周测卷(八) 三角函数的图象与性质-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(八)　三角函数的图象与性质 1．C　2.B　3.D　 4．D　f(x)＝sin x＋cos x＝2sin ， 将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得y＝2sin 的图象， 再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得y＝2sin ＝2sin 的图象，由y＝2sin 的图象关于y轴对称得－3θ＝kπ＋(k∈Z)，即θ＝－π(k∈Z)．又θ＞0，故当k＝－1时，θ取得最小值.故选D. 5．B　因为|y|＝()|sin ωx|(0≤x≤2π)过点，代入可得2＝(＝，所以＝1，所以sin ＝±1，解得＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝4k＋2(k∈Z)，由图象可知|y|上下对称，f(x)＝sin ωx的周期T＝×4＝π，所以ω＝2，k＝0，所以|y|＝()|sin 2x|(0≤x≤2π)．因为点M到y轴的距离为，即x＝， 当x＝＝(＝·＝.所以点M到x轴的距离为.故选B. 6．B　将函数f(x)＝sin 的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝＝sin . 若x1，x2使得f(x1)g(x2)＝－1，则f(x1)＝1，g(x2)＝－1或f(x1)＝－1，g(x2)＝1， 不妨设f(x1)＝1，g(x2)＝－1， 则2x1－＝2k1π＋＝2k2π＋，k1∈Z，k2∈Z，即2x1＝2k1π＋，2x2＝2k2π＋2φ＋＋π，两式作差得2(x1－x2)＝2(k1－k2)π－π－2φ， 即(x1－x2)＝(k1－k2)π－φ－. ∵，且0<φ<， ∴当k1－k2＝1时取最小值，此时＝， ∴φ＝，故选B. 7．B　设f(x)的最小正周期为T，因为函数f(x)在内单调递减，所以T，即≤2. 因为直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴， 所以ω·＋φ＝kπ＋，k∈Z①. 因为函数y＝f＝sin 是奇函数， 所以＋φ＝mπ，m∈Z②. 由①－②可得，ω＝4(k－m)＋2，k∈Z，m∈Z，而|ω|≤2，所以|ω|＝2. 当ω＝2时，将其代入②式得＋φ＝mπ，m∈Z，得φ＝mπ－，m∈Z， 因为－＜φ＜，所以φ＝－， 即f(x)＝sin ， 当x∈时，2x－∈，显然此时函数f(x)单调递减．又y＝f＝sin 2x为奇函数，故ω＝2符合题意． 所以f＝sin ＝sin . 当ω＝－2时，将其代入②式得－＋φ＝mπ，m∈Z，得φ＝mπ＋，m∈Z，因为－＜φ＜，所以φ＝， 即f(x)＝sin ＝－sin ， 当x∈时，2x－∈， 显然此时函数f(x)不单调递减，不符合题意． 综上，f＝. 8．C　由f(x)在上单调，即，可得T≥，则ω≤9.∵x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为T×(2k－1)，k∈N*.要求ω 最大，则周期最小，∴(2k－1)×，则T＝，∴ω＝2k－1.当ω＝9时，由|φ|≤，则φ＝－，可得f(x)＝cos ，易知f(x)在上递减，在上递增，不合题意；当ω＝7时，由|φ|≤，则φ＝，可得f(x)＝cos ，易知f(x)在上递减，在上递增，不合题意；当ω＝5时，由|φ|≤，则φ＝－，可得f(x)＝cos ，易知f(x)在上递减，符合题意，故选C. 9．CD　f(x)＝sin x－cos x＝sin ，g(x)＝cos x＋sin x＝sin ，所以函数f(x)的值域与g(x)的值域相同，A错误；把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，并不是函数g(x)的图象，故B错误；易知选项C，D都正确．故选CD. 10．BC　由图知，f(x)min＝－1，所以A＝1，因为，所以T＝π，即＝π，得ω＝2. 所以f(x)＝sin (2x＋φ)． 又f＝sin ＝0，所以π＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝－π＋kπ，k∈Z.又，所以φ＝， 所以f(x)＝sin . 对于选项A，f＝sin ＝0≠±1，故A错误． 对于选项B，令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z， 所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z，故B正确． 对于选项C，－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为[＋kπ，]，k∈Z，故C正确． 对于选项D，g(x)＝sin [＋]＝sin ，故D错误．故选BC. 11．CD　根据所给定义得到f(x)的解析式， 当x＜－π时，x＋π＜0，sgn (x＋π)＝－1，f(x)＝－sin x－cos x＝－sin ， 当x＝－π时，x＋π＝0，sgn (x＋π)＝0，f(x)＝cos 0＝1， 当x＞－π时，x＋π＞0，sgn (x＋π)＝1，f(x)＝sin x－cos x＝sin ， 即f(x)＝ 作出f(x)的部分图象，如图所示， 由图可得，f(x)不是周期函数，故A错误； 由图可知，f(x)在上的值域为，故B错误； 由图可知，f(x)在上单调递减，故C正确； 令g(x)＝2f(x)－1＝0，得f(x)＝，由图可知，在[－3π，2π]上，f(x)的图象与直线y＝只有5个交点，所以g(x)＝2f(x)－1在[－3π，2π]上有5个零点，故D正确．故选C、D. 12．解析：将函数f(x)＝tan 的图象向右平移s(s>0)个单位长度后，得到函数g(x)＝tan 的图象，因为g(x)的图象经过点，所以＝，所以＋kπ，k∈Z，解得s＝，k∈Z，令k＝0，得s＝. 答案：(答案不唯一) 13．解析：由于|f(x1)－f(x2)|＝1－(－1)＝2，∴f(x1)，，可得最小正周期为，而T＝，∴ω＝3，则f(x)＝sin ，令2kπ＋≤2kπ＋(k∈Z)，x∈(k∈Z)，∵x∈，∴x∈. 答案： 14．解析：由题意可知，将函数g(x)图象上的点向右平移个单位长度，可得f(x)的图象与x轴负半轴的一个交点，又f(x)的图象与x轴正半轴的一个交点为，所以解得所以f(x)＝，g(x)＝sin [＋]＝cos ，故g(0)＝. 答案： 15．解：(1)f(x)＝2sin (π－x)cos x－2sin2x＋＝2sinx cos x－2＝sin 2x＋cos 2x＝2(sin 2x＋＝2sin ， 则f＝2sin [＋]＝0. (2)由(1)可知f(x)＝2sin ， 则最小正周期T＝＝π. 由x∈，得2x＋∈，令t＝2x＋， 则g(t)＝2sin t， g(t)在上单调递减，在上单调递增， 则当t＝，即x＝π时，f(x)max＝f(π)＝. 16．解：(1)由题知f(x)的最小正周期T＝＝2·＝π，所以ω＝2. 又f＝sin ＝±1，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z， 又0＜φ＜π，所以φ＝，f(x)＝sin . 令2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，得f(x)的单调递增区间为[，kπ＋](k∈Z)， 令2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，得f(x)的单调递减区间为[，kπ＋](k∈Z)． (2)由题可知g(x)＝sin ， 当x∈(0，π)时，2ax＋∈(，2aπ＋)． 由g(x)在(0，π)恰有两个极值点， 可知＜2aπ＋， 解得a的取值范围为. 17．解：(1)由题图可知，A＝2. 又f(0)＝1，所以2sin (ω·0＋φ)＝1，即sin φ＝， 又，所以φ＝. 因为f＝0，所以2sin ＝0，结合题图可知ω·＝2kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z， 又T>，所以0<ω<，所以ω＝2， 所以f(x)＝2sin . (2)由题意，得g(x)＝2sin . 令－＋2kπ≤4x＋＋2kπ，k∈Z， 解得－，k∈Z. 因为g(x)在区间[－t，t]上单调递增， 所以 解得t≤，所以实数t的最大值为. 18．解：(1)函数f(x)＝2sin x sin ＋cos 2x＝2sin x·cos x＋)＋cos 2x＝sin x cos x＋sin2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin ＋. 令2kπ－≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 因为x∈， 所以函数f(x)的单调递增区间是. 因为x∈，则2x＋∈， 所以sin ∈， 所以f(x)min＝0，f(x)max＝. (2)因为g(x)＝f(x)－a有且仅有一个零点，所以f(x)＝a有且仅有一个实根， 即函数y＝f(x)与y＝a有且仅有一个交点，如图所示： 由图象知，a＝或a∈[0，1)，所以实数a的取值范围是[0，1). 19．解：(1)由f＝f得f(x)＝f(x＋π)，所以f(x)的周期为π. 由f(a－x)＝f(x＋a)，a∈R，得f(x)的图象关于直线x＝a对称． 2×，所以y＝sin 的图象关于直线x＝对称， 又y＝sin 的最小正周期为＝π，所以函数y＝sin 是“M型函数”． (2)令g(x)＝ln x＝0，得x＝1. 因为g(x)是定义域为R的奇函数，所以g(x)的零点为－1，0，1. 令F(x)＝g(h(x)－m)＝0，则h(x)－m＝－1或0或1，即h(x)＝m－1或m或m＋1. 画出h(x)在上的图象，如图所示． 由h(x)为“M型函数”得h(x)的图象关于直线x＝对称，可画出h(x)在上的图象． 由h(x)为“M型函数”得h(x)的周期为π，可画出h(x)在上的图象． 所以函数F(x)在上的零点个数等于h(x)在上的图象与直线y＝m＋1，y＝m，y＝m－1的交点个数之和． 由图象可知，只有当0＜m－1＜1，即1＜m＜2时，h(x)在上的图象与直线y＝m＋1，y＝m，y＝m－1的交点个数之和为9.故m的取值范围为(1，2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(八)　三角函数的图象与性质 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数f(x)＝sin2x＋cos的最小正周期是(　　) A． B. C. π D. 2π 2．已知函数f(x)＝2sin x＋1，若f(x－φ)为偶函数，则φ的一个值为(　　) A． B. C. D. 3．为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2cos 图象上所有的点(　　) A．向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4．已知函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值为(　　) A． B. C. D. 5．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们称它为葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它对应的方程为|y|＝()|sin ωx|(0≤x≤2π)，其中记[x]为不超过x的最大整数，且过点P，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为，则点M到x轴的距离为(　　) A． B. C. D. 6．将函数f(x)＝sin 的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)的图象，若x1，x2使得f(x1)g(x2)＝－1，且，则φ＝(　　) A． B. C. D. 7．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(＜φ＜)在内单调递减，直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，且函数y＝f为奇函数，则f＝(　　) A．－ B. C. － D. 8．已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　) A．3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数f(x)＝sin x－cos x，g(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的值域与g(x)的值域不相同 B．把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象 C．函数f(x)和g(x)在区间上都单调递增 D．若x0是函数f(x)的极值点，则x0是函数g(x)的零点 10．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列结论中正确的是(　　) A．直线x＝－是函数f(x)的图象的一条对称轴 B．函数f(x)的图象关于点，k∈Z对称 C．函数f(x)的单调递增区间为[＋kπ，]，k∈Z D．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝sin 的图象 11．(2025·辽宁朝阳联考)设符号函数sgn (x)＝已知函数f(x)＝sgn (x＋π)sin x＋cos (x＋π)，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)在上的值域为 C．f(x)在上单调递减 D．函数g(x)＝2f(x)－1在[－3π，2π]上有5个零点 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(开放题)将函数f(x)＝tan 的图象向右平移s(s>0)个单位长度后，所得图象经过点，则s的可能取值是________．(写出满足条件的一个值即可) 13．已知函数f(x)＝sin ＝2时，，则函数f(x)在上的单调递减区间为________． 14．函数f(x)＝sin (ωx＋φ)与函数y＝g(x)的部分图象如图所示，且函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象向右平移个单位长度得到，则φ＝________，g(0)＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝2sin (π－x)cos x－2sin2x＋. (1)求f； (2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在区间上的最大值． 16．(15分)已知直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)图象两条相邻的对称轴． (1)求f(x)的解析式和单调区间； (2)保持f(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的(a＞0)倍，得到函数y＝g(x)的图象．若g(x)在区间(0，π)内恰有两个极值点，求a的取值范围． 17.(15分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间[－t，t]上单调递增，求实数t的最大值． 18．(17分)已知函数f(x)＝2sin x sin ＋cos 2x，x∈. (1)求f(x)的单调递增区间和最值； (2)若函数g(x)＝f(x)－a有且仅有一个零点，求实数a的取值范围． 19．(17分)(2025·河南南阳模拟)若函数f(x)满足f＝f，且f(a－x)＝f(x＋a)，a∈R，则称f(x)为“M型a函数”． (1)判断函数y＝sin 是否为“M型函数”，并说明理由； (2)已知g(x)为定义域为R的奇函数，当x＞0时，g(x)＝ln x，函数h(x)为“M型函数”，当x∈时，h(x)＝2cos 2x.若函数F(x)＝g(h(x)－m)(m∈R)在上的零点个数为9，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $