周测卷(十一) 数列的概念、等差数列、等比数列-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十一)　数列的概念、等差数列、等比数列 1．A　2.A　3.D　 4．C　∵a1＝2，an＋an＋1＋an＋2＝2，∴S2026＝a1＋(a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7)＋…＋(a2024＋a2025＋a2026)＝a1＋675×2＝1352，故选C. 5．C　因为a1＝2，an＋1＝，且bn＝a2n－1，所以a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋3＝7，所以b1＝a1＝2，A错误；b2＝a3＝7，B错误；又a2k＝a2k－1＋2，a2k＋1＝a2k＋3(k∈N*)，故a2k＋1＝a2k－1＋5，即bn＋1－bn＝5，所以{bn}为首项为2，公差为5的等差数列，故bn＝2＋(n－1)×5＝5n－3，所以C正确，D错误． 6．B　依题意a1＞0，q≠0，若q＞0，则an＞0，Sn＞0，此时不存在符合题意的k，所以q＜0.若q＝－1，则Sn＝a1×[1－(－1)n]，当n为正偶数时，Sn＝0，所以存在无穷多个正整数k，使Sk≤0.当－1＜q＜0时，Sn＝(1－qn)，其中＞0，1－qn＞0，所以Sn＞0，此时不存在符合题意的k.当q＜－1时，Sn＝(1－qn)，其中＞0，当n是正偶数时，1－qn＜0，Sn＜0，所以存在无穷多个正整数k，使Sk≤0.综上所述，q的取值范围是(－∞，－1]. 7．B　∵“梦想数列”{an}满足an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，∴由正项数列{bn－1}为“梦想数列”，可得bn＋1－1＋1＝3(bn－1＋1)，即bn＋1＝3×bn，∵b1＝2，∴bn＝2×3n-1，故选B. 8．C　an＝einπ＝cos nπ＋isin nπ＝cos nπ＝ ∴{an}是公比为－1的等比数列，故①正确；a2n＝＝1，，故②正确；S21＝a1＝－1，故③错误；由{an}的通项公式可知an＋2＝an，故④正确．故选C. 9．ABD　由题意＝－1，S1＝32，则数列是以＝32为首项，d＝－1为公差的等差数列，故＝32－(n－1)＝33－n，即Sn＝n(33－n)，而开口向下的二次函数y＝x(33－x)＝－x2＋33x的对称轴为x＝，所以当n＝16或n＝17时，Sn取得最大值，C错误；由Sn＝n(33－n)，得a1＝S1＝32，Sn－1＝(n－1)(34－n)，(n≥2，n∈N*)，所以an＝Sn－Sn－1＝n(33－n)－(n－1)(34－n)＝34－2n，(n≥2，n∈N*)，而a1＝34－2×1＝32，所以an＝34－2n，(n∈N*)，A正确；由Sn＝n(33－n)，得S2＝62，S4－S2＝116－62＝54，S6－S4＝162－116＝46，所以S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，公差为－8，B正确；由Sn＝n(33－n)≥0得0≤n≤33，D正确． 10．ABD　根据题意得an＋1＝4an－3an－1(n≥2)，则an＋1＋kan＝(k＋4)an－3an－1＝(n≥2)，令k＝－，即k2＋4k＋3＝0，解得k＝－1或k＝－3，所以可得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)或an＋1－3an＝an－3an－1(n≥2)，所以数列{an＋1－an}是公比为3的等比数列，故选项A正确；数列{an＋1－3an}为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B正确；由上可得an＋1－an＝1×3n-1，且an＋1－3an＝－1，可得an＝，故选项C错误；Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(30＋31＋…＋3n-1)＋，故选项D正确．故选ABD. 11．AC　观察此数列，可知a2n＝2n2，a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，故A正确，C正确；a19＝a20－20＝180，故B错误；S4＝0＋2＋4＋8＝14≠4×(4－1)，故D错误．故选AC. 12．解析：由题可设等比数列公比为q， 则anq＞an，若an＞0， 则q＞1，此时Sn＞0，不符合题意； 则an＜0，q＜1， 所以an＜0，则an＝－n满足上述条件． 答案：－n 13．解析：a1＝1，a2＝5，当n≥3时，an＝an－1－an－2，所以a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，观察可知，数列{an}是一个周期为6的数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2025＝a6×337＋3＝a3＝4. 答案：4 14．解析：由an＋1＝3an－2有an＋1－1＝3(an－1)，且a1－1＝4－1＝3，故数列{an－1}为首项为3，公比为3的等比数列，可得an－1＝3×3n-1＝3n，不等式k(an－1)≥2n－5可化为k≥，令f(n)＝(n∈N*)，当n∈{1，2}时，f(n)＜0；当n≥3时，f(n)＞0.故当n≥3时，f(n＋1)－f(n)＝，则f(3)＝f(4)＝，当n≥4时，f(n＋1)－f(n)＝－＜0.即f(n＋1)＜f(n)，此时，数列{f(n)}单调递减，综上所述，f(n)≤f(3)＝，可得实数k的最小值为. 答案： 15．解：(1)∵1，a2，a3成等比数列，等差数列{an}的公差d＝2， ∴＝a3，即(a1＋d)2＝a1＋2d，解得a1＝0或a1＝－3. 当a1＝0时，a2＝2，a3＝4，符合题意，则an＝a1＋(n－1)d＝2n－2； 当a1＝－3时，a2＝－1，a3＝1，符合题意，则an＝a1＋(n－1)d＝2n－5. 综上可得，an＝2n－2或an＝2n－5. (2)由等差数列的前n项和公式得S2＝2a1＋2，S6＝6a1＋30，∵S2＋S6>a2a6，∴2a1＋2＋6a1＋30>(a1＋2)(a1＋10)，即(a1＋6)(a1－2)<0， ∴－6<a1<2，故a1的取值范围为(－6，2)． 16．解：(1)若{Tn}为等比数列，根据题意有Tn＝a1a2…an，可得Tn＋1＝a1a2…an＋1，则有＝4，即有an＋1＝4， 又T2＝2，则T1＝a1＝，故有an＝ (2)若{an}为等比数列，设公比为q，则由T2＝2，可得T2＝q＝2， 由T3＝8，可得T3＝q3＝8，解得a1＝1，q＝2， 故有an＝2n-1，则Tn＝a1a2…an＝21+2+…＋(n-1)， 即Tn＝. 17．解：(1)由题得(log3x)2－3(log327＋log3x)＋11＝0， 即(log3x)2－3log3x＋2＝0， 解得log3x＝1或log3x＝2，则x＝3或x＝9. 因为{an}为递增的等差数列， 所以公差d＞0，则a2＝3，a5＝9，公差d＝2. 故an＝2n－1. (2)设bn＝an－12，则bn＝2n－13， 令bn＞0，则n＞， 又n∈N*，则n≥7， 即数列{bn}的前6项为负值，从第7项开始为正值， 所以当n≤6时，|bn|＝13－2n， 则Sn＝＝12n－n2； 当n≥7时，|bn|＝2n－13， 则Sn＝S6＋ ＝36＋ ＝n2－12n＋72， 故Sn＝ 18．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，q>1， 由a2＋a4＝10，a3＝4，可得a1q＋a1q3＝10，a1q2＝4， 即得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)， 故an＝a3qn-3＝2n-1， 由数列{bn}的前n项和为Sn＝，可得b1＝S1＝， 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝适合该式， 故bn＝22n-3. (2)若，故pn－1＝2qn－3， 即2qn－pn＝2，即{2qn－pn}为常数列， 则数列{2qn－pn}的前n项和为2n. 19．解：(1)依题意有：d1≤c2－c1≤d2，d1≤c3－c2≤d2，…，d1≤cn－cn－1≤d2. 将这(n－1)个不等式相加，得(n－1)d1≤cn－c1≤(n－1)d2， 从而c1＋(n－1)d1≤cn≤c1＋(n－1)d2，n≥2，n∈N. (2)数列是类等差数列，理由如下： 法一：因为an＋1＝an－， 所以＝2＝，即. 因为＝an－an＋1＞0，所以an＋1＜an， 则{an}是递减数列，最大项为a1＝. 所以1－2an≥1－2a1＝＞0，an＋1＝an(1－2an)＝an－1(1－2an－1)(1－2an)＝…＝a1(1－2a1)(1－2a2)(1－2a3)·…·(1－2an)＞0， 所以0＜an≤，所以＜0， 所以是递减数列，故其最大项为＝6，且＞＝2， 所以2＜≤6，所以数列是类等差数列． 法二：，又＝an－an＋1＞0，所以an＋1＜an，则{an}是递减数列，最大项为a1＝. 由于数列{an}为递减数列，则{1－2an}为递增数列，且1－2an＞0，所以是递减数列，故其最大项为＝6，所以≤6，又由法一知an＞0，所以＞2，所以2＜≤6，所以数列是类等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(十一)　数列的概念、等差数列、等比数列 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．(2025·江苏无锡模拟)等差数列{an}中，若a2＝1，a6＝13，则公差d＝(　　) A．3 B. 6 C. 7 D. 10 2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4，S3＝S2＋2，则a1＝(　　) A． B. 1 C. D. 2 3．已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a6＝17，S5＝a2a3，则a12＝(　　) A．28 B. 30 C. 32 D. 35 4．若数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＋an＋2＝2(n∈N*)，则其前2026项和为(　　) A．1360 B. 1358 C. 1352 D. 1348 5．(2025·广东东莞调研)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝记bn＝a2n－1，则(　　) A．b1＝3 B. b2＝6 C．bn＋1－bn＝5 D. bn＝6n－4 6．设{an}是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn.若存在无穷多个正整数k，使Sk≤0，则q的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B. (－∞，－1] C. [－1，0) D. (0，1) 7．若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{bn－1}为“梦想数列”，且b1＝2，则bn＝(　　) A．3n－1 B. 2×3n-1 C. 2×3n－4 D. 2×3n-1＋1 8．威廉·邓纳姆曾写道：“如果你想要做加法你需要0，如果你想要做乘法你需要1，如果你想要做微积分你需要e，如果你需要做几何你需要π，如果你想要做复分析你需要i，这是数学的梦之队，他们都在这个方程里．”这里指的方程就是ex＋iy＝ex(cos y＋isin y)，令x＝0，y＝π，则eiπ＝－1，令x＝0，y＝nπ，则einπ＝cos nπ＋isin nπ.若数列{an}满足an＝einπ，Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的个数是(　　) ①{an}是等比数列；②a2n＝；③S21＝1；④an＋2＝an. A．1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设数列{an}的前n项和为Sn，＝－1，S1＝32，则(　　) A．an＝－2n＋34，n∈N* B．S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，公差为－8 C．Sn取得最大值时n＝16 D．Sn≥0时，n的最大值为33 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2，an＋1＝4an－3an－1(n≥2)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an＋1－an}为等比数列 B. 数列{an＋1－3an}为等差数列 C．an＝3n-1＋1 D. Sn＝ 11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．设大衍数列为{an}，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则下列说法正确的是(　　) A．此数列的第20项是200 B. 此数列的第19项是200 C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2 D. 此数列的前n项和Sn＝n(n－1) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(开放题)已知等比数列{an}满足an＋1>an(n∈N*)，且其前n项和Sn<0，则数列{an}的通项公式可以是an＝______________．(写出一个符合条件的即可) 13．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，当n≥3时，an＝an－1－an－2，则a2025＝____________． 14．(2025·山东临沂质检)在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝3an－2，若对于任意的n∈N*，k(an－1)≥2n－5恒成立，则实数k的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知等差数列{an}的公差d＝2，前n项和为Sn. (1)若1，a2，a3成等比数列，求an； (2)若S2＋S6>a2a6，求a1的取值范围． 16.(15分)已知数列{an}，Tn＝a1a2…an，且T2＝2，T3＝8. (1)若{Tn}为等比数列，求an； (2)若{an}为等比数列，求Tn. 17．(15分)设数列{an}为递增的等差数列，若a2和a5为方程(log3x)2－3log3(27x)＋11＝0的两根． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{|an－12|}的前n项和Sn. 18.(17分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝10，a3＝4，数列{bn}的前n项和为Sn，Sn＝. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)若，求数列{2qn－pn}的前n项和． 19．(17分)定义：对于数列{cn}，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数d1，且小于或等于另一个常数d2，则{cn}叫做类等差数列(若d1＝d2＝d，则{cn}是等差数列)． (1)若类等差数列{cn}满足d1≤cn－cn－1≤d2，n≥2，n∈N，c1，d1，d2均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列{cn}的通项不等式(即第n项cn与首项c1及d1，d2的不等式关系，要求写出推导过程)； (2)若数列{an}中，a1＝.判断数列是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $