第四讲：平面向量知识总结与题型归纳讲义-2026届艺术生高考数学一轮复习

2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第四讲：平面向量知识总结与题型归纳 知识再现 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 既有大小又有方向的量；向量 向量 的大小叫做向量的长度（或称 平面向量是自由向量 模) 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为士a|a| 方向相同或相反的非零向量 平行向量 0与任一向量平行或共线 (又叫做共线向量) 两向量只有相等或不相等，不能 相等向量 长度相等且方向相同的向量 比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 a+b (1)交换律： /h 求两个向量 a十b=b十a, 加法 和的运算 三角形法则 (2)结合律：(a十b)+c=a +(b+c) 第1页共19页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 平行四边形法则 求a与b的相 反向量一b的 减法 a-b=a十(-b) 和的运算叫 三角形法则 做a与b的差 1入a=||a,当>0时， 求实数入与向 入a的方向与a的方向相同； 入(ua)=(0)a;(+)a=入a 数乘 量a的积的运 当入<0时，1a的方向与a的 +ua;(a+b)=a+入b 算 方向相反；当入=0时，入a= 0 3.a与b的数量积（或内积）：a.b=ab|cos0 4.平面向量的坐标运算 (1)设a=(x,y),b=(x2,y2),则a+b=(x,+x2,y1+y2). (2设a=(x,y),b=(x2y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2). (③)设A(x,),B(2,2),则AB=OB-OA=(2-x,2-y) (④设a=(x,y),2∈R,则2=(2x,入y). (⑤设a=(x,y),b=(x2,y2),则a·b=x2+y2 5.平面向量的坐标运算 (①)设A(x,y),B(,2),则AB=OB-OA=(x2-x,y2-y). 2)设a=(x,y),b=(x2,2),则a-b=x2+y2 (③)设a=(x,y),则a=Vx2+y园 6.两向量的夹角公式 第2页共19页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 设a=(x,),b=(x2,y2),且b≠0，则 COs0 = ab =+y4(a=(G),万=(》 1ab1x+y2Vx号+ 7.向量的平行与垂直 设a=(x,y),b=(x2,y2),且b≠0 a/b台b=a台x12-x2y=0. aLb(a≠0)台a.b=0台x1x2+y2=0. 题型一概念的辨析 例1.（多选）下列关于向量的叙述正确的是() A.向量AB的相反向量是BA 第3页共19页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的 C.若A,B,C,D四，点在同一条直线上，且AB=CD,则AB=CD D.若向量a与b满足关系a+b=0,则a与b共线 例2.（多选)给出下列命题错误的有（)： A.两个具有公共终，点的向量，一定是共线向量， B两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C.入ā=0（入为实数），则入必为零 D.元，μ为实数，若2a=ub,则a与b共线. 变式训练 1.(多选)以下说法正确的是() A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2.下列命题中正确的是() A.若|d=b1,则a=b B.若a≠i,则a≠b C.若|d=b,则a与b可能共线 D.若a≠，则a一定不与b共线 题型二平面向量的线性运算 例3.在△ABC中，M是BC的中点.若AB=a,CA=i,则AM=() 第4页共19页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 2(a+b) n.a-) c+6 D.a+ib 例4.在△ABC中，若，点D满足BD=3DC,,点E为AC的中点，则ED=() A.14B+14C 分人 AB+5AC 4 4 36 3 -AB+AC D. 1 42 4 3 6 例5.在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO=AB+uAC,则人一2μ= 变式训练 1.在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB=() A.2CD+CA B.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA 第5页共19页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 2.如图，在梯形ABCD中，AB/1DC,AB=2CD,E为线段AD的中，点，且 BF=AB,则EF=(） 4 A.号c+aC B.DC-BC C.DC+BC D.DC-IBC 3在△ABC中，点P为AC中点，点D在BC上，且BD=3DC,则DP=() A. B.-14B-14C 4 4 4 C.14B-1c 1 4 D.一4 4.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EB+FC=() A.AD 。而 c.e D.BC 第6页共19页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 5在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，且EB=入AB+uAC,则 题型三平面向量共线定理 例6.已知平行四边形ABCD中，EC=2DE,FC=2BF,FG=2GE,则AG=() .号孤8而R西+而c孤+号DD.+0 3 0 3 第7页共19页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例7.如图，在△ABC中，一=13，P是BN上的一点，若=m+211,则实数m的 值为 例8如图，正方形ABCD中，M,N分别是BC,CD的中，点，若AC=入AM+uBN,则 入+u= D 第8页共19页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 变式训练 1.在△ABC中，若点D满足BD=3DC,点E为AC的中，点，则ED=() A.14B+1AC LAB+5AC 4 4 6 c.-4AB+34C 3 D.-14B+5AC 1 44 36 2.已知△ABC中，点M为线段AC上靠近C的三等分，点，，点N是线段BC的中，点，点 P是直线AW与BM的交，点，则AP=() A+gcs+号c48+4cn0+c 5 第9页共19页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 3.已知A、B、P是直线1上三个相异的点，平面内的，点O廷1，若正实数x、y满足 11 40P=2xOA+yOB,则二+二的最小值为一 x y 题型四平面向量坐标运算 例9.已知，点A(1,3),B(4,-1,则与AB同方向的单位向量为() a(得)（传）c（)D() 第10页共19页2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第四讲：平面向量知识总结与题型归纳 知识再现 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则　　　 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3.与的数量积(或内积)： 4.平面向量的坐标运算 (1)设=,=，则+=. (2)设=,=，则-=. (3)设A，B,则. (4)设=，则=. (5)设=,=，则·=. 5.平面向量的坐标运算 (1)设A，B,则. (2)设=,=，则=. (3)设=，则 6.两向量的夹角公式 设=,=，且，则 (=,=). 7.向量的平行与垂直 设=,=，且 . . 题型一 概念的辨析 例1.（多选）下列关于向量的叙述正确的是( ) A．向量的相反向量是 B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的 C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝ D．若向量与满足关系，则与共线 【解析】A选项中，向量的相反向量是，故正确； B选项中，模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，故正确； C选项中，若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则与方向可能相同或相反，故不正确，； D选项中，若向量与满足关系，则与共线，正确.故选：ABD. 例2．（多选）给出下列命题错误的有（ ）： A.两个具有公共终点的向量，一定是共线向量. B.两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. C.(为实数)，则必为零. D.为实数，若，则与共线. 【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若(为实数)，则也可以零，因此命题也是错误的；若为0，尽管有，则与也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案ACD． 变式训练 1．（多选）以下说法正确的是( ) A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等 C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量 【答案】ABD 【解析】对于A，根据零向量的性质，可知A是正确的； 对于B，由零向量的模是0，单位向量的模是1，所以B是正确的； 对于C，平行向量的方向相同或相反，所以C是不正确的； 对于D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以D是正确的，故选：ABD 2.下列命题中正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线 【答案】C 【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误； 两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.故选：C 题型二 平面向量的线性运算 例3.在中，是的中点.若，，则＝( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 因为是的中点，所以， 所以，所以，故选：B 例4.在中，若点满足，点为的中点，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 解析：.故选：A 例5.在中，为的重心，若，则＝______． 【答案】 【解析】如图所示，因为为的重心，则点为的中点， 根据向量的线性运算和三角形重心的性质， 可得： ， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 变式训练 1．在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 解析：故选：C 2.如图，在梯形中，，，为线段的中点，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得 ，故选：D． 3.在中，点P为中点，点D在上，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点P为中点，∴, ∵，,∴, ∴=,故选：B. 4.设分别为的三边的中点，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选：A 5.在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________． 【答案】 【解析】如下图所示： 为的中点，则 ， 为的中点，所以，， 因此，，即，. 故答案为：；. 题型三 平面向量共线定理 例6.已知平行四边形中，，，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 为，， 所以，又， .故选：C. 例7.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 【答案】　 【解析】注意到N，P，B三点共线，因此＝m＋＝m＋，从而m＋＝1，所以m＝. 例8.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______. 【答案】 【解析】设，则， 由于 可得， 解得，所以故答案为： 变式训练 1．在中，若点满足，点为的中点，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 .故选：A 2．已知中，点为线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，点是直线与的交点，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 设， 因为点是线段的中点，所以 所以，所以，即① 因为点为线段上靠近的三等分点，所以 所以，因为三点共线，所以② 由①②可解得故选：B 3．已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】∵A、B、P是直线上三个相异的点，，即， 所以，， 当且仅当，即，时取等号，故答案为：. 题型四 平面向量坐标运算 例9.已知点则与同方向的单位向量为( ) A． B． C． D． 解析：,所以与同方向的单位向量为 ，故选A. 例10.已知向量，若，则实数m的值是（    ） A． B． C．1 D．4 解：由，得，解得.故选：A. 例11．已知向量，且与互相平行，则的值（    ） A． B． C． D．2 解析：∵向量，， ∴，， ∵与互相平行， ∴，解得．故选：C． 例12.已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的值为 C．若，则的值为 D．若，则与的夹角为锐角 解析：因为，所以选项A说法正确； 因为，所以，所以选项B说法不正确； 因为，所以，所以选项C说法正确； 当时，，所以，因此选项D说法不正确，故选：AC 变式训练 1.（多选）下列向量中是单位向量的是( ) A． B． C． D． 解析：A. B. C. D. 为单位向量故选：ACD． 2.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为(　　) A．(－8,1) B． C． D．(8，－1) 解析：设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝， 所以，解得，即， 故选B. 3．已知，，，，则向量( ). A． B． C．4 D．6 解析：，，所有.故选：C 4．已知向量，若，则实数的值为( ) A． B．-3 C． D．3 解析：，，，则有，解得：. 故选：B 5.已知平面向量满足，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由得， 由得，即故选：B 题型五 平面向量数量积及夹角 例13.（多选）已知向量，的夹角为60°，，，则与向量的夹角为锐角的向量有（    ） A． B． C． D． 解析：由已知各选项中向量与向量不平行， ，， ， ， ，只有BC选项符合题意．故选：BC． 例14.若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 解析：因为，以， 又，，所以，， 设与的夹角为， 则，因为，所以，即与的夹角为. 故选：D. 例15．若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（     ） A． B． C． D． 解析：设向量、的夹角为，由题意，， 又因为，因此，.故选：B. 变式训练 1．已知向量，．则向量，的夹角______． 解析：令向量与的夹角为，，由，， 所以，，， 所以，故向量，的夹角为，故答案为：. 2.已知，，若，则与的夹角为________. 解析：，，，解得，即 又与的夹角的范围是，则与的夹角为故答案为： 3．已知非零向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 解析：由，得，， ∴， ∴，解得.故选：B 题型六 平面向量的模长 例16.已知向量，都是单位向量，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 解析：向量，都是单位向量，且，则，解得， 所以.故选：D 例17.若，则( ) A．0 B． C．4 D．8 解析：因为.所以.故选：B. 例18.已知平面单位向量，，满足，则（    ） A．0 B．1 C． D． 解析：如图，设，，因为，所以平行四边形为菱形， 则为正三角形，所以，且反向， 所以，所以， 因为，所以，故选:C. 变式训练 1．已知向量，，则( ) A． B．2 C． D．50 解析：由题意得，所以，故选：A 2．已知向量，，若，则( ) A． B． C． D． 解析：已知向量，，且，则，解得，因此，.故选：B. 3．已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则( ) A．25 B．7 C．5 D． 解析：因为平面向量，为单位向量，且向量向量，的夹角为， 所以，故.故选：D 题型七 投影与投影向量 例19.已知，，，则在方向上的投影等于_______. 解析：设，的夹角为， 解得，则在方向上的投影等于故答案为： 例20.若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 解析：，，， 向量在向量上的投影为，与量同向的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为．故选：C． 例21.已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 解析：由已知条件得：，即， 又在方向上的投影向量为，故选：A. 变式训练 1.已知向量，则（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在方向上的投影向量是 解析：已知则， ，，，，故A错误； ，所以向量的夹角为，故B正确； ，，故错误； 在方向上的投影向量为，故D正确.故选：BD. 2.（多选）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为2 B．存在，使得 C．向量是与共线的单位向量 D．在上的投影向量为 【答案】ABD 解析：对于选项，， 当，即时取最大值2，故A正确； 对于B选项，要使，则， 则，因为，所以，故存在，使得，故B正确； 对于C选项，因为， 所以向量不是单位向量，故C错误； 对于选项，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D正确.故选：. 3.已知，则向量在向量上的投影向量为__________． 解：因为 所以，解得， 所以，向量在向量上的投影向量为故答案为： 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $