精品解析：北京市延庆区2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题

延庆区2025-2026学年第一学期质量监测 高三数学 2025.09 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】因为，集合， 则集合或. 故选：B 2. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合对数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由对数函数，可得，且为单调递增函数， 因为，可得. 故选：A. 3. 下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性和单调性的概念可判断选项. 【详解】由，则为偶函数， 再根据幂函数的定义与性质，可得在增函数，故A错误； 由,则为偶函数， 再根据三角函数与复合函数，可得在不单调，故B错误； 由,则为奇函数，故C错误； 由，则为偶函数， 再根据对数函数与复合函数，可得在单调递减，故D正确. 故选：D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再将该值代入相应的解析式后可求函数值. 【详解】,故， 故选：A 5. 已知，则下列大小关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，运用作差法或特殊值法逐一计算判断各选项. 【详解】因为，则，， 所以 ，故A正确； 已知， 当时，，故B错误； 已知，则，， 所以，即，故C正确； 已知，则， 又， 所以， 所以，故D正确. 故选：B. 6. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. ，使得恒成立 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上没有零点 【答案】B 【解析】 【分析】由导函数图象的性质逐一判断即可. 【详解】由图象可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值， 对于A，函数有1个极大值点，故A错误； 对于B，，使得恒成立，只需即可，故B正确； 对于C，因为在区间上，所以函数在区间上单调递减，故C错误； 对于D，函数在区间上单调递减，无法判断零点情况，故D错误； 故选：B. 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再结合特殊点的函数值，通过函数单调性来确定不等式的解集. 【详解】依题意，得 ， 由，观察可得方程组的解为或， 画出的图像 由图可知，不等式的解集是. 故选： 8. 已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过结合函数解析式有，构造函数，，通过研究函数的图像结合导数的几何意义从充分性、必要性两个方面论证即可. 【详解】因为对任意的实数都成立，即， 整理得：对任意的实数都成立， 令，， 为过点的曲线，为过点的直线， 即与相交于点， ，因为且随着的增加的值也增加， 所以为向下凹的曲线， 所以函数的切线位于函数图像的下方， 当时，， 根据导数的几何意义在点处的切线的斜率为， 若，为的切线，此时恒成立， 若，直线与曲线有两个交点， 此时不恒成立，所以； 若，此时直线与曲线相切，切点为， 此时有恒成立，所以， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 9. 某水域每立方米中微生物含量约为，另一水域每立方米中同种微生物含量约为.则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. 0.3 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算法则求出的近似值，再求出各选项中的常用对数判断即得. 【详解】依题意，，则， 而， 所以与最接近的是. 故选：D 10. 已知函数，若存在，使得，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】令，当时，,则问题转化为存在使得，根据，可得，再取，即可确保其存在性. 【详解】令， 当，则， 等价于 ， 故存在使得， 因，则， 又，则，得， 当时，可取，， 此时， 故则的最大值为. 故选：C 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域求解方法即可得出结果. 【详解】根据题意可得如下不等式组， 解得且. 答案为：且. 12. 已知函数，则其零点为__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对数函数的运算和对数函数的导数进行求解即可. 【详解】令，则，解得. 对函数求导得. 故答案为：①②. 13. 写出使得命题“”是假命题的一个实数的值__________. 【答案】3（答案不唯一，满足的都可以） 【解析】 【分析】由全称量词命题为真求出，再取否定即可. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 则命题“”为真命题，， 因此命题“”是假命题，， 所以所求实数的一个值为3. 故答案为：3 14. 已知函数，当时，函数的单调递增区间为__________；若函数的最大值为2，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，通过利用导数研究的单调性以及分段函数的性质，找出的单调递增区间即可.利用导数研究单调性，再通过题目中的条件函数的最大值为2，对分情况讨论即可求得参数的范围. 【详解】（1）当时，， 当时，此时，此时在上单调递增， 当时，，解得， 所以当时，，当时，， 所以时，函数的单调递增区间为. （2）因为时，恒成立，故在上的最大值为. 设，则， 故或时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 且的极大值为，令，则， 故，故， 故当时，，且在上的最大值为. 若，则由的单调性可得在为减函数， 故，不合题意，舍； 若，则由的单调性可得在上为减函数， 在为增函数，在上为减函数，且， 而，故，故，不合题意，舍； 若，同理可得， 而，故，符合； 当，由的单调性可得在为减函数，故， 符合； 综上，. 故答案为：， 15. 已知函数，对于实数，已知，设.给出下列四个结论： ①； ②当时，有； ③当时，有； ④当时，有. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】利用导数证得不等式判断①；设三点都在函数的图象上，且三点的横坐标为，记点关于原点的对称点为点，则，利用数形结合判断②③④. 【详解】函数定义域为，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上递增，在上递减，， 即，而，则，显然等号不同时成立， 因此，，①正确； 设三点都在函数的图象上，其横坐标依次为， 记点关于原点的对称点为，则， ，其中分别表示直线的斜率， 如图所示，当时，，即； 如图所示，当时，，即； 如图所示，当时，，即， 综上得，②③④正确. 故答案为：①②③④ 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间及极值； （3）直接写出函数的值域，不要求计算过程. 【答案】（1） （2） 的递减区间为和，递增区间为. 的极小值为，极大值为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求在点处的切线方程. （2）根据函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，再根据函数的单调性分析函数的极值. （3）结合函数的单调性，分析函数的符号，可直接得到函数的值域. 【小问1详解】 因为， 所以. 又，， 所以曲线在处的切线方程为： ，即. 【小问2详解】 由； 由或. 所以的递减区间为和，递增区间为. 函数的极小值为，极大值为. 【小问3详解】 因为函数在和上单调递减，在上单调递增， 且恒成立，时，时， 所以函数的值域为. 17. 已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是奇函数； 条件③：是的一个零点. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选择条件①或③， （2）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数图像的性质，利用整体代入法求； （2）先用积化和差公式将函数解析式变形，再考虑的单调性，从而求出在区间上的最值 【小问1详解】 若选择条件①. .所以，.故. 因为，所以只有当时满足条件，故. 若选择条件②. 定义域为，因是奇函数，所以对，有. 因此，，因对恒成立，故有. 因而，应是函数的一条对称轴，故，. 因为，没有满足条件，故不存在. 若选择条件③. 因为是的一个零点，所以，即. 因此，即，. 因为，所以只有当时满足条件，故. 故选择条件①或③，. 【小问2详解】 ，用积化和差公式得，. 故. 当时，即时，函数单调递增，即函数单调递减. 即当时，在区间上单调递减. 又因为图象的一条对称轴为，所以在区间上单调递增. 故在区间上，函数在上单调递减，上单调递增. ，，. 因此，函数在区间上的最大值为，最小值为. 18. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持､技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升.国内很多科技公司致力于服务机器人的发展与创新，现抽取了由甲､乙､丙､丁四个公司研发的14款使用率较高的智能送餐机器人，并对这14款机器人的送餐失误率进行了测试，获得数据如下表： 公司 甲 乙 丙 丁 机器人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 失误率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的机器人中任取一个，求该机器人送餐失误率低于的概率； （2）从表中提供的失误率低于的送餐机器人中任取3个，用随机变量表示其中失误率低于的送餐机器人个数，求随机变量的分布列和数学期望； （3）已知某餐厅使用乙或丙公司中的某个送餐机器人，经查证，该送餐机器人送餐失误，则该送餐机器人来自哪个公司的可能性更大？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ； （3）来自乙公司的可能性更大 【解析】 【分析】（1）从表中统计送餐失误率低于的机器人的数量，再由古典概型概率公式求解即可； （2）议题得的取值可能为，再根据超几何分布概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，再计算数学期望即可； （3）设事件，为机器人分别来自乙，丙公司，事件为送餐失误，先由全概率公式求出乙、丙公司研发的机器人送餐失误的概率，，再由贝叶斯公式，分别求出送餐失误的机器人来自乙、丙公司的概率，，比较结果即得. 【小问1详解】 表中提供的这14款机器人中送餐失误率低于有款， 所以从这14款机器人中任取一个，该机器人送餐失误率低于的概率为； 【小问2详解】 表中提供的失误率低于的送餐机器人有款， 其中失误率低于的送餐机器人有3款，从9个中任取3个， 所以随机变量的取值为， 所以，， ，. 随机变量的分布列为 0 1 2 3 数学期望为； 【小问3详解】 设事件为“机器人来自乙公司”，事件为“机器人来自丙公司”，事件为 “送餐失误”. 则， ， 因乙公司研发了第三款机器人，每个机器人被选中的概率为， 且第三款机器人送餐的失误率分别为1.5%，1.9%，2.9%， 故乙公司研发的机器人送餐的失误率为： 又因丙公司研发了第四款机器人，每个机器人被选中的概率为， 且第四款机器人送餐的失误率分别为0.7%，0.9%，1.6%， 2.4%， 故丙公司研发的机器人送餐的失误率为： . 由全概率公式可知送餐失误的概率为： . 根据贝叶斯公式，则送餐失误的机器人来自乙公司的概率为： ； 送餐失误的机器人来自丙公司的概率为： . 因为，所以来自乙公司的可能性更大. 19. 如图所示，公园里有一块边长为2的等边三角形草坪（记为），计划沿图中线段铺设灌溉水管，在上，在上，设. （1）若，求的面积； （2）若图中把草坪分成面积相等的两部分，求关于的函数关系及的最小值. 【答案】（1） （2），，的最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求，再根据正弦定理，即可求解； （2）首先根据三角形面积公式求，再根据余弦定理表示函数关系，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理可知，, 条件，所以，则， 因为，，则， ， 所以根据正弦定理，，则, 所以； 【小问2详解】 ， 所以，即，得， 中，根据余弦定理, 所以，， 所以，当时，即时等号成立， 所以，，的最小值为. 20. 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）证明：当时，曲线不存在斜率小于零的切线； （3）若函数存在极值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，所以， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有最小值，即， 所以曲线在定义域内恒成立， 故时，曲线不存在斜率小于零的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据切线方程的斜率和切点坐标列方程求解即可； （2）求导，证明导数大于等于0即可； （3）求导，然后分离参数，结合函数图象，根据极值的定义，判断导数零点两侧的符号，从而得出的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 因为曲线在处的切线方程为， 故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得， 故的值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，函数存在极值； 当时，若函数存在极值，则有解， 即， 当，即时，关于的方程无解， 当，即时，得， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有极小值为， 因为时，，当时，，故函数大致图象如下： 所以要使有解，则或， 下面，讨论或，函数是否存在极值， 令，， 当时，在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为时，，所以，即，， 所以当时，函数存在极值， 当时，因为时，，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为，， 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为. 21. 已知数列，定义：.从中选取第项､第项､､第项，则称数列为的长度为的子列.若为的一个排列，则称数列具有性质. （1）已知，若数列是数列的长度为5的子列，写出的最大值和最小值； （2）已知数列具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值； （3）已知数列具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数. 【答案】（1）最大值9，最小值5 （2）最小值6 （3）最大值，这样的数列有个 【解析】 【分析】（1）定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是，分析可得任意数列的子列的值不超过该数列本身的值.对于具有性质的数列，因此其长度为的子列的值不小于.然后计算数列的值，进一步构造子列使其值最大和最小； （2）根据已知条件分析可得该数列只有三个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，这个极端项必为最大项6或最小项1，然后分别研究其最小值，最后比较得出总体的最小值； （3）分析可知对于数列,其值时必为交替数列，由此化简的表达式，并得出其最大值及取得最大值的条件，进而利用排列数和乘法计数原理得出当取得最大值时数列的个数. 【小问1详解】 根据绝对值的性质可得当为单调递增或单调递减数列时，. 定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是极端项. 设数列A：中的极端项依次为，记， 则，其任意的子列,的每个极端项都必然在数列A的某两个相邻极端项之间，故其子列的相邻极端项的差的绝对值的和不超过数列的相邻极端项的绝对值的和，即. 对于具有性质的数列，是1，2，…的一个排列，任意相邻两项的差的绝对值都大于等于1， 因此其长度为的子列的值不小于. ​数列，. 子序列，，是的最大值， 子序列，，也是的最大值， 子序列，是的最小值. ∴的最大值和最小值分别是和； 【小问2详解】 ∵已知数列A：具有性质，则是1,2,3,4,5,6的一个排列， 又∵存在唯一的长度为3的子列，使得， 则子列的极端项恰好是数列的极端项，且子列的极端项只有3个， ∴数列只有3个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项， 这个极端项必为最大项6或最小项1， 当中间的极端项1时，两端的极端项有一端为6，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6， 这样的数列的一个例子为. 中间的极端项为6时，两端的极端项有一端为1，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6， 这样的数列的一个例子为. ∴的最小值为6； 【小问3详解】 根据对称性不妨先设.首先证明：对于具有性质的数 ，当最大时，数不存在连续3项单调递增或递减， 假设具有性质的数列存在连续3项单调递增或递减， 即存在使得或， 则将调换到之前，得到， ，与最大矛盾， ∴假设不成立. 因此设，对于具有性质的数列，当最大时，必有， ∵为偶数，数列中的数分成2组： ，中的每个数都小于中的每个数， ∴ , 为了使得取得最大值，要尽可能的大，要尽可能的小， 在此之下，和再取剩余数中的最大和最小值， ∴， 当且仅当时取到“等号”，∴的最大值为， ∵有种不同的排列方式，也有种不同的排列方式， ∴这样的数列有个， 根据对称性，时也有同样的结果，对应的数列也有， ∴使得最大的数列总共有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延庆区2025-2026学年第一学期质量监测 高三数学 2025.09 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知，则下列大小关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. ，使得恒成立 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上没有零点 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 某水域每立方米中微生物含量约为，另一水域每立方米中同种微生物含量约为.则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. 0.3 B. 10 C. D. 10. 已知函数，若存在，使得，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是___________. 12. 已知函数，则其零点为__________，__________. 13. 写出使得命题“”是假命题的一个实数的值__________. 14. 已知函数，当时，函数的单调递增区间为__________；若函数的最大值为2，则的取值范围是__________. 15. 已知函数，对于实数，已知，设.给出下列四个结论： ①； ②当时，有； ③当时，有； ④当时，有. 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间及极值； （3）直接写出函数的值域，不要求计算过程. 17. 已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是奇函数； 条件③：是的一个零点. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持､技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升.国内很多科技公司致力于服务机器人的发展与创新，现抽取了由甲､乙､丙､丁四个公司研发的14款使用率较高的智能送餐机器人，并对这14款机器人的送餐失误率进行了测试，获得数据如下表： 公司 甲 乙 丙 丁 机器人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 失误率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的机器人中任取一个，求该机器人送餐失误率低于的概率； （2）从表中提供的失误率低于的送餐机器人中任取3个，用随机变量表示其中失误率低于的送餐机器人个数，求随机变量的分布列和数学期望； （3）已知某餐厅使用乙或丙公司中的某个送餐机器人，经查证，该送餐机器人送餐失误，则该送餐机器人来自哪个公司的可能性更大？（结论不要求证明） 19. 如图所示，公园里有一块边长为2的等边三角形草坪（记为），计划沿图中线段铺设灌溉水管，在上，在上，设. （1）若，求的面积； （2）若图中把草坪分成面积相等的两部分，求关于的函数关系及的最小值. 20. 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）证明：当时，曲线不存在斜率小于零的切线； （3）若函数存在极值，求的取值范围. 21. 已知数列，定义：.从中选取第项､第项､､第项，则称数列为的长度为的子列.若为的一个排列，则称数列具有性质. （1）已知，若数列是数列的长度为5的子列，写出的最大值和最小值； （2）已知数列具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值； （3）已知数列具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $