周测卷(一) 集合与常用逻辑用语、不等式-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．(2024·河南省重点高中高三九师联盟)已知集合A＝{a，|a|}，B＝{x|x2－3x－4≤0}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，1] B. (－1，0) C. [－1，0] D. [－1，0) 2．已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，ln x＞x＋1，则¬p为(　　) A．∃x∈(0，＋∞)，ln x≤x＋1 B. ∀x∈(0，＋∞)，ln x≤x＋1 C．∃x∉(0，＋∞)，ln x＞x＋1 D. ∀x∉(0，＋∞)，ln x≤x＋1 3．定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的长度．已知集合M＝{x|x2－2mx－3m2≤0}，N＝{x|x2＋mx－2m2≤0}，若集合M∩N的长度为4，则M∪N的长度为(　　) A．3 B. 4 C. 5 D. 10 4．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A．0＜a＜1 B. 0＜a＜2 C. 0＜a＜ D. a＞1 5．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则3a－b的取值范围是(　　) A． B. [－8，1] C. [－1，8] D. [1，8] 7．设a＝，则下列说法中正确的是(　　) A．＞ B. a2＋b2≥2 C. a－＞b－ D. ＞ 8．(2025·山西晋中模拟)已知a，b，c∈R且a＋b＋c＝0，a＞b＞c，则的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是(　　) A．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 B. 若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞b，则a3＞b3 D. 若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd 10．命题“∀x∈R，2kx2＋kx－＜0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　) A．(－3，0) B. (－3，0] C. (－3，－1) D. (－3，＋∞) 11．(2025·云南联考)已知Z(A)表示集合A中整数元素的个数，若集合M＝{x|(x－9)·(2x＋1)＜0}，集合N＝{x|2x＞1}，则(　　) A．Z(M)＝9 B. M∩N＝{x|0＜x＜9} C．Z(M∩N)＝9 D. (∁RN)∪M＝{x|x＜9} 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＜0，q：a∈(1，＋∞)，则¬p是q的________条件．(在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入) 13．若关于x的不等式x2＋mx－2＞0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围为________． 14．已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知集合A＝{x|－2≤x－1≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}(m∈R)． (1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围； (2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16.(15分)设函数f(x)＝2x2－ax＋4(a∈R)． (1)当a＝9时，求不等式f(x)＜0的解集； (2)若不等式f(x)≥0对∀x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 17．(15分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若a＝2，试求函数y＝(x＞0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围． 18.(17分)甲、乙两地相距1000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元． (1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 19．(17分)(1)设y＝2x2＋4x＋7的最小值为a，求不等式ax2＋(2a－1)x－2＜0(a∈R)的解集； (2)求关于x的不等式ax2＋(2a－1)x－2＜0(a∈R)的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与精析 周测卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式 1．D　2.A　3.D　 4．B　由“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”，可得(－2a)2－4a＜0，解得0＜a＜1.故选B. 5．B　因为sin2α＋sin2β＝1，又易知cos2β＋sin2β＝1，所以sin2α＝cos2β，所以(sinα－cos β)(sin α＋cos β)＝0，故sin α－cos β＝0或sin α＋cos β＝0，充分性不成立；当sin α＋cos β＝0时，sin2α＝cos2β，所以sin2β＋cos2β＝sin2β＋sin2α＝1，必要性成立，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件． 6．C　设3a－b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，则解得∴3a－b＝(a＋b)＋2(a－b)．∵－1≤a－b≤2，1≤a＋b≤4，∴3a－b＝(a＋b)＋2(a－b)∈[－1，8].故选C. 7．C　令f(x)＝，因为y＝2x+1＋1在R上单调递增，且2x+1＋1＞0，所以函数f(x)在R上单调递减，所以f(2022)＞f(2023)＞0，即a＞b＞0.对于A，因为a＞b＞0，所以＜0，即＜，故A错误；对于B，因为0＜a＝＜1，0＜b＝＜1，所以a2＋b2＜2，故B错误；对于C，因为a＞b＞0，所以a－－＝(a－b)＞0，所以a－＞b－，故C正确；对于D，因为a＞b＞0，所以＜0，所以＜，故D错误．故选C. 8．C　由a＋b＋c＝0，a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，b＝－a－c，则a＞－a－c＞c，则－2＜＜－，令t＝，则－2＜t＜－，故，又f(t)＝t＋在(－2，－1)上单调递增，在上单调递减，f(－2)＝－2＋，f(－1)＝－1＋＝－2，＝－，所以－＜f(t)≤－2，即－＜≤－2，故选C. 9．AC　对于A选项，由a ＜b＜0，得a2＞ab，ab＞b2，所以a2＞ab＞b2，故A中命题为真命题；对于B选项，当c＝0时，由a＞b，得ac2＝bc2，故B中命题为假命题；对于C选项，因为函数y＝x3在R上为增函数，a＞b，所以a3＞b3，故C中命题为真命题；取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，故D中命题为假命题．故选AC. 10．AC　因为∀x∈R，2kx2＋kx－＜0为真命题，所以k＝0或⇔－3＜k≤0，所以(－3，0)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－＜0”为真命题的充分不必要条件，A对；(－3，0]是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－＜0”为真命题的充要条件，B错；(－3，－1)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－＜0”为真命题的充分不必要条件，C对；(－3，＋∞)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－＜0”为真命题的必要不充分条件，D错．故选AC. 11．ABD　M＝，N＝{x|x＞0}，则Z(M)＝9，A正确；M∩N＝{x|0＜x＜9}，B正确；Z(M∩N)＝8，C错误；(∁RN)∪M＝{x|x＜9}，D正确． 12．解析：¬p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≥0，当a＝0时，2x＋1≥0，解集为，当a≠0时，由Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.综上，¬p：a≥1.因为(1，＋∞)[1，＋∞)，所以¬p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 13．解析：原不等式在[1，2]上有解，它的否定是不等式x2＋mx－2＞0在[1，2]上无解，则解得m≤－1，因此当不等式x2＋mx－2＞0在区间[1，2]上有解时，m＞－1. 答案：(－1，＋∞) 14．解析：由题设知a＝1－b，则－2，∵(a＋b＋1)2＝9，∴，当且仅当a＝时等号成立，∴，当且仅当a＝时等号成立，∴的最小值为. 答案： 15．解：(1)由题意可知A＝{x|－2≤x－1≤5}＝{x|－1≤x≤6}， 又A∩B＝∅，当B＝∅时，m＋1＞2m－1，解得m＜2， 当B≠∅时，m＋1≤2m－1，m＋1＞6或2m－1＜－1，解得m＞5， 综上所述，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)． (2)∵命题p是命题q的必要不充分条件，∴集合B是集合A的真子集， 当B＝∅时，m＋1＞2m－1，解得m＜2， 当B≠∅时，(等号不能同时成立)，解得2≤m≤， 综上所述，实数m的取值范围为. 16．解：(1)当a＝9时，f(x)＜0，即2x2－9x＋4＜0，整理得(2x－1)(x－4)＜0，解得＜x＜4，故所求不等式的解集为. (2)f(x)≥0对∀x∈(0，＋∞)恒成立，即2x2－ax＋4≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤2x＋对x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤min.又2x＋(当且仅当2x＝，即x＝时取等号)，所以a≤4，故实数a的取值范围为. 17．解：(1)依题意得y＝－4. 因为x＞0，所以x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2. 所以当x＝1时，y＝取得最小值，最小值为－2. (2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使“∀x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可． 所以即解得a≥. 所以实数a的取值范围为. 18．解：(1)由题意，得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为， 所以y＝＝1000，定义域为(0，80]. (2)y＝1000≥1000×2(元)，当时，得v＝2，因为0<v≤80，所以当0＜2≤80，即0＜a≤1600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当2＞80，即a＞1600时，y′＝1000，由0＜v≤80得y′＜0，所以函数在(0，80]上单调递减，所以货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最小． 19．解：(1)因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3≥3，所以y＝2，故原不等式的解集为. (2)对于不等式ax2＋(2a－1)x－2＜0， 当a＝0时，不等式为－x－2＜0，解集为(－2，＋∞)． 当a≠0时，不等式分解因式可得(ax－1)(x＋2)＜0. 当a＞0时，不等式为(x＋2)＜0，此时解集为； 当a＝－时，不等式为x≠－2}； 当a＜－时，(ax－1)(x＋2)＜0，可化为(x＋2)＞0，又＞－2， 所以不等式的解集为(－∞，－2)∪； 当－＜a＜0时，(ax－1)(x＋2)＜0可化为(x＋2)＞0， 又＜－2，所以不等式的解集为∪(－2，＋∞)． 综上所述，当a＝0时，解集为(－2，＋∞)； 当a＞0时，解集为； 当a＝－x≠－2}； 当a＜－时，解集为(－∞，－2)∪； 当－＜a＜0时，解集为∪(－2，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $