周测卷(二) 函数及其性质-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(二)　函数及其性质 1．C　2.C 3．B　f(x)的定义域为∪.由题知f(－x)＝f(x)，则(－x＋a)ln ＝(x＋a)·ln ，即(－x＋a)ln ＝(x＋a)ln ，即x－a＝x＋a.故a＝0. 4．C　因为f(x)＝当x－1＞0，即x＞1时，不等式f(x－1)＜可化为(x－1)2＜，解得＜x＜，则1＜x＜；当x－1≤0，即x≤1时，不等式f(x－1)＜可化为x－1＋1＜，即x＜，则x＜；综上，满足f(x－1)＜的x的取值范围为∪.故选C. 5．B　当x＜－2时，f(x)＝x∈(4，＋∞)，由于函数f(x)的值域为R，所以当x≥－2时，f(x)＝mx＋2的值域应包含(－∞，4]，所以m＜0且f(－2)＝－2m＋2≥4，解得m≤－1. 6．D　∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2，∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)，∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f(x)在[－1，0]上单调递减，∴a＞c＞b，故选D. 7．D　因为定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)满足在(－∞，0)上单调递减，又f(3)＝0，所以f(－3)＝f(3)＝0.作出函数f(x)的草图如图， 由＞0， 得＞0，得＞0，所以或所以或解得x＞1或－5＜x＜0，即不等式＞0的解集为(－5，0)∪(1，＋∞)．故选D. 8．B　∵f(x)是R上的增函数，a＞1， ∴当x＞0时，x＜ax，有f(x)＜f(ax)，则g(x)＜0； 当x＝0时，g(x)＝0； 当x＜0时，x＞ax，有f(x)＞f(ax)，则g(x)＞0. ∴sgn [g(x)]＝∴sgn [g(x)]＝－sgn x．故选B. 9．AD　因为y＝f(x＋2)是奇函数，所以f(－x＋2)＋f(x＋2)＝0，即f(2－x)＋f(2＋x)＝0，故f(x)的图象关于点(2，0)对称，又f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于点(－2，0)对称，故A正确，B错误．因为f(x)为R上的偶函数，且y＝f(x＋2)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f[(x＋2)－2]＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的周期为8，故C错误，D正确．故选AD. 10．ACD　因为f(x)为定义在R上的偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)是周期为4的周期函数，故A，C正确；因为当x∈[0，2]时，f(x)＝3x＋2x－1，所以f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)在[－4，－2]上也单调递增，故B错误；f(2024)＝f(0)＝30＋2×0－1＝0，故D正确．故选ACD. 11．BCD　对于A，函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝－2，则f(x)不是奇函数，故A错误；对于B，定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，即f＝－f(x)，即f(x)＝－f，又y＝f为奇函数，所以＝－f，所以f[－]＝－f[－]，即f(－x)＝－f，故f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，故B正确；对于C，因为f(x)＝－f，所以f(x＋3)＝－f＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，故C正确；对于D，由题可得f(0)＝－2，f(1)＝f(－1)＝1，f(2)＝f(－1)＝1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＝0，故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)]×674＋f(0)＋f(1)＝－1.故D正确．故选BCD. 12．解析：由①知f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，由②知f(x)＝f(3－x)，即f(3＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故f(x)是周期为6的周期函数，因此f(x)是定义在R上周期为6的奇函数，取f(x)＝sin x符合要求． 答案：f(x)＝sin x(答案不唯一) 13．解析：因为y＝f(2x－1)为偶函数，所以f(2x－1)＝f(－2x－1)，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又y＝f(x－2)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(－2，0)对称，所以函数f(x)的周期为4，且f(x)的图象关于点(0，0)对称，所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝0，f(1)＋f(3)＝f(1)＋f(－1)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，故＝f(0)＋4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0. 答案：0 14．解析：当x＜a时，函数f(x)＝|x－3－a|＋3a单调递减，所以有f(x)＞f(a)＝|a－3－a|＋3a＝3＋3a，当a≥0时，函数y＝x2－1在[a，＋∞)上单调递增，此时y≥a2－1，因为f(x)存在最小值，所以有3＋3a≥a2－1⇒－1≤a≤4，而a≥0，所以0≤a≤4；当a＜0时，函数y＝x2－1在[a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，此时当x＝0时，函数y＝x2－1有最小值为02－1＝－1，因为f(x)存在最小值，所以有3＋3a≥－1⇒a≥－，而a＜0，所以≤a＜0，综上所述，－≤a≤4，所以a的最大值为4. 答案：4 15．解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝.任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝. 因为a＞0，x2－x1＞0， 所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立， 所以a≤1. 综上所述，a的取值范围是(0，1]. 16．解：(1)当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝－x－， 又f(x)为奇函数，所以－f(x)＝f(－x)＝2x＋， 所以f(x)＝－2x＋，所以f(x)＝ (2)因为当x≥0时，f(x)＝x－，y＝x单调递减，y＝－也单调递减，因此f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，所以 f(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减． 因为f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0在t∈R上恒成立， 所以f(t2－2t)＜－f(2t2－k)，又因为f(x)为奇函数， 所以f(t2－2t)＜f(k－2t2)， 所以t2－2t＞k－2t2在t∈R上恒成立，即3t2－2t－k＞0在t∈R上恒成立，所以Δ＝4＋12k＜0，即k＜－. 故实数k的取值范围是. 17．解：(1)条件①：因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝2x－2， 所以解得 条件②：因为不等式f(x)<0的解集为{x解得且a>0. 条件③：函数y＝f(x)的图象过点(3，2)，所以9a＋3b＋c＝2. 若选择条件①②：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2. 若选择条件①③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2. 若选择条件②③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2. (2)由(1)知g(x)＝x2－(m＋3)x＋2，其图象的对称轴为直线x＝， (ⅰ)当≤1，即m≤－1时，g(x)min＝g(1)＝3－(m＋3)＝－m＝3，解得m＝－3， (ⅱ)当≥2，即m≥1时，g(x)min＝g(2)＝6－(2m＋6)＝－2m＝3，解得m＝－(舍去)， (ⅲ)当1<<2，即－1<m<1时，g(x)min＝＝－＋2＝3，无解． 综上所述，实数m的值为－3. 18．解：(1)因为函数y＝x是增函数， 所以函数y＝x不具有性质P. 当A＝1，T＝2π时， 函数y＝cos x对于任意x∈R， f(x＋T)＝Af(x)成立， 所以y＝cos x具有性质P. (2)设x∈(－π，0]， 则x＋π∈(0，π]， 由题意得， f(x＋π)＝2f(x)＝sin (x＋π)， 所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]， 由f(－π＋π)＝2f(－π)， f(0＋π)＝2f(0)， 得f(－π)＝f(π)＝0， 所以当x∈[－π，0]时， f(x)＝－sin x， 所以当x＝－时，f(x)在[－π，0]上有最大值＝. 19．解：(1)因为对于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数，证明如下： f(x)的定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2等价于f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1，所以x的取值范围是(－15，1)∪(1，17)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(二)　函数及其性质 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log210)＝(　　) A．2　　　　　　　 B. 5　　　　　　　 C. 7　　　　　　　 D. 10 2．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(8)的值为(　　) A．1 B. 2 C. 0 D. －1 3．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B. 0 C. D. 1 4．设函数f(x)＝则满足f(x－1)＜的x的取值范围为(　　) A． B. ∪ C．∪ D. ∪ 5．若函数f(x)＝的值域为R，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，1) B. (－∞，－1] C．(－1，0) D. 6．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B. c＞a＞b C. b＞c＞a D. a＞c＞b 7．已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式＞0的解集为(　　) A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B. (－∞，－5)∪(0，1) C．(－3，0)∪(3，＋∞) D. (－5，0)∪(1，＋∞) 8．已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则(　　) A．sgn [g(x)]＝sgn x B. sgn [g(x)]＝－sgn x C．sgn [g(x)]＝sgn [f(x)] D. sgn [g(x)]＝－sgn [f(x)] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知f(x)为R上的偶函数，且y＝f(x＋2)是奇函数，则(　　) A．f(x)的图象关于点(－2，0)对称 B. f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．f(x)的周期为4 D. f(x)的周期为8 10．函数f(x)为定义在R上的偶函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，若当x∈[0，2]时，f(x)＝3x＋2x－1，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是周期为4的周期函数 B. f(x)在[－4，－2]上单调递减 C．f(x)的图象关于直线x＝2对称 D. f(2024)＝0 11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，且y＝f为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C．f(x)是周期为3的周期函数 D. f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝－1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(开放题)定义在R上的函数f(x)满足以下两个性质： ①f(－x)＋f(x)＝0，②f(1＋x)＝f(2－x)，则满足①②的一个函数是________． 13．已知f(x)为定义在R上的函数，y＝f(x－2)为奇函数，y＝f(2x－1)为偶函数，则＝________． 14．设函数f(x)＝若函数f(x)存在最小值，则a的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝－2，试证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 16.(15分)(2025·山东枣庄三中质检)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x－. (1)求f(x)的解析式； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围． 17．(15分)现有三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋1)－f(x)＝2x－2；②不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}；③函数y＝f(x)的图象过点(3，2)．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解． 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且满足________．(填所选条件的序号) (1)求函数f(x)的解析式； (2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值． 注：如果选择多个组合分别解答，则按第一个解答计分． 18.(17分)(2025·北京西城区模拟)设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T＞0，A＞0)，使得对任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)都成立，则称函数f(x)具有性质P. (1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明) (2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值． 19．(17分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $