周测卷(三) 指数函数、对数函数、幂函数-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(三)　指数函数、对数函数、幂函数 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若2a＝5b＝10，则＝(　　) A．－1　　　　　　　 B. lg 7　　　　　　　 C. 1　　　　　　　 D. log710 2．已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，当－1＜x＜0时，f(x)＝3x，则f(log312)的值为　(　　) A． B. 12 C. D. － 3．“ln a＜ln b”是“”的　(　　) A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．已知a＝log43，b＝log53，c＝log45，则　(　　) A．b＜a＜c B. a＜b＜c C. a＜c＜b D. c＜a＜b 5．下列函数中，值域为[0，＋∞)且在定义域上为增函数的是　(　　) A．y＝ln (x2＋1) B. y＝lg (x0.5＋1) C. y＝ex＋e－x－2 D. 以上都正确 6．函数f(x)＝的图象大致为(　　) 　 7．(2025·云南红河模拟)已知a，b，c为正实数，满足a＋5a＝5，b＋log2b＝5，c＋c3＝5，则(　　) A．a＞b＞c B. a＞c＞b C．b＞a＞c D. b＞c＞a 8．已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋a)(a＞0且a≠1)，若存在x0∈R，使得f(x)≥f(x0)恒成立，则实数a的取值范围是　(　　) A．(1，4) B. (0，1)∪(1，4) C. (0，1) D. [4，＋∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数f(x)＝2x，则对任意的x1，x2(x1≠x2)，以下结论正确的是　(　　) A．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2) B. f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) C．f(－x1)＝ D. ＜0(x1≠0) 10．已知实数a，b满足，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．0＜b＜a＜1 B. 0＜a＜b＜1 C. 1＜a＜b D. 1＜b＜a 11．(2025·河南郑州质量检测)溶液的酸碱度是通过pH来计量的．pH的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH＜7时，溶液呈酸性，当pH＞7时，溶液呈碱性，当pH＝7时，溶液呈中性．我国规定饮用水的pH值在6.5～8.5之间，则下列选项正确的是(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升 B．若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则胃酸的pH约为1.6 C．若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的pH是8.6 D．若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则该种水适合饮用 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(开放题)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞y时，f(x)＞f(y)，请你写出符合上述条件的一个函数f(x)＝________． 13．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是________． 14．设函数f(x)定义域为R，已知f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x＋1)是奇函数，则使得不等式f[log2(x－3)]＋f(log2x)＞0成立的实数x的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)定义在R上的单调增函数f(x)满足，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立． (1)求f(0)的值； (2)求证：f(x)为奇函数； (3)若f(1＋2x)＋f(t·3x)＞0对x∈(－∞，－1]恒成立，求实数t的取值范围． 16.(15分)已知幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，g(x)＝x2－4x＋t. (1)求实数m的值； (2)当x∈[1，9]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围． 17．(15分)(2025·山东德州模拟)设函数g(x)＝log3x，且函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y＝x对称． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)是否存在实数m>0，使得对∀x∈R，不等式2m－3<mf(x)恒成立？若存在，求出m；若不存在，说明理由． 18.(17分)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0，b∈R)在区间[2，4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝. (1)求a，b的值； (2)若不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围． 19．(17分)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＋kf(x)＝0，其中k为整数，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”． (1)若f(x)＝log3(2x＋m)是(－1，1)上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围； (2)若f(x)＝x2＋4x＋t对任意的实数t∈(－∞，4]，f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(三)　指数函数、对数函数、幂函数 1．C　2.D　3.A　 4．A　首先0＜a＜1，0＜b＜1，因为a＝，所以a－b＝＞0，所以0＜b＜a＜1，因为c＝log45＞1，所以b＜a＜c.故选A. 5．B　对于A，y＝ln (x2＋1)的定义域为R，在(－∞，0)上，t＝x2＋1是减函数，y＝ln t是增函数，从而得出y＝ln (x2＋1)在(－∞，0)上是减函数，从而在定义域R上该函数不是增函数，故A错误；对于B，该函数的定义域为[0，＋∞)，y＝lg (x0.5＋1)≥lg 1＝0，∴该函数的值域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上，t＝x0.5＋1是增函数，y＝lg t是增函数，∴该函数在定义域上是增函数，故B正确；对于C，y′＝ex－e－x，当x∈(－∞，0)时，y′＜0；当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，∴y＝ex＋e－x－2在定义域R上不单调递增，故C错误；对于D，由A，C错误，得D错误．故选B. 6．D　由题可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，因为f(－x)＝＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，排除A、C.又f(2)＝＜0，排除B.故选D. 7．D　函数f(x)＝x＋5x在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝1，f(1)＝6，可得0＜a＜1；函数f(x)＝x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝3＋log23＜5，f(4)＝4＋log24＝6，可得3＜b＜4；函数f(x)＝x＋x3在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝2，f(2)＝2＋23＝10，可得1＜c＜2，所以b＞c＞a. 8．A　根据题意，存在x0∈R，使得f(x)≥f(x0)恒成立等价于函数f(x)存在最小值．当a＞1时，若函数f(x)存在最小值，则t＝x2－ax＋a存在最小正值，所以Δ＝a2－4a＜0，可得1＜a＜4；当0＜a＜1时，若函数f(x)存在最小值，则t＝x2－ax＋a存在最大正值，与二次函数的性质相矛盾，舍去．综上可知，实数a的取值范围是(1，4)．故选A. 9．BC　对于A，f(x1·x2)＝＋f(x2)，A错误；对于B，f(x1＋x2)＝＝f(x1)·f(x2)，B正确；对于C，f(－x1)＝，C正确；对于D，当x1＞0时，＞0，D错误．故选BC. 10．AC　由题可知，a，b∈[0，＋∞)，设＝m，则m≥0，画出y＝与y＝在[0，＋∞)上的图象如图．由图可知，当m＝0或m＝1时，a＝b；当0＜m＜1时，0＜b＜a＜1；当m＞1时，1＜a＜b.故选AC. 11．ABC　对于A，若苏打水的pH是8，即pH＝－lg [H＋]＝8，所以[H＋]＝10-8，即苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升，故A正确； 对于B，若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则pH＝－lg (2.5×10-2)＝－lg 2.5－lg 10-2＝2－(lg 10－lg 4)＝1＋2lg 2≈1.6，故B正确； 对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的氢离子浓度是10-1.6·10-7＝10-8.6，因此pH＝－lg 10-8.6＝8.6，即海水的pH是8.6，故C正确； 对于D，若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则pH＝－lg (4×10-7)＝－lg 4－lg 10-7＝7－2lg 2≈6.4，而6.4不在6.5～8.5范围内，所以该种水不适合饮用，故D错误．故选A、B、C. 12．解析：根据f(x＋y)＝f(x)f(y)，可考虑指数函数，由当x＞y时，f(x)＞f(y)，可知该函数是定义域上的增函数，所以函数f(x)＝2x符合题意． 答案：2x(答案不唯一) 13．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)， ∴－lg a＝lg b．即ab＝1，0＜c＜lg 10＝1，∴abc的取值范围是(0，1)． 答案：(0，1) 14．解析：因为f(x＋1)是奇函数，故f(x)图象关于(1，0)对称， 由题设f(1－x)＋f(1＋x)＝0，因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x1)＋f(x2)＞0等价于x1＋x2＜2， 因此不等式f[log2(x－3)]＋f(log2x)＞0等价于log2(x－3)＋log2x＜2， 即log2[x(x－3)]＜log24，即x2－3x＜4且x－3＞0， 解得实数x的取值范围为(3，4)． 答案：(3，4) 15．解：(1)由题意，函数f(x)满足，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立， 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0. (2)证明：由题意，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令y＝－x，可得f(0)＝f(x)＋f(－x)，因为f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (3)因为f(1＋2x)＋f(t·3x)＞0对x∈(－∞，－1]恒成立， 即f(t·3x)＞－f(1＋2x)对x∈(－∞，－1]恒成立， 即f(t·3x)＞f(－1－2x)对x∈(－∞，－1]恒成立， 因为f(x)是R上的单调递增函数，所以t·3x＞－1－2x， 即t＞－ －x对x∈(－∞，－1]恒成立， 因为函数g(x)＝－x－x为单调递增函数， 所以g(x)≤g(－1)＝－， 即实数t的取值范围是. 16．解：(1)∵f(x)＝为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∴解得m＝1. (2)由(1)可得f(x)＝，当x∈[1，9]时，f(x)的值域为[1，3]，g(x)＝x2－4x＋t的值域为[t－4，t＋45]， ∴A＝[1，3]，B＝[t－4，t＋45]， ∵命题p：x∈A，命题q：x∈B，且命题q是命题p的必要不充分条件，∴AB，∴解得－42≤t≤5， 故实数t的取值范围为[－42，5]. 17．解：(1)由题意得，f(x)与g(x)互为反函数．因为g(x)＝log3x，所以f(x)＝3x. (2)存在． 不等式2m－3<mf(x)恒成立，即2m－3<m·3x恒成立． 令t＝3x(t>0)，则关于t的不等式2m－3<mt，即mt－2m＋3>0在(0，＋∞)上恒成立．令h(t)＝mt－2m＋3，t∈(0，＋∞)，因为m>0，所以h(t)在(0，＋∞)上单调递增，由题意知h(0)＝－2m＋3≥0，解得m≤，所以0<m≤. 所以实数m的取值范围是. 18．解：(1)函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0，b∈R)， 则对称轴x＝－＝1， 故函数g(x)在[2，4]上为单调递增函数， 所以当x＝2时，g(x)min＝1， 当x＝4时，g(x)max＝9， 解得 故a的值为1，b的值为0. (2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝－2， 因为不等式f(3x)－k·3x≥0，在x∈[－1，1]上有解，所以3x＋－2－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，设t＝，t∈，所以t2－2t＋1≥k在上有解， 即(t2－2t＋1)max≥k， 设h(t)＝t2－2t＋1，t∈，对称轴t＝1， 则当t＝3时，h(t)max＝h(3)＝9－6＋1＝4， 所以实数k的取值范围是(－∞，4]. 19．解：(1)对于函数f(x)＝log3(2x＋m)，x＞－， 由题意可知(－1，1)⊆， 则－≤－1，解得m≥2. 因为f(x)＝log3(2x＋m)是(－1，1)上的“1阶局部奇函数”， 等价于关于x的方程f(－x)＝－f(x)在(－1，1)有解， 即log3(－2x＋m)＋log3(2x＋m)＝0， 化简得：m2－4x2＝1，x∈(－1，1)， 所以m2＝1＋4x2∈[1，5)，又m≥2，所以m∈. 故实数m的取值范围是. (2)因为f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程f(－x)＋kf(x)＝0恒有解， 即x2－4x＋t＋kx2＋4kx＋tk＝0恒有解， 化简得：(k＋1)x2＋(4k－4)x＋t＋kt＝0， 当k＝－1时，解得x＝0，所以k＝－1满足题意； 当k≠－1时，Δ≥0，即16(k－1)2－4t(k＋1)2≥0对任意的实数t∈(－∞，4]恒成立， 即t(k＋1)2－4(k－1)2≤0对任意的实数t∈(－∞，4]成立，令g(t)＝t(k＋1)2－4(k－1)2， g(t)是关于t的一次函数且为(－∞，4]上的增函数，则g(t)max＝g(4)≤0，即16k≤0，解得k≤0且k≠－1， 综上所述，整数k的最大值为0. 学科网（北京）股份有限公司 $