周测卷(五) 导数的简单应用-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(五)　导数的简单应用 1．C　2.D　3.D　 4．A　由题意知：f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，∴f(x)在[－3，－1)上单调递增，在[－1，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，∴f(x)极大值＝f(－1)＝1，f(x)极小值＝f(1)＝－3.又f(－3)＝－19，f(2)＝1，∴M＝1，N＝－19，∴M－N＝1－(－19)＝20，故选A. 5．D　因为h′(x)＝f′(x)－g′(x)，令h′(x)＝0，解得x＝x1，x＝x2，x＝x3，由图象可知：h(x)在(x1，x2)上单调递增，在(x2，x3)上单调递增，则x2非极值点，h(x)在(x1，x3)上单调递增，h(x)的极大值点为x3，极小值点为x1，故选D. 6．A　函数f(x)＝(x＋2)ex－m有两个零点，等价于直线y＝m与g(x)＝(x＋2)ex的图象有两个交点．g′(x)＝(x＋3)ex.则当x＜－3时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x＞－3时，g′(x)＞0，g(x)单调递增， 则＝g(－3)＝－，又x→＋∞时，g(x)→＋∞，x→－∞时，g(x)→0，所以m的取值范围为. 7．C　求导得f′(x)＝2mx－cos x，则f′(x)≤0在上恒成立，即m≤min，令g(x)＝，x∈，则g′(x)＝－，设h(x)＝x sin x＋cos x，x∈，则h′(x)＝x cos x＜0，故h(x)在单调递减，h(x)＜h(π)＝－1＜0，即当x∈时，g′(x)＞0恒成立，g(x)在上单调递增，g(x)＞g(π)＝－，即m≤－，故m的最大值为－. 8．C　选项A：当x＞0时，x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，∴f(x)＞1恒成立，∴1是f(x)的一个下界，A正确． 选项B：f′(x)＝ln x＋1(x＞0)，∴当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)≥f＝－，f(x)有下界．又当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于＋∞，∴f(x)无上界．综上所述，f(x)＝x ln x 有下界，无上界，B正确． 选项C：∵x2＞0，ex＞0，∴＞0，∴f(x)有下界，C错误． 选项D：∵sin x∈[－1，1]，∴.又≤1，∴－1＜＜1，∴f(x)既有上界又有下界，即f(x)有界，D正确． 9．AD　f(x)＝，则f′(x)＝，所以当x＞0 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＜0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误．根据f(x)的单调性，画出函数f(x)与y＝－x＋2的图象如图①所示． 图① 图② 由图①可知，函数f(x)与y＝－x＋2的图象只有一个交点，故C错误．画出函数f(x)与y＝的图象如图②所示．由图②可知，函数f(x)与y＝的图象有两个交点，则函数g(x)＝f(x)－有两个零点，故D正确．故选AD. 10．ABD　 设圆台的上底面的圆心为O1，下底面的圆心为O，点A为上底面圆周上任意一点，圆台的高为h，连接OO1，O1A，OA，则h＝OO1＝，所以V＝(r2＋2r＋4)(0＜r＜2)．当r＝1时，V＝×(1＋2＋4)×π，故A正确；V′＝，设f(r)＝－3r3－4r2＋4r＋8，则f′(r)＝－9r2－8r＋4，由f′(r)＝0可得9r2＋8r－4＝0，解得r1＝＝0，当r∈(0，r0)时，f(r)＞0，即V′＞0，当r∈(r0，2)时，f(r)＜0，即V′＜0，所以V＝(r2＋2r＋4)在(0，r0)上单调递增，在(r0，2)上单调递减，故B，D正确，C错误．故选ABD. 11．ABD　令f(x)＝ln x－，则f′(x)＝，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，当x＞e时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故＝f(e)＝ln e－＝0.由f(2)＝ln 2－＜0，得ln 2＜，故A正确；f(3)＝ln 3－＜0，得ln 3＜，故B正确；f(π)＝ln π－＜0，得ln π＜，故C错误；对于D，令g(x)＝，则g′(x)＝，当0＜x＜e时，g′(x)＞0，当x＞e时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．由e＜3＜π，得g(3)＞g(π)，即＞，化为＞，故D正确．故选ABD. 12．解析：求导得f′(x)＝ex＋1，由切线与直线l垂直，且l的斜率为－，可知切线斜率k＝＋1＝2，则x0＝0，f(x0)＝2，故所求切线方程为y－2＝2x，即y＝2x＋2. 答案：y＝2x＋2 13．解析：f′(x)＝x2－1，令f′(x)＝0可得x＝－1或1，所以当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0，当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，且f(－1)＝，f(1)＝－，由此可知定义域可以是[－1，1](答案不唯一)． 答案：[－1，1](答案不唯一) 14．解析：若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，则ln x－a＜x2在(1，＋∞)上恒成立，即ln x－x2＜a在(1，＋∞)上恒成立．设h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝，当x＞1时，h′(x)＜0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，则h(x)＜h(1)＝ln 1－1＝－1，则a≥－1，即实数a的取值范围为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 15．解：f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2. (1)当x变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)   －  故x＝－2时，函数取得极大值，x＝2时，函数取得极小值－. (2)当x在[0，4]上变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表： x 0 (0，2) 2 (2，4) 4 f′(x) － 0 ＋ f(x) 4  －  故x＝4时，函数取得最大值， x＝2时，函数取得最小值. 16．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当m＝0时，f(x)＝－1，则f′(x)＝，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)因为对任意的x∈(0，＋∞)，f(x)≥0恒成立， 即m≥恒成立． 令g(x)＝，则g′(x)＝， 令h(x)＝x＋ln x，则h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为h＝－1＜0，h(1)＝1＞0， 所以存在x0 ∈，使得h(x0)＝x0＋ln x0＝0， 当x∈(0，x0)时，h(x)＜0，g′(x)＞0，g(x)单调递增； 当x∈(x0，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＜0，g(x)单调递减， 由x0＋ln x0＝0，得x0＝－ln x0，则. 所以g(x)max＝g(x0)＝＝1， 所以m≥1，故m的最小值为1. 17．解：(1)由f(x)＝xex－ax，得f′(x)＝(1＋x)ex－a， ∵x＝0是函数f(x)的极小值点， ∴f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1. 当a＝1时，f(x)＝xex－x，f′(x)＝(1＋x)ex－1，令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝(x＋2)ex，由h′(x)＞0，得x＞－2，则f′(x)在(－2，＋∞)上单调递增，而f′(0)＝0， ∴当x∈(－2，0)时，f′(x)＜0， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴f(x)在(－2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴x＝0是函数f(x)的极小值点，满足题意，∴a＝1. (2)∵y＝f(x)在R上是增函数， ∴f′(x)≥0在R上恒成立， ∴a≤(1＋x)ex在R上恒成立． 令g(x)＝(1＋x)ex，则g′(x)＝(x＋2)ex， 当x∈(－∞，－2)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减， 当x∈(－2，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增， ∴g(x)有极小值也是最小值，为g(－2)＝－， 故a≤－，即实数a的取值范围是. 18．解：(1)f(x)有两个零点，证明如下： 当a＝－1时，f(x)＝ex－cos x＋x2， f′(x)＝ex＋sin x＋2x， 令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝ex＋cos x＋2＞0， 所以f′(x)在R上单调递增， 又f′(0)＝1＞0，f′(－1)＝e-1－sin 1－2＜0， 所以存在x0∈(－1，0)，使得f′(x0)＝0， 所以f(x)在(－∞，x0)上单调递减， 在(x0，＋∞)上单调递增． 因为f(0)＝0，f(x0)＜f(0)＝0， f(－1)＝e-1－cos 1＋1＞0，所以f(x)有两个零点． (2)因为g(x)＝f(x)－x，所以g(x)＝ex－cos x－ax2－x， 所以g′(x)＝ex＋sin x－2ax－1，g′(0)＝0. 令m(x)＝g′(x)，则m′(x)＝ex＋cos x－2a， 令n(x)＝m′(x)，则n′(x)＝ex－sin x， 当x∈时，ex＞0＞sin x， 当x∈时，ex＞1＞sin x，又n′(0)＝1＞0， 所以当x∈时，n′(x)＞0， 即m′(x)在上单调递增． 若m′(0)＝0，则a＝1，所以当x∈时，m′(x)＜0，当x∈时，m′(x)＞0，所以g′(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以当x∈时，g′(x)≥g′(0)＝0， 所以g(x)在上单调递增， 所以x＝0不是函数g(x)的极值点． 若a＞1，则m′(0)＜0，此时若m′＞0， 则存在x1∈，使得m′(x1)＝0， 若m′≤0，取x1＝， 则当x∈时，m′(x)＜0， 所以g′(x)在上单调递减， g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表： x 0 (0，x1) g′(x) ＋ 0 － g(x) 单调递增 极大值 单调递减 故x＝0是函数g(x)的极大值点，不符合题意． 若a＜1，同理可得x＝0是函数g(x)的极小值点，不符合题意． 综上，a的值为1. 19．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， 当a≤0时，f′(x)＜0在(0，＋∞)恒成立，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞，f(x)单调递增；令f′(x)＜0，得0＜x＜，f(x)单调递减， 综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)不妨设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＞2(x1－x2)， 即f(x1)－2x1＞f(x2)－2x2， 令g(x)＝f(x)－2x，只需g(x)在(0，1)上单调递减， 令g′(x)＝f′(x)－2＝－2≤0， 所以a≤＋2x在(0，1)上恒成立， 因为y＝2x＋在上单调递减，在上单调递增，所以2x＋， 所以a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(五)　导数的简单应用 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2，则f(2)＝(　　) A．－2 B. C. 6 D. 14 2．已知函数f(x)＝－4x，则函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．－6x＋y－5＝0 B. －6x＋y＋5＝0 C．6x＋y＋5＝0 D. 6x＋y－5＝0 3．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B. x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D. x＝－1为f(x)的极小值点 4．已知函数f(x)＝x3－3x－1在区间[－3，2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝(　　) A．20 B. 18 C. 3 D. 0 5．已知定义在(a，b)上的函数f(x)和g(x)的导函数f′(x)、g′(x)的图象如图所示，g′(x)的图象在x2处与f′(x)的图象相切，则关于函数h(x)＝f(x)－g(x)的判断正确的是(　　) A．在区间(x1，x2)上先增后减 B. x2为极小值点 C．在区间(x1，x3)上单调递减 D. 有1个极大值点，1个极小值点 6．已知函数f(x)＝(x＋2)ex－m有两个零点，则m的取值范围是(　　) A． B. C．(0，＋∞) D. (－∞，0) 7．函数f(x)＝mx2－sin x在上单调递减，则m的最大值为(　　) A．－ B. C．－ D. 8．若存在m，使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界；若存在M，使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．则下列说法错误的是(　　) A．1是函数f(x)＝x＋(x＞0)的一个下界 B. 函数f(x)＝x ln x有下界，无上界 C．函数f(x)＝有上界，无下界 D. 函数f(x)＝有界 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(x)有极大值，没有极小值 B. f(x)有极小值，没有极大值 C．函数f(x)与y＝－x＋2的图象有两个交点 D. 函数g(x)＝f(x)－有两个零点 10．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r(0＜r＜2)，设圆台的体积为V，则下列说法中正确的是(　　) A．当r＝1时，V＝ B. V存在最大值 C．当r在区间(0，2)内变化时，V逐渐减小 D. 当r在区间(0，2)内变化时，V先增大后减小 11．已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是(　　) A．ln 2＜ B. ln 3＜ C. ln π＞ D. ＞ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数f(x)＝ex＋x＋1的图象在点(x0，f(x0))处切线与直线l：x＋2y－3＝0垂直，则该切线方程为________． 13．已知函数f(x)＝x3－x的值域为，则f(x)的定义域可以是________．(写出一个符合条件的即可) 14．已知函数f(x)＝ln x－a，若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝x3－4x＋4. (1)求函数f(x)的极值； (2)求函数f(x)在区间[0，4]上的最大值和最小值． 16.(15分)已知函数f(x)＝mex－－1. (1)当m＝0时，求f(x)的单调区间； (2)若对任意的x∈(0，＋∞)，均有f(x)≥0，求实数m的最小值． 17．(15分)已知函数f(x)＝xex－ax(a∈R)． (1)若x＝0是函数f(x)的极小值点，求实数a的值； (2)若y＝f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围． 18.(17分)(2024·辽宁省实验中学期中)已知函数f(x)＝ex－cos x－ax2. (1)若a＝－1，判断函数f(x)的零点个数，并证明； (2)若x＝0不是函数g(x)＝f(x)－x的极值点，求实数a的值． 19．(17分)(2025·贵州名校联考)已知函数f(x)＝a ln x＋－1. (1)求f(x)的单调区间； (2)若对任意x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，均有＜2，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $