第7节抛物线的定义与方程-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第七节 抛物线及其标准方程 196 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:抛物线的定义 （1）定义:把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹. （2）焦点:定点抛物线的焦点. （3）准线:直线叫做抛物线的准线. （4）集合表示: . 注意: （1）定点不在定直线上,否则动点的轨迹不是抛物线,而是过点垂直于直线的一条直线. （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性,故二者可相互转化,这也是利用抛物线定义解题的实质. ▍知识点2:标准方程的推导 如图,以过F且垂直于的直线为轴,垂足为.以,的中点为坐标原点建立直角坐标系. 设,那么焦点的坐标为,准线的方程为. 设点是抛物线上任意一点,点到的距离为. 由抛物线定义,抛物线就是集合 因为, 所以 将上式两边平方并化简,得① 方程①叫抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是它的准线方程是. ▍知识点3:抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 ▍知识点4:求抛物线标准方程的方法 （1）直接法:直接利用题中已知条件确定焦参数; （2）待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定焦参数.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为或; 注意:已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式,需根据四种抛物线的图形及开口方向确定. ［对应练习:基础1］ ▶练基础 求抛物线的标准方程 1 【典例▪1】求适合下列条件的抛物线的标准方程: （1）焦点为; （2）准线方程为:; （3）焦点到准线的距离为6. 【练习▪2】求适合下列条件的抛物线的标准方程: （1）顶点在原点,且过点; （2）顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线上; （3）焦点在x轴上,且抛物线上一点到焦点的距离为5. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 抛物线的定义及其应用 1 【典例▪3】若抛物线上的点P到直线的距离等于4,则点P到焦点F的距离（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式▪4】已知抛物线C:的顶点为O,经过点,且F为抛物线C的焦点,若,则p＝（ ） A. B.1 C. D.2 【练习▪5】抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C.2 D.4 【练习▪6】（2023·全国高二）已知抛物线的焦点为,点在上.若到直线的距离为3,则（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【练习▪7】已知抛物线C:的焦点为,A是C上一点,|AF|=,则=（    ） A.1 B.2 C.4 D.8 【练习▪8】抛物线:过点,则的焦点到准线的距离为（    ） A. B. C. D.1 【练习▪9】若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10,则（   ） A.6 B.8 C.10 D.12 【练习▪10】抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是（ ） A. B. C. D.0 【练习▪11】抛物线上一点的纵坐标为2,则点与抛物线焦点的距离为（ ） A.2 B. C.3 D.4 【练习▪12】若为抛物线上一点,点到的焦点的距离为,则的焦点坐标为（ ） A． B. C. D. 【练习▪13】（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点,点在抛物线上,若,则（ ） A. B. C. D.的坐标为 【练习▪14】已知抛物线的焦点为,准线为是抛物线上位于第一象限内的一点,过点作的垂线,垂足为,若直线的倾斜角为,则（    ） A.2 B. C. D.3 【练习▪15】已知为抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,则线段的中点到轴的距离为=（ ） A. B. C. D. 【练习▪16】已知点,抛物线的焦点为,准线为,线段交抛物线于点,过点作准线的垂线,垂足为.若,则抛物线C的标准方程为 . 【练习▪17】设点F是抛物线的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若, ,则抛物线的方程为（ ） A． B. C. D. 【练习▪18】（24·重庆）过抛物线的焦点的直线交于点,交的准线于点,,点为垂足.若是的中点,且,则（    ） A.4 B. C. D. 【练习▪19】抛物线的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A,B两点,,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪20】（24·河南）已知抛物线的焦点为,过点的直线与拋物线交于A,B两点,点在轴上方,且的横坐标为5,则（    ） A. B. C. D. ▍练题型 与抛物线有关的轨迹问题 2 【典例▪21】在平面直角坐标系中,点到点的距离等于点到直线的距离,求动点的轨迹方程. 【变式▪22】若圆:与定直线:,动圆与圆外切且与直线相切,记动圆的圆心的轨迹为曲线,求曲线的轨迹方程. 【练习▪23】动点到轴的距离比到点的距离小2,求点的轨迹方程. 【练习▪24】已知动圆M与直线相切,且与定圆C:外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 【练习▪25】（24·全国）在平面坐标系中,动点P和点满足,求动点的轨迹方程. 【练习▪26】（2024·全国·高二）已知点,在轴上,且,求外心的轨迹方程. 【练习▪27】点,点B是x轴上的动点,线段PB的中点E在y轴上,且AE垂直PB,求点P的轨迹方程. 【练习▪28】已知点到点的距离比点到直线的距离小1. （1）求点的轨迹方程; （2）求线段中点的轨迹方程. 【练习▪29】若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线相切,则圆心的坐标满足的方程是 . 【练习▪30】（2023·全国高二专题）已知动点的坐标满足,则动点的轨迹方程为 . 【练习▪31】（2023·吉林高二）若点满足方程,则点P的轨迹是 .（填圆锥曲线的类型,填方程不给分） ▍练题型 距离和与差的最值问题 3 【典例▪32】（2024江苏高二）已知抛物线的焦点为F,点,若点A为抛物线任意一点,当取最小值时,点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【变式▪33】已知点是抛物线上的一点,过点作直线的垂线,垂足为,若,则的最小值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【变式▪34】已知,抛物线的焦点为是抛物线上任意一点,则周长的最小值为（    ） A. B. C. D. 【变式▪35】（2023·全国）已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（ ） A. B.2 C. D.3 【练习▪36】已知P为抛物线上的任意一点,F为抛物线的焦点,点A坐标为,则的最小值为（ ） A.4 B.3 C. D. 【练习▪37】已知,若点P是抛物线上任意一点,点Q是圆上任意一点,则的最小值为 . 【练习▪38】（2024·高二山东）设抛物线上一点到轴的距离为,到直线的距离为,则的最小值为（    ） A.3 B.2 C. D.5 【练习▪39】点分别是抛物线和圆上的动点,点到直线的距离为,则的最小值为 . 【练习▪40】已知点是坐标平面内一定点, 若抛物线的焦点为,点是抛物线上的一动点, 则的最小值是 . 【练习▪41】点是抛物线的焦点,直线为抛物线的准线,点为直线上一动点,点在以为圆心,为半径的圆上,点在抛物线上,则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【练习▪42】已知点P为抛物线C:上的动点,直线l:,点为圆M:上的动点,设点P到直线l的距离为d,则的最小值为 . 【练习▪43】（2023·江西）已知抛物线,圆,点,若分别是,上的动点,则的最小值为 . 【练习▪44】（2023·全国·高二专题）设P为抛物线C:上的动点,关于P的对称点为B,记P到直线的距离分别,,则的最小值为（ ） A. B. C. D. ▍练题型 抛物线的实际应用 4 【典例▪45】（2024·全国高三专题）如图是一座拋物线形拱桥,当桥洞内水面宽时,拱顶距离水面,当水面上升后,桥洞内水面宽为（ ） A. B. C. D. 【练习▪46】南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示,忽略杯盏的厚度,这只杯盏的轴截面如图2所示,其中光滑的曲线是抛物线的一部分,已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm,则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm. 【练习▪47】清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状,碗盖深为,碗盖口直径为,碗体口直径为,碗体深,则盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（ ） A. B. C. D. 【练习▪48】探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置,通过镜面反射就变成了平行光束,如图所示,这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,灯口直径是,灯深,则光源到反射镜顶点的距离为（ ） A. B. C. D. 【练习▪49】（2024·全国高三专题练习）如图,某大桥中央桥孔的跨度为20m,拱顶呈抛物线形,拱顶距水面10m,桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔,该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m,宽16m.若不考虑水下深度,该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.    ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）为2,则抛物线的焦点坐标为（    ） A. B. C. D. 2.两抛物线与焦点间距离为（ ） A. B. C. D. 3.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,过点且平行于轴的直线交抛物线准线于点,且,则（    ） A.2 B.4 C. D. 4.已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点在抛物线上,且,则的面积为（    ） A. B. C.1 D.2 5.在直角坐标系xOy中,已知点,, ,动点P满足线段PE的中点在曲线上,则的最小值为（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 二、多选题 6.（23-24高三·新疆）已知抛物线:的焦点为,准线为,为上一点,垂直于且交于点,,分别为,的中点,与轴相交于点,若,则（    ） A. B. C. D. 7.设抛物线的焦点为,是上的一个动点,则下列结论正确的是（    ） A.点到的距离比到轴的距离大2 B.点到直线的最小距离为 C.以为直径的圆与轴相切 D.记点在的准线上的射影为,则不可能是正三角形 三、填空题 8.如图,正方形和正方形的边长分别为,,原点O为边AD的中点,抛物线经过C,F两点,则点F的坐标为 ;的值是 . 四、解答题 9.已知抛物线的焦点为,到双曲线的渐近线的距离为. （1）求抛物线的标准方程; （2）过动点作抛物线的切线（斜率不为0）,切点为,求线段的中点的轨迹方程. 10.如图,探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成,光源位于抛物线的焦点处,这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm,灯的深度为40cm.   （1）将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ （2）为了使反射的光更亮,增大反射镜的面积,将灯口圆的直径增大到66cm,并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度. $第七节抛物线及其标准方程 核心基础导学 【1】详见解析 解析：(1)因为焦点为F(-2,0),故抛物线焦准距为p=4, 则抛物线标准方程为y2=-8x: (2)抛物线准线方程为：y=4,则号=4p=8, 焦点在y轴正半轴上，则抛物线标准方程为x2=16y: (3)焦点到准线的距离为6，即p=6, 焦点位置不确定， 故抛物线标准方程为y2=12x或y2=-12x或x2=12y或x2=-12y 【2】详见解析 解析：(1)由题意顶点在原点，且过点(3,2)，则抛物线焦点可能在y轴 正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为x2=2py(p>0)或y2=-2p(p>0) 分别将（←3,2）代入求得p=是p= 故抛物线标准方程为：子或。手： (2)由于直线3x-4y-12=0与x轴的交点为(4,0) 由题意可知抛物线焦点为(4,0)，则2=4，p=8 故抛物线标准方程为y2=16x: (3)由题意抛物线焦点在x轴上，且过A(3,m),故设抛物线方程为 产=2p>0,焦点为兮0，准线为x=号 根据抛物线定义，到焦点距离等于到准线距离故3-(=5“p=4 故抛物线标准方程为y2=8x 重点题型专练 【3】D 解析：抛物线y2=4x的准线为x=-1 而抛物线y2=4x上的点P到直线x=-1的距离等于4， 所以点P到焦点F的距离PF=4.故选：D. 【4】C 解析：因为点A(x,2)在抛物线上，4=3。 所以x+2= 22 ,所以x。=P 所以A(P,2),所以4=2p2,解得p=√2.故选：C 【5】B 解折：由抛物线方程知：=2y=子，即P=日 根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是p=3故选：B 【6】A 解析：如下图所示： 根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2 若M到直线x=-1的距离为MM2=3, 则M到抛物线的准线x=-2的距离为M4,=4, 利用抛物线定义可知MF=M,=4.故选：A 【7】A 解析：根据抛物线的定义可知4-+子，解之得，=1.选A 【8】B 解析：因为抛物线C:y=ax2过点(L2),所以a=2,故抛物线 C:x2=y,所以C的焦点到准线的距离为二故选：B. 【9】B 解析： 由抛物线上点A到焦点的距离为10，则点A到抛物线C的准线的距离 为10，由抛物线C:y2=4Px(p>0),则其准线为直线x=-p, 所以2+p=10,解得p=8.故选：B, 【10】B 解折：设4，)，由抛物线方程y=4化为产=子，得焦点0己 准线=名由抛物线定义可特叶-+合1解得%总故 1 选：B. 【11】B 解析：由抛物线=2y的准线方程为y=分焦点@宁， 1 因为抛物线x2=2y上一点A的纵坐标为2， 根据抛物线定义可得点A与抛物线焦点F的距离为 4-+号=2+故选B 【12】C 解析：由题意可知，4=-2pm,所以m三-弓； 又知抛物钱℃的准线方程为x=号， 根那地物线的定义可知，台加=号+号2，整理得广一-40+4=0，解 得p=2,所以C的焦点坐标为(-10)，故选：C 【13】ABC 解析：由抛物线C:y2=4x,可得FL,0), 因为点M(。y,)在抛物线C上，且MF=4, 根据抛物线的定义，可得F=x。+1=4,解得x。=3, 又因为片=4。=12，所以。=25，即M3,士25)， 则Md=Vg+g=√9+12=√2i故选：ABC 【14】B 解析：H 过点F作1的垂线，垂足为H,因为直线QF的倾斜角为150°，则 ∠QFH=30°， 设1p2,因为，=2m0-29,=年号 3 烈传9*-号 【15】C 解折：抛物线的准线为x:片，过48作准线的垂线垂足为 E,C,AB的中点为M,过M作准线的垂线，垂足为MH, 因为A,B是该抛物线上的两点，故AE=AFBG=BF, 所以AE+BG=AF+BF=3, 又为梯形的中位线所以子，故M到)轴的距离为 子子做选c 【16】y2=2√2x 解析：由抛物线的定义可得BM=BF,F(号，0)， 又AM⊥MF,所以点B为线段FA的中点， 又因为点40,2，所以（学）， 又点B在抛物线上，所以1=2p×二，解得p=√2 4 所以抛物线C的标准方程为y2=2√2x 【17】B 解析：由题意得：AB=2,BC=2V3,AB⊥BC, 所以tamn∠CAB= 可得∠C4B=60°，由抛物线的定义得AB=4 所以△AF是等边三角形，所以P==1, 所以抛物线的方程是y2=2x.故选：B 【18】A 解析：作BE⊥1于点E,L与x轴交于点M,则AD1/M/1BE 又A=3且F是AC的中点，则有 ADL_AC =2 FMFC 即-24，又=3，故F- 图周 IFC=4F=3,IFB=E 3 故2 3 即F=1,则AB=3+1=4.故选：A FB3-FB D A M OF 【19】D 解析： 如图，分别过点A、B向准线作垂线，垂足分别为C、D,过点B、F分 别作BG⊥AC、FE⊥AC于点G、E,准线与x轴交于点K, 设B=m,则由抛物线的定义可得BD=B=m,4C=AF=2m, 则AG=lcG=m,le=KF=p 因为A=2BFL,所以cos∠EAF= AB 3m AF h0,-2号子=p,解得m子。 3 所以-P.故选：D 【20】C 解析：如图，设点A,B在抛物线C的准线上的投影分别是A',B',作 BD⊥AA',垂足为D,BD与x轴交于点E, 由题意可知|AF=5+2=7.设BF=m,则|AD=7-m,EF=4-m 号E短△5-品即片产原理得 m+77-m 5m=14, 5 OE 故选：C 【2】y=+1 解析：设M,),依题意，得=2+(-2， 化简得y=子+1，故动点M的方程为y=子+1. 【22】y2=2x 解析：设P(x,),动圆P与圆F外切且与直线1相切， 则有宁-吉+子化筒得子=2 1 4 故曲线C的方程为y2=2x. 【23】y2=8x(x≥0)或y=0(x<0) 解析：依题意可得1x+2=V-2)+y2 两边平方得x2+4x|+4=x2-4x+4+y2,即y2=4x|+4x, 当x20时，y2=8x: 当x<0时，y=0.所以点P的轨迹方程为：y2=8x(x≥0)或y=0(x<0). 【24】x2=12y 解析：由题意知，设M(x,y), 则√公+6心-3=少+2+， x2+y2-6y+9=y2+6y+9,解得x2=12y 【25】y2=-12x 解析：由题意MW=(6,0),MP=(c+3,y),WP=(-3,y), 由1MW1MP1+MN.NP=0得6(x+3)2+y2+6(x-3)=0, 化简得y2=-12x. 【26】y2=4x 解析：设aABC外心为G,且G,y),B(0,a),C(0,a+4), 由G点在BC的垂直平分线上知y=a+2 由GA=GB,得(c-2)2+y2=x2+0-a) 故(x-2)2+y2=x2+22即点G的轨迹为：y2=4x, 【27】y2=4x(x≠0) 解折：设)，ao,则告“引 由点8在y轴上得m-0,则m=-x,即0 2 又AE1PB,若x0,则a0是云 2×之=-1即y2=4。 若x=0,则m=0,此时点P,B重合，直线PB不存在 所以点P的轨迹方程是y2=4x(x≠0). 【28】(1)y2=-8x:(2)y2=-4x+1) 解折：(1)解法1：设M(,),由题意知V(+2+y2+1=-3列 当x23时，可化为+2+y2=x-4,整理得，少2=-126-)（舍去) 当x<3时，可化为V(+2+y2=2-x整理得，y2=-8x(≤0) 故点M的轨迹方程为y2=-8x 解法2：由题可知，点M到点F(-2,0)的距离与到直线x=2的距离相等， 所以动点M的轨迹是以F(-2,0)为焦点，x=2为准线的抛物线， 点M的轨迹方程为y2=-8x (2)设2(x,y）,M(x) 则 x。=2x+2 %=2y 又y后=-8x。,故(2y)=-8(2x+2),即y2=-4(x+1)为所求 【29】y2=-8x 解折：双曲线亡-二=1的左焦点为(20)，动圆M经过P且与直线 3 x=2相切， 则侧圆心M到点F的距离和到直线x=2的距离相等， 由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为R,准线为x=2的抛物线， 其方程为y2=-8x.故答案为：y2=-8x 【30】y2=8x 解析：设F(2,0),直线1：x=-2,则动点M到点F的距离为 Vc-2+y2,动点M到直线1：x=-2,的距离为卜+2斗，又因为 V(x-2+y2=卜+2， 所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点，x=-2为准线的抛物线，其轨迹 方程为y2=8x.故答案为：y2=8x 【31】抛物线 解析：由-广+0-2可Bx+4+12,得 5 V-+-2=+4+12 V32+42 所以等式左边表示点P(x,y)到点(L2)的距离，右边表示点P(x,)到直 线3x+4y+12=0的距离，即点P(x,y)到点（L,2)的距离与到直线 3x+4y+12=0的距离相等， 又因为点(L,2)不在直线3x+4y+12=0上，由抛物线的定义知，点P的 轨迹是以(L,2)为焦点，直线3x+4y+12=0为准线的抛物线. 故答案为：抛物线 【32】B 解析：设点A在准线上的射影为D,如图 则根据抛物线的定义可知|AFAD1, 求A+AF的最小值，即求AB+AD的最小值， 显然当D,B,A三点共线时AB+AD最小， 此时A点的横坐标为1，代入抛物线方程可知A日，故运：B, 4 【33】A 解析：由抛物线C:x2=12y可知其焦点为(0,3，准线方程为y=-3 记抛物线C的焦点为F(0,3), 所以|Pc+PM=Pcl+PF-2≥Fo-2=4+3-2=3, 当且仅当点P在线段FG上时等号成立， 所以PC+PM的最小值为3.故选：A G M 【34】C 解析：由题意，抛物线的准线x=-2,过点P作PH垂直于准线且交准线 于H,则PP阳， 由题可知，△PAF的周长为4F+PA+|PF=AF+PA+PH|,又 AF=V5 如图，AF+PA+PH2AF+4H,当A,P,H三点共线时， △P4F的周长最小，且最小值为5+√5.故选：C 【35】D 解析：由题可知x=-1是抛物线y2=4x的准线， 设抛物线的焦点为F,则F(10), 所以动点P到12的距离等于P到x■-1的距离加1， 即动点P到2的距离等于P+1. 所以动点P到直线和直线的距离之和的最小值为 焦点F到直线，：4x-3y+6=0的距离加1， 即其最小值是上-0+d+1=3故选：D 5 / 【36】A 解析：由拋物线2=4x知p=2,则F(1,0),准线{方程为x=-1. 如图所示，点A在抛物线内，过点P作抛物线准线！的垂线段，垂足为点 过点A作AH⊥！于点H 由抛物线的定义得PF=PP,所以PA+PF=PA+PP1≥AH, 当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点（即A,P,H三点共线）时取 等号.故PA+PF的最小值为A=3+=4.故选：A 2 【37】4 解析：如图所示： 抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线1：x=-2, 圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,0),半径r=1, 过点P作PB垂直准线1，垂直为点B 由抛物线的定义可知P=PF, PA +PO=PA+PF-r=PA+PF-1 =P4+Pal-1248|-1=3+2-1=4 当且仅当B,P,A三点共线时，等号成立 综上所述：P4+Pg的最小值为4. 28x B 43,2) -22)7八0 F (-2y+2=1 【38】B 解析：抛物线y2=4x的焦点F(-L,0),准线：x=1, 过点P作PB⊥1于B,PA垂直于直线3x+4y-12=0于点A,显然 IPBH FPI, 点F到直线红+4-12=0的距离d=-3-2=3 N32+42 则d,+d,=PB|-+|PAHIFP|+|PA-1≥d-1=2, 当且仅当点P是点F到直线3x+4y-12=0的垂线段与抛物线的交点 时取等号，所以d,+d2的最小值为2.故选：B 3.+41-12-0 【38】22 解析：如图所示： 由圆E的标准方程为(x-1)2+0+2)=1可知圆心E(1,-2),半径为 r=1, 抛物线C的焦点为F(-L,0),准线方程为x=1 由抛物线定义可知4F=d-1 圆外一点到圆上点的距离满足A-r≤ABsA到+r,即 AE-1≤Aas4+1: 所以 A+d=A8+AF+1≥AE1+AF+1=AE到+AF≥E=2F, 当且仅当A,E,F三点共线时，等号成立： 即4B+d的最小值为2√2 【401月 解析 抛物线的准线方程为x=, 过点9作g垂直准线于点g,， MO-OF=Me-201 显然，当MQ平行于x轴时， g-er取得最小值，此时（么，2）， b时非：卦故等案为 【41】B 解析：如图，过点P作PV⊥1于点W,根据抛物线的定义可 得：Pr=PwM, 所以|PFI-|PQ曰PW1-|PQI,而IPQ1APM1-|OMH PM1-1 所以IPF|-|PQ1HPN|川-|POPN|-|PMI+1≤1. 当且仅当点O、点W、点M在同一条直线上时等号成立 所以|PF1-|PQ1有最大值1.故选：B 【42】4√2-1 解析：由题意可得：抛物线y2=4x的焦点为F(L,0),准线为直线 l:x=-1, 圆M:(x+3)+(y-4)=1的圆心M(-3,4),半径r=1, 由抛物线的定义知，d=P,则 |Prl+d=lPT+lPF≥lPM-r+lP≥M-r, 当P,R,M三点共线时，取最小值为 M-1=-(-3+(0-4-1=42-1. 故答案为：4√5-1 【43】4 解析：由抛物线C:y2=8x得焦点F(2,0),准线为x=-2, 由圆C,:x2+y2-4x+3=0,得(x-2)+y2=1, 所以圆C,是以F(2,0)为圆心，以r=1为半径的圆 所以AM+A8≥AM+AF-1, 所以当AM+AF取得最小值时，4M+A到取得最小值， 又根据抛物线的定义得4F等于点A到准线x=-2的距离。 所以过点M作准线x=-2的垂线，垂足为N,且与抛物线C:y2=8x相 交，当点A为此交点时，M+4F取得最小值，最小值为3-(-2=5， 所以此时AM+A≥4M+AF-1≥5-1=4， 所以4M+4B的最小值为4. 故答案为：4 【44】A 解析：如图， 因为d2=d+2,且A(2,4)关于P的对称点为B, 所以2A曰P卧，抛物线焦点F(L,0), 所以 d,+d2+AB=2d,+2+2PA=2(d,+PA+2=2(P可+2A+2 ≥2AF+2=2W17+2, 当P在线段AF上时，d,+d,+AB取得最小值，且最小值为2W7+2.故 选：A 【45】C 解析：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴， 过原点且垂直于y轴的直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为x2=-2y(P>0),由题意可知点(8，-4)在抛物线上， 所以，64=-2p×(-4),可得p=8,所以，抛物线的方程为x2=-16y, 当水面上升1m后，即当y=-3时，x2=48,可得x=±4万， 因此，当水面上升1m后，桥洞内水面宽为8√3m.故选：C 【u61号 解析：如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标 系 题意可符4的坐标为[仔 设抛物线的标准方程为=2p(>0),则=6印，解得P=受 故该抛物线的焦点到雅线的距离为子cm, 故答为： 【47】c 解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立直角坐标系，如图 所示 0 设碗体的抛物线方程为x2=2py（p>0), 将点(5,6.25)代入，得52=2p×6.25,解得p=2,则x2=4y, 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h(cm), 则两抛物线在第一象限的交点为(4，h-3), 代入到x2=4y,解得42=4(-3)，解得h=7.故选：C 【48】B 解析：在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点， 过顶点垂直于灯口直径的直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示， ·A40,40) 由题意可得A(40,40). 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0), 于是402=2p·40,解得p=20 所以抛物线的焦点到项点的距离为二=10 即光源到反射镜顶点的距离为10cm.故选：B 【49】不能，理由见解析 解析：建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为x2=-2Py(p>0), 由愿意可知：A0,-6,把它代入方程中，符10=-2p(6)户p=兰 所以方程为。号，而货轮宽16m 把=8代入2=9)中，得少=-384 点B离水面高度为10-3.84=6.16，而吃水线上部分中央船体高16m, 所以不能通过桥孔. 综合巩固提升 1.【答案】C 解折：因为抛物线产=2p0>0)的焦点为号0，准线为x=号 由题意可知：焦准距 2_p 22 =p=2,所以抛物线的焦点坐标为(1,0) 故选：C 2.【答案】B 解析：由题意，抛物线x2=√2y与y2=-x的焦点坐标分别为 〔马片可活的日图-兰 故选：B 3.【答案】D 解析：由抛物线定义可知PF=PM,所以△PMF为等腰三角形， 记原点为O,抛物线准线与x轴的交点为N,则=2√3， 因为∠MPr=2,所以∠MrO= 3 6 所以，F= wF25 4 cos2Dcor若 所以，在△PMF中，由余弦定理得： cos∠MPF=co 2三式f@片得 2PRPM 2P 网5放话D 4.【答案】B 解折：抛物线C:=2么的焦点宁0，准线1：x=,过点P作 PW⊥l,垂足为W, 由PM=PFPF=|Pw,得lPM=VPM,于是IMwH2w1, 设店则时号+片解程 所以△P的面积S=子之HMF子1x1=子 故选：B VA 5.【答案】B 解析：设P(x,y),则PE的中点坐标为 代入y2=2x+2,可得 y2=4x, 故动点P的轨迹是以F为焦点，直线：x=-1为准线的抛物线 由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部， 过点P作Pe⊥l,垂足为e,则PM+PF=|PM+Pg,(抛物线的定 义)， O 故当且仅当M,P,Q三点共线时，PM+P最小，即PM+P可最小， 最小值为点M到直线1的距离，所以PM+P=2-()=3, 故选：B. 6.【答案】AC 解析：由已知可得，抛物线的焦点F(L,0),准线方程为：x=-1. D HO 对于A项，如图，连接F2,FM 因为M,N分别为Pe,PF的中点，所以MN11F0 又PQ11x轴，所以四边形RMQ为平行四边形. 又∠RF=60°，所以∠FQP=60°.故A正确： 对于B项，因为M为P9的中点， 所以FM⊥PQ,点M横坐标为1， 所以，OM=2.故B错误： 对于C项，由抛物线定义知，P阿=PF 又M为P9的中点， 所以，Pg=2QM=4 所以，F=4.故C正确： 对于D项，由A知，四边形FRMQ为平行四边形，所以FR=QM=2, 故D错误故选：AC 7.【答案】BC 解析：由抛物线C:x2=4y,可得焦点F(O,),准线方程为y=-1,设 P。) 因为PF-%=。+1-%=1<2,因此A不正确 因为，三，则点P到直线y=x-3的距离为 下8g d √2 当x。=2时取等号，可得点P到直线)=x-3的最小距离为√反，因此 B正确： 设识的中点为山，则，学P时，于是以归为殖径的圆与 2 轴相切，因此C正确， H。,-1),令PH=FH,则。+1=√x+(-1-1)2,x=4y。,解得 。=3, 此时|PHHPF=FH=4,△PFH是正三角形，因此D不正确， 故选：BC 8.【答案】（号+6，）：1+万 解析：由题意得C(号-a),F(号+b,), a'=pa 1426 代入抛物线方程得=2a+2b,两式相除得 解得名=1+5或名1-反（舍去） 故答案为：（号+6，），1+万 9.【答案】(1)x2=16y:(2)x2=18y(x≠0) 解折：（1)双曲线兰-x=1的一条渐近线为5x-y=0, 3 又抛物线C:=2p0>0)的焦点r的坐标为0号)】 由题可得：2 =2,解得p=8,故抛物线方程为：x=16y 2 (2)设过点A(a,0)与抛物线C相切的直线方程为y=(x-a),k≠0， 联立抛物线方程x2=16y可得x2-16+16a=0, 则△=16k2-64a=0,又k≠0，则a=4 所以x=8k,y6=4k2, 设点D的坐标为(x,y), 则x=a+=6y=0+出-2r,即=若，代入y=2产， 2 2 可得x2=18y,又k≠0，故x≠0： 则点D的轨迹方程为：x2=18y(≠0) 10.【答案】详见解析 解析：(1)如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系， O F 以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正 方向)，以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为y2=2Px(p>0) 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为(40,30)， 代入抛物线方程得302=2p×40 则焦点华标为侣。】 解得p=45 45 故光源应安置在与顶点相距 cm=5.625cm处： (2由1)可将抛物线方程为y户-兰 灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为66=3. 故将y=33代入抛物线方程求得x=33×2=484. 45 此时，探照灯的深度为48.4cm.