周测卷(七) 任意角的三角函数、基本关系式、诱导公式及三角恒等变换-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(七)　任意角的三角函数、基本关系式、 诱导公式及三角恒等变换 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．平面直角坐标系中，角α的终边经过点P，则cos ＝(　　) A． B. C. D. 2．如图①是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图②是会徽的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若＝2，则＝(　　) 图①　　　　图②　 A．1 B. 2 C. 3 D. 4 3．已知cos ＝，则sin ＝(　　) A．－ B. C. － D. 4．已知0<α<<β<π，且sin α＝，cos (β－α)＝，则β＝(　　) A． B. C. D. 5．若0<α<π，则＝(　　) A．sin α B. cos α C. －sin α D. －cos α 6．如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为α.若一个扇形的圆心角为α，弧长为10，则该扇形的面积为(　　) A． B. C. D. 7．(2025·山东泰安模拟)若cos －4sin2α＝－2，则tan2α＝(　　) A．－2 B. － C. 2 D. 8．已知sin (π－α)－cos (π＋α)＝，且<α<π，则sin α－cos α＝(　　) A． B. － C. D. － 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个等式正确的是(　　) A．tan 25°＋tan 20°＋tan 25°tan 20°＝1 B．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝45 C．cos4－sin4 D. ＝4 10．已知tan α－tan β＝tan (α－β)，其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)，则下列结论一定正确的是(　　) A．sin αsin β＝0 B. sin (α－β)＝0 C．cos (α－β)＝1 D. sin2α＋cos2β＝1 11．已知α，β∈，sin(α＋β)＝sin αsin β，则(　　) A．tan αtan β≥4 B. tan α＋tan β≥4 C．＝1 D. －≤tan (α＋β)<－1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点P(－2，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________． 13．(2024·江苏南京、盐城一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________． 14．已知圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，如图所示．这个矩形面积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P. (1)求sin (α＋π)的值； (2)若角β满足sin (α＋β)＝，求cos β的值． 16.(15分)已知＜α＜，sin ＝－. (1)求cos α的值； (2)若0＜β＜，cos ＝，求cos (2α＋β)的值． 17．(15分)已知函数f(x)＝sin ＋x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知cos (β－α)＝，cos (β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0. 18.(17分)已知函数f(x)＝cos2x＋sinx cos x，x∈R. (1)求f的值； (2)若sin α＝，且α∈，求f. 19．(17分)如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是. (1)求cos (α－β)的值； (2)求2α－β的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(七)　任意角的三角函数、基本关系式、 　　　诱导公式及三角恒等变换 1．D　2.C　3.B　 4．D　因为sin α＝，且0<α<<β<π，所以0<β－α<π，因为cos (β－α)＝，所以0<β－α<，所以cos α＝，sin(β－α)＝，所以cosβ＝cos [(β－α)＋α]＝cos (β－α)cos α－sin (β－α)·sin α＝，因为<β<π，所以β＝.故选D. 5．B　∵0<α<π，∴0<<， ∴ ＝ ＝ ＝cos2－sin2＝cosα，故选B. 6．D　∵时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为α，∴α＝，∵扇形的圆心角为α，弧长l＝10，设其半径为r，∴10＝αr＝·r，∴r＝，∴该扇形的面积S＝，故选D. 7．C　因为cos ＝－sin 2α， 所以－sin 2α－4sin2α＝－2，即sin2α＋2(1－cos 2α)＝2，所以sin 2α－2cos 2α＝0，所以tan 2α＝＝2(cos 2α≠0)．故选C. 8．C　sin (π－α)－cos (π＋α)＝sin α＋cos α＝，平方得(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝1＋2sinαcos α＝，∴2sin αcos α＝，∴＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝1－2sinαcos α＝∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝.故选C. 9．AD　∵tan (25°＋20°)＝＝1，∴tan 25°＋tan 20°＋tan 25°tan 20°＝1，故A正确；设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，则S＝cos289°＋cos288°＋cos287°＋…＋cos21°，而sin2α＋cos2α＝1，故2S＝89即S＝，故B错误；cos4－sin4＝(＋sin2)(－sin2)＝cos2－sin2＝，故C错误；＝4，故D正确，故选AD. 10．BD　因为tan α－tan β＝tan (α－β)，其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)， 所以tan α－tan β＝＝tan (α－β)，所以sin (α－β)＝0或cos (α－β)＝cos αcos β， 即sin (α－β)＝0或sin αsin β＝0. 因为α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)， 所以sin αsin β≠0，所以sin (α－β)＝0， B正确，A错误； 因为sin (α－β)＝0，所以α－β＝nπ，n∈Z， 所以cos (α－β)＝±1，C错误； 因为α－β＝nπ，n∈Z，所以sin2α＋cos2β＝sin2(nπ＋β)＋cos2β＝sin2β＋cos2β＝1，D正确． 11．ABD　由sin(α＋β)＝sin αsin β，得sin αcos β＋cos αsin β＝sin αsin β，等号两边同时除以cos αcos β，得tan α＋tan β＝tan αtan β，又α，β∈，所以tan α>0，tan β>0，所以tan αtan β＝tan α＋tan β≥(当且仅当tan α＝tan β时等号成立)，即tan αtan β≥4，所以tan α＋tan β≥≥4，故A，B正确；假设＝1，则＝1，即－1＋tan α＋tan β＝1，即tan αtan β＋＝2，所以tan αtan β＝1，与tan αtan β≥4矛盾，假设不成立，故C错误；tan (α＋β)＝，由tan αtan β≥4，得0<，所以－≤tan (α＋β)<－1，故D正确．故选ABD. 12．解析：因为P(－2，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝，所以(y<0)，解得y＝4(舍去)，或y＝－4. 答案：－4 13．解析：由题可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β，所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β， 所以sin ＝sin ， 因为α，β∈，所以α＋∈，β＋∈， 又α≠β，所以α＋＝π，故α＋β＝， 所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－， 两边平方后得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝，故sinαcos α＝， tan α＋tan β＝tan α＋. 答案： 14．解析：设∠AOC＝α，0°≤α≤60°，扇形AOB的半径为1，圆心角为60°，所以CF＝OC sin α＝sin α，EF＝OF－OE＝cos α－＝cos α－，所以矩形CDEF的面积S＝sin α＝sin αcos α－sin2α＝－sin 2α＋cos 2α－sin 2α＋)－sin (2α＋30°)－.∵0°≤α≤60°，∴30°≤2α＋30°≤150°.∴当2α＋30°＝90°，即α＝30°，即C为AB弧的中点时，S取最大值. 答案： 15．解：(1)由角α的终边过点P， 得sin α＝以sin (α＋π)＝－sin α＝. (2)由角α的终边过点P，得cos α＝－， 由sin (α＋β)＝，得cos (α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. 16．解：(1)因为＜α＜，所以－α∈， 又sin ＝－，所以cos ＝. 所以cos α＝cos [－] ＝cos cos ＋sin sin ＝. (2)由(1)，得sin α＝， 所以cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－， sin2α＝2sin αcos α＝， 因为0＜β＜，所以＋β∈， 又cos ＝，所以sin ＝， 所以cos β＝cos [－]＝cos cos ＋sin sin ，sin β＝. 所以cos (2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β ＝. 17．解：(1)∵f(x)＝sin ＋cos ＝sin ＋sin ＝2sin ， ∴T＝2π，f(x)的最小值为－2. (2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝， cos βcos α－sin βsin α＝－， 两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0<α<β ≤，∴β＝， ∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0. 18．解：(1)f＝cos2＋sin cos ＝2＋. (2)因为f(x)＝cos2x＋sinx cos x＝ ＝(sin 2x＋cos 2x)＝sin ， 所以f＝sin ＝sin ＝sin α＋. 又sin α＝，且α∈，所以cos α＝－， 所以f＝ ＝. 19．解：(1)由题意知，OA＝OM＝1，因为S△OAM＝OA·OM·sin α＝，所以sin α＝，又角α为锐角，所以cos α＝.因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋. (2)因为sin α＝，cos α＝，cos (α－β)＝－，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－，所以sin (2α－β)＝sin [α＋(α－β)]＝sin α·cos (α－β)＋cos αsin (α－β)＝＋＝－.因为角α为锐角，sin α＝＞，所以α∈，所以2α∈，又β∈，所以2α－β∈，所以2α－β＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $