周测卷(六) 导数的综合应用-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(六)　导数的综合应用 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex＋ln 2x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线斜率为(　　) A． B. C. 1－e D. e＋1 2．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)＞0的解集为(　　) A．∪(2，＋∞) B. ∪ C．(－∞，0)∪ D. (－1，0)∪(1，3) 3．已知函数f(x)＝ax2－bx(a＞0，b＞0)的一个极值点为1，则ab的最大值为(　　) A．1 B. C. D. 4．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹、恵更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数： f(x)＝c＋acosh(e为自然对数的底数)．当c＝0，a＝1时，记p＝f(－1)，m＝，n＝f(2)，则p，m，n的大小关系为(　　) A．p＜m＜n B. n＜m＜p C. m＜p＜n D. m＜n＜p 5．(2025·广东四校联考)若函数f(x)＝x2＋3x＋1＋kex恰有两个零点，则实数k的取值范围为(　　) A． B. (e2，＋∞) C．[0，e2) D. ∪{0} 6．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若在R上有f(x)＞f′(x)恒成立，且f(1)＝e(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝1 B. f(0)＜1 C. f(2)＜e2 D. f(2)＞e2 7．设0＜x＜1，则a＝，b＝2，c＝的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜a＜b D. b＜a＜c 8．已知函数y＝a－2ln x的图象上存在点M，函数y＝x2＋1的图象上存在点N，且M，N关于x轴对称，则a的取值范围是(　　) A．[1－e2，－2] B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数f(x)＝－x2ln x，则(　　) A．f(x)≤0恒成立 B. f(x)是(0，＋∞)上的减函数 C．f(x)在x＝处取得极大值 D. f(x)只有一个零点 10．(2024·邢台六校联考)已知函数f(x)及其导数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若为偶函数，g为奇函数，则(　　) A．f＝0 B. g＝0 C. g(1)＋g(2)＝0 D. g＋g＝0 11．已知方程ax－2x ln x＝x2＋3(a∈R)有两个不同的根x1，x2，若x1＜x2，则(　　) A．a∈(4，＋∞) B. x1＜1＜x2 C．ln x1＋ln x2－1＞ln 2 D. x1x2＞1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)＞2的解集为________． 13．已知x＝x1，x＝x2分别是函数f(x)＝－x2＋aex(a∈R)的极小值点和极大值点，若x1≤，则a的取值范围为________． 14．(2024·河南省重点高中高三九师联盟)已知定义域均为D的函数f(x)，g(x)，若∀x∈D，f(x)≥ax＋b≥g(x)，则称直线y＝ax＋b为曲线y＝f(x)和y＝g(x)的隔离直线．若f(x)＝x2＋x－x ln x－3(x≥1)，g(x)＝－x2＋4x－4(x≥1)，则曲线y＝f(x)和y＝g(x)的隔离直线的方程为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝ex－1－ax. (1)当a＝1时，求证：f(x)≥0； (2)当x≥0时，f(x)≥x2，求实数a的取值范围． 16.(15分)已知关于x的函数f(x)＝ax－ln x－(1＋ln 2)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当n∈N*时，ln (1×2×3×…×n)＜n2－n ln 2. 17．(15分)(2025·河北衡水中学调研)已知函数f(x)＝ex－a sin x－1. (1)若a＝1，讨论函数g(x)＝在的单调性； (2)若a＝－3，证明：当x＞0时，f(x)＜ex＋x＋1－2e-2x. 18.(17分)已知函数f(x)＝＋b ln x－a，g(x)＝aex-1＋ln x－a，h(x)＝f(x)－g(x)． (1)求f(x)的单调区间； (2)若b＝1，且f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：h(x)有唯一零点(记为x0)，且x1＋x2＞2x0. 19．(17分)已知函数f(x)＝ex－(x－a)2(x＞0)，e为自然对数的底数． (1)讨论函数f(x)的极值点个数； (2)当函数f(x)存在唯一极值点x0时，求证：a＋＜x0＜－4a. 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 周测卷（六）导数的综合应用 1.A2.A3.D 4.C 由题意知，)=芒，f)=芒=器，当x>0时，f>0, 即函数)在区间(0，+∞)上单调递增，-1)=老=1,0<克<1<2， f(告)≤1)<2)，即m<p<n,故选C. 5.C由题意知方程x2+3x十1十ex=0, 即21=k有两个不同的解， 即y=1的图象与直线y=k有两个交点. 记g=2，则g)=2=+2， 当x<一2时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 当一2<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x>1时，g(x)>0,g(x)单调递增 所以当x=一2时，函数g(x)有极大值e2, y=k -20 5， y=g(x) 当x=1时，函数g()有极小值一 又x一→-∞时，g(x)<0,且g(x)→-∞；x→+∞时，g(x)<0,且g(x)→0， gx)的大致图象如图所示， 由图可知k∈[0，e)U{}时，函数f)恰有两个零点.故选C 6.C设g)=g,则g'=®，又)>fe)在R上恒成立，所以 g)=型<0在R上恒成立，所以函数g)=四在R上单调递减，则g 2)<g(1,即g<=1,所以2)<2.故选Cc 7.B设=号，则f)=型，当xe0,1)时，fc<0,则在0， 1)止为减函数，：2<2，e2<e2,则管<票=（苦）2，故b>c又0 <x2<x<1,x2>),则>是，故c>a,所以a<c<b,故选B. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.A因为函数y=x2+1与函数y=一x2一1的图象关于x轴对称，所以根 据已知得函数y=a一2lnx(告≤x≤e)的图象与函数y=一x2-1的图象有交点， 即方程a-2nx=-x2-1在[是，e]上有解，即a=2nx-x2-1在[日，e]上有解。 令g)=2nx-2-1,x∈[日，e],则g)=是-2x=2登=22，所以g在 [音，1]上单调递增，在1，e]上单调递减，故当x=1时，gw)取得最大值g(1)= -2.由于g(日)=-3-意，g(e)=1-e2,且-3-意>1-e2,所以1-e2≤a≤ -2.故选A. 9.CD.x)=一x21nx,∴.该函数的定义域为(0，+∞)，f(x)=-2xlnx一x =一x(2nx+1).当0<x<e时，f(x)>0,此时函数x)单调递增，当x>e时， f(x)<0,此时函数x)单调递减，在区间(0，十∞)内x)有唯一的极大值也是最 大值，x)max=f(e)=-eilne=亮，故B选项错误，C选项正确；当0 <x<1时，lnx<0,此时fx)=一x2lnx>0,A选项错误；由x)=-x2nx=0,可 得1nx=0,解得x=1,当x→0+时，x)→0，当x→+∞时，x)→一∞，f (m=京>0，故D选项正确.故选CD, 10.BCDf是-2x)为偶函数，∴.可得f号-2x)=f(号+2x),号-x) =f(号+x),)的图象关于直线x=是对称，设)=sin(一元x)十1，则f(号) =2≠0，故选项A错误；：g(克+x)为奇函数，g(告-x)=一g(克+x),· 函数gx)的图象关于点（克，0）对称，g(是)=0，故选项B正确；x)的图象 关于直线x=是对称，∴（号-x)=f(号+x),且-f(是-x)=f(号+x),f1) +f2)=0,即g)十g2)=0,故选项C正确：易知f()+f(3)=0,∴g() 十g()=0,故选项D正确.故选BCD 11.ABD方程ax-2xlnx=x2+3(a∈R)等价于方程x+是+2lnx一a=0, 设x)=x+是+2nx-a,x>0, 则f)=1-是+是=43-1+超 当x∈(0,1)时，fx)<0,x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f(x)>0,x)单调递增， 则xmn=1)=4一a,因此需满足1)<0，即a>4, 当a>4时，2a)=2a+是+2n(2a)-a=a+是+2n(2a)>0, ◆独家授权侵权必究 画学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 f台)=吉+3a-2lna-a=+2(a-lna)>> 由以上分析可知，当a>4时，x)分别在（合，1），(1,2)上各有一个零点， 故A正确； 令g)=)-()=是-2x+4nx≥0)，则gw)=2s≤0，且不恒为0， 因此g(x)在(0，十∞)上单调递减，易知g(1)=0,由A易知0<x<1<x2, 则gx2)<0,即2)<f(意)成立，又)=2)=0，则x)<f(意)，因此 >克，即12>1，故B,D正确； 若lnx+lnx2-1>ln2,即ln(x2)>ln2+1=ln(2e),则1x2>2e,而此式 不一定成立，故C错误.故选A、B、D 12.解析：令g(w)=)-1=e*-ex-2x,定义域为R,且g(-x)=e-x- e*+2x=一g(x),所以g(x)=x)-1=e-e-x-2x为奇函数，2x-3)十x)>2 变形为2x-3)-1>1-),即g(2x-3)>-gx)=g(-x).因为g'(x)=e+ex-2 ≥2We.ex-2=0,当且仅当ex=ex,即x=0时，等号成立，所以gx)=f (x)一1=ex一ex-2x在R上单调递增，所以2x一3>一x,解得x>1,所以不等 式的解集为(1，+∞) 答案：(1，十∞) l3.解析：x)=-x2+ae(a∈R),fx)=-x十ae,由fx)=0,得a =章，令gx)=章，则g(w)=等，当x=1时，g'(w)=0,当x∈(-∞，1)时，g '(x)>0,当x∈(1，+∞)时，g'(w<0,∴gmx=g(1)=吉，∴.当0<a<时，f （ae1=X1, 的=0有两个不等实根，0<<1<)“当=号时，ae=2, 得a =竖，若≤兰，则0<a≤受 答案：(0，] 14.解析：由f1)=1+1-0-3=-1,g(1)=-1+4-4=-1, 故曲线y=孔x)和y=gx)的隔离直线过点(1，一1)， 设该隔离直线的方程为y=(x一1)一1， 则有(x一1)一1≥一x2+4x一4，显然当x=1时，不等式恒成立， 当心1时，k≥3在(1，十©)上恒成立，即k≥243=s=3-x, 1 1 1 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com雪 您身边的互联网+教辅专家 即k≥2， 亦有(x-1)-1≤x2+x-xlnx-3,即x-lnx+受+(1-)≥0在1，+∞) 上恒成立， 令h)=x-lnx+经+I-),x∈L,十o),则H=1-京-经=x2 令x2-x一k-2)=0,则x=+48_h47 2 2 由k≥2，故=7≤0，舍去， 2 若级7 >1,即心2时， 当x∈(1，h)时，0，当x∈（±，+0）时，N0, 则在(1， 上单调递减，在 【中，+)上单调递增， 即m=(中堡)1)）0，不符合要求，放舍去： 若h47=1,即k=2时， 有h(x)≥0在x∈[1，+∞)上恒成立，则h(x)在1，十∞)上单调递增， 故h(x)≥h(1)=0,符合要求. 综上所述，k=2,即y=2(x-1)-1=2x-3. 答案：y=2x-3 15.解：(1)证明：当a=1时，x)=ex一1-x,定义域为R, 则f(x)=ex一1， 由fx)>0,得x>0,由f(x)<0,得x<0, 所以x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 所以0是w)的极小值点，也是)的最小值点，即f(x)im=0)=0,所 以x)≥0 (2)由fx)≥x2(x≥0)，得ax≤ex-1-x2, 当x=0时，上述不等式恒成立， 当x>0时，a≤，令g)=6>0), 则g0）=（c-2x1x型=1X 由(1)可知，当x>0时，e-x一1>0， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以由g(x)<0,得0<x<1,由g'(x)>0,得x>1, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以1是g(x)的极小值点，也是g(x)的最小值点， 即g(x)min=g(1)=e-2,所以a≤e-2, 所以实数a的取值范围为（一∞，e一2]： 16.解：(1x)定义域为(0，+∞)， 且由fx)=ax-lnx-(1+n2),得fx)=a-袁， 当a≤0时f()<0,x)在(0，+∞)上单调递减， 当a>0时，f)=袋1-， .当x>}时，fx)>0,即x)在（音，+∞）上单调递增； 当0<x<时，f)<0,即w)在(0，吉)上单调递减 (2)证明：由(1)知，当a=2时，)在(0，)上单调递减，在（号，+∞）上 单调递增， 故x)≥f号)=0，即有1nx≤2x-1-ln2, .ln1<2-1-ln2=1-ln2, ln2<4-1-ln2=3-ln2, ln3<6-1-ln2=5-ln2, In n<2n-1-In 2, 以上各式相加得ln1+ln2+ln3+…+nn<[1+3+5+…+(2n-1)]-nn 2, 即ln(1×2×3×…×n)<n2-nln2.(n∈N* 17.解：(1)当a=1时，g)=1-m±， 则g'(w)=一oin过 2coxx+1 当-受<x<0时，g()<0,g)弹调递减； 当0<x<钙时，g()>0,gx)单调递增. 所以gx)在(-受，0)上单调递减，在(0，西)上单调递增. ◆独家授权侵权必究 色学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)证明：只需证3sinx一x-2<-2e2x, 即证(3sinx-x-2)e2x<-2. F(x)=(3sin x-x-2)e2x, F(x)=(6sin x-2x+3cos x-5)e2x. 令h(x)=x-sinx,h'(x)=1-cosx≥0， 所以h(x)在(0，十∞)上单调递增， 所以h(x)>h(0)=0,即x>sinx, 所以F'(x)=(6sinx-2x+3cosx-5)e2x <(6sin x-2sin x++3cos x-5)e2x -(4sin x+3cosx-5)e2x =[5sin(x+p)-5]e2x≤0， 其中p满足sinp=寻，cosp=青 故Fx)在(0，十∞)上单调递减，则F(x)<F(O)=一2. 故原不等式得证， 18.解：(1w的定义域为0，十∞)，f)=-京+是= x2 ①若b≤0，则f(x)<0,x)的单调递减区间为(0，+∞)，无单调递增区间. ②若b>0,由f)<0,得0<x<吉，由)>0，得x>言，故)的单调递 减区间为(0，)，单调递增区间为（号，+∞） (2)证明：由b=1,结合(1)知x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递 增， .x)有两个不同的零点x1,x2,不妨设x1<x2, ∴.0<x1<1<x2,且f1)=1-a<0,即a>1, :h(x)=是-aex-l, 在(0，+o)上h()=-意一ael<0, ∴h()在(0，十∞)上是减函数且图象连续不断，又h(合)= a-ae-1=a(1-e-1)>0,h(1)=1-a<0, .h(x)有唯一零点0且<xo<1,则2x0<2, 要证明x1十x2>2xo,只需证明x1+x2>2,只需证明2>2一x1,.x)在(1， +∞)上单调递增，x2,2-1∈(1，+∞)，∴.只需证明x2)>2一1)，.x1)=f ·独家授权侵权必究 画学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)=0,.只需证明x)>2-x),只需证明)-2-x)>0,令p()=f (x)一2一x),只需证明p(x1)>0=(1),只需证明9(x)在(0,1)上单调递减， 1)2 :f)=是，∴当0<x<1时，p)=f6)+f2-)=-子<0，即 在(0,1)上单调递减， .x1+x2>2x0 19.解：(1)令g(x)=f(x)=ex-2x+2a,则g'(x)=ex-2 当0<x<ln2时，g'(x)<0,fx)单调递减，当x>ln2时，g'(x)>0,f(x)单 调递增， 所以fx)≥fn2)=2(1-ln2+a). 当a≥ln2-1=ln时，fx)≥0在(0，+∞)上恒成立，此时x)无极值点. 当a<ln2-1=ln时，fn2)<0,f(0)=e0-2×0+2a=1+2a. 若-号<a<ln,则1十2a>0,f2)=e2-4+2a>0,所以f6w)在0，ln2), (m2,2)上各有一个零点，即x)有两个极值点.若a≤-，则1十2a≤0，当x →十∞时，fx)→十∞，所以fx)在(0，十∞)上有一个零点，即x)有一个极值 点 综上：当a≤-专时，fw)有一个极值点；当-支<a<ln时，x)有两个极 值点；当a≥ln时，x)无极值点. (2)证明：由(1)知)存在唯一极值点o时，a≤-专，f()=e0一2xo十 2a=0, 所以a=空，则要证a叶<0，只需证 X-空+n<X0,即证sinx-er1<0, 对于y=x一sinx,x∈(0，+∞)，y'=1一cosx≥0，即y=x-sinx在x∈(0， 十∞)上单调递增， 所以y=x一sinx>0,即x>sinx在x∈(0，+∞)上恒成立； 对于y=x-e-l,x∈(0，+∞)，y=1一e-l,在(0,1)上y'=1一e-1>0,在(1， +∞)上y'=1-e-1<0, 所以y=x一e-1在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，故y=x一e-l ≤0，即x≤el在x∈(0，十∞)上恒成立. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 综上，el≥x>sinx在x∈(0，十∞)上恒成立，故sin xo一e0-1<0成立. 要证xo<-4a,即证2e0-5xo>0. 令h(x)=2e-5x,x∈(0，+∞)，则h'(x)=2ex-5 当0<x<ln时，h'x)<0,h(x)单调递减；当x>n号时，h(x)>0,h()单 调递增 所以hw)≥h(ln)=5(1-ln)=5m号>0，即2e-5x>0在x∈(0，+ ∞)上恒成立. 综上，a十<o<-4a ◆独家授权侵权必究