第04讲 有理数的乘除法（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第04讲 有理数乘除法 知识点1：有理数加法法则 知识点2：有理数加法运算定律 知识点3：有理数减法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【典例1】计算：（    ） A．－10 B．10 C．－7 D．7 【答案】B 【分析】此题考查有理数乘法计算法则，熟练掌握有理数乘法计算法则是解题的关键； 根据有理数乘法计算法则解答． 【详解】解：， 故选B． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握乘法法则是解决问题的关键．先根据同号得正，异号得负确定结果的运算符号，再把绝对值相乘． 【详解】解：． 故选：A ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘法的运算，掌握有理数乘法运算法则是解题关键. 【详解】（1）； （2）. 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘法，根据两个有理数相乘的法则计算． （1）根据“同号得正，并把绝对值相乘”计算即可； （2）根据“异号得负，并把绝对值相乘”计算即可； （3）根据“异号得负，并把绝对值相乘”计算即可； （4）根据“一个数与0相乘，积为0”计算即可． 【详解】（1） （2） （3） ， （4） ． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)11 (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算加法； （2）根据有理数乘法运算法则计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式1】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. （1）先将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行运算. （2）先将绝对值求出并将带分数化成假分数后进行运算. （3）先将绝对值求出并将小数化成分数，带分数化成假分数后进行运算. （4）先将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行运算. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 （4）解：原式 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据运算法则计算即可； （2）由“乘任何数都得”计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型3 有理数乘法的运算定律】 【典例3】用简便方法计算： (1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用乘法分配律巧妙简化有理数运算，熟练掌握有理数运算律是解题的关键． （1）利用乘法分配律将原算式分成四项，先算乘法，再算加、减即可得出结论； （2）根据有理数乘法运算律计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算下列各题: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法、乘法运算律，熟练掌握利用乘法分配律的进行简便运算是解答的关键． （1）利用乘法分配律去掉括号，再利用有理数乘法和加减法运算法则求解即可； （2）先得到，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法分配律和有理数的乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法的分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 【变式3】请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是熟练掌握乘法运算律进行简便计算． （1）先把写成的形式，然后利用乘法分配律进行计算即可； （2）先根据有理数的乘法法则，确定积的符号，再逆用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【题型4 有理数的除法运算】 【典例4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)4 (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据有理数的除法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案． 本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则进行解题． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照有理数除法的运算法则计算即可； （2）按照有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘除运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先将除法变成乘法，再进行计算即可； （2）先将除法变成乘法，再进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键． （1）先变除法为乘法，然后进行计算即可； （2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5 有理数乘除混合运算】 【典例5】有理数乘除混合运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握乘除法则，是解题的关键； （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）除法变乘法，约分即可； （3）除法变乘法，约分即可； （4）除法变乘法，约分即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则． （1）利用有理数的乘除混合运算法则进行计算即可； （2）利用有理数的乘除混合运算法则进行计算即可； （3）利用有理数的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可； （2）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式3】计算： (1)； (2)； (3). 【答案】 （1）；（2）；（3）. 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 . （3）解：原式 . 【题型6有理数四则混合运算】 【典例6】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）先去括号，再计算有理数的减法即可； （2）先算乘法，同时化简绝对值，然后计算有理数的减法即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可； （4）将分数化成小数，然后利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)2.01 (2)250 (3)20 (4)48 (5) (6) 【分析】本题主要考查有理运算，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）原式先添括号再进行计算即可； （2）原式先把除法转换为乘法，再进行乘法运算即可得到结果； （3）原式运用乘法分配律将括号再进行讲得即可； （4）原式逆用乘法分配律进行简算即可； （5）原式先计算小括号内的，再计算除法，最后计算减法即可； （6）原式先计算小括号内的，再计算除法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式2】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握运算法则以及运算顺序. （1）先计算乘除，再算加法. （2）先算绝对值以及括号里的运算，再算乘法，最后加法. （3）根据有理数除法法则，可转化成乘法，再根据乘法分配律，可得答案. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9 (2)－ (3) 【分析】本题考查了有理数乘除加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘除，再运算加减，即可作答． （2）先把除法化为乘法，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． （3）先通分括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数的除法计算，根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．已知六个有理数相乘，积为0，下列说法一定正确的是（    ） A．这六个有理数一定都为0 B．这六个有理数中只有一个为0 C．这六个有理数中至少有一个为0 D．这六个有理数中有两个数互为倒数 【答案】C 【分析】该题考查了有理数的乘法，根据0乘以任何数都为0即可解答． 【详解】解：∵六个有理数相乘，积为0， 故这六个有理数中至少有一个为0， 故选：C． 3．计算 的结果是（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减乘除的法则，并熟练计算． 先算括号里的减法，再将除法转化为乘法，再按照从左到右计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．这里运用了乘法的（　　）律． A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．分配和结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法分配律的理解，熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键．根据乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再将所得的积相加（或相减），结果不变，由此进行解答即可． 【详解】解：根据乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，依此可判断运用了乘法分配律的逆向运算． 故选：C． 二、填空题 5．计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，除以一个数等于乘以一个数的倒数，据此把原式可变形为，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 6．如果，那么 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的有理数的混合运算，解决本题的关键是理解已知信息． 根据已知信息的计算规则，列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 三、解答题 7．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数加减法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算乘法，再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减法的运算法则分别计算即可； （2）先求绝对值，根据有理数加减法的运算法则计算即可； （3）根据有理数乘除法的运算法则计算即可； （4）根据有理数乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数加减法的简便计算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先将分数化成小数，再利用交换律与结合律计算即可得； （2）先利用交换律与结合律计算、带分数化成假分数，再计算加减法即可得； （3）先去括号，再将每一项拆成两项的差，然后计算加减法即可得； （4）将原式化成，再计算加减法与乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 10．一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【答案】(1)B地在A地东边距离A地10千米处 (2)右边，97千米 (3) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）将行驶路程记录的数据相加，根据结果进行判断即可； （2）求出每次与出发地的距离，然后进行判断即可； （3）先求出需要的燃油，然后求出需要补充的燃油即可． 【详解】（1）解：∵（千米）， ∴B地在A地东边距离A地10千米处． （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米． （3）解： ， ， 答：检修车在检修过程中至少还需补充燃油． 11．某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示． 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1.5 2 箱数 4 2 4 3 6 1 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额． 【答案】(1)千克 (2)千克； (3)元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的减法进行列式计算，即可作答． （2）根据题意，结合平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）结合（2）的结论，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（千克）， ∴在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：（千克）， ∴每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； （3）解：由（2）得每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； 依题意，（元）， ∴售完这20箱萝卜泡菜的销售总额为元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $第04讲 有理数乘除法 知积导航 知识点1：有理数加法法则 知识点2：有理数加法运算定律 知识点3：有理数减法法则 ◆知积点梳理·题型精讲 知识点 有理数柔法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 (2)任何数同0相乘，都得0。 (3)多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为 负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 (4)多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点 有理数乘法运算定律 (1)乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b=ba (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b Xc=(aXb)Xc=aX(bXc)。 (3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加 即aX(b十c)=aXb十aXc。 典例分析 题型分类举一反三 【题型1两个有理数的乘法运算】 【典例1】计算：-2×(-5)=() A.-10 B.10 C.-7 D.7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 【变式1】计算(-2)×3的结果是() A.-6 B.-3 C.3 D.6 【变式2】计算： (1(-5)×(-6): (2(-支)×. 【变式3】计算： 1)(-13)×(-6): 2)-青×0.15： 3)(+1)×（-1): (4(-288号)×0. 【题型2多个有理数的乘法运算】 【典例2】计算： 1)8+(-克)×(-8)×；(2(-3)×号×(-)×(-寺)： 3)(-4)×5×0×. 【变式1】计算： (1)（-3)×(-0.12)×(-2)×33号.(2) (+)×-引×2硅×(-5号). 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 3)(-是)×|-是×(-2.2)×（-1).4 (-32)×(-0.5)×号×（-3). 【变式2】计算： 1(-最)×是×支×(-)： 2-1)×(-)×是×号×(-号)×0×(-1)： 【变式3】计算： 1-2)×寻×(-品)×(-号)： (2-3)×（+)×（-1)×(-)×(+1号). 【题型3有理数乘法的运算定律】 【典例3】用简便方法计算： 1(3-号+吾-五)×(-36)：(2(-)×(-号)+(-号)×(+号) 【变式1】计算下列各题： 1(号-是+言)×(-24)； (299×(-34). 【变式2】计算： 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 (1)(3-号+号)×(-36)；(248×言-48×号+48× 【变式3】请选择你觉得最好的方法进行计算： 1)-29号×9.(2)-4×(-号)+13×(-号)-9×(-若) 知识点 〉·有理数除法法则 (1)除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 (2)两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 (3)0除以任何一个不等于0的数，都得0。 典例分析 题型分类举一反三 【题型4有理数的除法运算】 【典例4】计算： (1)0÷(-4.3)； (2)(-56)÷(-14)； 岸÷(-)： (4(-36)÷9÷（-). 【变式1】计算： 1)-10÷(-1号)： (2(-)÷(-)÷（-1洁). 06 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 【变式2】计算： 1)(-2)÷1.25: (2(-号)÷(-号)÷(-2) 【变式3】计算： (1(-6)÷音÷（-号)： (2(-12)÷(-4)÷（-). 【题型5有理数乘除混合运算】 【典例5】有理数乘除混合运算： 1)（-)×(-最)×(-9) 2(-24)÷(-2)÷（-号) 3)-4×克÷（-专)×2 (4)-3÷(-8)×(-3) 【变式1】计算： (1)-2.5÷哥×(-)； 2)-4×吉÷（-专)×2： 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 :⅓不冲各‘4到袁考联创性装源世鞋g当巴 煮【T年企】 (98-)+9+(-)+9z) (是+1-)×(8-)) l8-|-×(s-)+8-() |8-1-(0I-)-(L-)() :点中1【9图谦】 【点买号秋d豫生9漏】 (-)××(节-)÷×s師-() ÷(8×-)÷(91-)) 华-÷(-)×（纪-）) :点1【E平征】 (缸-)×z÷(91-)2) :(品-)×(01-)÷(z-)) 点【Z平征】 ·(号÷)÷s2 (1)6.01-1.33-2.67; (2)10÷吉×5； 3)(言-言+寺)×48： (4)2.16×4.8+78.4×0.48; 53-(号-号×吉)÷0.25： 6+(4品-3克)÷芳. 【变式2】计算： 1)-81÷（-22)×音+(-16).2-8+（1-0.4÷)×(-9). 3)13是÷言+（-7品)÷言+(-36品)÷言. 【变式3】计算： (1)-3+5×2-(-8)÷4; (2)(-1)÷号×+(-1)×0： 3)÷[片-（-青)-言]： 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 达标测试 一、单选题 1.计算(-16)÷8的结果是() A.专 B.-2 C.3 D.-1 2.己知六个有理数相乘，积为0，下列说法一定正确的是() A.这六个有理数一定都为0 B.这六个有理数中只有一个为0 C.这六个有理数中至少有一个为0 D.这六个有理数中有两个数互为倒数 3.计算(-3)×（待-）÷言的结果是() A.-3 B.3 c.-6 D.6 4.日×哥+×=×（得+哥）这里运用了乘法的()律. A.交换律 B.结合律 C.分配律 D.分配和结合律 二、填空题 5.计算：(-3)÷（-)= ac 132 6.如果bd=ad-bc,那么 三、解答题 7.计算题： (1)12-(-8)+(-11); (2(+号-)×(-12). 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 8 8.计算： (1)-9+5-(-12)+(-3); (2)-|-31-音+3.25-（-号) 3)-2÷(-2宁)×(-0.5)：(4(-32)×（品-哥+）： 9.用简便方法计算： (1)(-3.25)+3.75-寺+2.5+3+（-42)： (2)（-2)+(3)+(-3号)+(+2)+(-1)+（-1)： )（-)+（-)+(-立)+…+（-)： (4)1+(-2)+3+(-4)+…+2025+(-2026). 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 10.一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向 东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： -70,+120,-38,+75,-90,+100,-107,+20. (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有 多少千米？ 3)若检修车每千米耗油0.08L,检修车油箱容量为45L,问检修车在检修过程中至少还 需补充多少升燃油？ 11.某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或 不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示. 与标准重量的差值（单位：千克） -2.5 1.5 1.5 箱数 4 2 4 6 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量： (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10 10