周测卷(四) 函数图象、函数与方程及其应用-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(四)　函数图象、函数与方程及其应用 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知定义域为[0，1]的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(－x＋1)的图象是(　　) 　 2．已知函数f(x)＝，那么在下列区间中含有零点的为(　　) A． B. C. D. (1，2) 3．叶广泥是一种相对新兴的有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它有微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此是除甲醛的一种新材料，用来除甲醛基本上立竿见影．经研究发现，叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是Q＝2log2，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m为多少个单位(　　) A．2 B. 2log2 C. 160 D. 6 4．函数y＝(2x－2－x)sin x在区间[－π，π]上的图象大致为(　　) 5．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0 B. 1 C. 2 D. 3 6．(2024·河南省信阳市教学质量检测)荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把(1＋1%)365看作是经过365天的“进步值”，(1－1%)365看作是经过365天的“退步值”，则大约经过多少天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍(参考数据：lg 101≈2.0043，lg 99≈1.9956)(　　) A．100 B. 230 C. 130 D. 365 7．(2025·广东潮州测试)已知函数f(x)＝＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　) A．(2，8) B. (－8，4) C．(－6，0) D. (－6，8) 8．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动．点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N共线时其面积为零)，则点M第一次到达点A时，y＝f(t)的图象为(　　) 　　 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是(　　) A．x＝10时费用之和有最小值 B. x＝45时费用之和有最小值 C．最小值为850万元 D. 最小值为360万元 10．已知函数f(x)＝，且实数a，b，c(a＞b＞c)满足f(a)f(b)f(c)＜0，若x0是函数f(x)的一个零点，则下列不等式中可能成立的是(　　) A．x0＜a B. x0＞a C. x0＜b D. x0＜c 11．已知函数f(x)＝令g(x)＝f(x)－m，则(　　) A．m＜0或m＞1时，g(x)有1个零点 B．若g(x)有2个零点，则m＝0或m＝1 C．f(x)的值域是(－2，＋∞) D．若g(x)有3个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1x2x3的取值范围为(10，11) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成了重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过________天，蝗虫数量会达到4000亿只．(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 13．设min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，则函数f(x)＝的最大值为________． 14．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g(x)＝lg x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点的个数是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)设a∈R，已知函数f(x)＝ax＋. (1)若a＝1时，解不等式f(x)＋1＜f(x＋1)； (2)若f(x)在区间[1，2]上有零点，求实数a的取值范围． 16．(15分)某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业，经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本2万元，每加工x万千克该农产品，需另投入成本f(x)万元，且f(x)＝已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完． (1)求加工后该农产品的利润y(万元)与加工量x(万千克)的函数关系式； (2)求加工后的该农产品利润的最大值． 17．(15分)设函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，函数g(x)＝3ax－4x(x∈R)． (1)求g(x)的解析式； (2)若方程g(x)－b＝0在x∈[－2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围． 18.(17分)(2024·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)＝，实数a，b满足a<b. (1)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象； (2)若函数在区间[a，b]上的值域为，求a＋b的值； (3)若函数f(x)的定义域是[a，b]，值域是[ma，mb](m>0)，求实数m的取值范围． 19．(17分)a，b∈R，若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，反之，若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，则函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)＋f(2a－x)＝2b.已知函数g(x)＝. (1)证明：函数g(x)的图象关于点(－1，4)对称； (2)已知函数h(x)的图象关于点(1，2)对称，当x∈[0，1]时，h(x)＝x2－mx＋m＋1.若对任意的x1∈[0，2]，总存在x2∈[2，4]，使得h(x1)≤g(x2)成立，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(四)　函数图象、函数与方程及其应用 1．B　2.B　3.C　 4．B　设f(x)＝y＝(2x－2－x)sin x，定义域为R，又f(－x)＝(2－x－2x)sin (－x)＝(2x－2－x)sin x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故排除A、C；当x＝时，y＝＞0，排除D.故选B. 5．D　当x＞0时，f(x)＝0⇒ln x＝x2－2x，则函数f(x)的零点个数为函数y＝ln x与函数y＝x2－2x，x∈(0，＋∞)的交点个数，作出两个函数的图象如图所示，由图可知，当x＞0时，函数f(x)的零点有两个，当x≤0时，f(x)＝x2－2x－3＝0⇒x＝－1，即当x≤0时，函数f(x)的零点有一个．综上，函数f(x)的零点有三个．故选D. 6．B　设大约经过n天“进步值”大约是“退步值”的100倍， 此时“进步值”为(1＋1%)n＝1.01n，“退步值”为(1－1%)n＝0.99n，即＝100， 所以n＝n＝100，则n＝， 所以n＝≈230天．故选B. 7．A　画出函数f(x)的图象如图．令x1＜x2＜x3. 由图可知：－8<2x1＋4<4，所以－6<x1<0. 由于f(x2)＝f(x3)，故x2与x3关于x＝4对称，因此x2＋x3＝2×4＝8，则x1＋x2＋x3的取值范围是(2，8)．故选A. 8．A　根据题意，当0≤t≤1，△AMN的面积为f(t)＝2t·t＝t2.当1＜t≤2，△AMN的面积为f(t)＝×[t－(2t－2)]＝2－t；当2＜t≤3，△AMN的面积为f(t)＝×2×[(2t－4)－(t－2)]＝t－2；当3＜t≤4，△AMN的面积为f(t)＝×[2－(2t－6)][2－(t－2)]＝(4－t)2.所以f(t)＝ 所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图象为选项A.故选A. 9．BD　一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，因为运费是9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，所以一年的总运费与总储存费用之和为×9＋4x≥＝2×180＝360，当且仅当＝4x，即x＝45时，等号成立，所以当x＝45时，一年的总运费与总储存费用之和最小，为360万元，故选BD. 10．ABC　函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，其大致图象如图所示．因为实数a，b，c(a＞b＞c)满足f(a)f(b)f(c)＜0，所以f(a)，f(b)，f(c)都小于0，或有一个小于0，另外两个大于0，故c＜b＜a＜x0或c＜x0＜b＜a， 则A，B，C中不等式可能成立，D中不等式不可能成立．故选ABC. 11．BCD　画出函数f(x)的图象，如图所示， 由图象可得，当m≤－2时，函数g(x)没有零点，故A错误； 当m＝0或m＝1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即函数g(x)有2个零点，故B正确； 由函数f(x)的图象，可得函数的值域为(－2，＋∞)，故C正确； 由题意可得0＜x1＜1＜x2＜10＜x3，由|lg x1|＝|lg x2|，即－lg x1＝lg x2，得lg x1＋lg x2＝lg (x1x2)＝0，可得x1x2＝1，又由0＜－2＜1，解得10＜x3＜11，所以x1x2x3的取值范围为(10，11)，所以D正确．故选B、C、D. 12．解析：由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍， 设每天的增长率为a，则有(1＋a)15＝10，解得a＝－1，设经过x天后，蝗虫数量会达到4000亿只， 则有1×(1＋a)x＝4000，所以＝4000，两边同取以10为底的对数＝lg 4000， 故＝3＋lg 4＝3＋2lg 2≈3＋2×0.3＝3.6，所以x＝54，故经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只． 答案：54 13．解析：将两个函数图象画在同一坐标系中，由题意，可得f(x)图象如图所示： 当x＝时，f(x)max＝1. 答案：1 14．解析：因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2， 所以可利用f(x)的周期性与奇偶性作出f(x)的大致图象，因为g(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g(x)＝lg x，所以函数y＝g(x)的大致图象如图所示． 考虑特殊位置，当x＝－1时，f(－1)＝1，g(－1)＝－g(1)＝－lg 1＝0； 当x＝9时，f(9)＝f(1)＝f(－1)＝1，g(9)＝lg 9＜1； 当x＝11时，f(11)＝f(1)＝1，g(11)＝lg 11＞1， 当x＝0时，f(0)＝g(0)＝0， 函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点个数，所以由图象可知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点个数为11. 答案：11 15．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x＋， 不等式f(x)＋1＜f(x＋1)， 即为x＋＋1＜x＋1＋， 即＜，故＜0， 得－2＜x＜－1，所以不等式的解集为(－2，－1)． (2)由题意，令f(x)＝0，即方程ax＋＝0在区间[1，2]上有实数解． 整理得a＝－，x∈[1，2]. 由1≤x≤2，得－6≤－x(x＋1)≤－2， －. 所以，实数a的取值范围为. 16．解：(1)当0＜x＜6时， y＝6x－－2＝－x2＋5x－2. 当x≥6时，y＝6x－－2＝－x－＋25. 故加工后该农产品的利润y(万元)与加工量x(万千克)的函数关系式为y＝ (2)当0＜x＜6时， y＝－(x－5)2＋， 当x＝5时，y取得最大值； 当x≥6时， 因为x＋＝14，当且仅当x＝7时，等号成立， 所以当x＝7时，y取得最大值11. 因为＜11， 所以该农产品利润的最大值为11万元． 17．解：(1)∵f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18， ∴3a+2＝18⇒3a＝2.∵g(x)＝3ax－4x， ∴g(x)＝2x－4x. (2)由(1)可知方程 g(x)－b＝0即为2x－4x－b＝0，令t＝2x，x∈[－2，2]，则≤t≤4，且方程t－t2－b＝0在上有两个不同的解． 设y＝t－t2＝－2＋，y＝b，则两函数图象在内有两个交点．画出y＝t－t2，t∈的大致图象，如图所示．由图知当b∈时，方程有两个不同的解． 综上，实数b的取值范围为. 18．解：(1)因为函数f(x)＝，先作出函数y＝1－的图象，然后再利用图象变换作出函数f(x)＝的图象如图所示． (2)由＝解得x＝或x＝，由＝3解得x＝－或x＝，由图象可知f(x)＝只在第一象限内，所以[a，b]＝，所以a＋b＝1. (3)由题意得[a，b]在f(x)的增区间内且a>0，b>0，又f(x)＝在[1，＋∞)上单调递增，故 即 所以a，b是方程1－＝mx的两个根， 即x－1＝mx2(x>1)， 所以mx2－x＋1＝0在区间[1，＋∞)上有两个不相等的实数根， 设g(x)＝mx2－x＋1， 则解得0<m<， 故实数m的取值范围为. 19．解：(1)证明：∵g(x)＝，∴g(－2－x)＝， ∴g(x)＋g(－2－x)＝＝8. 即对任意的x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 都有g(x)＋g(－2－x)＝8成立， ∴函数g(x)的图象关于点(－1，4)对称． (2)若对任意的x1∈[0，2]，总存在x2∈[2，4]，使得h(x1)≤g(x2)成立，则h(x)max≤g(x)max. ∵g(x)＝，易知g(x)在[2，4]上单调递增， ∴g(x)max＝g(4)＝3. ∵x∈[0，1]时，h(x)＝x2－mx＋m＋1，∴h(1)＝2， 即函数h(x)的图象过对称中心(1，2)． 当≤0，即m≤0时，函数h(x)在[0，1]上单调递增． 由对称性知，h(x)在[1，2]上单调递增． ∴函数h(x)在[0，2]上单调递增， ∴h(x)max＝h(2)＝4－h(0)＝3－m≤3， ∴m≥0，即m＝0； 当0＜＜1，即0＜m＜2时， 函数h(x)在上单调递减，在上单调递增． 由对称性，知h(x)在上单调递增，在上单调递减． ∴h(x)max＝h(0)或h. ∵0＜m＜2，∴h(0)＝m＋1＜3， 易知h＝4－h＝－m＋3＜3， 即0＜m＜2时符合条件； 当≥1，即m≥2时，函数h(x)在[0，1]上单调递减． 由对称性，知h(x)在[1，2]上单调递减． ∴函数h(x)在[0，2]上单调递减， ∴h(x)max＝h(0)＝m＋1≤3，∴m≤2，即m＝2. 综上，实数m的取值范围为[0，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $