精品解析： 甘肃省平凉市灵台县独店中学2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年甘肃省平凉市灵台县独店中学九年级第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知，若使点A在⊙O内，则点A到圆心的大小应该小于圆的半径，因此圆的半径应该大于5． 故选D 考点：点与圆的位置关系 2. 对于命题“已知：，，求证：”．如果用反证法，应先假设（ ） A. a不平行b B. b不平行c C. D. a不平行c 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的证明方法，进行假设即可． 【详解】解：对于命题“已知：，，求证：”．如果用反证法，应先假设a不平行c，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键是熟练掌握用反证法进行假设时，需要假设与要证明的结论相反的结论． 3. 已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O有公共点（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3得到直线l与⊙O相交，即可判断出直线l与⊙O有两个公共点． 【详解】解：∵⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个公共点． 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r关系判断位置关系是解题关键．当d＞r时，直线与圆相离，没有公共点，当d=r时，直线与圆相切，有一个公共点，当d＜r时，直线与圆相交，有两个公共点． 4. 如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理可得到的度数． 【详解】， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5. 如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R. 【详解】解：延长BO交⊙O于D，连接CD， 则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°， ∴∠CBD=30°， ∵BD=2R， ∴DC=R， ∴BC=R， 故选D. 【点睛】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键. 6. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ） A. 1 个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出结论①正确；由点D是BC的中点，AD⊥BC得出AD为BC的中垂线，则可证明∠ODB＝∠C，OD∥AC，∠ODE＝∠CED＝90°，故④正确；由∠EDA＋∠ADO＝90°，∠BDO＋∠ADO＝90°，可得∠EDA＝∠BDO，再利用∠ODB＝∠B可得∠EDA＝∠B，结论②正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，因AC＝AB，故AO为AC的一半，故结论③正确． 【详解】解：∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC，故结论①正确； 连接OD，如图， ∵点D是BC的中点，AD⊥BC， ∴AC＝AB， ∴∠C＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C，OD∥AC， ∴∠ODE＝∠CED， ∴ED是圆O的切线，故结论④正确； 又OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠EDA＋∠ADO＝90°，∠BDO＋∠ADO＝90°， ∴∠EDA＝∠BDO， ∴∠EDA＝∠B，故结论②正确； 由D为BC中点，且AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴AC＝AB， ∵OA＝AB， ∴OA＝AC，故结论③正确； 则正确结论的个数为4个． 故选：D． 【点睛】此题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的判定与性质及直角三角形的性质等知识，证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线． 7. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 8. 下面与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式进行化简后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．先化简各个选项，再逐一判断即可 【详解】解：∵，． ∴与是同类二次根式的是， 故选C 9. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了有理数的四则运算以及乘方运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解： A：原式，不符合题意； B：原式，不符合题意； C：原式，不符合题意； D：原式，符合题意； 故选：D． 10. 某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设平均每月增长率是x，则二月份的总产量为吨，三月份的总产量为吨，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长率是x， 由题意得，． 故选B． 11. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可判断，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤． 【详解】解：、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 二、填空题：本题共8小题，共25分． 12. 若某正六边形的边长是4，则该正六边形的半径为______________． 【答案】4 【解析】 【分析】求出正六边形的中心角，连接两个顶点，可得等边三角形，于是可得到正六边形的边长． 【详解】解：如图所示，连接OA，OB， ∵多边形为正六边形， ∴∠AOB==60°， 又∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键；求得中心角的度数是此类题目常用的，比较重要，应注意掌握． 13. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为 根据题意得， ∴ 故答案为：． 14. 已知△ABC三边的长分别为5、12、13，那么△ABC内切圆的半径为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用切线长定理得到AF＝AD，CF＝CE，BD＝BE，利用勾股定理的逆定理证明∠C＝90°，得到四边形FCEO为正方形，求出结果． 【详解】解：如图，圆O为△ABC内切圆，切点分别为D、E、F，连接OF、OE、OD，则OF⊥AC，OE⊥BC，OD⊥AB． 由切线长定理，可知AF＝AD，CF＝CE，BD＝BE， ∴OE＝OF＝CE＝CF， 又∵52+122＝132， ∴∠C＝90°， ∴四边形FCEO为正方形， ∴CE＝ ＝ ＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查三角形的内心和内切圆，注意利用切线长定理得到等线段解决问题． 15. 一个边长为2的正方形，能够将它完全覆盖的最小的圆形纸片的直径是__________ 【答案】 【解析】 【分析】连接正方形ABCD的对角线AC，BD交于O，则圆O即为所求，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接正方形ABCD的对角线AC，BD交于O，则圆O即为所求， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD=2AO=2BO，∠AOB=90°， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握正多边形和圆的相关知识． 16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆半径r为2cm，扇形的圆心角θ＝90°，则此圆锥侧面积是______________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为R，求出R，然后根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为R， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求圆锥侧面积，解题的关键在于能够熟练掌握圆锥的侧面积等于圆锥展开图的扇形面积． 17. 二次根式有意义的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，3-x≥0， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式定义，二次根式的被开方数非负是解此题的关键． 18. 化简： =_______ 【答案】 【解析】 【分析】直接进行二次根式的化简． 【详解】根据题意可知 a⩽0或a⩾0，b>0，c>0或c<0， ①当a⩽0，b>0，c>0时，； ②当a⩽0，b>0，c<0时，； ③当a⩾0，b>0，c>0时，； ④当a⩾0，b>0，c<0时，. 故答案是. 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握运算法则. 19. 当______时，代数式有最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，令，根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：令， 则， ， 当时，有最大值， 故答案为：；． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 20. 按要求解下列方程 （1）（用配方法） （2）（用公式法） （3）（用因式分解法） （4）（方法不限） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法，结合方程的特点选择合适，简便的方法是解题的关键． （1）根据配方法的运算法则运算求解即可； （2）整理成一般式后，套用求根公式计算可得； （3）移项后，提取公因式，再求解可得； （4）因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解：，，， ∴ ∴ ∴，； 【小问3详解】 解： ∴或 解得：，； 【小问4详解】 解： 或 ∴，； 四、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 尺规作图: 找出下图残破的圆的圆心.不写作法，请保留作图痕迹． 【答案】解：如图所示： 【解析】 【分析】在这个破损的圆上任取A、B、C三点，分别作线段AB和线段AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了垂径定理，线段垂直平分线的尺规作图，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． 22. 如图，内接于⊙O，，D是圆上任一点，.求证：DA平分 【答案】 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ACB=∠ADC ∵ ∴ ∴DA平分． 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质证得∠ABC=∠ACB，根据圆周角性质得∠ABC=∠ADC，再利用等量代换，即可得到答案． 【详解】略 【点睛】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形等知识，能发现相等的角，进行等量代换是解决此题关键． 23. 如图，已知是的直径，为的切线，切点为，平行于弦． 求证：是⊙O的切线． 【答案】 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴≌， ∴， 又∵过半径的外端点， ∴是的切线． 【解析】 【分析】连接，由是的切线得到，然后证明≌，得到即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了切线的性质和判定定理，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 24. 如图，在直角梯形中，，，，，，为的直径，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． （1）当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）当为何值时，与相切？ 【答案】（1）当时，四边形为平行四边形 （2）当秒时，与相切 【解析】 【分析】此题利用了切线的性质，平行四边形的性质，关键是用运动的观点讨论问题． （1）首先用分别表示和，然后利用平行四边形的性质对边相等就可以求出； （2）当是圆的切线时，利用切线的性质把，，，分别用表示，然后利用勾股定理就可以求出． 【小问1详解】 解：∵直角梯形，， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形； ∵，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形． 【小问2详解】 设与相切于点，过点作，垂足为； ∵直角梯形，， ∴， ∵，， ∴，； ∵为的直径，， ∴，为的切线， 由三角形全等的性质可知，， ∴； 在中，， ∴， 即：， ∴， ， ∴，； ∵在边运动的时间为秒， ∵， ∴（舍去）， ∴当秒时，与相切． 25. 先化简，再求值：(，其中 【答案】，. 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=1+代入进行计算即可 【详解】解：原式===， 当a=1+时， =. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 26. 已知方程5x2+kx－10=0一个根是－5，求它的另一个根及k的值 【答案】；k=23 . 【解析】 【详解】试题分析：把x=-5代入5x2+kx－10=0求出k的值，然后把k的值代回到原方程，再根据根与系数的关系可求出方程的另一根. 解：把x=-5代入5x2+kx－10=0，得 125-5k-10=0, 解之得 k=23. 把k=23代入5x2+kx－10=0，得 5x2+23x－10=0， ∵x1x2=,x1=-5, ∴. 27. 已知关于的一元二次方程，问：是否存在实数，使方程的两个实根之差的绝对值为？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 【答案】当为或时，方程的两个实根之差的绝对值为 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数关系的应用和一元二交方程的解法，熟练掌握根与系数关系的应用是解决此题的关键．设方程两根为，由根与系数的关系和得出的值，然后代入检验即可得解． 【详解】解：设方程两根为，由根与系数的关系得，， 由题意， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴当为或时，方程的两个实根之差的绝对值为． 28. 一种药品每盒原价是元，现两次降价后每盒价格为元，求平均每次降价的百分率． 【答案】平均每次降价的百分率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是设出未知数，根据降价前和降价后的结果，列方程求解． 设平均每次降价的百分率是，根据一种药品每盒原价是元，现两次降价后每盒价格为元可列方程求解． 【详解】解：平均每次降价的百分率是， ， 解得：或（舍去） 所以平均每次降价的百分率为， 答：每次降价的百分率为． 29. 已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值． （2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 【答案】（1），， （2）能构成三角形，周长为 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b、c的值； （2）根据三角形三边关系，实数大小的比较方法，二次根式加减运算法则进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：能构成三角形，理由如下： 由（1）知：，，， ∵， ∴， ∴能构成三角形， 三角形的周长为：． 30. 如图是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的倍．这块休闲场所南北长，东西宽．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为，请问主干道的宽度为多少米？ 【答案】主干道的宽度为米． 【解析】 【分析】把图中的阴影部分进行平移后．可得到一个长方形，所以本题的等量关系为：长×宽=168． 【详解】设主干道的宽度为2xm，则其余道路宽为xm， 依题意得：(16−4x)(18−4x)=168， 整理,得 当时，16−4x<0，不合题意，舍去． 当x=1米时，2x=2米. 答：主干道的宽度为2米. 【点睛】考查一元二次方程的应用，解题的关键在于把图中的阴影部分进行平移得到一个长方形，准确找到其长与宽，列出方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省平凉市灵台县独店中学九年级第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 2. 对于命题“已知：，，求证：”．如果用反证法，应先假设（ ） A. a不平行b B. b不平行c C. D. a不平行c 3. 已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O有公共点（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 4. 如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为(　　) A. B. C. D. 6. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ） A. 1 个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 7. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 8. 下面与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 二、填空题：本题共8小题，共25分． 12. 若某正六边形的边长是4，则该正六边形的半径为______________． 13. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是________． 14. 已知△ABC三边的长分别为5、12、13，那么△ABC内切圆的半径为_____． 15. 一个边长为2的正方形，能够将它完全覆盖的最小的圆形纸片的直径是__________ 16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆半径r为2cm，扇形的圆心角θ＝90°，则此圆锥侧面积是______________cm2． 17. 二次根式有意义的条件是______． 18. 化简： =_______ 19. 当______时，代数式有最大值是______． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 20. 按要求解下列方程 （1）（用配方法） （2）（用公式法） （3）（用因式分解法） （4）（方法不限） 四、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 尺规作图: 找出下图残破的圆的圆心.不写作法，请保留作图痕迹． 22. 如图，内接于⊙O，，D是圆上任一点，.求证：DA平分 23. 如图，已知是的直径，为的切线，切点为，平行于弦． 求证：是⊙O的切线． 24. 如图，在直角梯形中，，，，，，为的直径，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． （1）当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）当为何值时，与相切？ 25. 先化简，再求值：(，其中 26. 已知方程5x2+kx－10=0一个根是－5，求它的另一个根及k的值 27. 已知关于的一元二次方程，问：是否存在实数，使方程的两个实根之差的绝对值为？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 28. 一种药品每盒原价是元，现两次降价后每盒价格为元，求平均每次降价的百分率． 29. 已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值． （2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 30. 如图是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的倍．这块休闲场所南北长，东西宽．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为，请问主干道的宽度为多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $