周测卷(九) 解三角形-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(九)　解三角形 1．B　2.D　3.B　 4．D　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2BC·AC cos C＝32＋22－2×3×2×＝4，所以AB＝2，因为AB＝BC，所以A＝C，所以cos A＝cos C＝，tan A＝.故选D. 5．C　根据三角形三边关系可得|a－b|＜c＜a＋b，即1＜c＜3，又cos A＝，因为y＝＋x在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以min＝，又1＋＝4，所以c＋＜4，所以≤cos A＜1，则0＜A≤，故≤B＋C＜π. 6．A　由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，得AD＝20，在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝，在△ABD中由余弦定理得AB＝＝.故选A. 7．A　因为a3＋b3＝c3，所以c>a，c>b，两边同除以c3，得3＋3＝1，因为0<<1，0<<1，所以2＋2>1，所以a2＋b2>c2.即cos C＝>0，所以C为锐角，又C为最大角，所以此三角形是锐角三角形．故选A. 8．A　设AB＝AC＝2m，BC＝2n，由于∠ADB＝π－∠CDB，在△ABD和△BCD中应用余弦定理可得：，整理可得：m2＝9－2n2，结合勾股定理可得△ABC的面积：S＝BC× ＝6，当且仅当n2＝2时等号成立．则△ABC面积的最大值为6.故选A. 9．ACD　在△ABC中，根据余弦定理，得cos ∠BAC＝，即b2＋a2＝c2，所以C＝－1＝，解得cos∠CAD＝.在Rt△ACD中，AC＝AD cos ∠CAD＝，故A正确；在Rt△ABC中，cos ∠BAC＝，解得AB＝6，故B错误；，则，故C正确；在△ABD中，由cos ∠BAD＝，得sin ∠BAD＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin ∠BAD＝，故D正确．故选ACD. 10．BC　对于A，由于a＝3，b＝3，B＝30°，由正弦定理，得sin A＝，由于0°<A<180°，所以A＝60°或120°，故A错误；对于B，当A>B时，a>b，由正弦定理，得sin A>sin B，故B正确；对于C，若<cos A，则c<b cos A，故2c2<2bc cos A，结合余弦定理，整理得a2＋c2<b2，故△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若a＝，b＝3，c2＋ab＝a2＋b2，利用余弦定理可得ab＝2ab cos C，解得cos C＝，因为0°<C<180°，所以C＝60°，所以S△ABC＝＝，故D错误．故选BC. 11．BC　sin B＝sin C，则b＝c，取c＝1，则b＝，又因为a＝2，故a2＝b2＋c2，△ABC是直角三角形，A错误；设c＝x，则b＝x，cos B＝，sin B＞0，S＝×2x sin B＝x，当x＝2时，S最大为，B正确；A＝C时，a＝c＝2，则b＝，所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.设内切圆的半径为r，则×2×2×sin r×，解得r＝2－3，C正确；若△ABC为锐角三角形，则b2＜a2＋c2，即3c2＜4＋c2，解得c＜，且a2＜b2＋c2，即4＜4c2，解得c＞1，故c∈，D错误． 12．解析：因为a＝b，A＝2B，所以根据正弦定理得sin A＝，且sin A＝sin 2B＝2sin B cos B，又sin B≠0，所以cos B＝. 答案： 13．解析：在△APO中，由余弦定理可知AP2＝OP2＋OA2－2·OA·OP·cos ∠AOP，即49＝OP2＋9－×2×3·OP，可得OP＝5.由题可知OQ＝BQ＋OB＝AP＋OA＝10，∴x＝PQ＝OQ－OP＝10－5＝5. 答案：5 14．解析：由正弦定理得sin C sin A＋sin B＝sin C cos A＋sin A，所以sin C sin A＋sin (A＋C)＝sin C cos A＋sin A，所以sin C sin A＋sin A cos C＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin C＋cos C＝，即sin ＝，因为C∈(0，π)，所以C＋∈，所以C＋，所以C＝，在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以a＋b≤8，故△ABC周长的最大值为8＋4＝12. 答案：12 15．解：(1)因为cos 2B＝cos (A＋C)，所以2cos2B－1＝－cosB，即(2cos B－1)(cos B＋1)＝0. 因为0<B<π，所以cos B＝，则B＝. (2)因为a sin A＋c sin C＝6sin B， 所以由正弦定理得，a2＋c2＝6b＝18. 又根据余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得32＝18－ac，所以ac＝9， 所以(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝18＋18＝36，则a＋c＝6，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝9. 16．解：(1)由b－c cos A＝2a cos B cos C， 根据余弦定理得b－c·＝2a cos B·，即＝2cos B·， 因为C≠，所以≠0，所以cos B＝，又0＜B＜π，所以B＝. (2)由(1)及余弦定理知cos B＝，所以a2＋c2－b2＝ac， 又b2＋3c2＝12－5ac， 所以a2＋c2－(12－3c2－5ac)＝ac，化简得a2＋4ac＋4c2＝(a＋2c)2＝12， 因为a＞0，c＞0，所以a＋2c＝2. 因为2≥a·2c，当且仅当a＝2c＝，即a＝时取等号，所以ac≤，所以△ABC的面积S＝ac sin B＝，即△ABC面积的最大值为. 17．解：选择条件①： 由余弦定理得cos C＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. 结合a＋b＝4，c＝2，c2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 可得ab＝4， 所以a＝2，b＝2， 因此存在满足条件的△ABC，S△ABC＝ab sin C＝. 选择条件②： 由正弦定理得， 所以sin A＝＝1， 又A∈(0，π)，所以A＝，所以b2＋c2＝a2. 由解得a＝， 所以存在满足条件的△ABC，S△ABC＝bc sin A＝. 选择条件③： 因为cos ＝sin C＝2sin cos ， 又cos ≠0，所以sin ，因此C＝. 由余弦定理可得c2＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab， 得ab＝12， 从而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×12＝－8，显然不成立， 因此，不存在满足条件的△ABC. 18．解：(1)在△AMN中，由余弦定理得， MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cos 120°＝3＋3－2×＝9，所以MN＝3，所以线段MN的长度为3千米． (2)设∠PMN＝α，因为∠MPN＝60°， 所以∠PNM＝120°－α， 在△PMN中，由正弦定理得， . 所以PM＝2sin (120°－α)，PN＝2sin α， 因此PM＋PN＝2sin (120°－α)＋2sin α ＝2cos α＋)＋2sin α ＝3sin α＋3cos α＝6sin (α＋30°)． 因为0°<α<120°，所以30°<α＋30°<150°. 所以当α＋30°＝90°，即α＝60°时，PM＋PN取到最大值6. 所以两条观光线路PM与PN之和的最大值为6千米． 19．解：(1)证明：由题意知，则CD＝a. 在△ABD中，sin ∠BAD＝，在△ACD中，sin ∠CAD＝， 又， 所以， 即6AD＝2a，所以AD＝a. (2)在△ABD中，由余弦定理得cos ∠ADB＝，在△ACD中，由余弦定理得cos ∠ADC＝. ∠ADB＋∠ADC＝180°，则∠ADB＝180°－∠ADC， 即，整理可得a2－b2＝2c2. 在△ABC中，由余弦定理得cos A＝， 即－，所以c＝b， 所以a2－b2＝6b2，即a＝b，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(九)　解三角形 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在△ABC中，2a cos A＝b cos C＋c cos B，则A＝(　　) A． B. C． D. 2．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于(　　) A． B. C. 或 D. 或 3．已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A＝120°，2b＝a＋c，且a－b＝4，则b＝(　　) A．6 B. 10 C. 12 D. 16 4．在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cos C＝，则tan A＝(　　) A． B. C. D. 5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，则B＋C的取值范围为(　　) A． B. C. D. 6．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(　　) A．20海里 B. 40海里 C. 20海里 D. 40海里 7．已知△ABC的三边a，b，c满足：a3＋b3＝c3，则此三角形是(　　) A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 8．在等腰△ABC中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则△ABC的面积的最大值是(　　) A．6 B. 12 C. 18 D. 24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝c cos A，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos ∠BAC＝，以下结论正确的是(　　) A．AC＝ B. AB＝8 C． D. △ABD的面积为 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列命题正确的是(　　) A．若a＝3，b＝3，B＝30°，则A＝60° B．若A>B，则sin A>sin B C．若<cos A，则△ABC为钝角三角形 D．若a＝，b＝3，c2＋ab＝a2＋b2，则△ABC的面积为3 11．(2025·河北联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，sin B＝sin C，则(　　) A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC面积的最大值为 C．当A＝C时，△ABC的内切圆的半径为2－3 D．若△ABC为锐角三角形，则c∈ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos B＝________． 13．曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB按顺时针方向旋转角α时，P和Q之间的距离是x，若OA＝3，AP＝7，α＝120°，则x的值是__________． 14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c sin A＋c cos A＋a，c＝4，则△ABC周长的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos 2B＝cos (A＋C)，a sin A＋c sin C＝6sin B. (1)求B； (2)求△ABC的周长． 16.(15分)(2025·黑龙江大庆实验中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b－c cos A＝2a cos B cos C，其中C≠. (1)求角B； (2)若b2＋3c2＝12－5ac，求△ABC面积的最大值． 17．(15分)在①a2＋b2－c2＝ab，②a sin B＝b，cos ＝sin C这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的△ABC存在，求出其面积；若不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＝4，c＝2，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 18.(17分)如图所示，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过3千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM＝千米，AN＝千米． (1)求线段MN的长度； (2)若∠MPN＝60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值． 19．(17分)(2024·河北石家庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝150°，点D满足，且. (1)求证：AD＝a； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $