第2章 有理数能力提升测试卷-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第2章 有理数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若向南走记为，则表示（    ） A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 2．下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和B．和 C．和 D．3和 3．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 4．如图，检测5个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看A、B、C、D四个球中最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．8或2 C．或2 D．8或 6．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）记数，正放表示正数，斜放表示负数．图1可列式计算，由此推算，图2可列式计算（   ） A． B． C． D． 7．四位同学周六上午在某农场共采摘了四筐杨梅，每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这四筐杨梅中质量最重的一筐比最轻的一筐重（   ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 8．下列各组数相等的一组是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 9．已知，，，则的值为（   ） A． B．5 C． D． 10．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（   ） A． B． C． D． 11．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字．而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如：． 任务：已知，是两个不相等的十进制三位数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．计算： ． 14．若梧州市苍梧县冬季里某一天的最低温度是，最高气温是，则这一天的温差为 ． 15．数轴上到5对应的点的距离为3个单位长度的点表示的有理数为 ． 16．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（16分)计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分)已知a，b为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求值； (2)求的值． 19．（8分)已知 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，d 是数轴上到原点的距离为 2 的数． (1)求 a、b、c、d 的值； (2)求的值． 20．（8分)蜗牛从点O开始沿东西方向的直线爬行，规定向东爬行的路程记为正数，向西爬行的路程记为负数．爬过的各段路程（单位：cm）如下：，，，，，，． (1)蜗牛最后是否回到了出发点？ (2)蜗牛离开出发点O最远时是多少厘米？ (3)在爬行过程中，若每爬1cm奖励1粒芝麻，则蜗牛一共得到了多少粒芝麻？ 21．（10分)哈西服装城王老板在广州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进该店全部的2100件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在5天全部卖完．这5天每件衬衫利润变化以及这5天的销售量如下表所示（利润中，正数表示比前一天多的利润，负数表示比前一天少的利润） 销售天数（单位：天） 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 单件利润变化（单位：元） 每天销售的件数（单位：件） 300 400 400 500 500 (1)第4天时，每件衬衫的售价为 元． (2)求第几天的单件售价最高？单件售价最高为多少元？ (3)求这批衬衫全部售出后，总利润为多少元？ 23．（10分)阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例： ；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… 阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表． 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________； (2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示： (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 24．（12分)【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为 ， (2)应用二：若点表示的整数为，则当为　　时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为　　，此时所有符合条件的整数的和为　　 (4)应用四：求的最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若向南走记为，则表示（    ） A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【答案】D 【分析】此题考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示。 【详解】解：∵向南走记为，则表示向北走． 故选：D． 2．下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【答案】A 【分析】该题考查了相反数的定义，化简各数，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：A．和互为相反数，符合题意； B．和，不是互为相反数，不符合题意； C．和，不是互为相反数，不符合题意； D．3和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：A． 3．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴以及有理数的加减法，乘法，掌握理解数轴的定义是解题的关键．先根据数轴得出、的符号和绝对值的大小，再逐项判断即可得． 【详解】解：观察数轴可得：，|， A．，此项错误； B．，此项正确； C．，此项错误； D．，此项错误． 故选：B． 4．如图，检测5个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看A、B、C、D四个球中最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用，比较四个数的绝对值的大小，即可得出结果． 【详解】解：∵，且绝对值越小，越接近标准克数， ∴最接近标准的是D球． 故选D． 5．已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．8或2 C．或2 D．8或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法，求出、的值是解答本题的关键．根据绝对值的意义及，可得，的值，再根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，． 的值为或， 故选：． 6．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）记数，正放表示正数，斜放表示负数．图1可列式计算，由此推算，图2可列式计算（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的加法，理解题意是解题的关键． 由图2可得，正放3个算筹，斜放4个算筹，据此列式计算即可得出答案． 【详解】解：由图2可得，正放3个算筹，斜放4个算筹， ∴可列式计算． 故选：A． 7．四位同学周六上午在某农场共采摘了四筐杨梅，每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这四筐杨梅中质量最重的一筐比最轻的一筐重（   ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数比较大小，有理数的加减法运算，用最多的减去最少的即可求解． 【详解】解： 故选：D． 8．下列各组数相等的一组是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、，，故本选项不符合题意； B、，，故本选项不符合题意； C、，，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意， 故选：D． 9．已知，，，则的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、求代数式的值等知识点，确定点a的值是解题的关键． 由可得，再结合、可得，最后求的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、， ∴，即， ∴． 故选：A． 10．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的减法运算等知识．熟练掌握有理数的乘方、有理数的减法运算法则是解题的关键． 仿照题中的方法解答即可． 【详解】解：令，则， 因此，解得：． 故选D． 11．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减和有理数的大小比较．由数轴确定a，b的正负，a，b和绝对值间的关系，是解决本题的关键． 根据各点在数轴上的位置，运算法则以及绝对值的性质求解即可． 【详解】由数轴知，，故①正确； 由于，所以，故②不正确； 由于，取的符号，所以，故③不正确； 由于，所以，故④不正确； 因为，所以，又因为，所以，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：B． 12．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字．而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如：． 任务：已知，是两个不相等的十进制三位数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【答案】B 【分析】本题考查了二进制数转十进制数. 直接根据二进制数只有0，1两个数码，数位为即，求出三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可. 【详解】∵三位二进制数的三个数位均为， ∴， ∵二进制数只有0，1两个数码， ∴， ∴ 即三位二进制数为111， ∴ 故选B. 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数的加减混合运算进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：4． 14．若梧州市苍梧县冬季里某一天的最低温度是，最高气温是，则这一天的温差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：． 故答案为：． 15．数轴上到5对应的点的距离为3个单位长度的点表示的有理数为 ． 【答案】2或8/8或2 【分析】本题考查的是数轴的特点，解答此类题目时要根据左减右加的原则进行计算．因为所求点在5的哪侧不能确定，所以应分所求点在5的点的左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】解：当此点在5的点的左侧时，此点表示的数为； 当此点在5的点的右侧时，此点表示的数为． 故答案为：或． 16．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（16分)计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)18； (4)14． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的运算顺序，以及合理运用运算律简化计算． （1）运用加法交换律和结合律，将负数结合，再进行计算； （2）利用乘法分配律，将括号内的数分别与36相乘，再计算； （3）先算乘方，再算除法，最后算减法； （4）分别计算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（8分)已知a，b为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是根据题意把新定义题目转化为常规有理数的计算． （1）根据题目中的新运算，可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的新运算，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 19．（8分)已知 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，d 是数轴上到原点的距离为 2 的数． (1)求 a、b、c、d 的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】本题考查了有理数的分类，相反数，数轴，绝对值的意义及有理数的混合运算，分别求得的值是解题的关键． （1）根据题意求得，即可； （2）把（1）中的值分两种情况代入求值即可． 【详解】（1）解：因为a是最大的负整数，所以， 因为b是绝对值最小的有理数，所以， 因为c是倒数等于它本身的自然数，所以， 因为d是数轴上到原点的距离为 2 的数，所以； （2）解：当时， 当时， 所以原式的值为2或． 20．（8分)蜗牛从点O开始沿东西方向的直线爬行，规定向东爬行的路程记为正数，向西爬行的路程记为负数．爬过的各段路程（单位：cm）如下：，，，，，，． (1)蜗牛最后是否回到了出发点？ (2)蜗牛离开出发点O最远时是多少厘米？ (3)在爬行过程中，若每爬1cm奖励1粒芝麻，则蜗牛一共得到了多少粒芝麻？ 【答案】(1)蜗牛最后回到了出发点 (2)12cm (3)54粒 【分析】本题考查有理数的加法的实际应用，理解正负数的意义，掌握有理数的加法运算法则及加法运算律是解题的关键． （1）把爬过的路程记录相加，即可得解； （2）求出各段距离，然后根据正负数的意义解答； （3）求出爬行过的各段路程的绝对值的和，然后解答即可． 【详解】（1）解：， ， 所以蜗牛最后回到了出发点． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以蜗牛离开出发点最远时是． （3）解：（粒）， 答：蜗牛一共得到了粒芝麻． 21．（10分)哈西服装城王老板在广州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进该店全部的2100件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在5天全部卖完．这5天每件衬衫利润变化以及这5天的销售量如下表所示（利润中，正数表示比前一天多的利润，负数表示比前一天少的利润） 销售天数（单位：天） 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 单件利润变化（单位：元） 每天销售的件数（单位：件） 300 400 400 500 500 (1)第4天时，每件衬衫的售价为 元． (2)求第几天的单件售价最高？单件售价最高为多少元？ (3)求这批衬衫全部售出后，总利润为多少元？ 【答案】(1)54 (2)第三天，58元 (3)29900元 【分析】本题考查了有理数的加减运算，以及销售中利润的问题，正确理解题意，读懂表格是解题的关键． （1）先计算进价，利用每天的利润变化进行加减即可； （2）由表格可知：前三天的利润在上涨，后两天下降，故第三天售价最高，在利用每天的利润变化进行加减求出第三天售价即可； （3）根据表格确定第一天到第五天的每件利润为10，13，18，14，7，然后计算销售衬衫利润即可． 【详解】（1）解：（元）， （元）， 答：第4天时，每件衬衫的售价为54元； （2）第一天单价为：（元） 第二天单价为：（元） 由表格可知：第三天售价最高， 第三天售价为：（元） （3）（元） 答：总利润为29900元． 23．（10分)阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例： ；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… 阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表． 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________； (2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示： (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22，1001101 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，仿照二进制转十进制的方法列式计算是关键． （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是 ， 故答案为：22； 将十进制数“77”转化为二进制数是 故答案为：1001101； （2）解：二进制的两个数相加：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1，所以孩子已经出生的天数为（天）． 24．（12分)【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为 ， (2)应用二：若点表示的整数为，则当为　　时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为　　，此时所有符合条件的整数的和为　　 (4)应用四：求的最小值为 【答案】(1) (2) (3)7； (4)997002 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的的值的和即可； （4）观察已知条件可以发现，表示到的距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值．． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：与的值相等， 表示的数与表示4和的数的距离相等， 表示的数是表示4和的数的中点， ， 故答案为：． （3）解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 整数有、、、、、0、1、2，它们的和为， 故答案为：7；； （4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值． 当时，式子取得最小值， 此时， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $