点P在圆N上，从而ON⊥PM，因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝，即x＋3y－8＝0. 又易得|OM|＝|OP|＝2，点O到l的距离为， |PM|＝2 . 所以△POM的面积为. 17．解：(1)因为函数y＝x2－6x＋5的图象与坐标轴的3个交点分别为B(0，5)，C(1，0)，D(5，0)，根据题意，设圆M的圆心坐标为M(3，b)， 由|MB|＝，解得b＝3，则|MC|＝， 故圆M的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝13. (2)设圆N关于直线y＝－2对称的圆为圆E，则圆E的方程为x2＋(y＋6)2＝1. 设A(x，－2)，则当A，E，M三点共线时，|AP|＋|AQ|取得最小值， 且－1， 此时可得kME＝kAE，即，解得x＝，故点A的横坐标为. 18．解：(1)依题意得：圆心(0，0)到直线x＋3y＋4＝0的距离d＝r， ∴r＝d＝，∴圆C的方程为x2＋y2＝. (2)①连接OA，OB，∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴S四边形OAPB＝2S△OAP＝2×， ∴当|PO|取最小值为8时， (S四边形OAPB)min＝， ②证明：由①得，A，B在以OP为直径的圆上， 设点P的坐标为(8，b)，b∈R， 则线段OP的中点坐标为， ∴以OP为直径的圆方程为(x－4)2＋2＝16＋，即x2＋y2－8x－by＝0. ∵AB为两圆的公共弦， ∴由得直线AB的方程为8x＋by＝，b∈R，即8＋by＝0， 则直线AB恒过定点. 19．解：(1)由题知圆C的圆心为(2，2)，半径为2， 所以圆心到直线l的距离为， 因为直线l与圆C相交的弦长为， 所以2， 解得m＝－2或－. (2)证明：易知点O在圆C上， 又直线l1，l2关于x轴对称，且与圆C相交， 故设直线l1：y＝kx，直线l2：y＝－kx，且k≠±1， 所以E， 同理可得F， 所以线段EF的中点为， 又＝4， 所以线段EF的中点在直线x＋y－4＝0上． 学科网（北京）股份有限公司 $