第十讲函数的奇偶性与对称性知识总结与题型归纳-2026届高三艺术班数学一轮复习

2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第十讲 函数的奇偶性与对称性知识总结与题型归纳 1、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个， 都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个， 都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2、奇偶性技巧 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （8）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、函数的对称性 （1）若函数为偶函数，则函数关于对称． （2）若函数为奇函数，则函数关于点对称． （3）若，则函数关于对称． （4）若，则函数关于点对称． 4、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期． 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 例1.判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)(2)(3)(4)； (5)(6) 解析：（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （2）的定义域为不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数. （3）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （4）由，得，且，所以的定义域为，关于原点对称， 所以.又，所以是奇函数. （5）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （6）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 例2.函数． （1）判断并证明函数的单调性； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）解不等式． 【解析】（1），任取，令 则 ∵则，可得 ∴即∴函数在上递增． （2）的定义域为 ∵即 ∴为定义在上的奇函数． （3）即 ∵函数在上递增∴即或． 变式训练 1.判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) (4)； (5)． (6)； (7)； (8)． 解析：（1）函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数． （2）的定义域为，关于原点对称．，所以为奇函数． （3）的定义域为，且关于原点对称， 当时，，则； 当时，，则，故是偶函数． （4）由得x2=3，解得x=±，即函数f(x)的定义域为， 从而f(x)=＋=0.因此f(－x)=－f(x)且f(－x)=f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (5)显然函数f(x)的定义域为R， f(－x)=log2[－x＋]=log2(－x)=log2(＋x)－1=－log2(＋x)=－f(x)，故f(x)为奇函数． （6）的定义域为.因为，所以是奇函数. （7）的定义域为，不关于原点对称，所 以既不是奇函数也不是偶函数. （8）的定义域为. 因为, 且，所以， 所以，所以，所以是偶函数. 2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ）． A． B． C． D． 解析：由题意，四个函数定义域都是 在中，，是奇函数； 在中，，是偶函数； 在中，，是偶函数； 在中，， ∴既不是奇函数，也不是偶函数；故选：D． 题型二：已知函数的奇偶性求参数 例3.设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 解析：根据题意，函数是定义在区间上的奇函数， 则， 即，则，解可得或（舍）， 即，则，解可得， 故，即的取值范围为，故选：AC. 例4.若函数是偶函数，则________． 解析：由题意知：，同乘以得，故， 故答案为： 例5.“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若函数为偶函数，且为奇函数， 可知为奇函数，则， 即，整理得， 因为，可得， 即函数为偶函数，等价于，显然是的真子集， 所以“”是“函数为偶函数”充分不必要条件.故选：A. 变式训练 1.若函数的图象关于轴对称，则常数 _______． 解析：可知函数为偶函数，定义域为R，则，即，解得， 则，显然满足题意，则．故答案为：． 2.若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______． 解析：因为为定义域上的奇函数， ， 所以恒成立解得． 故答案为：4． 3.已知函数是定义在区间上的偶函数，则函数的值域为__________． 解析：∵函数在区间上的偶函数 ∴， ∴即 题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值 例6.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 解析：设，则，因为函数为奇函数，且当时，， ，即：.故选：D 例7.已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（    ） A． B． C． D． 解析：当时，，，又为奇函数，，即当时，.故选：B. 例8.已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 解析：由题意知，为奇函数，为偶函数，则， 所以，即，解得.故选：B 变式训练 1.若为奇函数，当时，，则（ ） A． B．1 C．3 D． 解析：因为为奇函数，当时，， 所以，解得：.所以当时，. 所以.故选：C 2.已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 解析：和已知条件相加得 故故答案为： 题型四：局部奇函数+M 例9.已知，且，求. 解析：， 例10.设函数，且，则等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D.5 解析：，,选C 例11.已知和均为奇函数，若在区间上有最大值5，则在区间上有最小值为________. 解析： , 例12.设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：， 设，又易知，为上的奇函数， 又，在上单调递增， 又，，，，又为上的奇函数，，又在上单调递增，，， 故满足的的取值范围是．故选：C． 变式训练 1.已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 解析：令，则， 为定义在上的奇函数，， 即，．故选：D． 2.已知函数 ，若，则（    ） A．2 B．1 C．－2 D．－5 解析：设， 则，所以是奇函数． 因为，所以，则f（－a）＝1．故选：B 3.已知函数f（x）=2+的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于（    ） A．2 B．4 C．2+ D．4+ 解析：设，所以，所以函数为奇函数． 设函数为奇函数的最大值为N，最小值为n， 则N+n=0．由题得所以．故选B 题型五：已知由函数奇偶性解不等式 例13.已知函数的图象关于y轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：由题意是偶函数，且在上单调递增， ∴不等式可变为， ∴，解得．故选：B． 例14.定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，解得． 故选：C． 例15.设定义在上的函数和满足：①对任意的，和恒成立；②在上单调递增． 若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：由得，所以， 故在R上为奇函数， 由在上单调递增，故在R上单调递增， 在上也单增， 由可得， 即，，解得.故选：A. 变式训练 1.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 解析：因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或． 故选：D． 2.已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：对，其定义域为，且，故为上的奇函数； 又当时，，其在单调递减； 当时，，其在单调递减； 又是连续函数，故在上都是单调减函数； 则，即， 则，解得． 故选：D． 3.定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：由题意，，则或．故选：D． 题型六 函数性质应用之比较大小 例16.已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为，得到，又，函数是减函数， 所以，又，得到，所以，故选：A. 例17.函数，记，则（    ） A． B． C． D． 解析：注意到定义域为全体实数，且， 所以是上的偶函数，从而， 因为在上单调递增，所以关于在上单调递减， 而，所以.选：B. 例18.设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 解析：∵是定义域为的偶函数，∴， ∵，在上单调递减，∴，∴.故选：C. 题型七：函数的对称性与周期性 例19.定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，则使成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：是偶函数，关于对称。使成立，。故选B 例20.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且当x∈（2，4）时，f（x）=x3-3x，则f（2025）等于（ ） A．2 B．-18 C．18 D．-2 解析：因为满足f（x+4）=f（x），所以是周期为4的函数，所以f（2025）=f（506×4+1）=f（1）=f（-3），因为是奇函数，且当x∈（2，4）时，=x3-3x， 所以f（-3）=-f（3）=-（33-3×3）=-18，故f（2025）=-18.故选：B 例21.已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 解析：，．当时，为增函数， 所以，，因此，．故选：D． 变式训练 1.已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 解析：函数的定义域为，又， 所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称， 又的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 所以函数的图象关于点对称.故选：A 2.设是定义域为的奇函数，且，当时，， ． 解析：因为，且是定义在上的奇函数所以，因为当时，， 所以.故答案为： 3.已知是定义在上的奇函数，满足， ，则（ ） A．0 B． C．2 D．6 解析：因为，所以关于直线对称； 又因为是定义在上的奇函数， 所以，， 则，因此， 所以是周期为的函数，因此，； 又关于直线对称，所以； 因此。 故选：B. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第十讲函数的奇偶性与对称性知识总结与题型归纳 1、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 偶函数 关于y轴对称 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 奇函数 关于原点对称 都有f(-x)=日f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论：如果f(-x)-f(x)=0或 f=1≠0)，则西数)为偶画数；如果f-对+f)=0或f-1U≠0)， f(x) f(x) 则函数f(x)为奇函数。 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的 任意一个x,-x也在定义域内（即定义域关于原点对称）. 2、奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称， (2)奇偶函数的图象特征. 函数f(x)是偶函数台函数f(x)的图象关于y轴对称； 函数f(x)是奇函数台函数f(x)的图象关于原，点中心对称。 (3)若奇函数y=f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0; 偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(x). (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域 内关于原点对称的两个区间上单调性相同， (5)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函 数的和的形式.记g)=[fc)+f-x,()=f-f-],则f=g+h) (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、 除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g()· 对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇÷)奇=偶；奇(÷)偶=奇；偶)偶=偶 (7)复合函数y=[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 第1页共14页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 (8)常见奇偶性函数模型 奇通数：①西数)=m≠0成孟数f侧=o则 a+） ②函数f(x)=±(a”-a). ③函数f)=1og.x+m=1og,1+2m)或函数f)=1og,-m=1og.1-2m) x-m x-m x+m x+m ④函数f(x)=log(Wx2+1+x)或函数f(x)=log(Wx2+1-x) 注意：关于①式，可以写成函数f(x)=m+ 2mK≠0)或函数f=m-2m（m∈R). a'-1 a+1 偶函数：①函数f(x)=±(a+ax). ②函数fx)=1og.(a+1)-m 2 ③函数f(x)类型的一切函数. ④常数函数 3、函数的对称性 (1)若函数y=f(x十a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称. (2)若函数y=f(x十a)为奇函数，则函数y=f(x)关于，点(a,0)对称. (3)若f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于x=a对称 (4)若f(x)十f(2a-x)=2b,则函数f(x)关于点(a,b)对称. 4、函数的周期性 (1)周期函数： 对于函数y=(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做 f(x)的最小正周期. 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 例1.判断下列各函数是否具有奇偶性 0=r+2xf=O=-2+2-x0=422 V1-x2 x-1 同=可+-Fo=0- 第2页共14页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 的2数-红e风 (1)判断并证明函数f(x)的单调性； (2)判断并证明函数f(x)的奇偶性； (3)解不等式f(1-m)+f(1-m2)<0. 变式训练 1判断下列函数的奇偶性 ()f(x=; OMx)--: of(x)= x2+x,x>0, x2-x,x<0. ④f(x)=V3-x2+Vx2-3; (⑤)fx)=log,x+Vx2+1. (6f(x)=x+1-x- 第3页共14页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 网到=lg(F+1+ 2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（). A.y=x+sin 2x B.y=x-cosx C.y=2+2 1 D.y=x2+sinx 题型二：已知函数的奇偶性求参数 例3.设函数)=1nmx'是定义在区同(-n,m)上的寺函数(m>0,m>0),则下列结论正确 1-2x 的是(） Am=?B.m=支C.ne D.ne行m 第4页共14页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例4.若函数fx=2"+a(a>0,a≠1)是偶函数，则a= 例5.“a=1”是“画数fx)=a,21simx为偶函教°的() 2x-a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 变式训练 1若函数川-的因象关子少轴财佛，行数a 2.若画数f(x)=Ig(Vaxi2+1-2x为定义域上的奇函数，则实数a的值为一· 第5页共14页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 3.已知函数f(x)=x2-2ax+b是定义在[-2b,3b-1区间上的偶函数，则函数f(x)的值域为 题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值 例6.设∫(x为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e-1,则当x<0时，f(x)=（) A.e-*-1 B.e+1 C.-e-*-1 D.-e+1 例7.已知函数y=f(x),xeR为奇函数，当x≥0时，f(x=2x3+2-1,当x<0时，fx) 的表达式为() A.2x3+2x-1 B.2x3-2x+1 C.-2x3+2x-1 D.-2x3-2+1 第6页共14页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例8.已知fx为奇函数，gx为偶函数，且满足fx+gx=e+x,则gx=() A.e B.e'te C.c-e-2xD.。-6+2x 2 2 2 2 变式训练 1若f八到为寺函数，当≤0时，八到-a+20s,则/() A.-3 B.1 C.3 D.2+5 2.已知f(x,gx是分别定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f1+g(2)= 第7页共14页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 题型四：局部奇函数fx)+M 例9.已知f(x)=x3+ar3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2). 例10.设函数f(x)=ax3+bx-1,且f(-1)=3,则f(1)等于() A.-3 B.3 C.-5 D.5 例11.已知f(x)和gx)均为奇函数，若H(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0，+oo）上有 最大值5，则Hx)在区间(-0,0)上有最小值为 例12.设函数∫(x=sinx+e-e-x+3,则满足f(x)+f3-2x)<6的x的取值范围是() A.（-0,1 B.(1,+0】 C.(3,+0 D.（-0,3 变式训练 1.已知函数f)=e-e+1+3,若f(m)=2,则f(-m=() A.-2 B.-4 C.2 D.4 第8页共14页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 2.已知函数f(x=e-e+x3+3,若f(a)=5,则f-a=() A.2 B.1 C.-2 D.-5 3.已知函数f（x)=2+- 。的最大值为M,最小值为m,则M+m的值子于C) 2e A.2 B.4 C.2+ 1+e2 D.4+ 4e 1+e 题型五：已知由函数奇偶性解不等式 例13.已知函数f:的图象关于y轴对称，且f)在(-∞，0]上单调递减，则满足 1 f3x+<f2的实数x的取值范国是（） 8分周cn( 例14.定义在R上的奇函数f(x)在[0，+0)上单调递增，则不等式fx+2)+∫(x)>0的解集 为() A.（-0,1 B.-0,0 C.（-1,+o0 D.(0,+0) 第9页共14页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例15.设定义在R上的函数f(x)和g(x)满足：①对任意的xeR,f(x)+f(-x)=x2和 g(a)f(x) 恒成立；②g()在(-0,0上单调通增.若f(2-a-fa≥2-2a,则 2 a的取值范围是() A.a≤1 B.a≥0 C.0≤a≤1 D.a≤-1 变式训练 1.已知函数∫(x是定义在R上的偶函数，且在区间(-0,0)上是减函数，1)=0，则不等 式flog2x)>0的解集为() A.0,2) B.(2,+0) 2.已知函数f(x)=-xx,且fm+2)+∫(2m-1<0,则实数m的取值范围为() a.（, B.(-0,3) C.(3,+o) D.（写+o 第10页共14页