第一讲：集合知识总结与题型归纳讲义-2026届高三艺术生数学一轮复习

2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第一讲：集合知识总结与题型归纳 知识再现 1、集合的概念及其表示 （1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 （2）元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）． （3）集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法． （4）常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N 或 Z Q R 2、集合间的基本关系 性质 符号表示 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 相等 集合A与集合B所有元素相同 A=B 子集 集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素 真子集 集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素,且B中至少有一个元素在A中没有 3、集合之间的基本运算 符号表示 集合表示 并集 交集 补集 常用结论 1．集合A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B . 3．奇数集： 题型一 元素的特征 【例1】已知，则实数的值为(　　) A． B． C．或 D．无解 【举一反三】 1．已知，则实数a的值为( ) A．1或 B．1 C． D．或0 2．(多选)已知x∈{1，2，x2}，则有( ) A． B． C． D． 3．已知集合，则集合中元素的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知集合，若，则__________． 题型二 子集的个数 【例2】已知集合，则集合A的子集个数为( ) A．4 B．5 C．6 D．8 【举一反三】 1．集合的非空子集个数为( ) A．3 B．4 C．7 D．8 2．已知集合，集合，则集合的子集个数为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知集合，则集合的真子集个数为( ) A． B． C． D． 4．设集合，，，则M中元素的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 题型三 集合间的关系 【例3】(1)已知集合，，若，则实数的取值集合为( ) A． B． C． D． (2)设集合，，若，则的最大值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三】 1．已知集合，则下列关系中：①；②；③；④；表述正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为(　　) A． B． C． D． 3．已知集合，非空集合，，则实数的取值范围为( ). A． B． C． D． 题型四 集合间运算 【例4】(1)已知集合P=，，则PQ=( ) A． B． C． D． (2)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( ) A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4} (3)设全集，集合，则( ) A． B． C． D． 【举一反三】 1.设集合，，则( ) A． B． C． D． 2．已知集合，，那么( ) A． B． C． D． 3．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 4．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 题型精练，巩固基础 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D．或 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合|，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 13．设集合,．则（    ） A． B． C． D． 14．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第一讲：集合知识总结与题型归纳 知识再现 1、集合的概念及其表示 （1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 （2）元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）． （3）集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法． （4）常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N 或 Z Q R 2、集合间的基本关系 性质 符号表示 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 相等 集合A与集合B所有元素相同 A=B 子集 集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素 真子集 集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素,且B中至少有一个元素在A中没有 3、集合之间的基本运算 符号表示 集合表示 并集 交集 补集 常用结论 1．集合A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B . 3．奇数集： 题型一 元素的特征 【例1】已知，则实数的值为(　　) A． B． C．或 D．无解 【答案】B 【解析】因为，当时，那么，违反集合元素的互异性，不满足题意，当时，，集合为满足题意，实数的值为，故选B. 【举一反三】 1．已知，则实数a的值为( ) A．1或 B．1 C． D．或0 【答案】C 【解析】当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意； 当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意；若，则，满足.故选：C 2．(多选)已知x∈{1，2，x2}，则有( ) A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由x∈{1，2，x2}， 当，不满足集合中元素的互异性； 当，满足集合中元素的互异性，符合题意； 当或(舍)， 当满足集合中元素的互异性，符合题意；故选：BC. 3．已知集合，则集合中元素的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】由,得,故.集合中元素的个数为3,选C. 4．已知集合，若，则__________． 【答案】1 【解析】依题意，分别令，，， 由集合的互异性，解得，则.故答案为： 题型二 子集的个数 【例2】已知集合，则集合A的子集个数为( ) A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【解析】由，得，得，所以， 因为，所以或，所以，所以集合A的子集个数为.故选：A 【方法总结】 先化简集合，再判断集合中元素的个数，然后代入对应公式 【举一反三】 1．集合的非空子集个数为( ) A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【解析】,集合共有个子集，非空子集个数为4-1=3个， 故选：A 2．已知集合，集合，则集合的子集个数为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】∵，， ∴，∴集合的子集个数为8个，故选：D. 3．已知集合，则集合的真子集个数为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以，集合的真子集个数为.故选：A. 4．设集合，，，则M中元素的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意知，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B. 题型三 集合间的关系 【例3】(1)已知集合，，若，则实数的取值集合为( ) A． B． C． D． (2)设集合，，若，则的最大值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】(1)D(2)B 【解析】(1)∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=∅，成立； 当a≠0时，N={}，∵N⊆M，∴或=1．解得a=﹣1或a=1， 综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．故选D． (2)由题，，∵，∴，∴的最大值为2.故选：B． 【方法总结】 子集求参数时要注意两点 1. 子集有参数时，分子集为空集和非空集 2. 只有里实外空不取等号 【举一反三】 1．已知集合，则下列关系中：①；②；③；④；表述正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】集合，则 ；；；表述均正确.故选：. 2．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时, ，满足条件，所以， 当时, ，由B⊆A得或，所以或， 因此由实数a的所有可能的取值组成的集合为故选：D 3．已知集合，非空集合，，则实数的取值范围为( ). A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，由且为非空集合可知， 应满足，解得故选：B 题型四 集合间运算 【例4】(1)已知集合P=，，则PQ=( ) A． B． C． D． (2)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( ) A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4} (3)设全集，集合，则( ) A． B． C． D． 【答案】(1)B(2)C(3)C 【解析】(1)故选：B (2)故选：C (3)由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C. 【方法总结】 1． 解指数对数不等式式注意以下几点 1. 数字换成同底的指数或对数 2. 借助指数对数的单调性，即底数大于1，不等号方向不变；指数在（0,1）之间，不等号方向改变 3. 对数的真数要大于0，这是易错点 2． 根式：开偶次方根，根式大于等于0 3． 分式：分母不等于0 【举一反三】 1.设集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先解不等式得，解绝对值不等式得， 所以.故选：B. 2．已知集合，，那么( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数的定义域可知集合， 所以.故选：C 3．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得集合，或， 所以，.故选：B 4．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式，即，解得，所以集合， 由对数函数的定义域可得集合，所以.故选A 题型精练，巩固基础 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由，得或. 又，所以，故选：B. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， .故选：B. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式得，所以，又， 所以.故选：B. 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以.故选：D 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以.故选：C 6．已知集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，因此，.故选：A 7．已知集合|，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，，所以，故选：B． 8．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，所以，所以，所以.故选：B 9．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以.故选：B. 10．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 故.故选：C 11．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 或，所以 . 故选：D. 12．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知集合为数集，集合表示点集， 二者元素类型不同，所以，故选：D. 13．设集合,．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知,解得:, ,所以.故选：C. 14．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，集合与集合分别为函数的定义域和值域， 求得定义域为，值域为， ∴，，∴.故选：A. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $