周测卷(十) 复数、平面向量-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十)　复数、平面向量 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z＝的共轭复数的虚部为(　　) A．2 B. －2 C. 1 D. －1 2．已知△ABC满足，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B. 等边三角形 C．等腰直角三角形 D. 等腰三角形 3．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若＋2＝b＋i，则|z|＝(　　) A． B. 2 C. D. 3 4．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，则a在b上的投影向量为(　　) A． B. C. D. 5．复数z满足|z－(5＋5i)|＝2，则z在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．(2025·河北唐山模拟)已知向量a＝(2，1)，|b|＝＝5，则a与b的夹角为(　　) A． B. C. D. 7．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图(也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形)的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点(E，F点)，则＝(　　) A．9 B. 16 C. 12 D. 11 8．在平面直角坐标系xOy中，已知P(3，4)，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是(　　) A． B. [3，5] C. [4，6] D. [15，35] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2024·安徽摸底大联考)下列说法中正确的是(　　) A．在△ABC中，＝3，＝4，∠C＝30°，则 B．已知a＝(－4，5)，b＝(－2，4)，则|2a－b|＝6 C．已知a＝(1，－1)，b＝(d，1)，a与b的夹角为钝角，则d的取值范围是d<1 D．若＝3(a－b)，则A，B，D三点共线 10．(2024·河南省七校联合教学质量检测)设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r(cos θ＋isin θ)，其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角(也被称为z的辐角)．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫弗发现[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若复数z满足z5＝32，则z可能的取值为(　　) A．2(＋isin) B. 2(＋isin) C．2(＋isin) D. 2(＋isin) 11．点P是△ABC所在平面内一点，且说法正确的是(　　) A．若x＝y＝，则点P是BC的中点 B．若点P是BC上靠近B点的三等分点，则x＝ C．若点P在BC边的中线上且x＋y＝，则点P是△ABC的重心 D．若x＋y＝2，则△PBC与△ABC的面积相等 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，若zz2＝，则复数z＝________． 13．(开放题)已知平面向量a＝，则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为________．(写出满足条件的一个向量即可) 14．如图是构造无理数的一种方法：线段OA1＝1；第一步，以线段OA1为直角边作直角三角形OA1A2，其中A1A2＝1；第二步，以OA2为直角边作直角三角形OA2A3，其中A2A3＝1；第三步，以OA3为直角边作直角三角形OA3A4，其中A3A4＝1；…，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如OA2，OA3，…，则＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(2025·山东滕州一中阶段练)在△OPQ中，，QA与PB相交于点C，设＝b. (1)用a，b表示； (2)过C点作直线l分别与线段OQ，OP交于点M，N(不与端点重合)，设，求μ＋3λ的最小值． 16.(15分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值； (2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标． 17．(15分)已知f(x)＝a·b，其中a＝，b＝(cos x，1)(x∈R)． (1)求f(x)的周期和单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝＝3，求边长b和c的值(b>c)． 18.(17分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C. (1)求角C的大小； (2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·＝18，求c. 19．(17分)已知＝0，M是BC的中点． (1)若＝2与向量的夹角的余弦值； (2)若O是线段AM上的任意一点，且＝2＝2，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(十)　复数、平面向量 1．B　2.D　3.C　 4．C　因为a＝(1，2)，b＝(1，1)，所以cos 〈a，b〉＝. 因为与b方向相同的单位向量为，所以a在b上的投影向量为．故选C. 5．A　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－(5＋5i)|＝2，所以(x－5)2＋(y－5)2＝4，即复数z所对应的点在以(5，5)为圆心，2为半径的圆上，所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限．故选A. 6．D　∵a＝(2，1)，∴|a|＝2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a|·|b|cos 〈a，b〉＋|b|2＝15－＝25，解得cos 〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝，即a与b的夹角为.故选D. 7．D　过C作CG⊥AB，垂足为G，如图建立平面直角坐标系． 因为△ABC是边长为4的等边三角形，所以AG＝2，CG＝4sin 60°＝，所以C(2，0)，A，因为E，F是四等分点，所以E，F，所以＝＝＝11.故选D. 8．D　如图所示，建立直角坐标系．由题意设A(a，0)，B(0，b)，其中0≤|a|≤2，0≤|b|≤2， 所以|AB|＝2⇒a2＋b2＝4， 令a＝2cos θ，b＝2sin θ， 所以A(2cos θ，0)，B(0，2sin θ)， 所以＝(2cos θ－3，－4)， ＝(－3，2sin θ－4)， 所以＝(－3)×(2cos θ－3)＋(－4)×(2sin θ－4)＝－6cos θ＋9－8sin θ＋16＝－10sin (θ＋φ)＋25，tan φ＝， 所以max＝35，min＝15， 所以的取值范围是[15，35].故选D. 9．BD　对于A，∵＝3，＝4，∠C＝30°， ∴＝cos (180°－30°)＝3×4×＝－6，故A中说法错误； 对于B，∵a＝(－4，5)，b＝(－2，4)，∴2a－b＝(－6，6)， ∴|2a－b|＝，故B中说法正确； 对于C，∵a与b的夹角为钝角，∴a与b的数量积小于0且a与b不平行，即a·b＝d－1<0⇒d<1且d≠－1， ∴d∈(－∞，－1)∪(－1，1)，故C中说法错误； 对于D，∵＝3(a－b)， ∴＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，∴共线，∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线，故D中说法正确．故选B、D. 10．BD　设z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r>0， 则z5＝r5(cos 5θ＋isin 5θ)＝32， 故r5cos 5θ＝32，sin 5θ＝0，而cos 5θ>0，故5θ＝2kπ，k∈Z， 故r＝2，z＝2(＋isin)，k∈Z， 故B、D正确，A、C错误；故选B、D. 11．AD　A显然正确；对于B，当x＝时，点P是边BC上靠近C点的三等分点，故B错误；对于C，因为点P在BC边的中线上且x＋y＝，所以点P为BC边的中线的中点，不是重心，故C错误；对于D，设，则，因为＝1，所以点P在直线MN上，所以点P与点A到BC边的距离相等，故△PBC与△ABC的面积相等，故D正确．故选AD. 12．解析：根据复数的几何意义可得z1＝2＋i，z2＝－1＋2i，又zz2＝，∴z＝＝1－2i. 答案：1－2i 13．解析：设b＝(x，y)，∴a·b＝，∴＝x＋y，∴xy＝0，且b为非零向量，∴x＝1，y＝0满足题意，∴b＝(1，0)． 答案：(1，0)(答案不唯一，满足b＝(x，y)，xy＝0且x2＋y2≠0的任意一个均可) 14．解析：由题可知OA2＝＝2，所以，sin ∠A2OA3＝，sin ∠A3OA4＝，所以＝cos (∠A2OA3＋∠A3OA4)＝所以×2×＝2－. 答案：2－ 15．解：(1)∵A，C，Q三点共线，∴设，k∈R，即＝k，∵＝b， ∴＋(1－k)． 由P，C，B三点共线可设＋(1－t)，t∈R， 根据平面向量基本定理知：解得k＝， t＝. ∴． (2)由N，C，M三点共线，设＋(1－x)，则＋(1－x)＝xλb＋(1－x)μa. 又由(1)知，所以故有＝1. 因为0<λ＜1，0＜μ＜1， 所以(μ＋3λ)＝＋2 ，当且仅当λ＝时等号成立， 从而可得μ＋3λ的最小值为. 16．解：(1)因为a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)， 所以a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 因为(a＋kc)∥(2b－a)， 所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－. (2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，因为(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝， 所以 解得或 所以d＝(3，－1)或d＝(5，3)． 17．解：(1)由题意知，f(x)＝2cos2x－sin2x ＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos ， ∴f(x)的最小正周期T＝π. 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为[，kπ＋]，k∈Z. (2)∵f(A)＝1＋2cos ＝－1， ∴cos ＝－1， 又<2A＋<，∴2A＋＝π，∴A＝. ∵＝3，即bc＝6，由余弦定理 得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－3bc， 即7＝(b＋c)2－18，解得b＋c＝5，又b>c， ∴b＝3，c＝2. 18．解：(1)m·n＝sin A cos B＋sin B cos A＝sin (A＋B)， 在△ABC中，A＋B＝π－C，0＜C＜π， 所以sin (A＋B)＝sin C，所以m·n＝sin C. 又m·n＝sin 2C， 所以sin 2C＝sin C，得cos C＝. 又C∈(0，π)，故C＝. (2)由sin A，sin C，sin B成等差数列， 可得2sin C＝sin A＋sin B， 由正弦定理得2c＝a＋b. 因为·＝18， 所以＝18， 即ab cos C＝18，所以ab＝36. 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab， 所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6. 19．解：(1)因为＝0，所以AB⊥AC，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 令＝a，则C(0，a)，B(2a，0)，所以＝(2a，－a)，＝(2a，a)， 设向量与向量的夹角为θ， 所以cos θ＝. (2)因为＝2＝2，所以C(0，1)，B(2，0)，，设O，x∈[0，1]， 所以·＝2＝2·＝2＝(x2－x)＝2－，当且仅当x＝时，取得最小值－. 学科网（北京）股份有限公司 $