期中复习专题10 抛物线方程及其几何性质知识清单【知识清单+8大考点+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题10 抛物线方程及其几何性质 知识点1：抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【注意】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 知识点2： 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 【注意】(1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负． (4)抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0＋(焦半径公式)． 知识点3： 抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称 轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 【注意】(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平． (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直． (3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 知识点4： 抛物线焦点弦长 1．AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p． 2．抛物线的通径 (1)定义：过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径．如图所示， 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，可得|AB|＝2p，所以抛物线的通径长为2p． (2)通径是所有焦点弦中长度最短的弦． 知识点5： 抛物线焦点弦的性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2． (2)以弦AB为直径的圆与准线相切． (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)． (4)＝为定值． 考点一 抛物线的定义及辨析 考点二 根据抛物线方程求焦点或准线 考点三 由抛物线的几何性质求标准方程 考点四 根据抛物线的方程求参数 考点五 利用抛物线定义求动点轨迹 考点六 抛物线上的点到定点的距离及最值 考点七 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 考点八 抛物线在实际问题中的应用 考点一 抛物线的定义及辨析 1．（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先由标准方程读出 并写出焦点与准线，再结合点 在抛物线上、由抛物线的定义把焦半径转化为点到准线的距离求解，并用两点间距离公式核对结果. 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 2．（25-26高二下·四川乐山·期末）若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 【答案】6 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线为， 点到焦点的距离为9，即点到准线的距离为9， 所以，解得. 3．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【答案】 【分析】根据抛物线定义求出点A的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标的绝对值，即为点到轴的距离. 【详解】对于抛物线，由标准形式得，即，其准线方程为，焦点. 设点的坐标为，由抛物线的定义得，解得. 将代入抛物线方程，得，故. 因此点到轴的距离为. 4．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先将点代入抛物线方程，求出横坐标，再利用抛物线定义或两点间距离公式计算点到焦点的距离即可. 【详解】∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，，即 ， 由得：，即 ， ∴ 焦点，准线方程， ∵抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离， ∴点到准线 的距离为， 即点到焦点的距离为 . 考点二 根据抛物线方程求焦点或准线 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线C：经过点，则C的准线方程是_______________． 【答案】 【详解】把点代入抛物线得，解得， 故抛物线方程为，标准形式为，故，解得， 故抛物线的准线为． 6．（26-27高二上·江苏·期中）已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为_________ 【答案】 【详解】的准线方程为：， 当时，， 解得，故交点为. 7．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 8．（26-27高三上·河南·开学考试）抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则__________． 【答案】2 【详解】由双曲线，所以， 其焦点为，抛物线的焦点为． 由题意得，两边平方并整理得， 即． 因为，所以． 考点三 由抛物线的几何性质求标准方程 9．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 10．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）若顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点与双曲线：的右焦点相同，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【分析】先根据双曲线的标准方程求出，利用算出半焦距，从而确定右焦点坐标；再根据抛物线顶点在原点且焦点在轴正半轴上，设出标准方程，利用焦点坐标求出参数，即可得到抛物线方程. 【详解】已知双曲线，则， 由，解得半焦距.故双曲线的右焦点坐标为. 因为抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在轴正半轴上， 所以设抛物线的标准方程为，其焦点坐标为. 由题意知，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，即，解得. 所以抛物线的标准方程为. 11．（26-27高二上·全国·课堂例题）抛物线的焦点为F，C，D是抛物线上关于y轴对称的两点，点E是抛物线准线l与y轴的交点，是面积为4的直角三角形.求抛物线的方程. 【答案】 【详解】抛物线的准线方程为，不妨设点位于第一象限， 由题意，为等腰直角三角形，则有直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立，解得， 所以，，， 因为，解得， 所以抛物线的方程为；    12．（26-27高三上·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【答案】或 【分析】求出抛物线的准线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质列方程求解参数，即可得到抛物线方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 抛物线（）的准线方程为. 由题意知，圆心到抛物线准线的距离等于圆的半径，即，化简得， 解得或. 所以抛物线的方程为或. 考点四 根据抛物线的方程求参数 13．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C的准线上且位于第二象限内，线段PF与C交于点Q，且，，则______． 【答案】/1.5 【分析】设准线与轴交于点，过点作，于点，利用抛物线定义和即可求解. 【详解】如图，设准线与轴交于点，过点作于点 所以由抛物线定义得到, 因为, 所以，即， 得到，即. 14．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设点，利用抛物线焦半径公式可得，再结合列方程，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线：的焦点为，准线为， 设点，由于于，故， 的圆心为，由于，故， 结合点在上，则，即，即， 解得，即点的横坐标为. 15．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据焦半径公式求得，再将点的坐标代入求解即可. 【详解】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 16．（25-26高二下·河南鹤壁·期末）设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点在第一象限，过点作轴，求出点的坐标，代入抛物线方程，结合可求得的值. 【详解】不妨设点在第一象限，过点作轴，如下图所示：    因为，，则， ， 易知点，结合图形可知， 将点的坐标代入抛物线方程得，整理得， 因为，解得. 故选：A. 考点五 利用抛物线定义求动点轨迹 17．（26-27高二上·云南昆明·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 18．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 19．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 20．（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 考点六 抛物线上的点到定点的距离及最值 21．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 22．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，则，再根据两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，由题意得，， 则 ． 当且点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为 故选：A． 23．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 24．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 考点七 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 25．（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（    ） A．841 B．2026 C．2027 D．4111 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义计算即可. 【详解】注意到，故在内，过点作的准线的垂线，垂足为， 过点作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义知，当且仅当点在线段上时等号成立. 故选：C. 26．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线定义得出，再应用两点间距离公式结合距离和最小值计算求解. 【详解】因为抛物线，所以且准线为， 由抛物线的定义可知，则， 因为且，所以， 则，当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 27．（25-26高二上·吉林延边·期末）（多选）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角形三边关系可以判断A、C，根据抛物线的定义可以判断B，根据可以判断D. 【详解】A：根据题意可知的坐标为，因为，，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立， 而的方程为：，联立，得出，此时，故A正确； B：设在准线上的射影为，因为，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立，此时，，故B正确； C：因，则，当且仅当共线且顺次排列时等号成立，故C错误； D：由，所以成立，故D正确. 故选：ABD. 28．（25-26高三上·北京房山·期末）已知抛物线，过焦点作与轴垂直的直线交抛物线于点，，设为抛物线上的一个动点，点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据通径的长度确定抛物线的方程，进而确定焦点和准线，再结合抛物线的概念求的最小值. 【详解】由题意，弦为抛物线的通径，所以，又，所以. 所以抛物线方程为，焦点，准线：. 如图：    过作准线的垂线，垂足为，因为为抛物线上的点，所以. 所以， 所以当三点共线时，取得最小值，为3. 故选：B 考点八 抛物线在实际问题中的应用 29．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    30．（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A 31．（25-26高二上·全国·课后作业）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 【答案】 【分析】建立直角坐标系，设抛物线方程和点坐标，求得点坐标，将坐标代入解析式求得点纵坐标，从而知道顶端到连桥AB的距离. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，，则. 由点B，D均在抛物线上，得解得， 所以抛物线顶端到连桥AB的距离为. 32．（25-26高二上·江苏盐城·期中）如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为______m.（精确到0.1m） 【答案】4.3 【分析】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，求出慢车道时，最右侧的高，用该值减去即为限制高度. 【详解】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 将点代入得， 故， 今，得， 故限高为， 故答案为：4.3. 1．（2026·四川南充·一模）设抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，所以，得，则， 则直线的斜率为， 故的方程为，即 2．（2026·山东·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题可得，，设点，则， 由，可得，因为，所以解得. 3．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】根据抛物线的几何性质，因为点为抛物线上的一点，抛物线的准线为，所以， 因此解得. 4．（2026·广西·模拟预测）若抛物线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】若抛物线经过点，则，. 5．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知抛物线：的焦点为，是上一点，则点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线方程求出点坐标和准线方程，根据抛物线焦半径公式即可求得结果. 【详解】由题知，令，代入，得， 则，又抛物线的准线为， 所以点到焦点的距离为. 6．（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义求出点的坐标，再计算直线的斜率，进而得到倾斜角 【详解】对于抛物线，得，即，因此焦点的坐标为，准线方程为， 设点，由在第一象限得， 由抛物线的定义可知， 因为，所以，解得， 将代入抛物线方程得，结合得，即， 设直线的斜率为满足， 设直线的倾斜角为，，则，解得 所以直线的倾斜角为. 7．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 8．（25-26高二上·北京·期末）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线换成标准式，再分析的几何意义，利用抛物线的定义转化从而转化目标式计算出最小值. 【详解】由题可得抛物线：，故该抛物线的焦点F的坐标为， 准线方程为，设点P的坐标为，则， 点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可得， 则，故， 当P，F，A三点共线，且在之间时等号成立， 则的最小值为. 9．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）（多选）已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 【答案】BC 【分析】对A和B，根据条件，利用抛物线的性质，即可求解；对C，根据条件，利用抛物线的定义，即可求解；对D，根据条件，可得，即可求解. 【详解】对于A，抛物线：的焦点为，所以A错误， 对于B，抛物线：的准线方程为，所以B正确， 对于C，因为的准线方程为，过作于，过作于， 由抛物线定义知，又，所以，故C正确； 对于D，因为，由图可知，所以D错误. 10．（2026·山东烟台·二模）（多选）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（   ） A． B．的离心率为2 C． D．点到的两条渐近线的距离之和为 【答案】BCD 【分析】先根据双曲线的性质求出其右焦点坐标，进而得到抛物线的p值，再根据抛物线和双曲线的定义及性质逐一分析选项即可. 【详解】因为双曲线 为标准形式 ， 其中 ，，则，所以，则 双曲线的右焦点坐标为. 选项A，由 的焦点为 ，由题意，，解得，故A错误； 选项B，由上分析，的离心率为，故B 正确； 选项C，联立，解得 或（不合题意舍去）， 即，则 ，故C 正确； 选项D，由上分析，易得双曲线 的渐近线方程为 ， 由对称性，可取点Q 为 ，该点到两条渐近线的距离分别为，， 所以，故D 正确. 11．（2026·山东威海·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为F，且P为C上的点（    ） A．若点，则的最小值为3 B．若点，则的最小值为3 C．抛物线C上存在两点关于直线对称 D．若两条与C相切的直线的交点在准线上，则两切点的纵坐标之和的最小值为2 【答案】AD 【分析】对于A，利用抛物线定义将所求距离和转化为到准线的折线路程．对于B，将距离的平方配方求最小值．对于C，结合对称两点的连线斜率及中点位置列式．对于D，由导数求切线方程，利用切线经过准线上的点建立切点横坐标满足的方程，再求纵坐标之和的最小值． 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线为，设，则． 过作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义得， 所以． 由三角形不等式得，又在准线上， 故不小于点到准线的距离3，所以． 当时，在上，，且三点共线，在线段上， 此时，故A正确； 对于B，设，则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C，假设上存在两个不同的点，关于直线对称， 则，且垂直于该直线，因此，得． 线段的中点为，它在直线上，所以， 从而，即，与两点不同矛盾，故C错误； 对于D，设两条切线的交点为，切点为． 将抛物线写为，由知，在处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 切线经过，故，即． 设两切点的横坐标分别为，则，， 且该方程的判别式，所以任意实数都对应两个不同的切点． 两切点的纵坐标之和为，当且仅当时等号成立， 此时，两切点为，，故D正确． 12．（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】利用直线与坐标轴交点求出抛物线的焦点，再利用焦点求出抛物线方程. 【详解】对于直线方程， 令，得；令，得， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为. 故所求抛物线的标准方程为或. 13．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，写出坐标，分别根据和列出两个等式，联立两个等式直接求出． 【详解】 设，则，， 由，得①， 由，得， 即②， 联立①②，解得，． 14．（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【分析】先求抛物线的焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标求解其标准方程. 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令，得；令，得，所以抛物线的焦点坐标为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． 15．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系，设抛物线的方程为，灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标，灯口圆半径该点的纵坐标，从而得到是抛物线上的点，将该点代入抛物线方程得解； （2）保持光源与顶点距离不变，即不变，新灯口边缘点为 ，代入，解出的值，从而得到所求. 【详解】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系， 抛物线方程设为， 灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标， 灯口圆半径该点的纵坐标， 灯口半径cm，灯深cm，故边缘点为，此点在抛物线上， 则有 ，解得 ， ， 焦点到顶点的距离为， 即光源应安置在旋转轴上距顶点（即）处. （2）保持光源与顶点距离不变，即不变， 新灯口边缘点为，代入，得到 ， 解得 ，即 ， 即探照灯的深度为 （即）. 16．（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）延长交准线于点，由抛物线定义知，再利用三角形不等式可得答案； （2）设点关于准线的对称点为点，利用对称性及三角不等式可得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，延长交准线于点， 如图所示．根据抛物线的定义知，． 所以， 故的最小值为9． （2）因为，所以，准线方程为． 设，则，即， 代入中，得， 不妨取，即． 设点关于准线的对称点为点，可得， 故， 故的最小值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 抛物线方程及其几何性质 知识点1：抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【注意】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 知识点2： 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 【注意】(1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负． (4)抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0＋(焦半径公式)． 知识点3： 抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称 轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 【注意】(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平． (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直． (3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 知识点4： 抛物线焦点弦长 1．AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p． 2．抛物线的通径 (1)定义：过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径．如图所示， 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，可得|AB|＝2p，所以抛物线的通径长为2p． (2)通径是所有焦点弦中长度最短的弦． 知识点5： 抛物线焦点弦的性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2． (2)以弦AB为直径的圆与准线相切． (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)． (4)＝为定值． 考点一 抛物线的定义及辨析 考点二 根据抛物线方程求焦点或准线 考点三 由抛物线的几何性质求标准方程 考点四 根据抛物线的方程求参数 考点五 利用抛物线定义求动点轨迹 考点六 抛物线上的点到定点的距离及最值 考点七 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 考点八 抛物线在实际问题中的应用 考点一 抛物线的定义及辨析 1．（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二下·四川乐山·期末）若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 3．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 4．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点二 根据抛物线方程求焦点或准线 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线C：经过点，则C的准线方程是_______________． 6．（26-27高二上·江苏·期中）已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为_________ 7．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·河南·开学考试）抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则__________． 考点三 由抛物线的几何性质求标准方程 9．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）若顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点与双曲线：的右焦点相同，则抛物线的标准方程为________． 11．（26-27高二上·全国·课堂例题）抛物线的焦点为F，C，D是抛物线上关于y轴对称的两点，点E是抛物线准线l与y轴的交点，是面积为4的直角三角形.求抛物线的方程. 12．（26-27高三上·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 考点四 根据抛物线的方程求参数 13．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C的准线上且位于第二象限内，线段PF与C交于点Q，且，，则______． 14．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 15．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·河南鹤壁·期末）设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 考点五 利用抛物线定义求动点轨迹 17．（26-27高二上·云南昆明·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 19．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点六 抛物线上的点到定点的距离及最值 21．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 22．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 23．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 24．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点七 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 25．（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（    ） A．841 B．2026 C．2027 D．4111 26．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·吉林延边·期末）（多选）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·北京房山·期末）已知抛物线，过焦点作与轴垂直的直线交抛物线于点，，设为抛物线上的一个动点，点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点八 抛物线在实际问题中的应用 29．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 30．（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 31．（25-26高二上·全国·课后作业）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 32．（25-26高二上·江苏盐城·期中）如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为______m.（精确到0.1m） 1．（2026·四川南充·一模）设抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2026·广西·模拟预测）若抛物线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知抛物线：的焦点为，是上一点，则点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·北京·期末）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）（多选）已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 10．（2026·山东烟台·二模）（多选）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（   ） A． B．的离心率为2 C． D．点到的两条渐近线的距离之和为 11．（2026·山东威海·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为F，且P为C上的点（    ） A．若点，则的最小值为3 B．若点，则的最小值为3 C．抛物线C上存在两点关于直线对称 D．若两条与C相切的直线的交点在准线上，则两切点的纵坐标之和的最小值为2 12．（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 13．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 14．（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 15．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 16．（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $