精品解析：2021年广东省广州市中考模拟二模数学试卷

2021年广州各区二模经典试卷集 一、单选题（共40题） 1. 4的相反数是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. D. - 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 所以4的相反数-4． 故选B． 考点：相反数． 2. 如图2是一个几何体的三视图，则这几何体的展开图可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据三视图可得这个几何体为圆柱体，圆柱体的侧面积展开图是一个矩形，上下两个底面是两个圆.A为圆柱的展开图；B为圆锥的展开图；C为三棱柱的展开图；D为矩形的展开图. 考点：圆柱的侧面展开图. 3. 某细胞截面可以近似看成圆，它的半径约为m，则用科学记数法表示为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，掌握相关知识是解决问题的关键．科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 四张完全相同的卡片上，分别画有圆、正方形、等边三角形和线段，现从中随机抽取两张，卡片上画的恰好都是中心对称图形的概率为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 1 （1,1） （2,1） （3,1） （4,1） 2 （1,2） （2,2） （3,2） （4,2） 3 （1,3） （2,3） （3,3） （4,3） 4 （1,4） （2,4） （3,4） （4,4） 其中1表示圆，2表示正方形，3表示等边三角形，4表示线段， 所有等可能情况数为12种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有6种， ∴卡片上画的恰好都是中心对称图形的概率为， 故选C． 【点睛】此题考查了列表法求概率，以及中心对称图形，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 5. 下列各式运算中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简、同底数幂的乘法法则，平方．根据完全平方公式，二次根式的化简、同底数幂的乘法法则，平方等概念分别判断． 【详解】解：A、，错误； B、，正确； C、，错误； D、，错误． 故选B． 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设解析式为：，则有k=IR ，由图可知当R=2时，I=3，所以k=6， 所以解析式为：， 故选D. 7. 如图，一次函数y＝ax+b的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B，则下列结论一定正确的是（　　） A. a﹣b＞0 B. a+b＞0 C. b﹣a＞0 D. ﹣a﹣b＞0 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知a＜0，b＜0，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限 ∴a＜0，b＜0 ∴﹣a﹣b＞0 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．解题的关键在于掌握一次函数图象与系数的关系． 8. 观察下列图形它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形的“★”有（　　） A. 57个 B. 60个 C. 63个 D. 85个 【答案】B 【解析】 【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有1×3＝3个★， 第二个图形中有2×3＝6个★， 第三个图形中有3×3＝9个★， … 第20个图形共有20×3＝60个★． 【详解】【方法1】把4个图形的“●”的数目数出来，然后分析数字变化的规律． 图形 第1个 第2个 第3个 第4个 ．．． 第n个 “●”个数 3 6 9 12 ．．． 3n 第20个图形的“●”有（个）．故选B． 【方法2】根据4个图形摆放变化情况，分析图中图形的变化规律． 由图可知，第n个图形有3n个“●”， 第20个图形的“●”有（个）．故选B． 【关键点拨】探索规律的问题往往是探索图形形成过程中的变化规律，这个变化规律多用代数式的形式表现出来，通常是将第n种情况用含有n的代数式表示，进而得到当n取得特殊值时代数式的值．这个过程是通过几个特殊情况推导出一般规律，再使用这个规律来解决特殊问题，我们把这种方法称为不完全归纳法．使用不完全归纳法往往需要将本题中的两种方法结合使用． 9. 如图，矩形中，，点为的中点，点为上一个动点，点为的中点，连接，当的最小值为时，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为为BP1的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2=CE． 且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP． 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=CF， ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， .∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值． ∵矩形ABCD中，AB：AD=2：1，设AB=2t，则AD=t， ∵E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=t， ∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°． ∴∠DP2P1=90°． ∴∠DP1P2=45°． ∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长． 在等腰直角△BCP1中，CP1=BC=t， ∴BP1=t=， ∴t=3． 故选：B． 【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度． 10. 对于二次函数y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y=x－1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①判断与二次函数解析式对应的方程是否有实数解，即可得到解答；②令ax2－（2a－1）x＋a－1=x-1，解方程即可得到抛物线与直线y=x－1的相交情况；③用a表示出顶点坐标，即可看出顶点是否始终在同一条直线上；④经过计算当x=1时总有y=0，所以无论a取何值，函数图象都经过同一个点． 【详解】解：令ax2－（2a－1）x＋a－1=0， 则， ∴ax2－（2a－1）x＋a－1=0有两个不相等的实根， ∴y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0）图象与x轴一定相交，①正确； 令ax2－（2a－1）x＋a－1=x-1，则ax2－2ax＋a=0， ∵a≠0，∴x2－2x＋1=0，即（x-1）2=0 ，∴, ∴y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0）图象直线y=x－1有且只有一个公共点，②正确； ∵y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0）的顶点为， 即，不难看出，无论a取何值，点总是在直线y=2(x-1)上，所以③正确； ∵当x=1时，y=a-(2a-1)+a-1=a-2a+1+a-1=0,所以无论a取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），④正确，所以正确结论的个数是4． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，结合一元二次方程的知识作答是解题关键． 11. 实数0，，4，中，无理数是（ ）． A. 4 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，逐一判定各个选项，是解题的关键． 【详解】解：实数0，，4，中，是无理数， 故选B． 【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握“无限不循环小数，是无理数”是解题的关键． 12. 直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【详解】解：直角三角形的斜边长为10， 斜边上的中线长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． 13. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，全国人口共1411778724人．用科学记数法表示1411778724精确到亿位的近似值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“四舍五入”法和科学记数法的定义，即可得到答案． 【详解】解：1411778724≈， 故选B． 【点睛】本题主要考查近似数和科学记数法，掌握科学记数法的行形式：a×10n（1≤|a|＜10），是解题的关键． 14. 下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即． 【详解】A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误； B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确； C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误； D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误． 故选B． 15. 一组数据：12，13，14，15，15，15．这组数据的众数和平均数分别是（ ）． A. 12，15 B. 15，14 C. 14，15 D. 13，14 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和平均数的定义，即可得到答案． 【详解】解：12，13，14，15，15，15的众数是15， 平均数为：(12+13+14+15+15+15)÷6=14， 故选：B． 【点睛】本题主要考查众数和平均数的定义，熟练掌握上述定义，是解题的关键． 16. 下列命题中，是假命题的是（ ）． A. 两个等边三角形相似 B. 有一个角为20°的两个直角三角形相似 C. 两个等腰直角三角形相似 D. 两个直角三角形相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得． 【详解】A、两个等边三角形相似，此项是真命题，不符题意； B、有一个角为的两个直角三角形相似，此项是真命题，不符题意； C、两个等腰直角三角形相似，此项是真命题，不符题意； D、两个直角三角形只有一组角一定相等，则两个直角三角形不一定相似，此项是假命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 17. 解不等式组，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解，并根据在数轴上的表示方法即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 观察四个选项可知，只有选项符合， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 18. 如果一个三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）． A. 16 B. 9 C. 10 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可得第三边的范围，然后依此进行排除选项即可． 【详解】解：设第三边长为x， 由题意得：，即， ∴这个三角形的周长，即， ∴由选项可知只有D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 19. 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 20. 如图，平面直角坐标系中，A点坐标为，点在直线上运动，设的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象． 根据题意得出临界点P点横坐标为1时，△APO的面积为0，设直线与y轴交于点B，则，进而得到函数解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵点在直线上运动， ∴当时，，即P点在直线上，此时， 设直线与y轴交于点B，则，连接， ∵点A的坐标为，， ∴是等腰直角三角形，且， 当时，， ∴S与m是一次函数关系， 同理：当时，，故S与m是一次函数关系， 只有选项B符合题意． 故选：B． 21. 如果温度上升记作，那么温度下降记作（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正数和负数，正数和负数是一级具有相反意义的量，据此即可求得答案 【详解】解：温度上升记作，那么温度下降记作， 故选：D 22. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 23. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，合并同类项，求一个数的算术平方根，完全平方公式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A、故该选项不正确，不符合题意； B、不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，合并同类项，求一个数的算术平方根，完全平方公式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 24. 函数y＝，自变量x的取值范围是（　 　） A. x≠－2 B. x≤2 C. x＞－2 D. x≥－2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，2x+4≥0， 解得，x≥-2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 25. 在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩的方差是3，下列说法正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义求解可得． 【详解】∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差， ∴乙的成绩比甲的成绩稳定， 故选B. 【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 26. 若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1或﹣1 D. 2或0 【答案】A 【解析】 【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0， 解得：k＝﹣1， 故选A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 27. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的化简法则：当分式的分子、分母都是单项式或几个因式的乘积时，可依据分式的基本性质直接约分化简；当分子或分母为多项式时，一般先进行因式分解，再依据分式的基本性质进行约分化简，进行计算即可 【详解】 ＝＝a－1 . 故选A. 【点睛】此题考查分式的化简，掌握运算法则是解题关键 28. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象经过第一、二、四象限可得，解不等式即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 29. 如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ） A. 3：2 B. 4：3 C. 6：5 D. 8：5 【答案】D 【解析】 【分析】过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF∥CE 得到==，则 CE=DF，由 DF∥AE 得到==，则 AE=4DF， 然后计算的值． 【详解】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F， ∵DF∥CE， ∴=， 而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD， ∴=，则 CE=DF， ∵DF∥AE， ∴=， ∵AG：GD=4：1， ∴=，则 AE=4DF， ∴=， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键. 30. 如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，，接着证明，利用相似比得到，所以，然后在中利用正弦定义计算出的长． 【详解】连接，如图， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”是解题的关键. 31. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根、无理数的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，是有理数，此项不符题意； B、是有理数，此项不符题意； C、是有理数，此项不符题意； D、，是无理数，此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键． 32. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，此项不是最简分式，不符题意； B、是最简分式，符合题意； C、，此项不是最简分式，不符题意； D、，此项不是最简分式，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式，熟记定义是解题关键． 33. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣2a3）2＝4a6 B. a2•a3＝a6 C. 3a+a2＝3a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个选项中的运算，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确； ∵a2•a3＝a5，故选项B错误； ∵3a+a2不能合并，故选项C错误； ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，掌握以上知识是解题的关键． 34. 下列说法中，其中不正确的有（ ） ①如果x＝y，那么＝ ②a2的算术平方根是a， ③同旁内角互补，两直线平行； ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的性质，算术平方根的定义，平行线的判定及性质依次分析判断即可得到答案． 【详解】解：①如果x＝y，那么＝（），故该项符合题意； ②若a是非负数，则a2的算术平方根是a，故该项符合题意； ③同旁内角互补，两直线平行，故该项不符合题意； ④两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查等式的性质，算术平方根的定义，平行线的判定及性质，综合掌握各知识点是解题关键． 35. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】连接OD、AD，根据圆内接四边形的性质求出，由OA=OD求得，再根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半得到答案． 【详解】解：如图，连接OD、AD， ∵点A、B、C、D在圆上， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， ∴， ∵∠BCD＝100°， ∴， ∵OA=OD， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，正确连接辅助线是解题的关键． 36. 如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据物体的特点作答； 【详解】解：这是一个中间部分掏空的长方体，根据俯视图是从物体上面所看到的图形， 故选：C 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，根据物体的特征回答是解题的关键． 37. 下列函数中，的值随着逐渐增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案． 【详解】A选项函数的图象是随着增大而增大，故本选项错误； B选项函数的对称轴为，当时随增大而减小故本选项错误； C选项函数，当或，随着增大而增大故本选项错误； D选项函数的图象是随着增大而减小，故本选项正确； 故选D. 【点睛】本题考查了三种函数的性质，了解它们的性质是解答本题的关键，难度不大． 38. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、a+b＝﹣1，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，a+b＝﹣1， ∴＝2022﹣1＝2021． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、a+b＝﹣1是解题的关键． 39. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于，延长交轴于，根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得． 【详解】如图作轴于，延长交轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数的几何意义，，， 四边形的面积， 故选C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线 40. 如图，已知的弦，为上一动点（点与点、不重合），连接并延长交于点，交于点，为上一点，当时，则的最大值为（  ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于，连接．设．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】解：连接，延长交于，连接．设． ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 时，的最大值为8， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，二次函数的性质知识，掌握相关知识是解决问题的关键． 二、填空题（共24题） 41. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 42. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 【答案】x≥－1 【解析】 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 43. 如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，先根据平移的性质得到，，而，则四边形的周长，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的周长 ． 故答案为：． 44. 计算： _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式混合运算法、绝对值的化简、负指数幂等知识．先计算出二次根式乘法、绝对值、负指数幂，再合并同类项得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 45. 如图，以为直径的与弦相交于点，且，，．则弧的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，先根据勾股定理的逆定理判断出的形状是直角三角形，即，再由垂径定理，得出，，由锐角三角函数的定义得到，求出，故可得出，求出，再根据弧长公式即可得出． 【详解】解：如图，连接， ，，，， ， 是直角三角形，， ， 以为直径的与弦相交于点， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 46. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的是________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；分别求出S△EGC与S△AFE的面积比较即可；求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=135°． 【详解】解：①正确． 理由： 由题意得：AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）； ②正确． 理由： EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x． 在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）2+42=（x+2）2， 解得x=3． ∴BG=3=6-3=CG； ③正确． 理由： ∵CG=BG，BG=GF， ∴CG=GF， ∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF． 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG； ∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB =∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF， ∴； ④正确． 理由： ∵S△GCE=GC•CE=×3×4=6， ∵S△AFE=AF•EF=×6×2=6， ∴S△EGC=S△AFE； ⑤错误． 理由： ∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE， 又∵∠BAD=90°， ∴∠GAE=45°， ∴∠AGB+∠AED=180°-∠GAE=135°． 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用． 47. =_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘方的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是注意符号问题． 48. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． 49. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别将分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 50. 如图，把绕点逆时针方向旋转90°，得到，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据旋转的性质可得，再根据勾股定理即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 51. 如图，在中，，，沿对折后，点B刚好落在边上的点E处，若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．利用，，可得，根据折叠性质，可得，，，从而得到，计算出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据折叠性质有：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 52. 将5个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点，，……，分别是正方形的中心，则这5个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是______；若按此规律摆放个这样的正方形，则这个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得四边形的面积等于正方形的面积，然后利用正方形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， 则四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 同理可得：其他两两重叠（阴影）部分的面积均为1， 则这5个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是， 这个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 53. 2020的相反数是__________． 【答案】-2020 【解析】 【分析】根据相反数的代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可解答． 【详解】解：2020的相反数是-2020 故答案为：-2020． 【点睛】此题考查的是求一个数的相反数，掌握相反数的代数意义是解决此题的关键． 54. 袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球.从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解． 【详解】从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率=． 故答案为． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 55. 若反比例函数y=的图象经过点(1，﹣1)，则k=____． 【答案】-1 【解析】 【详解】解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，﹣1）， ∴k=1×（﹣1）=﹣1． 故答案为﹣1． 56. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 57. 将二次函数化成的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法整理即可得解． 【详解】解：， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：为常数)； (2)顶点式：； (3)交点式(与轴)：． 58. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，0），以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使……按此规律进行下去，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论． 【详解】由题意得， A1的坐标为（1，0）， A1A2=OA1tan60°=， ∴A2的坐标为（1，）， OA2=2OA1=2， OA3=2OA2=4， 过A3作A3B⊥x轴， ∵∠A3OB=180°-60°-60°=60°， ∴∠BA3O=30° ∴OB=OA3=2 ∴A3B= ∴A3的坐标为（−2，2）， 同理可得A4的坐标为（−8，0）， A5的坐标为（−8，−8）， A6的坐标为（16，−16）， A7的坐标为（64，0）， … 由上可知，A点的方位是每6个循环， 与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n−1，其纵坐标为0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n−2，纵坐标为×2n−2， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为−2n−2，纵坐标为×2n−2， 与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为−2n−1，纵坐标为0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为−2n−2，纵坐标为×（−2n−2）， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n−2，纵坐标为×（−2n−2）， ∵2020÷6＝336…4， ∴点A2020的方位与点A4的方位相同，在x负半轴上，其横坐标为−2n−1＝，纵坐标为0， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律． 59. 因式分解： _______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，掌握分解因式的方法是关键；先提公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 60. 如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是_______. 【答案】a≥﹣3. 【解析】 【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式组得到关于a的不等式进行求解即可． 【详解】解：因为这个不等式组的解集为x＜a﹣4， 则3a+2≥a﹣4， 解这个不等式得a≥﹣3 故答案为：a≥﹣3. 【点睛】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键 61. 如图，一直线经过原点且与反比例函数相交于点，点过点作轴，垂足为，连接．则面积为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】由轴，可得再由一直线经过原点且与反比例函数相交于点，点可得关于原点对称，可得 可得 于是可得答案． 【详解】解： 轴， 一直线经过原点且与反比例函数相交于点，点 关于原点对称， 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的的几何意义，反比例函数图像的对称性，掌握以上知识是解题的关键． 62. 如图，直线经过点，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合图象首先可得的图象过点A，因此便可得的解集． 【详解】解：∵正比例函数也经过点， ∴的解集为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查函数的不等式的解，关键在于根据图象来判断，这是最简便的解题方法． 63. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步． 【答案】． 【解析】 【分析】如图，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论. 【详解】如图， ∵四边形CDEF是正方形， ∴CD=ED，DE∥CF， 设ED=x，则CD=x，AD=12-x， ∵DE∥CF， ∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝， ∴＝， ∴x=， 故答案为. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键． 64. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可． 【详解】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′， 此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′， 由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°， ∴∠COD′=90°， ∴， 的长， ∴阴影部分周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键． 三、解答题（共36题） 65. 解分式方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】方程两边都乘以，把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边都乘以得： ， 化简得：， 解得：，， 检验：当或时， ， ∴，是原方程的根． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，最后一定记得检验． 66. 如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD. 【答案】 ∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC， 又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD． ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠CBE=∠BAD． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．再有等腰三角形的三线合一，可以得到∠BAD=∠CAD,再通过等量代换即可得到结果. 【详解】略 67. 为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图. 某班参加球类活动人数统计表 项目 篮球 足球 排球 羽毛球 乒乓球 人数 m 6 8 6 4 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）图表中m=________，n=________； （2）若该校学生共有1000人，则该校参加羽毛球活动的人数约为________人； （3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有3位男同学（分别用A，B，C表示）和1位女同学（用D表示），现准备从中选出两名同学参加双打比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一女的概率. 【答案】（1）16；20；（2）150；（3）. 【解析】 【详解】分析：（1）根据足球的人数和百分比，求出总人数即可解决问题； （2）利用样本估计总体的思想即可解决问题； （3）画出树状图，根据概率公式即可求解． 详解：（1）由统计表和扇形统计图可得： 足球的人数为6人，百分比为15%， ∴总人数为6÷15%=40（人）， ∴m=40×40%=16（人）， n%=8÷40=20%. ∴n=20. （ 2 ）参加羽毛球活动的百分比为：6÷40=15%， ∴该校参加羽毛球活动的人数为：1000×15%=150（人）. 答：该校参加羽毛球活动的人数约为150人. （3）依题可得：         ∴从4人中选出两名同学的所有情况有12种，而一男一女的情况有6种， 则P（恰好选到一男一女）=． 点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 68. 已知． （1）化简； （2）若满足方程，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将括号内式子通分，化分式除法为分式乘法，约分化简即可； （2）先解一元二次方程，再将求得的值代入（1）中结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，， 当分式有意义时，，， 可得或2或， 因此只能取， 当时，， 综上可知，的值为． 【点睛】本题考查分式化简求值，解一元二次方程，解题的关键是掌握分式的运算法则，以及因式分解法解一元二次方程，注意x的取值要使分式有意义． 69. 如图，已知矩形． （1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹； 以点A为圆心，以的长为半径画弧交边于点E，连接； 作的平分线交于点F； 连接； （2）在（1）作出的图形中，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）线段的长为 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由作图可知，，根据勾股定理求出，证明，得到，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：根据作图过程可知：， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得 即线段的长为． 70. 如图，为的直径，弦与相交于，，过点的切线与的延长线交于，过作于，延长交于． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）由为的直径，，根据垂径定理的推论，可证得，又由，易证得，即可得，继而可证得，则可证得结论； （2）由为的直径，可得，由是切线，可得，然后由三角函数的性质，求得的长，继而求得答案． 【小问1详解】 证明：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ， ， ． ， ， ， 的半径为10． 【点睛】此题考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、弦切角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数．此题难度适中，解题关键在于注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 71. 矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E． （1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标； （2）连接EF，求∠EFC的正切值； （3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 【答案】（1）E（2，3）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）先确定出点C坐标，进而得出点F坐标，即可得出结论； （2）先确定出点F的横坐标，进而表示出点F的坐标，得出CF，同理表示出CE，即可得出结论； （3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结论． 【详解】（1）∵OA=3，OB=4， ∴B（4，0），C（4，3）， ∵F是BC的中点， ∴F（4，）， ∵F在反比例y=函数图象上， ∴k=4×=6， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵E点的坐标为3， ∴E（2，3）； （2）∵F点的横坐标为4， ∴F（4，）， ∴CF=BC﹣BF=3﹣= ∵E的纵坐标为3， ∴E（，3）， ∴CE=AC﹣AE=4﹣=， 在Rt△CEF中，tan∠EFC=， （3）如图，由（2）知，CF=，CE=，， 过点E作EH⊥OB于H， ∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°， ∴∠EGH+∠HEG=90°， 由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°， ∴∠EGH+∠BGF=90°， ∴∠HEG=∠BGF， ∵∠EHG=∠GBF=90°， ∴△EHG∽△GBF， ∴， ∴， ∴BG=， 在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2， ∴（）2﹣（）2=， ∴k=， ∴反比例函数解析式为y=． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF是解本题的关键． 72. 已知抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C．的平分线交y轴于点D．过点D的直线l与射线分别交于点M、N． （1）求抛物线的对称轴； （2）当实数时，求二次函数在时的最大值；（可用含a的代数式表示） （3）当直线l绕点D旋转时，试证明为定值，并求出该定值． 【答案】（1）抛物线对称轴为直线 （2）当时，最大值为；当时，最大值为4 （3）证明见解析，该定值是 【解析】 【分析】（1）直接把数值代入进行计算，即可作答． （2）要结合进行分类讨论，当或进行分类讨论，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）先整理得出，结合的平分线交y轴于点D，得出，然后再进行分类讨论，即当M在线段上时，或当M在线段延长线上时，运用数形结合思想以及一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线 ∴抛物线对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线对称轴为直线 依题意，①当时，如图： 此时二次函数在时的最大值，在时取得， 此时最大值为 ②当时，如图： 此时二次函数在时的最大值，在时取得， 此时最大值为， 综上所述，当时，最大值为；当时，最大值为4； 【小问3详解】 解：过M作轴于E， 在中，令得， 令时，则， ∴， 得，， ∵抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C． ∴, ∴，， ∴ ∴， 即， ∵的平分线交y轴于点D， ∴， ∴， ∴； ①当M在线段上时，如图： 设，则， ∴， 设直线解析式为， 将，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 整理得， ∴， ∴， ∴为定值，且是； ②当M在线段延长线上时，如图： 设，，则， ∴， 设直线解析式为， 将，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 在中，，， 同理得， ∴， ∴， 将代入， 得， 整理得， ∴， ∴， 综上所述，直线l绕点D旋转时， 为定值，该定值是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的几何综合，一次函数的几何综合，勾股定理，角的直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 73. 已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，P是平面上的一点，且DP=1，连接BP，CP （1）如图，当点P在线段BD上时，求CP的长； （2）当△BPC是等腰三角形时，求CP的长； （3）将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B′，连接AB′，求AB′的最大值． 【答案】（1）PC=3；（2）或；（3）4+． 【解析】 【分析】如图1中，连接CD．D是AB的中点,可求出CD，再根据勾股定理求出PC； 当△BPC是等腰三角形时，分三种情形讨论； 推出点P落在CD的延长线与⊙D的交点处，PC的值最大，推出可得AB′的最大值为. 【详解】（1）如图1中，连接CD． 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴AB=， ∵AD=DB， ∴CD=AB=,CD⊥AB， 在中， （2）如图2中， ∴点P在以点D为圆心的⊙D上． ①当PB=PC时， ∵CD=DB， ∴P、D都在线段BC的垂直平分线上，设直线DP交BC于E． ∴∠PEC=90°，BE=CE=2， ∵∠CDB=90°， ∴DE=BC=CE=2， 在中， 当P在线段PD上时，PE=DE﹣DP=1， 当P在线段ED的延长线上时，PE=ED+DP=3， ②当PC=BC时， ∴PC≠BC，此种情形不存在； ③当PB=BC时，同理这种情形不存在； 如图3中 （3）如图4中，连接BB′． 由旋转可知：PB=PB′，∠BPB′=90°， ∴∠PBB′=45°， ∴BB′=PB， ∴ ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠ABC=45°， ∴∠ABC=∠PBB′， ∴∠ABB′=∠CBP， ∵ ∴ ∴ ∴△ABB′∽△CBP， ∴ ∴点P落在CD的延长线与⊙D的交点处，PC的值最大， ∴AB′的最大值为4+. 【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、点与圆的位置关系、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题． 74. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解是解决本题的关键． 75. 如图，已知，．求证：． 【答案】 证明：在和中，， ． 【解析】 【分析】利用定理即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 76. 已知在函数中，随的增大而增大，． （1）化简A； （2）点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为，求A的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据题意，则，进而化简即可； （2）根据题意，代入（1）中化简的，求得值即可． 【小问1详解】 解：在函数中，随的增大而增大， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：点在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为， ， ． 77. 某校初三（1）班有25名学生需要参加球类测试（每位学生选报一项），具体情况统计表如下： 球类（每位学生选一项） 人数 占总人数的百分比 足球 5 20% 篮球 44% 排球 9 合计 25 100% （1）求，的值； （2）若将上表中，各球类的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“排球”对应扇形的圆心角的度数（不要求画统计图）； （3）在选报“足球”的学生中，有2名男生（分别记为男1，男2），3名女生（分别记为女1，女2，女3），为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取男生、女生各1名进行足球测试，求刚好抽中男1女2的概率． 【答案】（1）a=11，b=36％；（2）129.6°；（3） 【解析】 【分析】（1）根据表格求出a与b的值即可； （2）用360°×排球所占比例，即可求出圆心角的度数； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，再利用概率公式，即可求出所求概率． 【详解】解：（1）根据题意得：b＝1−（44%+20%）＝36％； a=25×44%=11； （2）根据题意得：360°×36％＝129.6°； （3）画树状图： ∴一共有6种等可能结果，刚好抽中男1女2的情况只有1种， ∴P（刚好抽中男1女2）=1÷6=． 【点睛】此题考查了概率公式，扇形统计图，画树状图，根据题意画出树状图，是解本题的关键． 78. 为了做好新冠肺炎疫情防控工作，某校第一次用元购买了洗手液与消毒液共瓶，已知洗手液的价格是元瓶，消毒液的价格是元瓶． （1）该校第一次购进的洗手液和消毒液各多少瓶？ （2）若该校还需第二次购买洗手液和消毒液共瓶，总费用不超过元，请问第二次最多能购买洗手液多少瓶？ 【答案】（1）第一次购进瓶洗手液，瓶消毒液 （2）第二次最多能购买洗手液瓶 【解析】 【分析】（1）设该校第一次购进瓶洗手液，瓶消毒液，根据总价单价数量，结合该校第一次用元购买了洗手液与消毒液共瓶，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二次购买洗手液瓶，则购买消毒液瓶，根据总价单价数量，结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该校第一次购进瓶洗手液，瓶消毒液， 依题意得：， 解得：． 答：该校第一次购进瓶洗手液，瓶消毒液． 【小问2详解】 解：设第二次购买洗手液瓶，则购买消毒液瓶， 依题意得：， 解得：． 答：第二次最多能购买洗手液瓶． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 79. 一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数）的图象都经过点． （1）求和的值； （2）画出一次函数图象，直接写出当取何值时，成立． 【答案】（1）n=-1，t=-2；（2）当x＜-1或0＜x＜2时，成立． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）画出一次函数的图象在和反比例函数的图象，并求出它们的交点，取一次函数图像在反比例函数图像上方部分的自变量的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点， ∴，解得：n=-1，t=-2； （2）由（1）可知：，，画出图像如下： 由图像可知：当x＜-1或0＜x＜2时，成立． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题等知识，解题的关键是画出函数图像以及它们的交点，学会利用数形结合的思想解决问题． 80. 四边形是平行四边形，对角线，交于点． （1）如图是的一部分，请用尺规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图，在射线上作一点，使得60°若是等边三角形，求证：是菱形； （3）在（2）的条件下，若，求证：菱形是正方形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解 【解析】 【分析】（1）先作AC的中垂线，得到线段AC的中点O，连接BO，并延长，在延长线上截取OD=BO，连接AD，CD，即可； （2）根据等边三角形”三线合一“的性质，可得AC⊥BD，进而即可得到结论； （3）先算出∠AED=∠AEC=30°，15°，从而得∠ADO=45°，进而即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示： （2）证明：∵在中， ∴AO=CO， ∵是等边三角形， ∴AC⊥OE，即：AC⊥BD， ∴是菱形； （3）∵是等边三角形，AC⊥OE， ∴∠AED=∠AEC=30°， ∵， ∴15°， ∴∠ADO=30°+15°=45°， ∴在菱形ABCD中，∠ADO=∠CDO=45°，即：∠ADC=90°， ∴菱形是正方形． 【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的判定定理，熟练掌握上述判定定理和性质定理，是解题的关键． 81. 如图，在中，，，，过点的圆与斜边相切于点，与，边分别交于点，（异于的交点）． （1）求的值； （2）的长是否有最小值？如果有，请求出该值；如果没有，请说明理由； （3）若与相似，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）的长有最小值， （3）的面积为或 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理可得，再根据正弦三角函数的定义即可得； （2）如图（见解析），先确定圆心的位置，从而可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据圆的切线的性质可得，最后利用三角形的面积公式即可得； （3）分和两种情况，先根据相似三角形的性质得出对应角相等，再利用圆的切线的性质、解直角三角形求解即可得． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，设的中点为点，连接， ， 是圆的直径，点是圆心， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为， 是的切线， ， ，即， 解得：， 则的最小值为； 【小问3详解】 解：由题意，分以下两种情况： ①当时，则， 如图，设的中点为点，连接，并延长交于点，连接， ， ， ， ， ， ，即， 是的切线， ， 点与点重合， 为的直径， ， 由（2）已得：当时，， ， 在中，，即， 解得， 在中，， 在中，，即， 解得， 则的面积为； ②当时，则， ，， 如图，设的中点为点，过点作于点，连接， 则四边形是正方形， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 在中，，， 解得，， ， 又， ， 解得， ，， 则的面积为， 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 82. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在直线上，，且． （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）若的面积比面积大12，当随着的增大而减小时，求自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，点在的图象上，点在的图象上，求与的较大值（用表示），问有无最小值？若有，请求出该值；若无，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），无最小值，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先将点的坐标代入可求出的值，再根据抛物线的解析式即可得； （2）先求出点的坐标，再根据面积关系建立方程可求出的值，然后利用二次函数的性质即可得； （3）先求出抛物线和直线的解析式，再画出图象，结合函数图象即可得和的最小值． 【详解】解：（1）将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 当时，， 则点的坐标为； （2），且， ， 将点代入得：，解得， ，，且， ， ， 当时，，即， 的面积比面积大12， ，即， 解得或（舍去）， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为， 因此，当随着的增大而减小时，自变量的取值范围为； （3）由（2）可知，，， 则，， 画出两个函数的图象如下： 由图象可知，当时，， 则， 当或时，， 则， 综上，， 又时，随的减小而减小， 无最小值． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 83. 解分式方程：． 【答案】是原分式方程的解 【解析】 【分析】两边同乘以x（x－1），化成整式方程，解方程后再检验即可． 【详解】解： 两边同乘以x（x－1）得： 去括号得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，一定要验根，熟练掌握解分式方程的步骤是解答的关键． 84. 如图，在四边形ABCD中，，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点，求证：四边形ABCD是平行四边形 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】 点F是CD的中点 在和中， 又 四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键． 85. 已知多项式． （1）化简多项式A； （2）若，求A的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并即可得； （2）由得，代入可得． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，解题的关键是掌握完全平方公式与项式乘多项式法则． 86. 九（1）班名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒品”知识竞赛初赛，赛后对成绩进行分析，制作如右的频数分布表，请解答下列问题： 分数段 频数（人数） （1）= ； （2）全校共有名学生参加初赛，估计该校成绩范围内的学生有多少人？ （3）九 （1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，若在该三位同学中任选两人参加决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1） （2）估计该校成绩范围内的学生有50人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据总人数=频数之和，计算即可； （2）将样本中，成绩在范围内的学生所占比例乘以总人数600即可； （3）画出树状图，利用概率公式计算即可； 【小问1详解】 依题意：， 故答案为：4 【小问2详解】 人 答：估计该校成绩范围内的学生有50人 【小问3详解】 根据题意，画树状图如下： ∴所有等可能的结果共有6种，其中甲、乙被选中（记为事件A）的有2种情况，分别是：甲乙、乙甲. ∴． 【点睛】本题考查了读频数分布表的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法或画树状图法求概率． 87. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出中的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)y=-2x+6；(2) 或；(3)3． 【解析】 【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标； （2）由图直接解答； （3）将△AOB的面积转化为S△AON-S△BON的面积即可． 【详解】(1)∵点在反比例函数上， ∴，解得， ∴点的坐标为， 又∵点也在反比例函数上， ∴，解得， ∴点的坐标为， 又∵点、在的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为． (2)根据图象得：时，的取值范围为或； (3)∵直线与轴的交点为， ∴点的坐标为， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图像解不等式，及割补法求图形的面积，数形结合是解题的关键． 88. 如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处． （1）求该轮船航行的速度； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）轮船航行的速度为：千米/时．（2）该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸． 【解析】 【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据锐角三角函数定义和勾股定理解答． （2）延长AB交l于D，比较OD与ON的大小即可得出结论． 【详解】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得 OA=千米，OB=20千米，∠AOC=30°． ∴（千米）． ∵在Rt△AOC中 OC=OA•cos∠AOC=（千米）， ∴BC=OC﹣OB=30﹣20=10（千米）． ∴在Rt△ABC中，（千米）． ∴轮船航行的速度为：（千米/时）． （2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由是： 延长AB交l于点D． ∵AB=OB=20（千米），∠AOC=30°， ∴∠OAB=∠AOC=30°，∴∠OBD=∠OAB+∠AOC=60°． ∴在Rt△BOD中，OD=OB•tan∠OBD=20×tan60°=（千米）． ∵， ∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸． 89. 已知：在平行四边形中，，垂足为E，，点F为的中点，点G为上的一点，连接，，，． （1）若，，求的长； （2）探究与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识点的应用． （1）先由已知求出，根据平行四边形的性质求出，再根据勾股定理求出即可； （2）延长，交延长线于M，证，推出，再证明，推出，根据直角三角形的性质得，则，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，点F为的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：，证明如下： 延长，交延长线于M， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 90. 如图，以的直角边为直径作交斜边于点，过圆心作，交于点，连接. （1）判断与的位置关系并说明理由； （2）求证：； （3）若，，求的长. 【答案】（1）是的切线，理由如下： 如图，连接，， 是的直径， ， ， ， ，即点是的中点， 在中，， ， ， ， ，即， 点在上， 是的切线； （2）证明：，， ， ， ， 由（1）知，， ， 点是的中点，点是的中点， 是是中位线， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，由直径所对的圆周角是直角可得，由平行可得点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角结合角的和差关系等量代换证明，即可得出结论； （2）先判断出，得出，再由，结合中位线的性质得出，即可得出结论； （3）先求出，进而在中，利用正切值结合勾股定理可求出，，再借助（2）的结论求出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， 在中，， 设，， 根据勾股定理得，， 即，解得（负值已舍去）， ，， 由（2）知，， ， ． 91. 如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4． （1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m的代数式表示）； （2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）； （3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值． 【答案】（1）（m，2m﹣5）；（2）S△ABC =﹣；（3）m的值为或10+2． 【解析】 【详解】分析：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解； （2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，由AB∥x轴且AB＝4，可得出点B的坐标为（m＋2，4a＋2m−5），设BD＝t，则点C的坐标为（m＋2＋t，4a＋2m−5−t），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出S△ABC的值； （3）由（2）的结论结合S△ABC＝2可求出a值，分三种情况考虑：①当m＞2m−2，即m＜2时，x＝2m−2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m−5≤m≤2m−2，即2≤m≤5时，x＝m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m−5，即m＞5时，x＝2m−5时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值．综上即可得出结论． 详解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5， ∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）， 故答案为（m，2m﹣5）； （2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示， ∵AB∥x轴，且AB=4， ∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）， ∵∠ABC=135°， ∴设BD=t，则CD=t， ∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）， ∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上， ∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5， 整理，得：at2+（4a+1）t=0， 解得：t1=0（舍去），t2=﹣， ∴S△ABC=AB•CD=﹣； （3）∵△ABC的面积为2， ∴﹣=2， 解得：a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5． 分三种情况考虑： ①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2， 整理，得：m2﹣14m+39=0， 解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）； ②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=； ③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2， 整理，得：m2﹣20m+60=0， 解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2． 综上所述：m的值为或10+2． 点睛：本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用等腰直角三角形的性质找出点C的坐标；（3）分m＜2、2≤m≤5及m＞5三种情况考虑． 92. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则． 93. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 思路是根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论． 【详解】略 94. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2， ∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 95. 如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点． （1）求k，m的值； （2）写出函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围． 【答案】（1）k=-2，m=-1（2）﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可； 【详解】解：（1）∵点E（﹣4，）在y=上，∴k=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣． ∵F（m，2）在y=上，∴m=﹣1． （2）函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 96. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在问题（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能 设后，的面积等于根据题意，得， ， ． 此方程无实数根， 的面积不能等于． 【解析】 【分析】本题通过动点的形式考查一元二次方程求解及利用判别式判定是否存在实数根； （1）根据题意可以求得对应运动时经过的路程，利用三角形面积公式即可求得时间； （2）根据题意列出一元二次方程，用判别式求解方程根的情况，即可说明是否存在． 【小问1详解】 解：设后，的面积等于根据题意，得 解得，． 当时，不合题意，舍去， 答：后，的面积等于； 【小问2详解】 略 97. 如图，某校有一教学楼，其上有一避雷针为2米，数学楼后面有一小山，其坡（坡面为）的坡度为，山坡上有一休息亭供爬山人员休息，测得山坡脚与教学楼的水平距离为9米，与休息亭的距离为10米，从休息亭测得教学楼上避雷针顶点的仰角为30°． （1）求的坡角； （2）教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）米． 【解析】 【分析】（1）如图（见解析），根据坡度的定义可得，再根据正切三角函数即可得； （2）如图（见解析），先根据直角三角形的性质可得的长，从而可得的长，再根据矩形的判定与性质可得，然后解直角三角形可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， 由题意得：， 在中，， 则， 即的坡角为； （2）如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 由题意得：， 在中，，米， 米，米， 米， 米， 米， 在中，（米）， 则（米）， 答：教学楼的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、坡度与坡角等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 98. 已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC． ①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明． 【答案】 ①如图： ②或 【解析】 【分析】①根据直径所对的圆周角是直角及线段的垂直平分线的作法作图即可； ②在PA上截取AK=PB，由△CAK≌△CBP，得到CK=CP，得△CPK是等腰直角三角形，从而得出，如图4，同理可得． 【详解】解：① 略 ②如图3，在PA上截取AK=PB， ∵，AC=BC， ∴△CAK≌△CBP， ∴CK=CP， ∵， ∴△CPK是等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图4，同理可得， ∴PA、PB、PC的关系为或． ． 【点睛】此题考查圆周角定理，线段垂直平分线的画法及性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正确引出辅助线是解题的关键． 99. 定义： 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”. 理解： ⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）； ⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由； 运用： ⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（，），（，）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解． 试题解析： （1）如图1所示： （2）△AEF是否为“智慧三角形”， 理由如下：设正方形的边长为4a， ∵E是DC的中点， ∴DE=CE=2a， ∵BC：FC=4：1， ∴FC=a，BF=4a﹣a=3a， 在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2， 在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2， 在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2， ∴AE2+EF2=AF2， ∴△AEF是直角三角形， ∵斜边AF上的中线等于AF的一半， ∴△AEF为“智慧三角形”； （3）如图3所示： 由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形， 根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为3， 由勾股定理可得PQ=， PM=1×2÷3=， 由勾股定理可求得OM=， 故点P的坐标（﹣，），（，）． 考点：圆的综合题． 100. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标； （3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）M（，0）；（3）存在，点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出|BM﹣CM|最小时，BM＝CM，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出∠ACB＝∠BHN＝90°，分两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：（1）针对于y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）， 令y＝0，则0＝﹣x+2， ∴x＝4， ∴B（4，0）， ∵点C在抛物线y＝﹣x2+bx+c上， ∴c＝2， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+2， ∵点B（4，0）在抛物线上， ∴﹣8+4b+2＝0， ∴b＝， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）∵|BM﹣CM|最小， ∴|BM﹣CM|＝0， ∴BM＝CM， ∴BM2＝CM2， 设M（，m）， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2， ∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2， ∴m＝0， ∴M（，0）； （3）存在，理由： 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2， 令y＝0，则0＝﹣x2+x+2， ∴x＝4或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25， ∴CB2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∵NH⊥x轴， ∴∠BHN＝90°＝∠ACB， 设N（n，﹣n2+n+2）， ∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|， ∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似， ∴①△BHN∽△ACB， ∴， ∴＝， ∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍）， ∴N（﹣5，﹣18）或（3，2）， ②△BHN∽△BCA， ∴， ∴＝， ∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2， ∴N（0，2）或（﹣2，﹣3）， 即满足条件的点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质、相似三角形的性质，运用数形结合与分类讨论的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年广州各区二模经典试卷集 一、单选题（共40题） 1. 4的相反数是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. D. - 2. 如图2是一个几何体的三视图，则这几何体的展开图可以是（ ） A. B. C. D. 3. 某细胞截面可以近似看成圆，它的半径约为m，则用科学记数法表示为（  ） A. B. C. D. 4. 四张完全相同的卡片上，分别画有圆、正方形、等边三角形和线段，现从中随机抽取两张，卡片上画的恰好都是中心对称图形的概率为（　　） A. 1 B. C. D. 5. 下列各式运算中，正确的是( ) A. B. C. D. 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数y＝ax+b的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B，则下列结论一定正确的是（　　） A. a﹣b＞0 B. a+b＞0 C. b﹣a＞0 D. ﹣a﹣b＞0 8. 观察下列图形它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形的“★”有（　　） A. 57个 B. 60个 C. 63个 D. 85个 9. 如图，矩形中，，点为的中点，点为上一个动点，点为的中点，连接，当的最小值为时，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 对于二次函数y=ax2－（2a－1）x＋a－1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y=x－1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 实数0，，4，中，无理数是（ ）． A. 4 B. C. 0 D. 12. 直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，全国人口共1411778724人．用科学记数法表示1411778724精确到亿位的近似值为（ ）． A. B. C. D. 14. 下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 15. 一组数据：12，13，14，15，15，15．这组数据的众数和平均数分别是（ ）． A. 12，15 B. 15，14 C. 14，15 D. 13，14 16. 下列命题中，是假命题的是（ ）． A. 两个等边三角形相似 B. 有一个角为20°的两个直角三角形相似 C. 两个等腰直角三角形相似 D. 两个直角三角形相似 17. 解不等式组，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图（ ）． A. B. C. D. 18. 如果一个三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）． A. 16 B. 9 C. 10 D. 15 19. 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（ ）． A. B. C. D. 20. 如图，平面直角坐标系中，A点坐标为，点在直线上运动，设的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 21. 如果温度上升记作，那么温度下降记作（　　） A. B. C. D. 22. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 23. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 24. 函数y＝，自变量x的取值范围是（　 　） A. x≠－2 B. x≤2 C. x＞－2 D. x≥－2 25. 在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩的方差是3，下列说法正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 26. 若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1或﹣1 D. 2或0 27. 化简（ ） A. B. C. D. 28. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 29. 如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ） A. 3：2 B. 4：3 C. 6：5 D. 8：5 30. 如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 31. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 32. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 33. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣2a3）2＝4a6 B. a2•a3＝a6 C. 3a+a2＝3a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 34. 下列说法中，其中不正确的有（ ） ①如果x＝y，那么＝ ②a2的算术平方根是a， ③同旁内角互补，两直线平行； ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 35. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 36. 如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ） A. B. C. D. 37. 下列函数中，的值随着逐渐增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 38. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 39. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（　　） A. B. C. D. 40. 如图，已知的弦，为上一动点（点与点、不重合），连接并延长交于点，交于点，为上一点，当时，则的最大值为（  ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 二、填空题（共24题） 41. 分解因式：=______． 42. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 43. 如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_______． 44. 计算： _____． 45. 如图，以为直径的与弦相交于点，且，，．则弧的长是_____． 46. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的是________． 47. =_____． 48. 方程的解为______． 49. 化简：______． 50. 如图，把绕点逆时针方向旋转90°，得到，，那么______． 51. 如图，在中，，，沿对折后，点B刚好落在边上的点E处，若，则的长是______． 52. 将5个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点，，……，分别是正方形的中心，则这5个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是______；若按此规律摆放个这样的正方形，则这个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是______． 53. 2020的相反数是__________． 54. 袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球.从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为________. 55. 若反比例函数y=的图象经过点(1，﹣1)，则k=____． 56. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 57. 将二次函数化成的形式为__________． 58. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，0），以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使……按此规律进行下去，则点的坐标为_________． 59. 因式分解： _______ 60. 如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是_______. 61. 如图，一直线经过原点且与反比例函数相交于点，点过点作轴，垂足为，连接．则面积为________________________． 62. 如图，直线经过点，当时，的取值范围为__________． 63. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步． 64. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为_____． 三、解答题（共36题） 65. 解分式方程：． 66. 如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD. 67. 为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图. 某班参加球类活动人数统计表 项目 篮球 足球 排球 羽毛球 乒乓球 人数 m 6 8 6 4 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）图表中m=________，n=________； （2）若该校学生共有1000人，则该校参加羽毛球活动的人数约为________人； （3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有3位男同学（分别用A，B，C表示）和1位女同学（用D表示），现准备从中选出两名同学参加双打比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一女的概率. 68. 已知． （1）化简； （2）若满足方程，求的值． 69. 如图，已知矩形． （1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹； 以点A为圆心，以的长为半径画弧交边于点E，连接； 作的平分线交于点F； 连接； （2）在（1）作出的图形中，若，，求线段的长． 70. 如图，为的直径，弦与相交于，，过点的切线与的延长线交于，过作于，延长交于． （1）求证：； （2）若，求的半径． 71. 矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E． （1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标； （2）连接EF，求∠EFC的正切值； （3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 72. 已知抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C．的平分线交y轴于点D．过点D的直线l与射线分别交于点M、N． （1）求抛物线的对称轴； （2）当实数时，求二次函数在时的最大值；（可用含a的代数式表示） （3）当直线l绕点D旋转时，试证明为定值，并求出该定值． 73. 已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，P是平面上的一点，且DP=1，连接BP，CP （1）如图，当点P在线段BD上时，求CP的长； （2）当△BPC是等腰三角形时，求CP的长； （3）将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B′，连接AB′，求AB′的最大值． 74. 解方程：． 75. 如图，已知，．求证：． 76. 已知在函数中，随的增大而增大，． （1）化简A； （2）点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为，求A的值． 77. 某校初三（1）班有25名学生需要参加球类测试（每位学生选报一项），具体情况统计表如下： 球类（每位学生选一项） 人数 占总人数的百分比 足球 5 20% 篮球 44% 排球 9 合计 25 100% （1）求，的值； （2）若将上表中，各球类的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“排球”对应扇形的圆心角的度数（不要求画统计图）； （3）在选报“足球”的学生中，有2名男生（分别记为男1，男2），3名女生（分别记为女1，女2，女3），为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取男生、女生各1名进行足球测试，求刚好抽中男1女2的概率． 78. 为了做好新冠肺炎疫情防控工作，某校第一次用元购买了洗手液与消毒液共瓶，已知洗手液的价格是元瓶，消毒液的价格是元瓶． （1）该校第一次购进的洗手液和消毒液各多少瓶？ （2）若该校还需第二次购买洗手液和消毒液共瓶，总费用不超过元，请问第二次最多能购买洗手液多少瓶？ 79. 一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数）的图象都经过点． （1）求和的值； （2）画出一次函数图象，直接写出当取何值时，成立． 80. 四边形是平行四边形，对角线，交于点． （1）如图是的一部分，请用尺规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图，在射线上作一点，使得60°若是等边三角形，求证：是菱形； （3）在（2）的条件下，若，求证：菱形是正方形． 81. 如图，在中，，，，过点的圆与斜边相切于点，与，边分别交于点，（异于的交点）． （1）求的值； （2）的长是否有最小值？如果有，请求出该值；如果没有，请说明理由； （3）若与相似，连接，求的面积． 82. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在直线上，，且． （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）若的面积比面积大12，当随着的增大而减小时，求自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，点在的图象上，点在的图象上，求与的较大值（用表示），问有无最小值？若有，请求出该值；若无，请说明理由． 83. 解分式方程：． 84. 如图，在四边形ABCD中，，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点，求证：四边形ABCD是平行四边形 85. 已知多项式． （1）化简多项式A； （2）若，求A的值． 86. 九（1）班名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒品”知识竞赛初赛，赛后对成绩进行分析，制作如右的频数分布表，请解答下列问题： 分数段 频数（人数） （1）= ； （2）全校共有名学生参加初赛，估计该校成绩范围内的学生有多少人？ （3）九 （1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，若在该三位同学中任选两人参加决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 87. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出中的取值范围； (3)求的面积． 88. 如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处． （1）求该轮船航行的速度； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：） 89. 已知：在平行四边形中，，垂足为E，，点F为的中点，点G为上的一点，连接，，，． （1）若，，求的长； （2）探究与的数量关系，并证明． 90. 如图，以的直角边为直径作交斜边于点，过圆心作，交于点，连接. （1）判断与的位置关系并说明理由； （2）求证：； （3）若，，求的长. 91. 如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4． （1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m的代数式表示）； （2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）； （3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值． 92. 解方程． 93. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 94. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 95. 如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点． （1）求k，m的值； （2）写出函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围． 96. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在问题（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 97. 如图，某校有一教学楼，其上有一避雷针为2米，数学楼后面有一小山，其坡（坡面为）的坡度为，山坡上有一休息亭供爬山人员休息，测得山坡脚与教学楼的水平距离为9米，与休息亭的距离为10米，从休息亭测得教学楼上避雷针顶点的仰角为30°． （1）求的坡角； （2）教学楼的高度．（结果保留根号） 98. 已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC． ①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明． 99. 定义： 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”. 理解： ⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）； ⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由； 运用： ⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标. 100. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标； （3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $