精品解析：重庆市渝北实验中学校2025-2026学年九年级上学期数学开学考试试卷

重庆市渝北实验中学校2025-2026学年九年级上学期数学开学考试试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量x的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 且 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的运算结果应在（ ） A. 1到2之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 5. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 6. 如图，用正方形按规律依次拼成下列图案．由图知，第①个图案中有2个正方形；第②个图案中有4个正方形；第③个图案中有7个正方形．按此规律，第8个图案中有（　　）个正方形． A. 16 B. 22 C. 29 D. 37 7. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离（米）与小亮出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 小明的速度是4米/秒； B. 小亮出发100秒时到达终点； C. 小明出发125秒时到达了终点； D. 小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米． 9. 如图，在矩形中，对角线、交于点，的角平分线交于点，连接，若，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的整式，其中a，b，c，d，e为整数，，且满足下列说法； ①所有满足条件的整式M中，不存在其中两个整式的和为单项式； ②若，则满足条件的整式M共有6个； ③满足条件的所有整式M共有个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 计算_______ ． 12. 如图，对角线、相交于点，为的中点，，，则的周长为______． 13. 数学不仅训练人们的思维，也广泛应用于生活．八年级各班制作了关于数学与科技的短视频，需要选作优秀作品在校园电视上播放．某班投送的候选作品《数学与科技》在“视听吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视频作品 视听吸引 启发思考 社会责任 《数学与科技》 90 80 90 如果按照“视听吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该《数学与科技》作品得分是______分． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线和（k、b为常数，）相交于点，则不等式的解集是 ____________________ ． 15. 如图，将一个长为9，宽为3的长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则EF的长为___________． 16. 如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字之积等于去掉千位数字与个位数字得到的两位数，则称这个数为“中积数”．如：8162．∵，∴8162是“中积数”：又如：5234，∵，∴5234不是“中积数”，若一个“中积数”为，则这个数为______；对一个“中积数”，规定它的前三个数字组成的三位数，它的后三个数字组成的三位数，若能被17整除，则满足条件的“中积数”的最小值是______． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 在学习等腰三角形时，读思学习小组对等腰三角形进行了下列探究：如图，在中，，于点，过点作的垂线，垂足为，他们通过证三角形全等得到线段与相等．于是他们得到结论是等腰三角形两腰上的高相等．请根据该小组的思路完成下面作图和解答． （1）如图，用直尺和圆规，完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明：，①______． ，，②______． ，③______． ． 进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形④______相等． 19. 为了解学生对 DeepSeek等智能软件的使用情况，某校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．)，下面给出了部分信息： 八年级抽取20名学生的竞赛成绩为： 65，66，70，75，77，81，82，82，82，83 84，87，88，89，92，95，96，98，98，100 九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，88，85，87，86，82． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表九年级所抽学生的竞赛成绩统计图 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 b 众数 a 79 方差 102.75 122.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　； （2）请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 20. 先化简，再求值：，其中满足：，且为整数，选择一个你认为合适的的值代入求值． 21. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． （1）问：、两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要购进、两款玩偶1200个，且款的数量不小于款的一半，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 22. 如图1，在平行四边形中，，过点B作于点E，，．点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点E时停止．设点M的运动时间x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：________________； （3）若直线与该函数图象只有一个交点，则常数b的取值范围是________________． 23. 如图1所示的是某款手机的平板支架，它由托板、支撑板和底座构成，现将该款手机放置在托板上．图2是该款手机及平板支架的侧面结构示意图，已知托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端点C处，且，托板可以绕着点C转动，支撑板可以绕着点A转动． （1）若，，求点D到的距离．（结果保留根号） （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，将绕着点C逆时针旋转后，再将绕着点A顺时针旋转，使得点E落在直线上（如图3），求旋转的角度． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点M是直线上一动点，过点M作轴交直线于点N，当时，求出点M的坐标； （3）如图3，直线与直线垂直于点H，将直线向左平移4个单位后与x轴，y轴分别交于D，E两点，与直线交于点F，在直线l上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． （1）如图，若，，求的长度； （2）如图，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； （3）如图，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝北实验中学校2025-2026学年九年级上学期数学开学考试试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的判断方法及二次根式的化简进行判断即可． 【详解】解：A、为最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】题目主要考查最简二次根式的判断，理解最简二次根式的判断方法及化简方法是解题关键． 2. 函数中自变量x的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，， 解得：，， 即． 故选：B 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则和平方差公式是解此题的关键．根据二次根式的运算法则分别进行计算判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误，不合题意； B、，故选项B错误，不合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不合题意； 故选：C． 4. 估计的运算结果应在（ ） A. 1到2之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，无理数的估算等知识．熟练掌握二次根式的乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，无理数的估算是解题的关键． 由题意知，，由，可得，即，然后判断作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即， 故选：C． 5. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D选项正确； 故选：D． 6. 如图，用正方形按规律依次拼成下列图案．由图知，第①个图案中有2个正方形；第②个图案中有4个正方形；第③个图案中有7个正方形．按此规律，第8个图案中有（　　）个正方形． A. 16 B. 22 C. 29 D. 37 【答案】D 【解析】 【分析】观察发现每一个图形中正方形个数，总结出个数规律为1+1+2+3+…+n，利用此规律求解即可． 【详解】解：第①个图案中有1+1=2个正方形， 第②个图案中有1+1+2=4个正方形， 第③个图案中有1+1+2+3=7个正方形， 第④个图案中有1+1+2+3+4=11个正方形， …， 按此规律排列下去，则第n个图案中黑色三角形的个数为1+1+2+3+…+n=1+， ∴第⑧个图案中黑色三角形的个数为1+1+2+3+…+8=1+=37， 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中正方形的个数为1+1+2+3+…+n=1+． 7. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理的运用，理解并掌握平行四边形的性质，勾股勾股定理的计算是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到,，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，, ∴, ∴, ∵的平分线和的平分线交于上一点， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， 故选：A． 8. 小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离（米）与小亮出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 小明的速度是4米/秒； B. 小亮出发100秒时到达终点； C. 小明出发125秒时到达了终点； D. 小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米． 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两人的速度，以及图象中的、的值，由此即可判断． 【详解】解：根据题意，时，小明出发2秒行驶的路程为8米， 所以，小明的速度米秒，故A正确， 先到终点的人原地休息， 秒时，小亮先到达终点，故B正确， 小亮的速度米秒， （米； （秒， 小明出发125秒时到达了终点，故C正确， 小亮出发20秒，小亮走了米，小明走了米， 米， 小亮在小明前方12米，故D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求出两人的速度是解题的关键，学会读懂题目信息，搞清楚路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型． 9. 如图，在矩形中，对角线、交于点，的角平分线交于点，连接，若，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，准确找到所需的直角三角形并用勾股定理求出相应边长是解题的关键．过点作于点，过点作于点，可得，即得，再由是的角平分线，，利用勾股定理求出，，根据，可得，进而求出点到的距离． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 矩形中，对角线、交于点， ， 与是等底等高面积相等的三角形，即， 的角平分线交于点，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 即点到的距离为， 故选：C． 10. 已知关于x的整式，其中a，b，c，d，e为整数，，且满足下列说法； ①所有满足条件的整式M中，不存在其中两个整式的和为单项式； ②若，则满足条件的整式M共有6个； ③满足条件的所有整式M共有个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据满足条件的两个整式M的和为单项式，需满足两个整式中的对应系数互为相反数，由此可判断①； 当时，根据所给条件，列出所有可能，由此可判断②； 以此类推分、两种情况，求出满足条件的系数取值，得出满足条件的所有整式M总个数，由此可判断③． 【详解】①要使满足条件的两个整式M的和为单项式，则需满足两个整式中的对应系数互为相反数，这与系数递减的条件矛盾，即不存在，①说法正确； ②当时， a，b可从5，4，3，2中取满足条件的值为：，或，或，或，或，或，共6种； d，e可从0，，，中取满足条件的值为，或，或，或，或，或，共6种； 再根据的条件，可得满足条件的有： ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； 共8个，故②错误； ③以此类推当时，满足条件的系数取值为： ，，，，； ，，，，； 共2个； 当时，满足条件的系数取值为： ，，，，； ，，，，；共2个； 当时，满足条件的系数取值为： ，共1个， 综上，满足条件的所有整式M共个，③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的有关概念，整数的不等关系，绝对值的性质，整式的加减运算，分类讨论思想的运用，解题关键是根据且为整数、这一条件，枚举并分析的所有可能取值，进而逐一验证． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 计算_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂． 先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算减法即可． 【详解】， 故答案为：． 12. 如图，对角线、相交于点，为的中点，，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．首先证明，再由为中点，推出，然后计算周长即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，其对角线、相交于点， ， 为的中点，， ，是中位线， ， 的周长为， 故答案为：． 13. 数学不仅训练人们的思维，也广泛应用于生活．八年级各班制作了关于数学与科技的短视频，需要选作优秀作品在校园电视上播放．某班投送的候选作品《数学与科技》在“视听吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视频作品 视听吸引 启发思考 社会责任 《数学与科技》 90 80 90 如果按照“视听吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该《数学与科技》作品得分是______分． 【答案】87 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算公式，进行计算即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：87． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线和（k、b为常数，）相交于点，则不等式的解集是 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据两条直线的交点求不等式的解集，掌握图象法求不等式解集是解题的关键． 把点代入，求m值，从而得到点p坐标，再数形结合，利用图象法求解即可． 【详解】解：将点代入， 得， 解得， ∴， 根据图象，不等的解集为x， 故答案为：． 15. 如图，将一个长为9，宽为3的长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则EF的长为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：是四边形EFCD与EFGA的对称轴 又 设，则 计算得出 则 又四边形ABCD是矩形, 过E点作于H, 故答案为：． 16. 如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字之积等于去掉千位数字与个位数字得到的两位数，则称这个数为“中积数”．如：8162．∵，∴8162是“中积数”：又如：5234，∵，∴5234不是“中积数”，若一个“中积数”为，则这个数为______；对一个“中积数”，规定它的前三个数字组成的三位数，它的后三个数字组成的三位数，若能被17整除，则满足条件的“中积数”的最小值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减，解题时要熟练掌握并能灵活计算是关键．依据题意，根据定义可得，进而得出，即可求解；根据定义可得，再结合已知条件得，得出，根据整除可得 能被整除，根据题意，要求最小的“中积数“，进而从开始分析，逐个计算，即可求解． 【详解】由题意得, ， ∴解得: ， ∴这个数为； 又由题意“中积数”， 又， ∴这个“中积数”为， 又， ∴这个“中积数”为， 又由题意, ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵要求最小“中积数”， ∴当，而，，不合题意； 当时，，则能被整除， ∵且为正整数， 都不能被整除， ∴时，不合题意. 当 时，，则能被整除， 且为正整数， 当时, ， ， ， ∴最小的“中积数“为， 故答案为:，． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）采用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）采用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ． ． 【小问2详解】 ． 整理，得 ． ． ． 18. 在学习等腰三角形时，读思学习小组对等腰三角形进行了下列探究：如图，在中，，于点，过点作的垂线，垂足为，他们通过证三角形全等得到线段与相等．于是他们得到结论是等腰三角形两腰上的高相等．请根据该小组的思路完成下面作图和解答． （1）如图，用直尺和圆规，完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明：，①______． ，，②______． ，③______． ． 进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形④______相等． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2），，；两腰上的中线 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线的作图等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据垂线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论，再证明．即可证明猜想得到的结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：， ①． ，， ②． ， ③． ． 故答案为：，， 进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形两腰上的中线相等． 证明：，，是的中线， ．， ， ． ． 故答案为：两腰上的中线 19. 为了解学生对 DeepSeek等智能软件的使用情况，某校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．)，下面给出了部分信息： 八年级抽取20名学生的竞赛成绩为： 65，66，70，75，77，81，82，82，82，83 84，87，88，89，92，95，96，98，98，100 九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，88，85，87，86，82． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表九年级所抽学生的竞赛成绩统计图 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 b 众数 a 79 方差 102.75 122.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　； （2）请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 【答案】（1）82，，30； （2） 解：八年级学生竞赛成绩较好，理由： 八、九年级的平均分均为分，八年级的中位数高于九年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； （3）该校八、九年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数约是人． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，样本估计总体． （1）根据表格及中位数及众数的定义进行求解； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）样本估计总体可进行求解． 【小问1详解】 解：根据八年级学生竞赛成绩可知：82出现次数最多，则众数为82，即， 九年级竞赛成绩中组：（人）， 组：6（人），所占百分比为， 组：所占百分比为， 组：人，所占百分比为，则， ∴九年级的中位数为从大到小排列的第个同学竞赛成绩的平均数， 由于，中位数为组第个同学竞赛成绩的平均数,， 故答案为：，，30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校八、九年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数约是人． 20. 先化简，再求值：，其中满足：，且为整数，选择一个你认为合适的的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除号后的项根据平方差公式约分得到最简结果，选择合适的x的值代入计算即可求出值，注意x的取值范围． 【详解】解： ； 当，且为整数， ∴ ∵ 时分式无意义， ∴ 带入得：原式. 21. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． （1）问：、两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要购进、两款玩偶1200个，且款的数量不小于款的一半，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】（1）款的进货单价是10元，则款的进货单价是15元 （2）购进款400个，购进款800个时，获得的总利润最高，最高为4800元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设款的进货单价是元，则款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进款个，则购进款个，先根据“款的数量不小于款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设款的进货单价是元，则款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得 经检验，是该方程的解， ， 答：款的进货单价是10元，则款的进货单价是15元． 【小问2详解】 解：设购进款个，则购进款个， ∵款的数量不小于款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则 ， 随的增大而减少， 当取得最小整数解400时，取得最大值，最大值为 此时，则 答：购进款400个，购进款800个时，获得的总利润最高，最高为4800元． 22. 如图1，在平行四边形中，，过点B作于点E，，．点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点E时停止．设点M的运动时间x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：________________； （3）若直线与该函数图象只有一个交点，则常数b的取值范围是________________． 【答案】（1） （2）当时，函数有最大值 4 （答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线， 与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ∵点从点出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒，的面积为， ∴当点到达点时（秒），当点到达点时（秒）， ∴当时，点在线段上，此时； 当时，点在线段上，如图 1 ， 此时； ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：函数图象如图2： 由函数图象可得：当时，函数有最大值 4 （答案不唯一）， 故答案为：当时，函数有最大值 4 （答案不唯一）； 【小问3详解】 解：平移直线与相交， 函数图象如图3： 把代入可得； 把代入可得， 解得； 把代入可得， 解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点， 则常数的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 23. 如图1所示的是某款手机的平板支架，它由托板、支撑板和底座构成，现将该款手机放置在托板上．图2是该款手机及平板支架的侧面结构示意图，已知托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端点C处，且，托板可以绕着点C转动，支撑板可以绕着点A转动． （1）若，，求点D到的距离．（结果保留根号） （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，将绕着点C逆时针旋转后，再将绕着点A顺时针旋转，使得点E落在直线上（如图3），求旋转的角度． 【答案】（1）点D到的距离为 （2）旋转的角度为 【解析】 【分析】（1）过D作，交于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，证明四边形是矩形，得出，，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理求出，求出，得出答案即可； （2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中已知的边角，根据中，，，得出是等腰直角三角形，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图2，过D作，交于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：，即， ∴， ∴， 答：点D到的距离为． 【小问2详解】 解：旋转后，如图3所示，根据题意可知， 在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 因此旋转的角度为：， 答：旋转的角度为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点M是直线上一动点，过点M作轴交直线于点N，当时，求出点M的坐标； （3）如图3，直线与直线垂直于点H，将直线向左平移4个单位后与x轴，y轴分别交于D，E两点，与直线交于点F，在直线l上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或． （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出，，则把代入，得直线的函数表达式为，即可作答． （2）理解题意，设，则，根据，得，再解得或，即可作答． （3）先得出直线平移后的解析式为，，；则，，因为以及角的等量代换，得，因为，，得直线与直线的交点为点，求出直线的解析式为，联立方程，得，同理解得直线的解析式为，联立方程，得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴令时，则， 即； 令时，则， 解得 即； ∵直线与y轴交于点 ∴设直线的函数表达式为， 把代入，得 解得； ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点M是直线上一动点，且直线的函数表达式为 ∴设， ∵过点M作轴交直线于点N，直线的函数表达式为； ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 则或 解得或； 把代入，得； 或把代入，得； ∴点M的坐标为或． 【小问3详解】 解：存在点P，使得，理由如下： ∵将直线向左平移4个单位后与x轴，y轴分别交于D，E两点，且直线的函数表达式为 ∴直线平移后的解析式为， 依题意，令时，则， 即； 令时，则， 解得， 即； ∵ 则， 连接交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线与直线的交点为点， ∵ ∴设直线的解析式为 把代入，得 ∴ ∴直线的解析式为 则， 解得 ∴ ∵直线，且 ∴过点E与直线平行的直线解析式为， 点E关于直线的对称点在上， 则 设 ∵ ∴， ∴解得， 把代入，得， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， 把代入，得， ∴ 综上所述：点P的坐标为或 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握次函数的图象及性质，平行线的性质，勾股定理，两直线的交点与方程组的关系，三角形内角和定理，轴对称的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． （1）如图，若，，求的长度； （2）如图，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； （3）如图，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接， 四边形是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在与中， ， ， ，即为的中点， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，由正方形的性质可得，推出为等腰直角三角形，推出，在中，根据勾股定理求出，即可求解的长； （2）过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接，根据平行线的性质结合已知的，推出，得到，由可得，结合正方形的性质可得 ，，结合平行线的性质得到，从而证明，得到，， 结合角的等量代换推出，进而可证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证明，得到，即为的中点，根据直角三角形的中线定理即可证明； （3）取的中点，连接、，结合正方形的性质可得，由勾股定理得到的长，根据垂直平分线的性质可推出，证明，得到，进而得到，推出，得到，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 四边形为正方形， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接、， 正方形边长为， ， ， ， 在正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，勾股定理，线段最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $